Homothety

Original article: w:Homothety

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Homothety: Example with $k>0$
For $k=1$ one gets the identity (no point is moved),
for $k>1$ an enlargement
for $k<1$ a reduction

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Example with $k<0$
For $k=-1$ one gets a point reflection at point $S$

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Homothety of a pyramid

수학(mathematics)에서, 중심-닮음(homothety 또는 homothecy, 또는 균질 팽창(homogeneous dilation))은 중심이라고 불리는 점 S와 비율이라고 불리는 비-영 숫자 $k$에 의해 결정되는 아핀 공간(affine space)의 변환(transformation)이며, 이는 다음 규칙에 따라 점 $X$를 점 $X'$으로 보냅니다:

${\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}$ for a fixed number $k\neq 0$.

위치 벡터를 사용하여:

$\mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )$.

$S=O$ (원점)의 경우에서:

$\mathbf {x} '=k\mathbf {x}$,

이는 균등 스케일링(uniform scaling)이고 $k$에 대한 특별한 선택의 의미를 보여줍니다:

$k=1$에 대해 항등(identity) 매핑을 얻습니다,

$k=-1$에 대해 중심에서 반사(reflection)를 얻습니다,

$1/k$에 대해 $k$에 의해 정의된 역(inverse) 매핑을 얻습니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 중심-닮음은 한 점을 고정하고 모든 벡터의 방향을 ($k>0$이면) 유지하거나 ($k<0$이면) 거꾸로 바꾸는 닮음(similarities)입니다. 평행이동(translations)과 함께, 아핀 (또는 유클리드) 공간의 모든 중심-닮음은 그룹, 팽창(dilations) 또는 중심닮음-평행이동(homothety-translations)의 그룹을 형성합니다. 이것들은 정확하게 모든 각 직선 g의 이미지가 g에 평행(parallel)한 직선이라는 속성을 갖는 아핀 변환(affine transformations)입니다.

투영 기하학(projective geometry)에서, 중심-닮음 변환은 무한대에서 직선을 점별 불변(invariant)으로 남겨두는 닮음 변환 (즉, 주어진 타원 귀납법을 고정함)입니다.

유클리드 기하학에서, 비율 $k$의 중심-닮음은 점 사이의 거리에 $|k|$를, 넓이에 $k^{2}$을, 및 부피에 $|k|^{3}$을 곱합니다. 여기서 $k$는 확대의 비율(ratio of magnification) 또는 팽창 인수(dilation factor) 또는 스케일 인수(scale factor) 또는 유사도 비율(similitude ratio)입니다. 그러한 변환은 스케일 인수가 1을 초과하면 확대(enlargement)라고 불릴 수 있습니다. 위에서-언급된 고정된 점 S는 중심-닮음 중심(homothetic center) 또는 닮음 중심(center of similarity) 또는 유사도 중심(center of similitude)이라고 불립니다.

프랑스 수학자 Michel Chasles에 의해 만들어진 그 용어는 "닮은"을 의미하는 접두사 homo- (όμο)와 "위치"를 의미하는 thesis (Θέσις)의 두 가지 그리스어 원소에서 파생됩니다. 그것은 같은 모양과 방향의 두 도형 사이의 관계를 설명합니다. 예를 들어, 같은 방향을 바라보는 두 개의 러시아 인형(Russian dolls)은 중심-동형적으로 고려될 수 있습니다.

중심-닮음은 컴퓨터 화면; 예를 들어, 스마트폰, 노트북, 랩탑의 내용을 스케일하기 위해 사용됩니다.

Properties

다음 속성은 임의의 차원에서 유지됩니다.

Mapping lines, line segments and angles

중심-닮음은 다음 속성을 가집니다:

• 직선(line)은 평행 직선 위로 매핑됩니다. 여기서: 각도(angles)는 변경되지 않고 남습니다.
• 두 선분의 비율(ratio)은 보존됩니다.

두 속성 모두 다음을 보입니다:

• 중심-닮음은 닮음(similarity)입니다.

속성의 유도: 계산을 쉽게 하기 위해, 중심 $S$가 원점에 있다고 가정합니다: $\mathbf {x} \to k\mathbf {x}$. 매개변수 표현 $\mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v}$를 갖는 직선 $g$는 $g$와 평행한 직선인 방정식 $\mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v}$을 갖는 점 집합 $g'$ 위로 매핑됩니다.

두 점 $P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q}$의 거리는 $|\mathbf {p} -\mathbf {q} |$이고 그들 이미지 사이의 거리는 $|k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |$입니다. 따라서, 두 선분의 비율 (몫)은 그대로 유지됩니다.

$S\neq O$의 경우에서, 계산은 유사하지만 약간 광범위합니다.

결과: 삼각형이 닮은 삼각형에 매핑됩니다. 원의 중심-닮음 이미지는 원입니다. 타원의 이미지도 닮은 타원이며, 즉, 두 축의 비율은 변경되지 않습니다.

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With intercept theorem

Graphical constructions

using the intercept theorem

만약 중심 $S$를 갖는 중심-닮음에 대해 점 $P_{1}$의 이미지 $Q_{1}$이 주어지면 (다이어그램 참조), 직선 $SP_{1}$ 위에 놓이지 않는 두 번째 점 $P_{2}$의 이미지 $Q_{2}$는 절편 정리를 사용하여 그래픽적으로 구성될 수 있습니다: $Q_{2}$는 두 직선 ${\overline {P_{1}P_{2}}}$과 ${\overline {SP_{2}}}$의 공통 점입니다. $P_{1},Q_{1}$과 공선형에 있는 점의 이미지는 $P_{2},Q_{2}$를 사용하여 결정될 수 있습니다.

Pantograph

File:Pantograf-konstr-e.svg

Geometrical background

File:Pantograph01.jpg

Pantograph 3d rendering

using a pantograph

컴퓨터가 보편화되기 전에는, 컴퍼스와 유사한 도구, 팬터그래프(pantograph)를 사용함으로써 그림의 스케일을 조정했습니다.

구성과 기하학적 배경:

1. 4개의 막대를 가지고 꼭짓점 $P_{0},Q_{0},H,P$를 갖는 움직이는 평행사변형(parallelogram)을 조립하여 $Q_{0}$에서 만나는 두 개의 막대가 다이어그램에 표시된 대로 다른 쪽 끝에서 연장되도록 합니다. 비율 $k$를 선택합니다.
2. 연장된 막대에서 $|SQ_{0}|=k|SP_{0}|$와 $|QQ_{0}|=k|HQ_{0}|$임을 만족하는 두 점 $S,Q$를 표시합니다. 이것은 $|SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|$인 경우입니다. ($k$ 대신 중심 $S$의 위치는 규정될 수 있습니다. 이 경우에서 비율은 $k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|$입니다.)
3. 점 $S$에서 회전 가능한 움직이는 막대를 부착합니다.
4. 점 $P$의 위치를 변경하고 각 시점 $Q$에 표시합니다.

$|SQ_{0}|/|SP_{0}|=|Q_{0}Q|/|PP_{0}|$이기 때문에 (다이어그램 참조), 점 $S,P,Q$가 공선형에 있다는 절편 정리(intercept theorem)에서 얻고 방정식 $|SQ|=k|SP|$가 유지됩니다. 즉, 매핑 $P\to Q$는 중심 $S$와 비율 $k$를 갖는 중심-닮음입니다.

Composition

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The composition of two homotheties with centers $S_{1},S_{2}$ and ratios $k_{1}=2,k_{2}=0{.}3$ mapping $P_{i}\to Q_{i}\to R_{i}$ is a homothety again with its center $S_{3}$ on line ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ with ratio $k\cdot l=0{.}6$.

• 같은 중심 $S$를 갖는 두 중심-닮음의 합성은 다시 중심 $S$를 갖는 중심-닮음입니다. 중심 $S$를 갖는 중심-닮음은 그룹(group)을 형성합니다.
• 서로 다른 중심 $S_{1},S_{2}$와 그 비율 $k_{1},k_{2}$를 갖는 두 중심-닮음의 합성은 다음과 같습니다:

$k_{1}k_{2}\neq 1$의 경우에서 직선 ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ 위에 중심과 비율 $k_{1}k_{2}$를 갖는 중심-닮음(homothety) 또는

$k_{1}k_{2}=1$의 경우에서 방향 ${\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}$에서 평행이동(translation). 특히, $k_{1}=k_{2}=-1$인 경우 (점 반사(point reflections)).

유도:

중심 $S_{1},S_{2}$과 다음을 갖는 두 중심-닮음의 합성 $\sigma _{2}\sigma _{1}$에 대해,

$\sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),$

$\sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\$

점 $X:\mathbf {x}$의 이미지에 대한 계산에 의해 다음을 얻습니다:

$(\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}$

$\qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x}$.

따라서, 합성은 다음과 같습니다:

$k_{1}k_{2}=1$의 경우에서, 벡터 $\ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})$에 의한 방향 ${\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}$에서 평행이동.

$k_{1}k_{2}\neq 1$의 경우에서, 다음 점은

$S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})$

고정점(fixpoint)이고 (움직이지 않음) 다음 합성은

$\sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad$.

중심 $S_{3}$와 비율 $k_{1}k_{2}$를 갖는 중심-닮음(homothety)입니다. $S_{3}$는 직선 ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ 위에 놓입니다.

File:Zentr-streck-T-st-e.svg

Composition with a translation

• 중심닮음과 평행이동의 합성은 중심닮음입니다.

유도:

다음 중심닮음,

$\sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;$ 그리고 다음 평행이동의 합성은

$\tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v}$, 다음과 같습니다:

$\tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )$

$=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)$

이는 중심 $\mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}$과 비율 $k$를 갖는 중심닮음입니다.

In homogenous coordinates

중심 $S=(u,v)$을 갖는 중심닮음 $\sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )$은 중심 $O$를 갖는 중심닮음과 평행이동의 합성으로 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s}$.

따라서 $\sigma$는 다음 행렬에 의해 동차 좌표(homogeneous coordinates)에서 표현될 수 있습니다:

${\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}$.

See also

• Scaling (geometry) a similar notion in vector spaces
• Homothetic center, the center of a homothetic transformation taking one of a pair of shapes into the other
• The Hadwiger conjecture on the number of strictly smaller homothetic copies of a convex body that may be needed to cover it
• Homothetic function (economics), a function of the form f(U(y)) in which U is a homogeneous function and f is a monotonically increasing function.

References

• H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94
• Hadamard, J., Lessons in Plane Geometry
• Meserve, Bruce E. (1955), "Homothetic transformations", Fundamental Concepts of Geometry, Addison-Wesley, pp. 166–169
• Tuller, Annita (1967), A Modern Introduction to Geometries, University Series in Undergraduate Mathematics, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.

External links

• Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.