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History of the function concept

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Original article: wikipedia:History of the function concept

함수(function)의 수학적 개념은 미적분학(calculus)의 개발과 관련하여 17세기에 나타났습니다; 예를 들어, 한 점에서 그래프의 기울기 는 점의 x-좌표의 함수로 간주됩니다. 고대에는 함수가 명시적으로 고려되지 않았지만, 개념의 일부 선구자(precusor)는 중세 철학자와 오렘(Oresme)과 같은 수학자의 업적에서 아마도 볼 수 있습니다.

18세기의 수학자들은 전형적으로 함수를 해석적 표현식(analytic expression)으로 정의하는 것으로 간주했습니다. 19세기에, 바이어슈트라스(Weierstrass)와 다른 사람들에 의해 해석학(analysis)의 엄밀한 발달, 해석학의 관점에서 기하학(geometry)의 재구성, 그리고 칸토어(Cantor)에 의한 집합 이론(set theory)의 발명, 결국 하나의 집합에서 다른 집합으로의 단일-값 매핑으로써 함수의 훨씬 더 일반적인 현대 개념을 이끌어 냈습니다.

Functions before the 17th century

이미 12세기에서, 수학자 샤라프 알-딘 알-천(Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī)은 방정식 x3 + d = b⋅x2를 형식 x2 ⋅ (b – x) = d으로 분석하여, 왼쪽 변은 정식에 대해 해를 가지기 위해 적어도 d의 값과 같아야 한다고 말했습니다. 그는 그런 다음 이 표현의 최댓값을 결정했습니다. 이 표현의 격리는 "함수"의 개념에 대한 초기 접근이라는 것은 논쟁의 여지가 있습니다. d 보다 작은 값은 양수 해가 없음을 의미합니다; d와 같은 값은 하나의 해에 해당하고, 반면에 d 보다 큰 값은 두 해에 해당합니다. 이 방정식의 샤라프 알-딘의 분석은 이슬람 수학(Islamic mathematics)에서 주목할만한 발전이었지만, 그의 연구는 그 당시에는 더 이상 추구되지 않았고, 무슬림 세계도 유럽에서도 추가되지 않았습니다.[1]

디외도네(Dieudonné)[2] 와 폰테(Ponte)[3]에 따르면, 함수의 개념은 해석 기하학(analytic geometry)과 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)의 개발 결과로써 17세기에 나타났습니다. 그럼에도 불구하고, 메드베데프는 함수의 암시적 개념은 고대 혈통을 가진 개념이라고 암시했습니다.[4] 폰테(Ponte)는 중세 시대(Middle Ages)의 개념에 대한 보다 명확한 접근법을 역시 보았습니다.

역사적으로, 일부 수학자들은 예견을 가진 것으로 간주되고 그리고 함수 개념의 현대적 공식에 근접해 있습니다. 그들 중에는 오렘(Oresme) (1323-1382)가 있습니다 . . . 그의 이론에서, 독립 변수와 종속 변수 양에 대한 몇 가지 일반적인 아이디어가 존재하는 것으로 보입니다.[5]

1640년경의 해석 기하학의 발전으로 수학자들은 "변수 좌표 x와 y"의 대수적 관계와 곡선에 대한 기하하적 문제 사이로 진입하게 되었습니다.[6] 미적분학은, 18세기에 잘 지속되어 온, 그들의 관련 기하학적 의미와 함께, 변수의 개념을 사용하는 것에 의해 개발되었습니다.[7] 어쨌든, "함수"이라는 용어는 17세기 말 라이프니츠(Leibniz)와 베르누이(Bernoulli) 사이의 상호 작용에서 사용되기 시작했습니다.[8]

The notion of "function" in analysis

용어 "함수"는 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)가 1673년 편지에서 소개한 것으로, 좌표(coordinate) 또는 곡선(curve)의 기울기(slope)와 같은, 곡선의 점과 관련된 양을 설명합니다.[9] 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 하나의 변수를 가진 "함수"로 이루어진 표현식을 부르기 시작했습니다. 1698년에, 그는 "대수적이고 초월적인 방식으로" 형성된 임의의 양이라도 x의 함수라고 부를 수 있다고 라이프니츠와 동의했습니다.[10] 1718년에, 그는 "하나의 변수와 일부 상수로 구성된 임의의 표현식"을 함수로써 간주하게 되었습니다.[11] 알렉시 클로드 클레로(Alexis Claude Clairaut) (약 1734년경) 그리고 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 함수의 값에 대한 친숙한 표기법 을 소개했습니다.[12]

그 당시 고려된 함수는 오늘날 미분 가능한 함수(differentiable functions)라고 불립니다. 이러한 유형의 함수에 대해, 극한(limit) 및 미분에 대해 이야기할 수 있습니다: 둘 다 입력 또는 입력의 변화에 따라 출력 또는 출력의 변화의 측정입니다. 이러한 함수는 미적분학(calculus)의 기초입니다.

Euler

1748년에 출판된, 그의 기초적인 텍스트 Introductio in Analysin Infinitorum의 첫 번째 책에서, 오일러(Euler)는 본질적으로 그의 스승 베르누이(Bernoulli)와 같은 함수 정의를 부여했으며, 변수 및 상수를 포함하는, 예를 들어, 와 같은 표현식(expression) 또는 공식(formula)으로 제공했습니다.[13] 오일러의 정의는 다음과 같습니다:

변수를 가진 함수는 변수와 숫자 또는 상수 중에서 임의의 방식으로 구성된 해석적 표현식입니다.[14]

오일러는 암시적-방정식(implicit equation)에 의해 값이 결정되는 다중-값 함수도 역시 허용했습니다.

1755년에, 어쨌든, 그의 Institutiones Calculi Differentialis에서, 오일러는 함수에 대한 좀 더 일반적인 개념을 제시했습니다:

어떤 양(y)이 다른 것(x)에 의존하여, 후자가 변화할 때, 전자가 변화를 겪을 때, 전자(y)는 후자(x)의 함수로 불립니다. 이 이름은 매우 광범위한 특성을 가집니다; 그것은 하나의 양이 다른 양의 관점에서 결정될 수 있는 모든 방법을 포함합니다.[15]

메드베데프(Medvedev)[16]는 "본질적으로 이것이 디리클레(Dirichlet)의 정의로 알려진 정의"라고 생각합니다. 에드워즈(Edwards)[17]는 오일러의 함수의 일반적인 개념을 믿었으며, 더 나아가서 다음과 같이 말했습니다:

이러한 양 사이의 관계는 공식에 의해 주어진 것으로 생각되지 않고, 다른 한편으로 그들은 일종의 일반적인 집합-이론의 종류로도 확실히 생각되지 않고, 현대 수학자가 단어 "함수"를 사용할 때 의미하는 어떤 것이 곱 공간의 부분 집합으로 됩니다.

Fourier

그의 Théorie Analytique de la Chaleur에서,[18] 푸리에(Fourier)는 임의의 함수는 푸리에 급수에 의해 표현될 수 있다고 주장했습니다.[19] 푸리에는, 연속 또는 해석적 표현에 의해 정의되지 않은 함수를 포함하여, 함수의 일반적인 개념을 가졌었습니다.[20] 진동하는 끈에 대해 파동 방정식(wave equation)의 해로부터 비롯된, 함수의 본질과 표현에 대한 관련된 질문은 이미 달랑베르(d'Alembert)와 오일러(Euler) 사이의 논쟁의 주제가 되어 왔었고, 그들은 함수의 개념을 일반화하는 것에서 중요한 영향을 미쳤습니다. 루진(Luzin)은 다음과 같이 의견을 말합니다:

우리에게 맞는 것처럼 보이는 함수와 그의 정의에 대한 현대의 이해는 푸리에의 발견 후에 오직 발생할 수 있습니다. 그의 발견은 진동하는 끈에 대한 논쟁에서 발생했던 대부분의 오해가 두 개의 겉으로 보기에 동일하지만 실제로 대단히 다른 개념, 즉 함수의 개념과 그의 해석적 표현의 개념을 혼동하는 것의 결과라는 것을 분명하게 보였습니다. 실제로, 푸리에의 발견 이전에 "함수"와 그의 "해석적 표현"의 개념 사이에는 구별이 없었었고, 그들의 단절을 야기했던 것은 이 발견이었습니다.[21]

Cauchy

19세기 동안, 수학자들은 수학의 모든 다른 가지를 공식화하기 시작했습니다. 처음으로 그렇게 한 사람 중 한 명은 코시(Cauchy)였습니다; 그의 다소 부정확한 결과는 나중에 바이어슈트라스(Weierstrass)에 의해 완전히 엄격해졌습니다. 바이어슈트라스는 라이프니츠(Leibniz)의 정의보다 오일러의 정의를 선호하는, 기하학(geometry)보다는 산술(arithmetic)에 대한 미적분학 건설을 옹호했습니다 (해석학의 산술화(arithmetization of analysis)를 참조하십시오). 스미시스에 따르면, 코시는 함수를 실수 또는 복소수를 포함하는 방정식에 의해 정의된 것으로 생각하고, 그들은 연속인 것으로 암묵적으로 가정했습니다:

코시는 그의 Analyse algébrique (1821)의 1장, 1절에서 함수에 대한 일부 일반적인 말을 합니다. 그곳에서 그가 말한 것으로부터, 그는 함수가 (만약 그것이 명시적이면) 해석적 표현에 의해 또는 (만약 그것이 암시적이면) 방정식 또는 방정식 시스템에 의해 정의되는 것으로 정상적으로 생각한 것이 분명합니다; 여기서 그는 전임자와 다른 점은 함수가 독립 변수의 제한된 범위에 대해 오직 정의될 수 있는 가능성을 고려할 준비가 되어 있었다는 것입니다.[22]

Lobachevsky and Dirichlet

니콜라이 로바쳅스키(Nikolai Lobachevsky)[23]와 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)[24]는 함수의 현대의 "형식적인" 정의를 모든 각 첫 번째 원소는 고유한 두 번째 원소를 가지는 관계(relation)로 독립적으로 제공하는 것과 함께 전통적으로 믿어집니다.

로바쳅스키 (1834)는 다음과 같이 썼습니다:

함수의 일반적인 개념은 x의 함수는 각 x에 대해 주어진 숫자 그리고 x와 함께 점진적으로 변하는 것으로 정의되는 것을 요구합니다. 함수의 값은 해석적 표현에 의해, 또는 모든 숫자를 조사하는 방법을 제공하고 그 중 하나를 선택하는 조건에 의해; 또는 또는 마지막으로 의존성이 존재할 수 있지만 미지수로 남아있을 수 것에 의해 제공될 수 있습니다.[25]

반면에 디리클레 (1837)는 다음과 같이 썼습니다:

만약 지금 각 x에 해당하는 유일한 유한한 y이고, 게다가 그런 방식으로 x가 a에서 b까지의 구간에 걸쳐 연속적으로 변화할 때, 는 역시 연속적으로 변하면, y는 이 구간에 대해 x의 연속 함수라고 불립니다. 여기서 y는 하나씩 그리고 전체 구간을 통해 동일한 법칙에 의해 x의 관점에서 모두 주어질 필요는 없고, 수학적 연산을 사용하여 표현된 의존으로 간주될 필요는 없습니다.[26]

이브스는 "수학을 배우는 학생은 미적분학에서 그의 입문 과정에서 디리클레의 함수의 정의를 보통 만납니다"라고 주장합니다.[27]

이 공식화에 대한 디리클레의 주장은 임레 러커토시(Imre Lakatos)에 의해 반론되어 왔습니다:

디리클레의 연구에서 그러한 정의가 전혀 없습니다. 그러나 그가 이 개념을 몰랐다는 충분한 증거가 있습니다. 그의 [1837] 논문에서 예를 들어, 그는 조각별 연속 함수를 논의할 때, 그는 불연속 점에서 함수는 두 값을 갖는다고 말합니다: ...[28]

어쨌든, 가디너는 "...예를 들어, 러커토시가 [디리클레]가 [현대 함수] 개념에 대해 전혀 알지 못했다는 충분한 증거가 있다고 주장할 때, 그가 너무 멀리 간다고 생각합니다"라고 말합니다."[29] 게다가, 앞서 언급했듯이, 디리클레의 논문은, 비록 (로바쳅스키와 같이) 그가 실수 변수의 연속 함수에 대해서 오직 그것을 말했을지라도, 보통 그에게 속하는 것으로 생각하는 줄을 따라 정의를 포함하는 것처럼 보입니다.

비슷하게, 라빈은 다음을 관찰합니다:

디리클레가 함수의 현대 정의에 대해 얼마나 많은 신용을 받았는지는, 부분적으로 그가 자신의 정의를 연속 함수로 제한했기 때문에 일부 논쟁의 문제입니다....나는 디리클레는, 규칙 또는 법칙이, 단지 일반적인 함수에서 아니라, 심지어 연속 함수의 경우에서 필요 없다는 것을 명확히 하기 위해 연속 함수의 개념을 정의했다고 믿습니다. 이것은 단일 표현-또는 법칙에 의해 주어진 함수로 연속 함수의 오일러의 정의때문에 특별히 강조할 만합니다. 그러나 나는 분쟁을 해결하기 위한 충분한 증거가 있는지 역시 의심스럽습니다.[30]

로바쳅스키와 디리클레는 임의의 대응의 개념을 처음으로 도입한 사람으로 믿어져 왔기 때문에, 이 개념은 함수의 디리클레 또는 로바쳅스키-디리클레의 정의로 때때로 언급됩니다.[31] 이 정의의 일반적인 버전은 부르바키(Bourbaki) (1939)에 의해 나중에 사용되었고, 교육 공동체에서 일부는 그것을 함수의 "디리클레-부르바키" 정의로 언급합니다.

Dedekind

부르바키 그룹의 창립 멤버 중 하나, 디외도네(Dieudonné)는, 1888년에 등장했지만 1878년에 이미 초안을 작성한, 그의 작품 Was sind und was sollen die Zahlen[32]에서 데데킨트(Dedekind)에게 함수의 정확하고 일반적인 현대 정의를 부여합니다. 디외도네는, 이전 개념 에서처럼, 실수 (또는 복소수) 함수에 그 자신을 한정하는 것 대신에, 데데킨트는 임의의 두 집합 사이에 단일-값 매핑으로 함수를 정의하는 것을 관찰합니다:

새로운 것이었고 수학 전체에 필수적인 것은 함수의 완전히 일반적인 개념이었습니다.[33]

Hardy

Hardy 1908, pp. 26–28는, "임의의 비율에서 x의 어떤 값에 대한 y의 값에 대응하는 것"을 만족하는, 두 변수 x와 y 사이의 관계로 함수를 정의했습니다. 그는 x의 모든 값에 대해 정의되는 함수를 요구하지 않았고 x의 각 값을 y의 하나의 값과 대응시키는 것을 요구하지 않았습니다. 함수의 이 광범위한 정의는 동시대의 수학에서 보통의 고려된 함수보다 더 많은 관계를 포함합니다. 예를 들어, 하디의 정의는 다중-값 함수(multivalued function)를 포함하고 계산가능성 이론(computability theory)에서 부분 함수(partial functions)라고 불립니다.

The logician's "function" prior to 1850

이 시기의 논리학자(Logician)는 삼단논법(syllogism) (2000년-전-고대 아리스토텔레스 형식과 그렇지 않은 것)을 분석하거나, 또는 오거스터스 드 모르간(Augustus De Morgan) (1847)이 다음과 같이 말한 것과 주로 관련됩니다: "추론이 형성되는 방식에 의존하는 추론의 해당 부분의 시험 그리고 논법을 구성하기 위한 일반적인 격언과 규칙에 대한 조사".[34] 이 시기에서 (논리적인) "함수"의 개념은 명시적이지 않지만, 적어도 드 모르간과 조지 부울(George Boole)의 연구에서 그것은 암묵적이었습니다: 우리는 논증 형태의 추상화, 변수의 도입, 이들 변수에 관한 기호적 대수학의 도입, 그리고 집합 이론의 개념 중 일부를 볼 수 있습니다.

드 모르간의 1847년 "형식적 논리학 또는, 추론, 필요, 및 유망의 미적분학(FORMAL LOGIC OR, The Calculus of Inference, Necessary and Probable)"은 "[하나의] 논리적 참(logical truth)은 명제의 구조에 의존하고, 말한 특정 문제에 의존하지 않습니다"라고 관찰합니다; 그는 추상화 (머리글 페이지 i)에 시간을 낭비하지 않습니다: "전제의 형태에서, 접합부는 용어처럼 추상화됩니다". 그는 즉시 (p. 1) 그가 "전제" (현재의 전제적 함수 또는 관계)를 형태 "X is Y"로 배정하며, 여기서 기호 X, "is", 및 Y는, 각각, 주제(subject), copula, 및 술부(predicate)를 나타냅니다. 반면에 단어 "함수"는 나타나지 않고, "추상화"의 개념은 거기에 있고, "변수"가 거기에 있고, 그의 기호주의 "Δ의 모두는 О 안에 있습니다"에서 포함의 개념은 (p. 9) 거기에 있고, 마지막으로 "관계" (그는 이 예제 " X)Y " (p. 75)에 관하여 단어를 사용합니다)의 개념의 논리적 해석학에 대해 새로운 기호주의가 거기에 있습니다:

" A1 X)Y X를 취하기 위해서 그것은 Y를 취하는 것이 필요하다" [또는 X가 되기 위해서 그것은 Y가 되는 것이 필요하다]
" A1 Y)X Y를 취하기 위해서 그것은 X를 취하는 것이 충분하다" [또는 X가 되기 위해서 그것은 Y가 되는 것이 충분하다], 등

그의 1848년 논리의 본성(The Nature of Logic)에서 부울은 "논리는 . . . 기호에 의한 추론의 과학이라는 보다 특별한 의미에서 있습니다"라고 주장하고, 그는 "속하는" 및 "클래스"의 개념을 간략하게 논의합니다: "개체는 매우 다양한 속성을 소유할 수 있고 따라서 다양한 종류의 다른 클래스에 속할 수 있습니다".[35] 드 모르간과 마찬가지로 그는 해석학으로부터 추출한 "변수"의 개념을 사용합니다; 그는 "x에 의해 클래스 황소 및 y에 의해 말의 클래스 그리고 기호 +에 의해 결합 그리고를 나타내는[것] . . . 우리는 x + y에 의해 총계 클래스 황소 그리고 말을 나타낼 수 있습니다"라는 예제를 제공합니다.[36]

"미분학"의 문맥에서 부울은 (약 1849년) 다음으로 함수의 개념을 정의했습니다:

"그의 변이가 균일한 양은 . . . 독립 변수라고 불립니다. 그의 변이가 전자의 변이에 관련되는 양은 그것의 함수라고 말합니다. 미분학은 모든 각 경우에서 함수에서 극한까지 우리를 가능하게 합니다. 이것은 특정 작업에 의해 그것을 행합니다. 그러나 연산의 바로 그 아이디어에서 . . . 역 연산의 아이디어가 있습니다. 현재 예제에서 그 역 연산을 초래하는 것은 적분학의 업무입니다."[37]

The logicians' "function" 1850–1950

이브스는 "논리학자가 수학의 정의적 발달의 시작 단계를 더 멀리 밀어 내리기 위해 그리고 전제 및 전제적 함수의 논리에서 기초로부터, 집합, 또는 클래스의 이론을 유도하기 위해 노력해 왔다"는 것을 관찰합니다."[38] 그러나 19세기 후반까지 수학의 기초에 대한 논리학자의 연구는 크게 분열되었습니다. 첫 번째 그룹, 논리학자(Logicist)의 방향은 아마도 Bertrand Russell 1903에 의해 가장 잘 요약될 수 있습니다 – "두 목적을 달성하기 위해, 먼저, 모든 수학이 기호적 논리에서 비롯된다는 것을 보여주는 것, 그리고 두 번째로, 가능한 한 멀리, 기호적 논리 자체의 원리가 무엇인지 발견하는 것."

논리학자의 두 번째 그룹, 집합-이론가는 게오르크 칸토어(Georg Cantor) (1890–1890)의 "집합 이론"과 함께 등장했지만 함수의 프레게의 개념에서 파생될 수 있는 역설의 러셀의 발견의 결과, 그리나 역시 러셀의 제안된 해결책에 대항하는 반작용으로 부분적으로 앞으로 추진되었습니다.[39] 체르멜로의 집합-이론적 반응은 그의 1908년 Investigations in the foundations of set theory I 였습니다 – 최초의 공리적 집합 이론; 여기서 역시 "전제적 함수"의 개념이 중요한 역할을 합니다.

George Boole's The Laws of Thought 1854; John Venn's Symbolic Logic 1881

그의 An Investigation into the laws of thought에서 부울은 이제 다음으로 기호 x의 관점에서 함수를 정의했습니다:

"8. 정의. – 기호 x를 포함하는 임의의 대숫적 표현은 x의 함수로 이름 짓고, 축약된 형태 f(x)에 의해 나타내어질 수 있습니다"[40]

부울은 그런 다음 대수적 및 논리적 개념 둘 다를 정의하기 위해 대수적 표현을 사용했습니다, 예를 들어, 1−x은 논리적 NOT(x), xy는 논리적 AND(x,y), x + y는 논리적 OR(x, y), x(x+y)은 xx+xy, 및 "특별한 법칙" xx = x2 = x.[41]

그의 1881년 기호적 논리(Symbolic Logic)에서 벤은 단어 "논리적 함수"와 현대의 기호주의 (x = f(y), y = f−1(x), 참조 페이지 xxi)와 더해서 역사적으로 벤을 "클래스 관계"를 묘사하는 것과 연관시키는 원형-다이어그램,[42] "우리의 술부를 '정량화하는 것'"의 개념, "그들 확장에 관하여 전제", "두 클래서 서로 사이의 포함과 배제의 관계", "전제적 함수"(p. 10에 모두 있음), not-x를 가리키는 변수 위의 막대 (페이지 43), 등을 사용하고 있었습니다. 사실 그는 "논리적 함수"의 개념을 "클래스" [현대의 "집합"]와 명백하게 동등하다고 생각했습니다: "... 이 책에서 채택된 견해에 따르면, f(x)는 논리적 클래스를 의미하는 것이 아닙니다. 그것은 많은 간단한 클래스의 집합인 복합 클래스일 수 있습니다; 그것은 어떤 역 논리적 연산에 의해 가리키는 클래스일 수 있고, 그것은 서로 같은 클래스의 두 그룹으로 구성될 수 있고, 또는 같은 것일 수 있고, 그들의 차이가 0과 같은, 즉, 논리적 방정식으로 선언되었습니다. 하지만 어쨌든 구성 또는 파생된, 우리와 함께하는 f(x)는 보통의 논리에서 적절한 위치를 찾을 수 있을 때 객체의 그러한 논리적 클래스에 대해 일반적인 표현이 아닌 다른 어떤 것도 될 수 없습니다".[43]

Frege's Begriffsschrift 1879

고틀로프 프레게(Gottlob Frege)의 개념 표기법(Begriffsschrift) (1879)는 주세페 페아노(Giuseppe Peano) (1889)보다 앞서지만, 페아노는 그의 1889년 출판한 후까지 Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help)에 대해 전혀 알지 못했습니다.[44] 두 저자는 Russell (1903)에 강한 영향을 주었습니다. 러셀은 알프레드 노스 화이트헤드(Alfred North Whitehead)와 공동으로 저술한 Principia Mathematica (1913)를 통해 20세기의 수학과 논리학에 차례로 많은 영향을 주었습니다.

처음에는 프레게는 전통적인 "개념 주부와 술부"를 버리고, 각각 인수와 함수로 대체하는데, 그는 그것이 "시간의 테스트를 견딜 것"이라고 믿었습니다. 인수의 함수로서 내용에 관한 개념의 형성화를 어떻게 이끄는지를 쉽게 알 수 있습니다. 게다가, 단어 if, and, not, or, there is, some, all, 등의 의미 사이의 연관성을 시연하는 것은 주의를 기울일만한 가치가 있습니다".[45]

프레게는 "함수"에 대한 논의를 예제와 함께 시작합니다: "수소는 이산화탄소보다 가볍습니다"라는 표현[46]과 함께 시작하십시오. 이제 수소에 대해 기호 (즉, 단어 "수소")를 제거하고 산소에 대해 기호 (즉 단어 "산소")로 그것을 대체하십시오; 이것은 두 번째 명제를 만듭니다. 이것을 다시 (두 명제를 사용하여) 하시고 질소에 대해 기호 (즉, 단어 "질소")로 대체하고 "이것은 "산소" 또는 "질소"가 "수소"가 앞에 서 있었던 관계에 들어가는 방식으로 의미를 변화시킵니다"에 주목하십시오.[47] 세 명제가 있습니다:

  • "수소는 이산화탄소보다 가볍습니다."
  • "산소는 이산화탄소보다 가볍습니다."
  • "질소는 이산화탄소보다 가볍습니다."

이제 세 가지 모두에서 "[그] 관계의 전체성을 나타내는, 안정된 구성요소"를 관찰하십시오";[48] 이것을 함수라고 부릅니다, 즉,

"...는 이산화탄소보다 가볍습니다.",는 함수입니다.

프레게는 "이들 관계에서 대상을 표시(denotation)하는 다른 것에 의해 대체될 수 있는 것으로 여겨지는, [그] 기호 [즉, 수소, 산소 또는 질소]"를 함수의 인수(argument)라고 부릅니다.[49] 그는 우리가 마찬가지로, 오른쪽에 인수 위치를 갖는, "수소는 . . . 보다 가볍습니다"로 함수를 이끌어낼 수 있음에 주목합니다; 정확한 관찰은 페아노에 의해 만들어집니다 (더 아래를 참조하십시오). 마지막으로, 프레게는 2개 (또는 더 많은 인수)의 경우에 대해 허용합니다. 예를 들어, "이산화탄소"를 제거하여 불변 부분 (함수)을 다음과 같이 만듭니다:

  • "... 은 ... 보다 가볍습니다 "

하나의-인수 함수에 대해 프레게는 Φ(A)로 일반화하는데 여기서 A가 인수이고 Φ( )가 함수를 나타내며, 반면에 두 개의-인수 함수에 대해 그는 Ψ(A, B)로 기호화하는데 여기서 A와 B는 인수이고 Ψ( , )는 함수이고 "일반적으로 Ψ(A, B)는 Ψ(B, A)와 다릅니다"라고 경고합니다. 그의 독특한 기호주의를 사용하여 그는 독자에게 다음과 같은 기호주의를 번역합니다:

"우리는 |--- Φ(A)를 "A는 속성 Φ를 가집니다. |---라고 읽을 수 있습니다. Ψ(A, B)는 "B는 A에 대한 관계 Ψ를 받습니다" 또는 "B는 대상 A에 대한 절차 Ψ의 적용의 결과입니다"에 의해 번역될 수 있습니다".[50]

Peano's The Principles of Arithmetic 1889

페아노는 프레케와 다소 비슷한 방식으로 "함수"의 개념을 정의했지만, 정밀하지 않습니다.[51] 첫 번째 페아노는 a = a, (a = b) = (b = a), IF ((a = b))의 세 가지 간단한 상등-조건,[52] a = a, (a = b) = (b = a), IF ((a = b) AND (b = c)) THEN (a = c)을 만족하는 대상에 대해, "K는 클래스, 또는 대상의 집합체를 의미하는" 기호를 정의합니다.[53] 그는 그런 다음, "만약 x가 클래스 s의 대상이면, 표현 φx는 새로운 대상을 표시하는 것을 만족하는 기호의 집합체 또는 기호", φ를 도입합니다. 페아노는 이들 새로운 대상에 두 가지 조건을 추가합니다: 첫째, 세 가지 상등-조건이 대상 φx에 대해 유지하는 것입니다; 둘째, "만약 x와 y가 클래스 s의 대상이고 x = y이면, 우리는 φx = φy를 추론할 수 있다고 가정하는 것입니다.[54] 주어진 이들 모든 조건이 충족되면, φ는 "함수 전기호"입니다. 마찬가지로 그는 "함수 후기호"를 식별합니다. 예를 들어, 만약 φ가 함수 전기호 a+이면, φx는 a+x를 산출하고, φ가 함수 후기호 +a이면 xφ는 x+a를 산출합니다.[52]

Bertrand Russell's The Principles of Mathematics 1903

칸토어(Cantor)와 페아노(Peano)의 영향이 최고였던 반면,[55] The Principles of Mathematics의 부록 A "The Logical and Arithmetical Doctrines of Frege"에서, 러셀은 프레케의 함수의 개념에 대한 토론에 도달합니다, "...프레게의 연구가 매우 중요하고, 신중한 검사가 필요하다는 점".[56] 그가 프레게의 Begriffsschrift에서 발견한 모순에 대한 1902년 프레게와 편지 교환에 대한 회신에서 러셀은 마지막 순간에 이 섹션을 덧붙였습니다.

러셀에 대해 몹시 괴롭혔던 개념은 "변수"의 그것이었습니다: "6. 수학적 전제는 그들이 함축을 단언한다는 사실뿐만 아니라, 그들이 변수를 포함한다는 사실에 의해 특성을 나타냅니다. 변수의 개념은 논리와 함께 다루어져 하는 가장 어려운 것 중 하나입니다. 현재로서, 나는 모든 수학적 전제에서, 심지어 첫 눈에 그들이 없는 것처럼 보일지라도, 변수가 있다는 것을 공개적으로 명백하게 하고 싶습니다. . . . 우리는 항상, 모든 수학적 명제에서, 단어 임의의 또는 어떤이 발생하는 것을 찾아야 합니다; 그리고 이들 단어들은 변수와 형식적인 함축의 표식입니다".[57]

레셀에 의해 표현된 것처럼 "전제에서 상수를 변수로 변환하는 과정은 일반화라고 불리는 것으로 이끌고, 우리에게 제공하며, 그것이 있었을 때, 전제의 형식적인 본질 ... 우리의 전제에서 임의의 항이 변수가 될 수 있는 한, 우리의 전제는 일반화될 수 있습니다; 그리고 이것이 가능하는 한, 그것을 행하는 것이 수학의 일입니다";[58] 이들 일반화를 러셀은 전제적 함수라고 이름지었습니다.[59] 실제로 그는 프레게의 Begriffsschrift로부터 언급 및 인용하고 프레게의 1891년 Function und Begriff로부터 생생한 예제를 추천합니다: "산술적 함수 2x3 + x의 본질은 x가 제거될 때 남겨지는 것으로, 즉, 위의 예제에서 2( )3 + ( ). 인수 x는 함수에 속하지 않지만 함께 취한 두 개는 전체를 만듭니다".[56] 러셀은 한가지 의미에서 프레게의 "함수"의 개념에 동의했습니다: "그는 함수를 – 그리고 이것에서 나는 그와 동의합니다 – 술부와 관계보다 보다 근본적으로 여겼습니다" 그러나 러셀은 프레게의 "주부와 역설의 이론"을 거부했습니다, 특히 "그는, 만약 용어 a가 전제에서 발생하면, 전제는 a와 a에 대한 역설로 항상 분석될 수 있다고 생각합니다".[56]

Evolution of Russell's notion of "function" 1908–1913

러셀은 그의 1908년 Mathematical logical as based on the theory of types 그리고 그와 화이트헤드의 1910–1913년 Principia Mathematica에서 그의 야이디어를 앞으로 전달했습니다. Principia Mathematica의 시간까지 프레게와 마찬가지로 러셀은 전제적 함수를 근본적으로 여겼습니다: "전제적 함수는 "sin x" 또는 log x 또는 "x의 아버지"와 같은 함수의 보통 종류로부터 근본적인 종류입니다. 이들 파생 함수는 . . . "서술적 함수"라고 불립니다". 전제의 함수는 . . . 전제적 함수의 특별한 경우입니다".[60]

전제적 함수(propositional function): 그의 용어는 현대와 다르기 때문에, 독자는 러셀의 "전제적 함수"에 의해 혼동을 느낄 수 있습니다. 예제가 도움이 될 수 있습니다. 러셀은 그의 원시 형태로, 예를 들어 φŷ: "ŷ는 상처 입었습니다"와 같은 전제적 함수를 씁니다. (변수 y 위에 굴절 또는 "모자"를 관찰하십시오). 우리의 예제에 대해, 우리는 변수 ŷ에 대한 단지 4 값을 할당할 것입니다: "밥", "이 새", "에밀리 토끼" 및 "y". 변수 ŷ에 대해 이들 값 중 하나를 대체하는 것은 전제를 산출합니다; 이 전제는 전제적 함수의 "값"이라고 불립니다, 즉, "밥은 상처 입었습니다", "이 새는 상처 입었습니다", "에밀리 토끼는 상처 입었습니다", "y는 상처 입었습니다." 전제, 만약 그것이 중요하면–즉, 만약 그것의 진리가 결정적이면–참 또는 거짓의 진리-값을 가집니다. 만약 전제의 진리 값이 "참"이면 변수의 값은 전제적 함수를 만족한다고 말합니다. 마지막으로, 러셀의 정의에 대해, "클래스 [집합]은 어떤 전제적 함수를 만족하는 모든 대상입니다" (p. 23). 단어 "모든"에 주목하십시오 – 이것은 "모든 ∀에 대해"와 "적어도 하나의 예제 ∃가 존재합니다"라는 현대의 개념이 취급법에 들어가는 방법입니다 (p. 15).

예제를 계속하기 위해: (수학/논리의 바깥으로부터) 다음을 가정해 보십시오, 전제 "밥은 상처 입었습니다"는 "거짓"의 진리 값을 가지고, "이 새가 상처 입었습니다"는 "참"의 진리 값을 가지고, "에밀리 토끼는 상처 입었습니다"는 "에밀리 토끼"가 존재하지 않기 때문에 불확정 진리 값을 가지고, "y는 상처 입었습니다"는 인수 y 그 자체가 모호하기 때문에 그의 진리 값에 대해 모호합니다. 반면에 두 전제 "밥은 상처 입었습니다"와 "이 새는 상처 입었습니다"는 중요하고 (둘 다는 참 값을 가집니다), 오직 변수 ŷ의 값 "이 새"가 전제적 함수 φŷ: "ŷ는 상처 입었습니다를 만족합니다". 클래스 α: φŷ: "ŷ는 상처 입었습니다"를 형성할 때, 단지 "이 새"가 포함된, 변수 ŷ에 대해 네 가지 값 "밥", "이 새", "에밀리 토끼" 및 "y"가 주어지면, 그들의 각각의 진-값: 거짓, 참, 불확정, 모호함입니다.

러셀은 인수를 갖는 전제의 함수, 그리고 진리-함수 f(p)를 정의합니다.[61] 예를 들어, "인수를 갖는 전제의 함수" p1: "NOT(p) AND q"를 형성하고 그의 변수에 p: "밥은 상처 입었습니다"와 q: "이 새는 상처 입었습니다"를 할당한다고 가정하십시오. (우리는 논리적 연결 NOT, AND, OR 및 IMPLIES에 제한되고, 우리는 "중요한" 전제에 대해 변수 p와 q를 오직 할당할 수 있습니다). 그런 다음 "인수를 가진 전제의 함수"는 p1: NOT("밥은 상처 입었습니다") AND "이 새는 상처 입었습니다"입니다. 이 "인수를 가진 전제의 함수"의 진리 값을 결정하기 위해 우리는 그것을 "진리 함수", 즉, p1: NOT("밥은 상처 입었습니다") AND "이 새는 상처 입었습니다" )에 그것을 제출하는데, 그것은 "참"의 진리 값을 산출합니다.

"다수-하나" 함수형 관계의 개념: 러셀은 먼저 "항등"의 개념을 논의하고, 그런 다음 서술적 함수를 (2-변수) 전제적 함수 (즉, "관계") φŷ를 만족하는 유일한 값 ιx로 정의합니다.

N.B. 독자는 여기서 변수의 순서가 역전되었음에 주의해야 합니다! y는 독립 변수이고 x는 종속 변수, 예를 들어, x = sin(y)입니다.[62]

러셀은 서술적 함수를 "y에 대한 관계에 있는 대상": R'y =DEF (ιx)(x R y)로 기호로 나타냅니다. 러셀은 "R'y는 y의 함수이지만, 전제적 함수는 아닙니다 [sic]; 우리는 그것을 서술적 함수라고 부를 것입니다. 수학의 모든 보통의 함수는 이런 종류입니다. 따라서 우리의 표기법에서 "sin y"는 " sin 'y " 써야 할 것이고, "sin"은 sin 'y는 y에 대해 가지는 관계를 의미할 것입니다"를 되풀이합니다.[63]

The formalist's "function": David Hilbert's axiomatization of mathematics (1904–1927)

다비트 힐베르트(David Hilbert)는 그 스스로 고전 수학을 "형식적인 공리적 이론, 그리고 이 이론은 일관성이 있는 것, 즉, 모순으로부터 자유로운 것으로 입증되어야 하는 것"으로 "형식화"의 목표를 정했습니다.[64] Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics에서 그는 "대상"의 존재의 관점에서 함수의 개념에 틀을 잡습니다:

13. A(a) --> A(ε(A)) 여기서 ε(A)는 만약 A(a)가 임의의 객체를 보유하고 있으면 확실히 전제 A(a)의 대상을 의미합니다; ε를 논리적인 ε-함수라고 부를 것입니다.[65] [화살표는 "암시하다(implies)"를 가리킵니다.]

힐베르트는 그런 다음 ε-함수가 어떻게 사용될 것인지 세 가지 방법: 첫 번째로 "모두에 대해" 그리고 "그것이 존재한다" 개념으로, 두 번째로 "[전제]가 유지되는 것의 대상"을 나타내개 위해, 그리고 마지막으로 그것을 선택 함수(choice function)로 던지기 위한 방법을 묘사합니다.

재귀 이론 그리고 계산가능성: 그러나 힐베르트와 그의 학생 베르나이스(Bernay)의 예기치 않은 결과는 실패했습니다; 1931년 괴델의 불완전성 이론(Gödel's incompleteness theorems)을 참조하십시오. 그 당시에서, 힐베르트의 결정문제(Entscheidungsproblem)을 해결하기 위한 노력에서, 수학자들은 "효과적인 계산가능한 함수" (알론조 처치(Alonzo Church) 1936), 즉, "효과적인 방법" 또는 "알고리듬(algorithm)", 즉, 함수를 계산하는 것에서 성공할 것이라는 명백한, 단계별 절차를 의미하는 것을 정의할 것을 정합니다. 알고리듬에 대해 다양한 모델은, 빠르게 연속적으로, 등장했는데, 처치의 람다 계산법(lambda calculus) (1936), 스티븐 클레이니(Stephen Kleene)의 뮤-재귀 함수(μ-recursive functions) (1936) 그리고 인간 "컴퓨터"를 완전히-기계적인 "계산하는 기계"로 대체하는 것의 앨런 튜링(Alan Turing) (1936–7)의 개념 (튜링 기계(Turing machine)를 참조하십시오)을 포함합니다. 이들 모델의 모두는 계산가능한 함수(computable function)의 같은 클래스를 계산할 수 있는 것으로 보였습니다. 처치의 명제(Church's thesis)는 함수의 이 클래스가 알고리듬에 의해 계산될 수 있는 모든 숫자-이론적 함수(number-theoretic function)를 배출하는 것을 유지합니다. 이들 노력의 결과는 튜링의 말에서 "함수 미적분 K의 주어진 공식 U [Principia Mathematica]가 증명 가능한지 여부를 결정하는 것에 대해 일반적인 프로세스가 있을 수 없다"것의 생생한 데모였습니다;[66] 자세한 것은 독립(Indenpendence) 그리고 계산가능성 이론(Computability theory)을 참조하십시오.

Development of the set-theoretic definition of "function"

집합 이론은 "클래스" (현대의 "집합")의 개념을 가진 논리학자, 예를 들어, De Morgan (1847), 제번스(Jevons) (1880), Venn (1881), Frege (1879) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) 및 Peano (1889)의 연구에서 시작되었습니다. 그것은 집합-이론적 처리에서 무한대를 정의하기 위한 게오르크 칸토어(Georg Cantor)의 시도 (1870–1890)와 이 처리에서 이율배반(antinomy) (모순, 역설)의 후속 발견 (칸토어의 역설(Cantor's paradox))에 의해, 프레게의 1879년에서 이율배반의 러셀의 발견 (1902) (러셀의 역설(Russell's paradox))에 의해, 20세기 초에서 보다 이율배반의 발견 (예를 들어, 1897년 부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox) 및 1905년 리처드 역설(Richard paradox))에 의해, 그리고 논리의 러셀의 복잡한 처리에 대한 저항[67]과 그가 이율배반을 피하기 위한 수단으로 제안했던 그의 감소가능성의 공리(axiom of reducibility)[68] (1908, 1910–1913)의 염증에 의한 열렬한 노력으로 제공되었습니다.

Russell's paradox 1902

1902년에서 러셀은 프레게의 1879년 Begriffsschrift가 함수를 그 자체의 인수가 되는 것을 허용하는 점을 지적하기 위해 프레게에게 편지를 보냈습니다: "다른 한편으로, 그것은 역시 인수는 확정적이고 함수가 불확정적인 것일 수 있습니다 . . .."[69] 이 제약이 없는 상황으로부터 러셀은 다음 역설을 형성할 수 있었습니다:

"당신은 ... 함수가, 역시, 불확정 원소로 작용할 수 있음을 말했습니다. 이것은 내가 이전에 믿었었지만, 지금은 다음 모순때문에 나에게 의심스러워 보입니다. w를 술부: 그 자체의 술부가 절대 될 수 없는 술부가 되는 것으로 놓으십시오. w는 그 자체의 술부가 될 수 있습니까?"[70]

프레게는 "모순에 대한 당신의 발견은 나에게 굉장한 놀람을 가져오는 원인이 되었고, 나는, 그것이 내가 산술을 구축하기 위해 의도한 기준을 흔들었기 때문에, 놀라움을 금할 수 없습니다"라고 즉시 회신했습니다.[71]

이 점으로부터 수학의 기초에 대한 앞으로의 발전은, 그것이 "집합과 원소의 있는 그대로의 [집합-이론적] 개념"에서 였던 것처럼 틀에 끼워진, "러셀의 역설"을 피하는 방법에 대한 운동이 되었습니다.[72]

Zermelo's set theory (1908) modified by Skolem (1922)

"함수"의 개념은 체르멜로(Zermelo)의 공리 III—the Axiom of Separation (Axiom der Aussonderung)으로 나타납니다. 이 공리는 이전에 형성된 집합 M에서 부분 집합 MΦ를 "분리"하기 위해 전제적 함수 Φ(x)를 사용하는 것을 우리에게 시킵니다:

"공리 III. (분리의 공리). 전제적 함수 Φ(x)가 집합 M의 모든 원소에 대해 정의될 때마다, 원소, 정확하게 M은 Φ(x)가 참인 것에 대해 M의 그들 원소 x를 포함하는 부분 집합 MΦ를 소유합니다.[73]

전체 집합–(비-집합) 도메인 B의 원소로부터 공리 II의 방법에 의해 발생하는 집합이 없기 때문에 – "...이것은 우리가 우려하는 한 러셀 이유배반을 없앱니다".[74] 그러나 체르멜로의 "명확한 기준"은 부정확하고, 바일, 플렝켈, 스콜렘 및 폰 노이만에 의해 고쳐집니다.[75]

사실 1922년에서 스콜렘은 이 "명확한 기준" 또는 "속성"을 "명확한 전제"로 언급했습니다:

"... 다섯 개의 연산 [논리적 결합, 분리, 부정, 보편적 정량화, 존재적 정량화]의 수단으로 형태 a ε b 또는 a = b의 기본 전제로부터 구성된 유한한 표현."[76]

반 헤이제노트(van Heijenoort)는 다음으로 요약했습니다:

"속성은 만약 그것이 . . . 단 하나의 술부 상수가 ε과 아마도, =에서 일차의 단순한 술부 미적분학에서 잘-형성된 공식에 의해 표현되면 스콜렘의 의미에서 명확합니다. ... 오늘날 집합 이론의 공리화는 논리적 미적분학에서 보통 삽입되고, 그것이 일반적으로 채택되는 분리의 공리의 공식화에 대한 바일(Weyl)과 스콜렘의 접근법입니다.[77]

이 인용문에서 독자는 용어에서 하나의 변화를 관찰할 수 있습니다: 어디에도 "전제적 함수"의 개념은 언급되지 않지만, 차라리 단어 "공식", "술부 미적분학", "술어", 및 "논리적 미적분학"을 보게 됩니다. 용어에서 이 변화는 현대 집합 이론에서 "함수"를 다루는 섹션에서 더 자세하게 논의됩니다.

The Wiener–Hausdorff–Kuratowski "ordered pair" definition 1914–1921

"순서쌍"의 개념의 역사는 분명하지 않습니다. 위에서 언급했듯이, 프레게 (1879)는 두-인수 함수 Ψ(A, B)의 정의에서 직관적인 순서화를 제안했습니다. 그의 1914년 노버트 위너(Norbert Wiener) (아래를 참조하십시오)는 그 자신의 처리가 본질적으로 "관계의 슈뢰더(Schröder)의 처리를 순서쌍의 클래스로 되돌리는 것"을 관찰합니다.[78] 러셀(Russell (1903))은 (Ψ(A, B)와 같은) 관계의 정의를 "쌍의 클래스"로 간주했지만 그것을 거부했습니다.

"쌍의 클래스로 확장에서 정의할 수 있는 것으로 관계를 생각하려는 유혹이 있습니다. 이것은 모든 각 쌍이 항의 다른 쌍 사이에 유지하는 관계를 가지지 않는 것을 주장하는 원시적인 전제에 대해 필요성을 피하는 공식적인 이점입니다. 그러나 리퍼란트 [도메인]을 레이라툼 [역 도메인]을 구별하기 위해, 쌍에 대한 의미를 부여하는 것이 필요합니다: 따라서 쌍은 본질적으로 두 항의 클래스와 구별되고, 원시적인 아이디어로 그 자체를 도입되어야 합니다. . . . 그것은 따라서 관계의 의도적 관점을 취하는 것, 그리고 클래스보다는 클래스-개념과 함께 식별하는 것이 더 정확한 것처럼 보입니다."[79]

1910–1913년과 Principia Mathematica에 의해 러셀은 관계의 의도적(intensional) 정의에 대해 요구사항을 포기하면서, "수학은 항상 의도라기보다는 확장과 관련됩니다" 그리고 "관계는, 클래스와 마찬가지로, 확장에서 취합니다."라고 말했습니다.[80] 확장(extension)에서 관계의 개념을 시연하기 위해 러셀은 이제 순서 쌍(ordered couple)의 개념을 받아들였습니다: "우리는 관계를 ... 쌍의 클래스로 ... 여길 수 있습니다. φ(x, y)에 의해 결정되는 관계는 φ(x, y)가 참인 것에 대해 쌍 (x, y)의 클래스입니다".[81] 각주에서 그는 자신의 개념을 명확히 하고 이 정의에 도달했습니다:

"그러한 쌍은 의미를 가집니다, 즉, 쌍 (x = y)는 만약 x = y가 아니라면 쌍 (y, x)와 다릅니다. 우리는 그것을 "의미를 가진 쌍"이라고 부를 것입니다 ... 그것은 역시 순서 쌍이라고 부를 수 있습니다."[81]

그러나 그는 순서 쌍을 자신의 "기호적 처리"에 도입하지 않을 것이라고 계속 말합니다; 그는 자신의 "행렬"과 그들 장소에서 그의 인기없는 감소가능성의 공리를 제안합니다.

이율배반(antinomies)의 문제를 해결하기 위한 시도는 러셀을 그의 1903년 The Principles of Mathematics의 부록 B에서 그의 "유형의 주의"를 제안하도록 이끌었습니다.[82] 몇 년 후에서 그는 이 개념을 수정했고 그의 1908년 The Theory of Types에서 두 개의 감소가능성의 공리(axioms of reducibility)를 제안했는데, 그것의 목적은 (단일-변수) 전제적 함수와 (이중-변수) 관계를 "더 낮은" 형태 (그리고 궁극적으로 완전히 확장된(extensional) 형태)로 줄이는 것이었습니다; 그와 알프레드 노스 화이트헤드(Alfred North Whitehead)는 이 처리를 "행렬"이라고 불리는 더욱 세련된 것과 함께 1910–1913년 Principia Mathematica에 전달할 것입니다.[83] 첫 번째 공리는 *12.1입니다; 두 번째는 *12.11입니다. 위너(Wiener)를 인용하기 위해 두 번째 공리 *12.11은 "오직 관계의 이론에서 포함됩니다".[84] 두 공리는, 어쨌든, 회의론과 저항에 부딪혔습니다; 자세한 것은 감소가능성의 공리(Axiom of reducibility)에서 볼 수 있습니다. 1914년에서 화이트헤드와 러셀의 기호주의를 사용하여 노버트 위너는 관계를 "공집합"을 사용하여 순서쌍(ordered pair)으로 표현함으로써 공리 *12.11 (감소가능성의 공리의 "두-변수" (관계형) 버전)을 제거했습니다. 거의 같은 시기에서, 하우스도르프(Hausdorff) (1914, p. 32)는 순서쌍 (a, b)의 정의를 { {a,1}, {b, 2} }로 제시했습니다. 몇 년 후에 쿠라토프스키(Kuratowski) (1921)는 그 이후 널리 사용되어 온 정의, { {a, b}, {a} }를 제공했습니다.[85] 수페스(Suppes (1960))에 의해 지적한 것처럼 "이 정의는 . . . 관계의 정의를 집합의 이론에 대해 줄이는 것에서 역사적으로 중요했습니다."[86]

위너가 감소가능성의 공리의 관계형 *12.11 형태를 "줄였었던" 동안 그는 전제적 함수 형식 *12.1을 줄이거나 달리 변경하지 않았다는 것을 관찰하십시오; 사실 그는 이것을 "항등, 설명, 클래스 및 관계의 처리에 대한 필수적인 것"으로 선언했습니다.[87]

Schönfinkel's notion of "function" as a many-one "correspondence" 1924

여기서 다수-하나 대응이 파생할 때 "함수"의 정확하게 일반적인 개념은 명확하지 않습니다. 러셀은 그의 1920년 Introduction to Mathematical Philosophy에서 "그것은 모든 수학적 함수가 형태 하나-다수 [sic – 현대 사용법은 다수-하나입니다] 관계의 결과로써 생기는 것을 관찰해야 합니다 . . . 이 의미에서 함수는 서술적(descriptive) 함수입니다".[88] 합리적인 가능성은 "서술적 함수"의 Principia Mathematica 개념입니다 – R 'y =DEF (ιx)(x R y): "y에 대한 관계 R을 가지는 단 하나의 대상". 어떤 경우이든, 1924년에, 모이세이 쉰핀켈(Mosse Schönfinkel)은 그 개념을 표현하는데, 그것을 "잘 알려진" 것이라 주장합니다:

"잘 알려진 바와 같이, 함수에 의해 우리는 가장 단순한 경우 양의 어떤 도메인, 인수 도메인, 및 함수 값 도메인의 원소 사이의 ... 각 인수 값에 대해 그곳에 최대 하나의 함수 값에 대응하는 것을 만족하는 ... 대응을 의미합니다."[89]

윌러드 콰인(Willard Quine)에 따르면, 쉰핀켈(Schönfinkel 1924)은 "추상적 집합 이론의 완전한 진보를 ... 제공합니다. 문제의 핵심은 쉰핀켈이 함수를 인수로 삼는 것입니다. 쉰핀켈에 대해, 실질적으로 프레케와 마찬가지로, 클래스는 함수의 특별한 종류입니다. 그들은 전제적 함수이고, 함수 그의 값은 진리 값입니다. 모든 함수, 전제적과 다른 것은 쉰핀켈에 대해 한-장소 함수입니다".[90] 놀랍게도, 쉰핀켈은 모든 수학을 오직 세 함수: 불변, 연합 (즉, 합성), 및 서로 배타성으로 구성되는 매우 컴팩트 함수형 미적분학으로 감소합니다. 콰인은 해스켈 커리(Haskell Curry) (1958)가 "결합 논리(combinatory logic)의 머리 아래에서" 진척된 이 작업을 수행한 것에 주목합니다.[91]

Von Neumann's set theory 1925

1925년에 아브라함 프렝켈(Abraham Fraenkel) (1922)과 토랄프 스콜렘(Thoralf Skolem) (1922)은 체르멜로(Zermelo)의 1908년 이론을 수정했습니다. 그러나 폰 노이만은 이 공리화가 이율배반으로 이어지지는 않을 것이라고 확신하지 못했습니다.[92] 그래서 그는 자신의 이론, 그의 1925년 An axiomatization of set theory를 제안했습니다.[93] 그것은 명시적으로 "함수"의 개념의 "현대의", 집합-이론적 버전을 포함합니다:

"[체르멜로의 집합 이론과 달리] [우]리는, 어쨌든, "집합"이 아니라 "함수"를 공리화하는 것을 선호합니다. 후자의 개념은 분명히 전자의 개념을 포함합니다. (보다 정확하게, 두 개의 개념은 완전히 동등한데, 왜냐하면 함수는 쌍의 집합으로 여져질 수 있고, 집합은 두 개의 값을 취할 수 있는 함수로 여길 수 있기 때문입니다.)".[94]

첫 시작에서 그는 I-대상과 II-대상과 함께 시작하고, (첫 번째 공리) I-대상들인 두 개의 대상 A와 B, 그리고 구조적 속성으로 순서화를 가정하는 "연산"의 두 가지 유형은[95] 결과로의 대상 [x, y]와 (x, y)을 얻었습니다. 두 개의 "대상의 도메인"은 "인수" (I-대상)과 "함수" (II-대상)라고 불립니다; 여기서 그것들은 중첩은 "인수 함수"입니다 (그는 그것들을 I-II 대상이라고 부릅니다). 그는 두 개의 "보편적인 두-변수 연산"을 도입합니다 – (i) 연산 [x, y]: ". . . '인수 y에 대해 함수 x의 값'을 읽습니다 . . . 그것은 그 자체로 타입 I 대상입이다", 그리고 (ii) 연산 (x, y): ". . . ('순서 쌍 x, y'로 읽습니다) 그의 값 x와 y는 둘 다 인수이어야 하고 그것은 그 자체로 인수 (x, y)를 생성합니다. 그것의 가장 중요한 속성은 x1 = x2와 y1 = y2는 (x1 = y2) = (x2 = y2)에서 따르는 것입니다". 함수 쌍을 명확히 하기 위해 그는 "f(x) 대신에 우리는 f가, 단지 x와 마찬가지로, 이 과정에서 변수로 여겨지게 되는 것을 나타내기 위해 [f,x]라고 씁니다". "소박한 집합 이론의 이율배반"을 피하기 위해, "러셀의 첫 번째 연구에서 . . . 우리는 특정 함수를 인수로 간주하는 것을 잊어버려야 합니다".[96] "그는 이들 "특정 함수"를 제한하기 위해 체르멜로로부터 개념을 채택했습니다.[97]

수페스(Suppes)[98]는 폰 노이만(von Neumann)의 공리화가 "원래 체르멜로 시스템에 더 가까이 남기 위해" 베르나이스에 의해 수정되었습니다 . . . "그는 두 회원 관계: 집합 사이에 하나, 집합과 클래스 사이에 하나를 도입했습니다"라는 것을 관찰합니다. 그런 다음 괴델 [1940][99]은 이론을 더욱 수정했습니다: "그의 원시적 개념은 집합, 클래스 그리고 회원 (비록 회원 단독으로 충분할지라도)의 그들입니다."[100] 이 공리화는 이제 폰 노이만–베르나이스–괴델 집합 이론(von Neumann–Bernays–Gödel set theory)으로 알려져 있습니다.

Bourbaki 1939

1939년에서, 부르바키(Bourbaki)는, 함수의 잘-알려진 순서쌍 정의를 데카르트 곱 E x F의 특정 부분집합으로서 제공하는 것에 더하여, 다음을 제공했습니다:

"E와 F를, 구별할 수도 있고 아닐 수도 있는, 두 집합으로 놓습니다. E의 변수 원소 x와 F의 변수 원소 y 사이의 관계는 만약, 모든 x ∈ E에 대해, x와 함께 주어진 관계에서 있는 유일한 y ∈ F가 존재하면, y에서 함수형 관계라고 불립니다. 우리는 이 방식으로 모든 각 원소 x ∈ E와 x와 함께 주어진 관계에서 있는 원소 y ∈ F를 연관시키는 연산에 대한 함수의 이름을 부여하고, 함수는 주어진 함수형 관계에 의해 결정된다고 말합니다. 두 개의 동등한 함수형 관계가 같은 함수를 결정합니다."

Since 1950

Notion of "function" in contemporary set theory

프렝켈 (1922)과 스콜렘 (1922)에 의해 수정되었을 때 체르멜로의 집합 이론의 공리적 및 소박한 형식 둘 다는 관계로 "함수"를 정의하고, 순서쌍의 집합으로 관계를 정의하고, 순서쌍을 두 개의 "비대칭" 집합의 하나의 집합으로 순서쌍을 정의합니다.

수페스(Suppes (1960)) Axiomatic Set Theory 또는 헐모시(Halmos (1970)) Naive Set Theory의 독자는 분리의 공리, 즉, (수페스에서) φ(x)와 (헐모시에서) S(x)에서 함수-기호주의의 사용을 관찰합니다, 그들은 "전제" 또는 심지어 "일차 술부 미적분학"의 언급을 보지 않을 것입니다. 그들 자리에서 "대상 언어의 표현", "원자적 공식", "원시적 공식", 및 "원자 문장"입니다.

클레이니(Kleene (1952))는 다음으로 단어를 정의합니다: "단어 언어에서, 전제는 문장에 의해 표현됩니다. 그런 다음 '술부'는 열린 장소를 포함하는 불완전한 문장 또는 문장 골격에 의해 표현됩니다. 예를 들어, "___ 은 사람입니다"는 술부를 표현합니다 ... 술부는 한 변수의 전제적 함수입니다. 술부는 종종 '속성'이라고 불립니다 ... 술부 미적분은 이 '술부'의 이 일반적인 의미에서 술부의 논리, 즉, 전제적 함수를 처리할 것입니다".[101]

1954년에서, 부르바키, Theorie des Ensembles (집합의 이론)의 Chapitre II에서 페이지 76은 세 쌍 f = (F, A, B)으로 함수의 정의를 제공했습니다.[102] 여기서 F는 함수형 그래프인데, 두 쌍이 같은 첫 번째 구성원을 가지지 않는 쌍의 집합을 의미합니다. 페이지 77 (op. cit.)에서 부르바키는 다음과 같이 말합니다 (직역): "종종 우리는, 이 논문의 나머지 부분에서, 함수형 그래프 대신에 단어 함수를 사용해야 합니다."

Axiomatic Set Theory에서 수페스(Suppes (1960))는 관계 (p. 57)를 쌍의 집합, 그리고 함수 (p. 86)를 두 쌍이 같은 첫 번째 구성원을 갖지 않는 관계로 공식적으로 정의합니다.

Relational form of a function

예를 들어, 수페스(Suppes (1960)), 및 헐모시(Halmos (1970))에서, 단어 "전제적 함수"의 사라짐에 대해 이유는 용어의 자세한 설명과 함께 타르스키(Tarski (1946))에 의해 설명됩니다:

"x는 정수입니다와 같은 표현은, 변수를 포함하고, 상수에 의해 이들 변수의 대체는 문장이 되는, 구문적 [즉, 그의 인덱스와 비교해서 전제적] 함수라고 불립니다. 그러나 수학자는, 말이 난 김에, 이 표현을 별로 좋아하지 않는데, 왜냐하면 그들은 다른 의미를 지닌 용어 "함수"를 사용하기 때문입니다. ... x + y = 5와 같은 전적으로 수학적 기호로 구성된 구문적 함수와 구문은 수학자에 의해 공식으로 보통 불립니다. "구문적 함수"의 위치에서 우리는 때때로 단순히 "문장"이라고 말할 것입니다 – 그러나 오직 어떤 오해의 위험이 없는 경우에 사용됩니다".[103]

그의 부분에 대해 타르스키는 함수의 관계형 형태를 "함수형 관계 또는 단순히 함수"라고 부릅니다.[104] 이 "함수형 관계"의 논의 후에 그는 다음과 같이 주장합니다:

"우리가 지금 고려하고 있는 함수의 개념은 구문적 [전제적] 및 지정적 함수의 개념과 본질적으로 다릅니다 .... 엄밀히 말하면 ... [이들은] 논리 또는 수학의 영역에 속하지 않습니다; 그들은 논리적 및 수학적 명제를 구성하는 것을 수행하는 표현의 특정 카테고리를 나타내지만, 그들 명제에서 다루어지는 것을 나타내지는 않습니다... . 그의 새로운 의미에서 용어 "함수"는, 다른 한편으로, 순수히 논리적 성격의 표현입니다; 그것은 논리와 수학에서 다루는 것의 어떤 유형을 가리킵니다."[105]

자세한 것에 대해 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)에서 "해석 아래에서 진실"을 참조하십시오.

Notes

  1. ^ Katz, Victor; Barton, Bill (October 2007). "Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching". Educational Studies in Mathematics. 66: 192.
  2. ^ Dieudonné 1992, p. 55.
  3. ^ "The emergence of a notion of function as an individualized mathematical entity can be traced to the beginnings of infinitesimal calculus". (Ponte 1992)
  4. ^ "...although we do not find in [the mathematicians of Ancient Greece] the idea of functional dependence distinguished in explicit form as a comparatively independent object of study, nevertheless one cannot help noticing the large stock of functional correspondences they studied." (Medvedev 1991, pp. 29–30)
  5. ^ Ponte 1992.
  6. ^ Gardiner 1982, p. 255.
  7. ^ Gardiner 1982, p. 256.
  8. ^ Kleiner, Israel (2009). "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey". In Marlow Anderson; Victor Katz; Robin Wilson (eds.). Who Gave You the Epsilon?: And Other Tales of Mathematical History. MAA. pp. 14–26. ISBN 978-0-88385-569-0.
  9. ^ Eves dates Leibniz's first use to the year 1694 and also similarly relates the usage to "as a term to denote any quantity connected with a curve, such as the coordinates of a point on the curve, the slope of the curve, and so on" (Eves 1990, p. 234).
  10. ^ N. Bourbaki (18 September 2003). Elements of Mathematics Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Springer Science & Business Media. pp. 154–. ISBN 978-3-540-65340-0.
  11. ^ Eves 1990, p. 234.
  12. ^ Eves 1990, p. 235.
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  14. ^ Euler 1988, p. 3.
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  16. ^ Medvedev 1991, p. 47.
  17. ^ Edwards 2007, p. 47.
  18. ^ Fourier 1822.
  19. ^ Contemporary mathematicians, with much broader and more precise conceptions of functions, integration, and different notions of convergence than was possible in Fourier's time (including examples of functions that were regarded as pathological and referred to as "monsters" until as late as the turn of the 20th century), would not agree with Fourier that a completely arbitrary function can be expanded in Fourier series, even if its Fourier coefficients are well-defined. For example, Kolmogorov (1922) constructed a Lebesgue integrable function whose Fourier series diverges pointwise almost everywhere. Nevertheless, a very wide class of functions can be expanded in Fourier series, especially if one allows weaker forms of convergence, such as convergence in the sense of distributions. Thus, Fourier's claim was a reasonable one in the context of his time.
  20. ^ For example: "A general function f(x) is a sequence of values or ordinates, each of which is arbitrary...It is by no means assumed that these ordinates are subject to any general law; they may follow one another in a completely arbitrary manner, and each of them is defined as if it were a unique quantity." (Fourier 1822, p. 552)
  21. ^ Luzin 1998, p. 263. Translation by Abe Shenitzer of an article by Luzin that appeared (in the 1930s) in the first edition of The Great Soviet Encyclopedia
  22. ^ Smithies 1997, p. 187.
  23. ^ "On the vanishing of trigonometric series," 1834 (Lobachevsky 1951, pp. 31–80).
  24. ^ Über die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen," 1837 (Dirichlet 1889, pp. 135–160).
  25. ^ Lobachevsky 1951, p. 43 as quoted in Medvedev 1991, p. 58.
  26. ^ Dirichlet 1889, p. 135 as quoted in Medvedev 1991, pp. 60–61.
  27. ^ Eves asserts that Dirichlet "arrived at the following formulation: "[The notion of] a variable is a symbol that represents any one of a set of numbers; if two variables x and y are so related that whenever a value is assigned to x there is automatically assigned, by some rule or correspondence, a value to y, then we say y is a (single-valued) function of x. The variable x . . . is called the independent variable and the variable y is called the dependent variable. The permissible values that x may assume constitute the domain of definition of the function, and the values taken on by y constitute the range of values of the function . . . it stresses the basic idea of a relationship between two sets of numbers" Eves 1990, p. 235
  28. ^ Lakatos, Imre (1976). Worrall, John; Zahar, Elie (eds.). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. p. 151. ISBN 0-521-29038-4. Published posthumously.
  29. ^ Gardiner, A. (1982). Understanding infinity,the mathematics of infinite processes. Courier Dover Publications. p. 275. ISBN 0-486-42538-X. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
  30. ^ Lavine 1994, p. 34.
  31. ^ See Medvedev 1991, pp. 55–70 for further discussion.
  32. ^ "By a mapping φ of a set S we understand a law that assigns to each element s of S a uniquely determined object called the image of s, denoted as φ(s). Dedekind 1995, p. 9
  33. ^ Dieudonné 1992, p. 135.
  34. ^ De Morgan 1847, p. 1.
  35. ^ Boole 1848 in Grattan-Guinness & Bornet 1997, pp. 1, 2
  36. ^ Boole 1848 in Grattan-Guinness & Bornet 1997, p. 6
  37. ^ Boole circa 1849 Elementary Treatise on Logic not mathematical including philosophy of mathematical reasoning in Grattan-Guinness & Bornet 1997, p. 40
  38. ^ Eves 1990, p. 222.
  39. ^ Some of this criticism is intense: see the introduction by Willard Quine preceding Russell 1908a Mathematical logic as based on the theory of types in van Heijenoort 1967, p. 151. See also in von Neumann 1925 the introduction to his Axiomatization of Set Theory in van Heijenoort 1967, p. 395
  40. ^ Boole 1854, p. 86.
  41. ^ cf Boole 1854, pp. 31–34. Boole discusses this "special law" with its two algebraic roots x = 0 or 1, on page 37.
  42. ^ Although he gives others credit, cf Venn 1881, p. 6
  43. ^ Venn 1881, pp. 86–87.
  44. ^ cf van Heijenoort's introduction to Peano 1889 in van Heijenoort 1967. For most of his logical symbolism and notions of propositions Peano credits "many writers, especially Boole". In footnote 1 he credits Boole 1847, 1848, 1854, Schröder 1877, Peirce 1880, Jevons 1883, MacColl 1877, 1878, 1878a, 1880; cf van Heijenoort 1967, p. 86).
  45. ^ Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) in van Heijenoort 1967, p. 7
  46. ^ Frege's exact words are "expressed in our formula language" and "expression", cf Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) in van Heijenoort 1967, pp. 21–22.
  47. ^ This example is from Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) in van Heijenoort 1967, pp. 21–22
  48. ^ Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) in van Heijenoort 1967, pp. 21–22
  49. ^ Frege cautions that the function will have "argument places" where the argument should be placed as distinct from other places where the same sign might appear. But he does not go deeper into how to signify these positions and Russell 1903 observes this.
  50. ^ Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) in van Heijenoort 1967, pp. 21–24
  51. ^ "...Peano intends to cover much more ground than Frege does in his Begriffsschrift and his subsequent works, but he does not till that ground to any depth comparable to what Frege does in his self-allotted field", van Heijenoort 1967, p. 85
  52. ^ a b van Heijenoort 1967, p. 91.
  53. ^ van Heijenoort 1967, p. 89.
  54. ^ All symbols used here are from Peano 1889 in van Heijenoort 1967, p. 91).
  55. ^ "In Mathematics, my chief obligations, as is indeed evident, are to Georg Cantor and Professor Peano. If I had become acquainted sooner with the work of Professor Frege, I should have owed a great deal to him, but as it is I arrived independently at many results which he had already established", Russell 1903, p. viii. He also highlights Boole's 1854 Laws of Thought and Ernst Schröder's three volumes of "non-Peanesque methods" 1890, 1891, and 1895 cf Russell 1903, p. 10
  56. ^ a b c Russell 1903, p. 505.
  57. ^ Russell 1903, pp. 5–6.
  58. ^ Russell 1903, p. 7.
  59. ^ Russell 1903, p. 19.
  60. ^ Russell 1910–1913:15
  61. ^ Whitehead and Russell 1910–1913:6, 8 respectively
  62. ^ Something similar appears in Tarski 1946. Tarski refers to a "relational function" as a "ONE-MANY [sic!] or FUNCTIONAL RELATION or simply a FUNCTION". Tarski comments about this reversal of variables on page 99.
  63. ^ Whitehead and Russell 1910–1913:31. This paper is important enough that van Heijenoort reprinted it as Whitehead & Russell 1910 Incomplete symbols: Descriptions with commentary by W. V. Quine in van Heijenoort 1967, pp. 216–223
  64. ^ Kleene 1952, p. 53.
  65. ^ Hilbert in van Heijenoort 1967, p. 466
  66. ^ Turing 1936–7 in Davis, Martin (1965). The undecidable: basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions. Courier Dover Publications. p. 145. ISBN 978-0-486-43228-1.
  67. ^ Kleene 1952, p. 45.
  68. ^ "The nonprimitive and arbitrary character of this axiom drew forth severe criticism, and much of subsequent refinement of the logistic program lies in attempts to devise some method of avoiding the disliked axiom of reducibility" Eves 1990, p. 268.
  69. ^ Frege 1879 harvnb error: multiple targets (2×): CITEREFFrege1879 (help) in van Heijenoort 1967, p. 23
  70. ^ Russell (1902) Letter to Frege in van Heijenoort 1967, p. 124
  71. ^ Frege (1902) Letter to Russell in van Heijenoort 1967, p. 127
  72. ^ van Heijenoort's commentary to Russell's Letter to Frege in van Heijenoort 1967, p. 124
  73. ^ The original uses an Old High German symbol in place of Φ cf Zermelo 1908a in van Heijenoort 1967, p. 202
  74. ^ Zermelo 1908a in van Heijenoort 1967, p. 203
  75. ^ cf van Heijenoort's commentary before Zermelo 1908 Investigations in the foundations of set theory I in van Heijenoort 1967, p. 199
  76. ^ Skolem 1922 in van Heijenoort 1967, pp. 292–293
  77. ^ van Heijenoort's introduction to Abraham Fraenkel's The notion "definite" and the independence of the axiom of choice in van Heijenoort 1967, p. 285.
  78. ^ But Wiener offers no date or reference cf Wiener 1914 in van Heijenoort 1967, p. 226
  79. ^ Russell 1903, p. 99.
  80. ^ both quotes from Whitehead & Russell 1913, p. 26
  81. ^ a b Whitehead & Russell 1913, p. 26.
  82. ^ Russell 1903, pp. 523–529.
  83. ^ "*12 The Hierarchy of Types and the axiom of Reducibility". Principia Mathematica. 1913. p. 161.
  84. ^ Wiener 1914 in van Heijenoort 1967, p. 224
  85. ^ commentary by van Heijenoort preceding Wiener 1914 A simplification of the logic of relations in van Heijenoort 1967, p. 224.
  86. ^ Suppes 1960, p. 32. This same point appears in van Heijenoort's commentary before Wiener (1914) in van Heijenoort 1967, p. 224.
  87. ^ Wiener 1914 in van Heijenoort 1967, p. 224
  88. ^ Russell 1920, p. 46.
  89. ^ Schönfinkel (1924) On the building blocks of mathematical logic in van Heijenoort 1967, p. 359
  90. ^ commentary by W. V. Quine preceding Schönfinkel (1924) On the building blocks of mathematical logic in van Heijenoort 1967, p. 356.
  91. ^ cf Curry and Feys 1958; Quine in van Heijenoort 1967, p. 357.
  92. ^ von Neumann's critique of the history observes the split between the logicists (e.g., Russell et. al.) and the set-theorists (e.g., Zermelo et. al.) and the formalists (e.g., Hilbert), cf von Neumann 1925 in van Heijenoort 1967, pp. 394–396.
  93. ^ In addition to the 1925 appearance in van Heijenoort, Suppes 1970:12 cites two more: 1928a and 1929.
  94. ^ von Neumann 1925 in van Heijenoort 1967, p. 396
  95. ^ In his 1930-1931 The Philosophy of Mathematics and Hilbert's Proof Theory Bernays asserts (in the context of rebutting Logicism's construction of the numbers from logical axioms) that "the Number concept turns out to be an elementary structural concept". This paper appears on page 243 in Paolo Mancosu 1998 From Brouwer to Hilbert, Oxford University Press, NY, ISBN 0-19-509632-0.
  96. ^ All quotes from von Neumann 1925 in van Heijenoort 1967, pp. 396–398
  97. ^ This notion is not easy to summarize; see more at van Heijenoort 1967, p. 397.
  98. ^ See also van Heijenoort's introduction to von Neumann's paper on pages 393–394.
  99. ^ cf in particular p. 35 where Gödel declares his primitive notions to be class, set, and "the dyadic relation ε between class and class, class and set, set and class, or set and set". Gödel 1940 The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory appearing on pages 33ff in Volume II of Kurt Godel Collected Works, Oxford University Press, NY, ISBN 0-19-514721-9 (v.2, pbk).
  100. ^ All quotes from Suppes 1960, p. 12 footnote. He also references "a paper by R. M. Robinson [1937] [that] provides a simplified system close to von Neumann's original one".
  101. ^ Kleene 1952, pp. 143–145.
  102. ^ N.Bourbaki (1954). Elements de Mathematique,Theorie des Ensembles. Hermann & cie. p. 76.
  103. ^ Tarski 1946, p. 5.
  104. ^ Tarski 1946, p. 98.
  105. ^ Tarski 1946, p. 102.

References

Further reading

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