Geometric progression

Original article: w:Geometric progression

Diagram illustrating three basic geometric sequences of the pattern 1(rⁿ⁻¹) up to 6 iterations deep. The first block is a unit block and the dashed line represents the infinite sum of the sequence, a number that it will forever approach but never touch: 2, 3/2, and 4/3 respectively.

수학(mathematics)에서, 기하 수열(geometric sequence)이라고 역시 알려진, 기하 진행(geometric progression)은 숫자(number)의 수열(sequence)이며, 여기서 첫 번째 이후의 각 항은 이전 항에 공통 비율(common ratio)로 불리는, 고정된, 비-영 숫자를 곱함으로써 구해집니다. 예를 들어, 수열 2, 6, 18, 54, ...은 공통 비율 3을 갖는 기하 진행입니다. 비슷하게 10, 5, 2.5, 1.25, ...는 공통 비율 1/2을 갖는 기하 수열입니다.

기하 수열의 예제는, 2^k 및 3^k와 같은, 고정된 숫자 r의 거듭제곱(powers) r^k입니다. 기하 수열의 일반적인 형식은 다음입니다:

$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots$

여기서 r ≠ 0은 공통 비율이고 a는 스케일 인수(scale factor)이며, 수열의 시작 값과 같습니다.

Elementary properties

초기 값 a 및 공통 비율 r을 갖는 기하 수열의 n-번째 항은 다음으로 제공됩니다:

$a_{n}=a\,r^{n-1}.$

그러한 기하 수열은 다음 재귀 관계(recursive relation)를 역시 따릅니다:

모든 각 정수 $n\geq 1$에 대해, $a_{n}=r\,a_{n-1}$.

일반적으로, 주어진 수열이 기하인지 여부를 확인하기 위해, 우리는 수열에서 연속적인 엔트리가 모두 같은 비율을 갖는지 여부를 단순히 확인합니다.

기하 수열의 공통 비율은 음수일 수 있으며, 양수와 음수 사이의 교대하는 숫자를 갖는, 교대 수열을 결과로써 생성합니다. 예를 들어

1, −3, 9, −27, 81, −243, ...

은 공통 비율 −3을 갖는 기하 수열입니다.

기하 수열의 행동은 공통 비율의 값에 따라 다릅니다.
만약 공통 비율이:

• 양수이면, 항은 초기 항과 모두 같은 부호일 것입니다.
• 음수이면, 양수와 음수 사이를 교대할 것입니다.
• 1보다 크면, (초기 항의 부호에 따라) 양 또는 음의 무한대(positive or negative infinity)를 향해 지수적 증가(exponential growth)할 것입니다.
• 1이면, 진행은 상수(constant) 수열입니다.
• −1과 1 사이지만 영이 아니면, 영을 향해 지수적 감쇠(exponential decay)일 것입니다.
• −1이면, 진행은 교대 수열입니다.
• −1보다 작으면, 교대 부호에 기인하여, 절댓값에 대해 (부호화된) 무한대를 향해 지수적 증가일 것입니다.

(−1, 1 또는 0과 같지 않는 공통 비율을 갖는) 기하 수열은 지수적 증가 또는 지수적 감쇠를 보이며, 대조적으로 (공통 차이 11을 갖는) 4, 15, 26, 37, 48, …과 같은 산술 진행(arithmetic progression)의 선형(linear) 증가 (또는 감쇠)와 대조적입니다. 이 결과는 그의 Principle of Population의 수학적 토대로서, 토머스 로버트 맬서스(T. R. Malthus)에 의해 취합니다. 진행의 두 종류는 서로 관련이 있음에 주목하십시오: 산술 진행의 각 항의 지수화는 기하 진행을 산출하고, 반면에 양의 공통 비율을 갖는 기하 진행에서 각 항의 로그(logarithm)를 취하면 산술 진행을 산출합니다.

기하 진행의 정의의 흥미로운 결과는, 공통 비율의 임의의 값에 대해, 임의의 세 연속적인 항 a, b 및 c는 다음 방정식을 만족시킬 것이라는 것입니다:

$b^{2}=ac$

여기서 b는 a와 c 사이의 기하 평균(geometric mean)으로 고려됩니다.

Geometric series

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312 )
	2							−	1250	=	(1 − 5) × 312

Computation of the sum 2 + 10 + 50 + 250. The sequence is multiplied term by term by 5, and then subtracted from the original sequence. Two terms remain: the first term, a, and the term one beyond the last, or ar^m. The desired result, 312, is found by subtracting these two terms and dividing by 1 − 5.

기하 급수는 기하 진행에서 숫자의 합(sum)입니다. 예를 들어:

$2+10+50+250=2+2\times 5+2\times 5^{2}+2\times 5^{3}.$

a를 첫 번째 항 (여기서 2), n을 항의 숫자 (여기서 4), 및 r을, 각 항이 다음 항을 얻기 위해 곱해지는 상수 (여기서 5)로 놓으면, 합은 다음에 의해 제공됩니다:

${\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\;$.

위의 예제에서, 이것은 다음을 제공합니다:

$2+10+50+250={\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}={\frac {-1248}{-4}}=312.$

공식은 임의의 실수 a 및 (영으로 나누어지는 결과를 초래하는, r = 1을 제외한) r에 대해 작동합니다. 예를 들어:

$-2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}=-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}={\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}}={\frac {-2\pi (1+8\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -214.855.$

(아래의) 유도 과정은 a와 r이 실수인 것에 의존하지 않으므로, 그것은 마찬가지로 복소수에 대해 유지됩니다:

Derivation

이 공식을 유도하기 위해, 먼저 일반적인 기하 급수를 다음으로 씁니다:

$\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.$

우리는 위의 방정식 양쪽 변에 1 − r을 곱함으로써 이 합에 대해 더 간단한 공식을 찾을 수 있고, 우리는 다음임을 알 수 있습니다:

${\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}$

왜냐하면 모든 다른 항은 제거되기 때문입니다. 만약 r ≠ 1이면, 우리는 n 항의 합을 계산하는 기하 급수에 대한 편리한 공식을 얻기 위해 위를 다시-정렬할 수 있습니다:

$\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.$

Related formulas

만약 우리가 k = 1로부터 시작하지 않고, 다른 값, 말하자면 m으로 시작하는 합을 구하는 것이면,

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.$

여기서 $r\neq 1$이고, 만약 $r=1$이면 $a(n-m+1)$입니다.

r에 관해 이 공식을 미분(differentiating)하면 다음 형식의 합에 대한 공식에 도달하는 것을 허용합니다:

$G_{s}(n,r):=\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.$

예를 들어:

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.$

r의 오직 짝수 거듭제곱을 포함하는 기하 급수에 대해  1 − r² 을 곱하면:

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.$

그런-다음

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.$

동등하게, 공통 비율로  r² 을 취하고 표준 공식화를 사용하십시오.

r의 오직 홀수 거듭제곱을 갖는 급수에 대해

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}$

및

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.$

$s\in \mathbb {N}$일 때 일반화된 합 $G_{s}(n,r)$에 대한 정확한 공식은 다음처럼 두 번째 종류의 스털링 숫자(Stirling numbers of the second kind)로 확장됩니다:

$G_{s}(n,r)=\sum _{j=0}^{s}\left\lbrace {s \atop j}\right\rbrace x^{j}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}\left[{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right].$

Infinite geometric series

Main article: Geometric series

무한 기하 급수(infinite geometric series)는 그의 연속적인 항이 공통 비율을 가지는 무한 급수(infinite series)입니다. 그러한 급수가 수렴하는 것과 공통 비율의 절댓값(absolute value)이 일보다 작은 것 (|r| < 1)은 필요충분 조건(if and only if)입니다. 그의 값은, 그런-다음, 무한 합 공식으로부터 계산될 수 있습니다:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}$

Animation, showing convergence of partial sums of geometric progression $\sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}$ (red line) to its sum ${1 \over 1-q}$ (blue line) for $|q|<1$.

Diagram showing the geometric series 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ which converges to 2.

왜냐하면:

$r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.$

그런-다음:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}$

$r$의 오직 짝수 거듭제곱을 포함하는 급수에 대해,

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}$

및 오직 홀수 거듭제곱에 대해,

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}$

합이 k = 0에서 시작하지 않는 경우에서,

$\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}$.

위에 주어진 공식은 오직 |r| < 1에 대해 유효합니다. 후자의 공식은, r의 노름이 일보다 작은 한, 모든 각 바나흐 대수(Banach algebra)에서 유효하고, 만약 |r|_p < 1이면, p-진수 숫자(p-adic numbers)의 필드에서 역시 유효합니다. 유한 합의 경우에서 처럼, 우리는 관련된 합에 대한 공식을 계산하기 위해 미분할 수 있습니다.

예를 들어,

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$

이 공식은 마찬가지로 |r| < 1에 대해 오직 작동합니다. 이것으로부터, 그것은 |r| < 1에 대해, 다음임을 따릅니다:

$\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}$

또한, 무한 급수 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯는 절대적으로 수렴하는(converges absolutely) 급수의 기본 예제입니다.

그것은, 첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 1/2인, 기하 급수(geometric series)이므로, 그의 합은 다음입니다:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.$

위의 급수의 역 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯은 절대적으로 수렴하는 교대 급수(alternating series)의 단순 예제입니다.

그것은, 첫 번째 항이 1/2이고 공통 비율이 −1/2인, 기하 급수(geometric series)이므로, 그의 합은 다음입니다:

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$

Complex numbers

기하 급수에 대한 합계 공식은 심지어 일반 비율이 복소수일 때 유효하게 남습니다. 이 경우에서 r의 절댓값이 1보다 작다는 조건은 r의 모듈러스(modulus)가 1보다 작다는 것으로 됩니다. 일부 비-명백한 기하 급수의 합을 계산하는 것이 가능합니다. 예를 들어, 다음 전제를 생각해 보십시오:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}$

이것의 증명은 다음 사실에서 옵니다:

$\sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},$

이것은 오일러의 공식(Euler's formula)의 결과입니다. 이것을 원래 급수에 치환하면 다음을 제공합니다:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]$.

이것은 두 기하 급수의 차이이고, 그래서 그것은 증명을 완료하는 무한 기하 급수에 대해 공식의 직접적인 응용입니다.

Product

기하 진행의 곱은 모든 항의 곱입니다. 그것은 진행의 첫 번째와 마지막 항의 기하 평균(geometric mean)을 취하고, 그 평균에 주어진 항의 숫자만큼 거듭제곱을 올림으로써 빠르게 계산될 수 있습니다. (이것은 산술 수열(arithmetic sequence)의 항의 합에 대한 공식: 첫 번째와 마지막 항의 산술 평균(arithmetic mean)을 취하고, 항의 숫자를 곱하는 것과 매우 유사합니다.)

두 숫자의 기하 평균이 그들 곱의 제곱근과 같으므로, 기하 진행의 곱은 다음입니다:

$\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=({\sqrt {a\cdot ar^{n}}})^{n+1}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}$.

(이 공식의 흥미로운 관점은, 비록 그것이 잠재적으로-음의 r의 잠재적으로-홀수 거듭제곱의 제곱근을 취하는 것을 포함할지라도, 그것은 만약 a도 r도 아닌 허수 부분을 가지면 복소수 결과를 생성할 수 없다는 것입니다. 그것은, 반드시 r이 음수이고 n이 홀수이면, 제곱근이 음의 중간 결과를 취하는 것이 가능하고, 후속 중간 결과가 허수가 되는 원인이 됩니다. 어쨌든, 해당 방법에서 형성된 허수 중간은 곧 $\textstyle n+1$의 거듭제곱으로 올려질 것이며, 이것은 n 자체가 홀수이기 때문에 짝수여야 합니다; 따라서, 계산의 최종 결과는 그럴듯하게 홀수일 수 있을 것이지만, 그것은 결코 허수일 수는 없습니다.)

Proof

P는 곱을 나타내는 것으로 놓습니다. 정의에 의해, 우리는 그것을 각 개별 항을 함께 명시적으로 곱함으로써 계산합니다. 전부 쓰면,

$P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}$.

곱셈을 수행하고, 동류항을 묶으면,

$P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}$.

r의 지수는 산술 수열의 합입니다. 해당 계산의 공식을 대체하면,

$P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}$,

이것은 표현을 다음으로 단순화할 수 있습니다,

$P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}=(a{\sqrt {r^{n}}})^{n+1}$.

a를 $\textstyle {\sqrt {a^{2}}}$로 다시-쓰면,

$P=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}$,

이것으로 증명을 마칩니다.

Relationship to geometry and Euclid's work

유클리드(Euclid)의 원론(Elements)의 책 8권 및 9권은 (이의 거듭제곱(powers of two)과 같은, 자세한 것은 해당 기사를 참조하십시오) 기하 진행을 분석하고 그들 속성의 여러 가지를 제공합니다.

See also

• Arithmetic progression
• Arithmetico-geometric sequence
• Linear difference equation
• Exponential function
• Harmonic progression
• Harmonic series
• Infinite series
• Preferred number
• Thomas Robert Malthus
• Geometric distribution

References

• Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

External links

• "Geometric progression", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
• Geometric Progression Calculator
• Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.