1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

Original article: w:1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

수학(mathematics)에서, 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯는 그것의 항이 교대하는 부호를 갖는 연속적인 이의 거듭제곱(powers of two)인 무한 급수(infinite series)입니다. 기하 급수(geometric series)로서, 그것은 첫 번째 항, 1과 공통 비율, –2에 의해 특성화됩니다:

$\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}$

실수(real number)의 급수로서, 그것은 발산(diverges)하므로, 보통 의미에서 그것은 합을 가지지 않습니다. 훨씬 더 넓은 의미에서, 그 급수는 ∞ 이외의 다른 값, 즉 1/3과 결합되며, 이것은 2-진수 메트릭을 사용하는 급수의 극한입니다.

Historical arguments

고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)는 일찍이 1673년에 발산하는 교대 급수 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯을 고려했습니다. 그는 왼쪽이나 오른쪽에서 뺌으로써, 양의 무한대나 음의 무한대를 생성할 수 있고, 따라서 두 답이 모두 틀렸고 전체가 유한해야 한다고 주장했습니다:

이제 통상적으로 본성은 둘 중 어느 것도 허용되지 않거나, 오히려 둘 중 어느 것이 허용되는지 결정될 수 없고, 전체가 유한한 양과 같으면 중간을 선택합니다

라이프니츠는 그 급수가 합을 가진다고 주장하지는 않았지만, 그는 메르카토르(Mercator)의 방법에 따라 1/3과의 결관성을 추론했습니다. 급수가 실제로 합으로 합해지지 않고 일부 유한한 양과 같을 수 있다는 태도는 비록 현대 수학에서 구별이 이루어지지 않았지만 18세기에 일반화되었습니다.

크리스티안 볼프(Christian Wolff)가 1712년 중반에 그란디 급수(Grandi's series)의 라이프니츠의 처리를 읽은 후, 볼프는 그 해에 매우 만족하여 그는 산술 평균 방법을 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ⋯와 같은 더 발산하는 급수로 확장하려고 했습니다. 간단하게 말해서, 만약 우리가 이 급수의 부분 합을 끝에서 두 번째 항의 함수로 표현하면, 우리는 4m + 1/3 또는 −4n + 1/3 중 하나를 얻습니다. 이들 값의 평균은 2m − 2n + 1/3이고, 무한대에서 m = n이라고 가정하면 급수의 값으로 1/3을 산출합니다. 라이프니츠의 직관은 그에게서 자신의 해를 여기까지 긴장시키는 것을 막았었고, 그는 볼프의 아이디어가 흥미롭지만 몇 가지 이유로 유효하지 않다고 회신했습니다. 이웃하는 부분 합의 산술 평균은 임의의 특정 값으로 수렴하지 않고, 모든 유한 경우에 대해 우리는 n = m이 아니라 n = 2m를 가집니다; 일반적으로 합-가능한 급수의 항은 영으로 감소해야 합니다; 심지어 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 조차도 그러한 급수의 극한으로 표현될 수 있습니다. 라이프니츠는 볼프에게 그가 "과학과 그 자신에게 합당한 것을 생산할 수 있도록" 재고하라고 조언합니다.

Modern methods

Geometric series

정규성, 선형성, 및 안정성의 속성을 보유하는 임의의 합계 방법은 기하 급수(geometric series)를 합할 것입니다:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}.$

이 경우에서 a = 1와 r = −2이므로, 그 합은 1/3입니다.

Euler summation

그의 1755년 Institutiones에서, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 발산 급수 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯에 도달하는 이제 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯의 오일러 변환(Euler transform)이라고 불리는 것을 효과적으로 취했습니다. 후자의 합해서 1/3이므로, 오일러는 1 − 2 + 4 − 8 + ... = 1/3라고 결론지었습니다. 무한 급수에 대한 그의 아이디어는 현대적 접근 방식을 따르지 않습니다; 오늘날 어떤 사람은 1 − 2 + 4 − 8 + ...가 오일러 합-가능(Euler summable)하고 그것의 오일러 합이 1/3이라고 말합니다.

Excerpt from the Institutiones

오일러 변환은 양수 항의 수열로 시작합니다:

a₀ = 1,

a₁ = 2,

a₂ = 4,

a₃ = 8,...

순방향 차이(forward difference)의 수열은 그런-다음 다음입니다:

Δa₀ = a₁ − a₀ = 2 − 1 = 1,

Δa₁ = a₂ − a₁ = 4 − 2 = 2,

Δa₂ = a₃ − a₂ = 8 − 4 = 4,

Δa₃ = a₄ − a₃ = 16 − 8 = 8,...

이것은 단지 같은 수열입니다. 따라서 반복된 순방향 차이 수열은 모두 각 n에 대해 Δⁿa₀ = 1로 시작합니다. 오일러 변환은 다음 급수입니다:

${\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .$

이것은 그것의 합이 보통 공식에 의해 1/3인 수렴 기하 급수(geometric series)입니다.

Borel summation

1 − 2 + 4 − 8 + ⋯의 보렐 합(Borel sum)은 역시 1/3입니다; 에밀 보렐(Émile Borel)이 1896년 보렐 합계의 극한 공식을 도입했을 때, 이것은 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 이후 그의 첫 번째 예제 중 하나였습니다.

p-adic numbers

2-진수 메트릭에서 $1-2+4-8\ldots$와 결합된 부분 합(partial sum)의 수열은 다음입니다:

$1,-1,3,-5,11,\ldots$

그리고 이의 보수를 사용하여 밑수 2에서 표현될 때,

${\overline {0}}1,{\overline {1}}1,{\overline {0}}11,{\overline {1}}011,{\overline {0}}1011,\ldots$

그리고 이 수열의 극한은 2-진수 메트릭에서 ${\overline {01}}1={\frac {1}{3}}$입니다. 따라서 $1-2+4-8\ldots ={\frac {1}{3}}$입니다.

See also

• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯