Hyperreal number

수학(mathematics)에서, 초실수(hyperreal numbers)의 시스템은 무한(infinite)와 무한소(infinitesimal) (무한하게 작지만 비-영) 양을 처리하는 방법입니다. 초실수, 또는 비표준 실수(nonstandard reals), *R은 다음 형식의 무엇보다 더 큰 숫자를 포함하는 실수(real number) R의 확장(extension)입니다:

1+1+\cdots +1

(임의의 유한 숫자의 항에 대해).

그러한 숫자는 무한이고, 그것들의 역수(reciprocal)는 무한소(infinitesimal)입니다. 용어 "초-실수"는 1948년에 에드윈 휴잇(Edwin Hewitt)에 의해 소개되었습니다.^[1]

초실수는 전달 원리(transfer principle), 라이프니츠의(Leibniz's) 휴리스틱 연속성의 법칙(law of continuity)의 엄격한 버전을 만족시킵니다. 전달 원리는 R에 대한 참 일-차(first-order) 명제가 *R에서 역시 유효하다고 말합니다. 예를 들어, 덧셈의 교환 법칙(commutative law), x + y = y + x은 그것이 실수에 대해 유지되는 것처럼 초실수에 대해 유지됩니다; R이 실수 닫힌 필드(real closed field)이므로, *R도 마찬가지입니다. 모든 정수(integer) n에 대해 $\sin({\pi n})=0$ 이므로, 역시 모든 초월정수(hyperinteger) H에 대해 $\sin({\pi H})=0$ 를 가집니다. 극단-거듭제곱(ultrapower)에 대해 전달 원리는 1955년의 워시 정리(Łoś theorem)의 결과입니다.

무한소를 포함하는 논증의 건전성(soundness)에 대한 우려는 고대 그리스 수학으로 거슬러 올라가면, 아르키메데스(Archimedes)는 그러한 증명을 소진의 방법(method of exhaustion)과 같은 다른 기술을 사용하는 증명으로 대체했습니다.^[2] 1960년대에서, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 초실수가 논리적으로 일치된 것과 실수가 그런 것이 필요충분 조건임을 입증했습니다. 이것은 무한소를 포함하는 임의의 증명이 불건전할 수 있다는 두려움을 가라앉혔으며, 그들은 로빈슨이 묘사했던 논리적 규칙에 따라 조작되었다는 조건으로 그렇습니다.

초실수의 응용과 특히 해석학(analysis)의 문제에 대한 전달 원리는 비표준 해석학(nonstandard analysis)이라고 불립니다. 하나의 즉각적인 응용은 여러 한정어의 논리적 복잡성을 거치지 않고 직접 방식에서 도함수(derivative)와 적분(integral)과 같은 해석학의 기본 개념의 정의입니다. 따라서, f(x)의 도함수는 무한소 $\Delta x$ 에 대해 $f'(x)={\rm {st}}\left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ 가 되며, 여기서 st(·)는 표준 부분 함수(standard part function)를 나타내며, 각 유한 초실수를 가장-가까운 실수로 "반올림"합니다. 유사하게, 적분은 적절한 무한 합(infinite sum)의 표준 부분으로 정의됩니다.

The transfer principle

초실수 시스템의 아이디어는 실수 R을 무한소와 무한대를 포함하지만, 대수학의 기본 공리의 임의의 것을 변경없이 시스템 *R을 형성하기 위해 확장하는 것입니다. 실수에 대해 참인 형식 "임의의 숫자 x에 대해..."의 임의의 명제는 역시 초실수에 대해 참입니다. 예를 들어, "임의의 숫자 x에 대해, x + 0 = x"라는 공리는 여전히 적용됩니다. 같은 것은 여러 숫자에 걸쳐 quantification에 대해, 예를 들어 "임의의 숫자 x와 y에 대해, xy = yx"와 같은 것이 참입니다. 실수에서 초실수로의 명제를 전달하는 이러한 능력은 전달 원리(transfer principle)라고 불립니다. 어쨌든, "숫자 S의 임의의 집합에 대해 ..." 형식의 명제는 이월되지 않을 수 있습니다. 실수와 초실수 사이에서 다른 유일한 속성은 집합(sets)에 걸쳐 정량화, 또는 전형적으로 집합에서 구성되는 함수와 관계와 같은 다른 상위-수준 구조에 의존하는 속성입니다. 각 실수 집합, 함수, 및 관계는 같은 일-차 속성을 만족시키는 그것의 자연스러운 초실수 확장을 가집니다. 정량화에 대한 이러한 제한을 따르는 종류의 논리 문장은 일-차 논리(first-order logic)에서 명제라고 참조됩니다.

전달 원리가, 어쨌든, R과 *R이 동일한 행동을 가진다는 것을 의미하지는 않습니다. 예를 들어, *R에서 다음을 만족하는 원소 ω가 존재합니다:

1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .

그러나 R에서 그러한 숫자는 없습니다. (다시 말해서, *R는 아르키메데스(Archimedean)가 아닙니다.) 이것은 가능한데 왜냐하면 ω의 비-존재성은 일-차 명제로 표현될 수 없기 때문입니다.

Use in analysis

Calculus with algebraic functions

비-실수 양에 대해 비공식적 표기법은 역사적으로 두 가지 맥락에서 미적분학에서 나타났습니다: dx와 같은 무한소와 예를 들어 부적절한 적분(improper integrals)의 적분의 극한에 사용되는 기호 ∞로 나타납니다.

전달 원리의 예로서, 임의의 비-영 숫자 x에 대해, 2x ≠ x라는 명제는 실수에 대해 참이고, 그것은 전달 원리에 의해 요구되는 형식에 있이므로, 역시 초실수에 대해 참입니다. 이것은 초실수 시스템에서 모든 무한 양에 대해 ∞와 같은 일반 기호를 사용할 수 없음을 보여줍니다; 무한 양은 다른 무한 양으로부터 크기에서 다르고, 무한소는 다른 무한소와 다릅니다.

유사하게, 1/0 = ∞의 우연한 사용은 유효하지 않는데, 왜냐하면 전달 원리가 영에 의해 나눗셈이 정의되지 않는다는 명제에 적용되기 때문입니다. 그러한 계산의 엄격한 짝은 만약 ε이 비-영 무한소이면, 1/ε은 무한하다는 것입니다.

임의의 유한 초실수 x에 대해, 그것의 표준 부분(standard part), st(x)는 그것과 오직 무한소적으로 다른 고유한 실수로 정의됩니다. 함수 y(x)의 도함수는 dy/dx가 아니라 대응하는 차이 몫의 표준 부분으로 정의됩니다.

예를 들어, 함수(function) f(x) = x²의 도함수(derivative) f′(x)를 찾기 위해, dx를 비-영 무한소로 놓습니다. 그런-다음,

$f'(x)$	$=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)$
	$=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)$
	$=2x$

도함수의 정의에서 표준 부분의 사용은 무한소 양의 제곱을 무시하는 전통적인 관행에 대한 엄격한 대안입니다. 이중 숫자(Dual number)는 이 아이디어에 기반한 숫자 시스템입니다. 위의 미분의 세 번째 줄 이후에, 뉴턴에서 19세기 전체의 전형적인 방법은 단순히 dx² 항을 버리는 것이었습니다. 초실수 시스템에서, dx² ≠ 0인데, 왜냐하면 dx는 비-영이고, 전달 원리는 임의의 비-영 숫자의 제곱이 비-영이라는 명제에 적용될 수 있기 때문입니다. 어쨌든, 수량 dx²은 dx에 비해 무한소적으로 작습니다. 즉, 초실수 시스템은 무한소 양의 계층 구조를 포함합니다.

Integration

초현실 시스템에서 정 적분을 정의하는 한 가지 방법은 a, a + dx, a + 2dx, ..., a + ndx로 정의된 초월유한 격자 위에 무한 합의 표준 부분으로 사용하는 것이며, 여기서 dx는 무한소, n은 무한 초자연수이고, 적분의 아래쪽과 위쪽 경계는 a와 b = a + n dx입니다.^[3]

Properties

초실수 *R은 실수 R을 부분필드(subfield)로 포함하는 순서화된 필드(ordered field)를 형성합니다. 실수와 달리, 초실수는 표준 메트릭 공간(metric space)을 형성하지 않지만, 그것들 순서의 힘으로, 순서 토폴로지(order topology)를 가지고 있습니다.

문구 그 초실수에서 정관사의 사용은 대부분의 처리에서 참조되는 고유한 순서화된 필드가 없다는 점에서 다소 오해의 소지가 있습니다. 어쨌든, 블라디미르 카노베이(Vladimir Kanovei)와 샤하론 쉴로(Saharon Shelah)에 의한 2003년 논문은^[4] 실수의 정의-가능, 셀-수-있게 포화된(saturated) (ω-포화(ω-saturated)를 의미하지만, 물론, 셀-수-없음) 기본 확장(elementary extension)이 있음을 보여주며, 따라서 그 초실수의 제목에 대한 좋은 주장을 가지고 있습니다. 더욱이, 모든 실수 수열의 공간에서 극단-거듭제곱 구성에 의해 얻어진 필드는 만약 우리가 연속체 가설(continuum hypothesis)을 가정하면 동형까지 고유합니다.

초실수 필드가 되는 조건은 R을 엄격하게 포함하는 실수 닫힌 필드(real closed field)가 되는 조건보다 더 강력합니다. 그것은 역시 데일스(Dales)와 워딘(Woodin)의 의미에서 극상실수 필드(superreal field)가 되는 조건보다 더 강력합니다.^[5]

Development

초실수는 공리적으로 또는 보다 구성적인 지향된 방법에 의해 개발될 수 있습니다. 공리적 접근의 본질은 (1) 적어도 하나의 무한소 숫자의 존재와 (2) 전달 원리의 유효성을 주장하는 것입니다. 다음 부분섹션에서 우리는 보다 구성적인 접근 방식에 대한 자세한 개요를 제공합니다. 이 방법은 만약 극단필터(ultrafilter)라고 불리는 집합-이론적 대상이 주어지면 초실수를 구성하는 것을 허용하지만, 극단필터 자체는 명시적으로 구성될 수 없습니다.

From Leibniz to Robinson

뉴턴(Newton)과 (보다 명시적으로) 라이프니츠(Leibniz)가 미분을 도입했을 때, 그들은 무한소를 사용했었고 이것들은 오일러(Euler)와 코시(Cauchy)와 같은 후기 수학자들에 의해 여전히 유용한 것으로 고려되었습니다. 그럼에도 불구하고, 이들 개념은 처음부터 특히 조지 버클리(George Berkeley)에 의해 의심스러운 것으로 여겨졌습니다. 버클리의 비판은 dx가 계산의 시작 부분에서 비-영으로 가정되고 계산의 끝에서 사라지는 것으로 가정되는 무한소 (또는 유율)의 관점에서 도함수의 정의에서 가설에서 지각된 이동에 중점을 둡니다 (자세한 내용에 대해 사라진 값들의 유령(ghosts of departed quantities)를 참조하십시오). 1800년대에 미적분(calculus)은 볼차노(Bolzano), 코시, 바이어슈트라스(Weierstrass), 등에 의한 극한의 (ε, δ)-정의의 개발을 통해 확고한 기반을 갖추게 되었을 때, 비록 비-아르키메데스 필드(non-Archimedean field)에서 연구가 계속되었지만 무한소는 대체로 버려졌습니다(Ehrlich 2006).

어쨌든, 1960년대에 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 무한하게 큰 숫자와 무한소적 숫자가 엄격하게 정의되고 비표준 해석학(nonstandard analysis)의 분야를 발전시키기 위해 사용될 수 있는 방법을 보여주었습니다.^[6] 로빈슨은 모델 이론(model theory)을 사용하여 자신의 이론을 비구성적(nonconstructively)으로 발전시켰습니다; 어쨌든 오직 대수학과 토폴로지를 사용하여 진행하고, 정의의 결과로 전달 원리를 증명하는 것은 가능합니다. 다시 말해서, 초실수 자체는, 비표준 해석학에서의 사용을 제외하고, 비록 그것들이 논리에서 모델 이론적 기술의 적용에 의해 발견되었지만, 모델 이론 또는 일차 논리와 필요한 관계를 가지지 않습니다. 초-실수 필드는 사실 극단-거듭제곱 구성을 사용하는 순수하게 대수적 기술에 의해 휴잇(Hewitt, 1948)에 의해 처음 도입되었습니다.

The ultrapower construction

우리는 실수의 수열(sequence)을 통해 초실수 필드를 구성할 것입니다.^[7] 실제로, 우리는 수열을 성분별로 더하고 곱할 수 있습니다; 예를 들어:

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )

그리고 곱셈에 대해 유사하게 연산됩니다. 이것은 그러한 수열의 집합을 교환 링(commutative ring)으로 바꾸며, 이것은 실제로 실수 대수(algebra) A입니다. 우리는 수열 (r, r, r, …)로 실수 r을 식별함으로써 A에서 R을 자연스럽게 삽입하고, 이 식별은 실수의 해당하는 대수적 연산을 보존합니다. 직관적인 동기는, 예를 들어, 영에 접근하는 수열을 사용하여 무한소를 나타내는 것입니다. 그러한 수열의 역은 무한 숫자를 나타냅니다. 아래에서 살펴보겠지만, 차이가 발생하는데 왜냐하면 비록 필연적으로 다소 임의적이지만 자기-일관적이고 잘 정의되어야 하는 방식에서 그러한 수열을 비교하기 위한 규칙을 정의해야 하기 때문입니다. 예를 들어, 우리는 처음 n 구성원에서 다르지만, 그 이후에는 같은 둘의 수열을 가질 수 있습니다; 그러한 수열은 같은 초실수를 나타내는 것으로 명확하게 고려되어야 합니다. 유사하게, 대부분의 수열은 영원히 무작위로 진동하고, 우리는 그러한 수열을 취하고, 그것을, 말하자면, $7+\epsilon$ 와 같이 해석하는 어떤 방법을 찾아야 하며, 여기서 $\epsilon$ 은 특정 무한소 숫자입니다.

수열을 비교하는 것은 따라서 민감한 문제입니다. 우리가, 예를 들어, 성분별 방식에서 수열 사이의 관계를 정의하려고 시도할 수 있습니다:

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots

그러나 여기서 우리는 문제에 빠지게 되는데, 왜냐하면 첫 번째 수열의 일부 엔트리는 두 번째 수열의 대응하는 엔트리보다 클 수 있고, 일부 다른 엔트리는 더 작을 수 있기 때문입니다. 이런 방법에서 정의된 관계는 오직 부분적인 순서(partial order)임을 따릅니다. 이 문제를 해결하기 위해, 우리는 중요한 위치를 지정해야 합니다. 무한하게 많은 인덱스가 있기 때문에,우리는 유한 인덱스 집합이 중요하지 않습니다. 중요한 인덱스 집합의 일관된 선택은 자연수(natural number) 위에 임의의 자유 극단필터(ultrafilter) U에 의해 제공됩니다; 이것들은 임의의 유한 집합을 포함하지 않는 극단필터로 특성을 나타낼 수 있습니다. (좋은 소식은 조온의 보조정리(Zorn's lemma)가 많은 그러한 U의 존재를 보장한다는 것입니다; 나쁜 소식은 그것들이 명시적으로 구성될 수 없다는 것입니다.) 우리는 U를 "중요한" 인덱스의 그들 집합을 선별하는 것으로 생각합니다; 우리가 (a₀, a₁, a₂, ...) ≤ (b₀, b₁, b₂, ...)를 쓰는 것과 자연수의 집합 { n : a_n ≤ b_n }이 U 안에 있는 것은 필요충분 조건입니다.

이것은 전체 준순서(total preorder)이고 그것은 만약 우리가 a ≤ b와 b ≤ a이면 두 수열 a와 b 사이를 구별하지 않기로 동의하면 전체 순서(total order)로 바뀝니다. 이 식별과 함께, 초실수의 순서화된 필드 *R가 구성됩니다. 대수학적 관점에서, U는 교환 링 A (즉, U의 일부 원소에서 사라지는 수열의 집합)에서 해당하는 최대 아이디얼(maximal ideal) I를 정의하고, 그런-다음 *R을 A/I로 정의하는 것을 허용합니다; 최대 아이디얼에 의한 교환 링의 몫(quotient)으로, *R은 하나의 필드입니다. 이것은 역시 자유 극단필터 U의 관점에서 직접적으로 A/U로 표시됩니다; 그 둘은 동등합니다. I의 최댓값은, 수열 a가 주어지면, 수열 b를 a의 비-널 원소를 역화시키고 그것의 널 엔트리를 변경하지 않도록 구성할 가능성에서 비롯됩니다. 만약 a가 사라지는 집합이 U 안에 없으면, 곱 ab는 숫자 1로 식별되고, 1을 포함하는 임의의 아이디얼은 A여야 합니다. 결과 필드에서, 이들 a와 b는 역입니다.

필드 A/U는 R의 극단거듭제곱(ultrapower)입니다. 이 필드는 R을 포함하기 때문에, 그것은 적어도 연속체(continuum)의 카디널리티(cardinality)를 가집니다. A가 다음 카디널리티를 가지므로

(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},

그것은 역시 $2^{\aleph _{0}}$ 보다 크지 않고, 따라서 R과 같은 카디널리티를 가집니다.

우리가 물어볼 수 있는 한 가지 질문은, 만약 우리가 다른 자유 극단필터 V를 선택했다면, 몫 필드 A/U는 A/V에 대한 순서화된 필드와 동형적일지 여부입니다. 이 질문은 연속체 가설(continuum hypothesis)과 동등한 것으로 밝혀졌습니다; 연속체 가설을 갖는 ZFC에서 우리는 이 필드가 순서 동형(order isomorphism)까지 고유하다는 것을 입증할 수 있고, 연속체 가설의 부정을 갖는 ZFC에서 우리는 둘 다 실수의 셀-수-있게 인덱싱된 극단거듭제곱인 필드의 비-순서-동형적 필드의 쌍이 있음을 증명할 수 있습니다.

이 구성 방법에 대한 자세한 정보에 대해, 극단곱(ultraproduct)을 참조하십시오.

An intuitive approach to the ultrapower construction

다음은 초실수를 이해하는 직관적인 방법입니다. 여기에서 취해진 접근 방식은 골드블랫(Goldblatt)에 의한 책에 있는 접근 방식과 매우 유사합니다.^[8] 영으로 수렴하는 수열은 때때로 무한하게 작다는 것을 상기하십시오. 이것들은 어떤 의미에서 거의 무한소입니다; 진정한 무한소는 영으로 수렴하는 수열을 포함하는 수열의 특정 클래스를 포함합니다.

이들 클래스가 어디에서 왔는지 봅시다. 먼저 실수의 수열을 생각해 보십시오. 그것들은 링(ring)을 형성합니다. 즉, 우리는 그것들을 곱하고, 더하고, 뺄 수 있지만, 반드시 비-영 원소로 나눌 필요는 없습니다. 실수는 상수 수열로 고려되며, 수열은 만약 그것이 영과 동일하면, 즉, 모든 n에 대해 a_n = 0이면 영입니다.

수열의 링에서, 우리는 a = 0도 아니고 b = 0 아닌 것을 갖는 ab = 0을 얻을 수 있습니다. 따라서, 만약 두 수열 $a,b$ 에 대해, 우리는 ab = 0를 가지면, 그것들 중 적어도 하나가 영을 영으로 선언되어야 합니다. 놀랍게도 충분히, 그것을 수행하기 위한 일관된 방법이 있습니다. 결과로써, 영 선언된 일부 수열과 다른 수열의 동치 클래스는 초실수 필드(field)라고 불리는 필드를 형성합니다. 그것은 무한하게 큰 숫자 (무한대로 발산하는 수열에 의해 표현되는 것을 포함하여, 무한소의 역수)뿐만 아니라 보통의 실수에 더하여 무한소를 포함할 것입니다. 역시 무한하게 크지 않은 모든 각 초실수는 보통의 실수에 무한하게 가까울 것이며, 다시 말해서, 그것은 보통의 실수와 무한소의 합일 것입니다.

이 구성은 칸토어(Cantor)에 의해 제시된 유리수에서 실수를 구성하는 것과 평행합니다. 그는 유리수의 [[Cauchy sequence|코시 수열(Cauchy sequence])]의 링으로 시작하고 영으로 수렴하는 모든 수열을 영으로 선언했습니다. 그 결과는 실수입니다. 초실수의 구성을 계속하려면, 수열의 영 집합, 즉 $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ , 즉, $z(a)$ 는 $a_{i}=0$ 인 인덱스 $i$ 를 생각해 보십시오. 만약 $ab=0$ 이면 $z(a)$ 와 $z(b)$ 의 합집합은 N (모든 자연수의 집합)이므로, 다음이라는 것이 분명합니다:

둘의 여집합에서 사라지는 수열 중 하나는 영으로 선언되어야 합니다.
만약 $a$ 가 선언된 영이면, $ab$ 는 $b$ 가 무엇이든 상관없이 역시 선언된 영이어야 합니다.
만약 $a$ 와 $b$ 둘 다가 선언된 영이면, $a^{2}+b^{2}$ 은 역시 선언된 영입니다.

이제 그 아이디어는 N의 부분집합 X의 다발 U를 골라내고 $a=0$ 임을 선언하는 것과 $z(a)$ 가 U에 속하는 것은 필요충분 조건입니다. 위의 조건에서, 우리는 다음임을 알 수 있습니다:

두 여집합에서 하나는 U에 속합니다
U에 속하는 부분집합을 가지는 임의의 집합은 역시 U에 속합니다.
U에 속하는 임의의 두 집합의 교집합은 U에 속합니다.
마지막으로, 우리는 빈 집합(empty set)을 U에 속하는 것을 원하지 않는데 왜냐하면 그때에 모든 각 집합은 부분집합으로 빈 집합을 가지므로 모든 것이 U에 속하기 때문입니다.

(2–4)를 만족시키는 집합의 임의의 가족은 필터(filter)라고 불립니다 (예졔: 유한 집합에 대한 여집합, 그것은 프레셰 필터(Fréchet filter)라고 불리고 보통의 극한 이론에서 사용됩니다). 만약 (1)이 역시 유지되면, U는 극단필터(ultrafilter)라고 불립니다 (왜냐하면 그것을 깨지지 않고는 더 이상 집합을 추가할 수 없기 때문입니다). 극단필터의 명시적으로 알려진 유일한 예제는 주어진 원소 (이 경우에서, 말하자면, 숫자 10)를 포함하는 집합의 가족입니다. 그러한 극단필터는 자명한 것이라고 불리고, 우리가 구성에서 그것을 사용하면, 우리는 보통의 실수로 되돌아갑니다. 유한 집합을 포함하는 극단필터는 자명한 것입니다. 임의의 필터가 극단필터로 확장될 수 있다고 알려져 있지만, 그 증명은 선택의 공리(axiom of choice)를 사용합니다. 비-자명한 극단필터의 존재 (극단필터 보조정리(ultrafilter lemma))는, 그것이 선택의 공리보다 약하기 때문에, 여분의 공리로 더해질 수 있습니다.

이제 만약 우리가 (프레세 필터의 확장인) 비-자명한 극단필터를 취하고 구성을 수행하면, 우리는 결과로 초실수를 얻습니다.

만약 $f$ 가 실수 변수 $x$ 의 실수 함수이면, $f$ 는 합성에 의해 초실수 변수의 초실수 함수로 자연스럽게 확장됩니다:

f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}

여기서 $\{\dots \}$ 는 "극단필터에 상대적인 수열 $\dots$ 의 동치 클래스"를 의미하며, 두 수열이 같은 클래스에 있는 것과 그것들의 차이의 영 집합이 극단필터에 속하는 것은 필요충분 조건입니다.

모든 산술 표현과 공식은 초실수에 대해 의미가 있고 만약 그것들이 보통의 실수에 대해 참이면 참을 유지합니다. 임의의 유한 (즉, 일부 보통의 실수 일반 실수 $a$ 에 대해 $|x|<a$ 를 만족함) 초실수 $x$ 는 형식 $y+d$ 의 것임이 밝혀지며, 여기서 $y$ 는 (표준이라고 불리는) 보통의 실수이고 $d$ 는 무한소입니다. 그것은 볼차노-바이어슈트라스 정리를 입증하는 데 사용된는 이등분 방법에 의해 입증할 수 있으며, 극단필터의 속성 (1)이 결정적인 것으로 판명되었습니다.

Properties of infinitesimal and infinite numbers

*R의 유한 원소 F는 지역적 링(local ring)을 형성하고, 실제로 평가 링(valuation ring)을 형성하며, 고유한 최대 아이디얼 S는 무한소입니다; 몫 F/S는 실수와 동형적입니다. 따라서, 우리는 그것의 커널(kernel)이 무한소로 구성되고 F의 모든 각 원소 x를 x와의 그것의 차이가 S 안에 있는 고유한 실수로 보내는 F에서 R로의 준동형적(homomorphic) 매핑, st(x)를 가집니다; 즉, 무한소입니다. 다른 방법에 넣어, 모든 각 유한 비표준 실수는, 만약 x가 유한 비표준 실수이면, x – st(x)가 무한소임을 만족하는 하나이자 유일한 하나 실수 st(x)가 존재한다는 의미에서, 고유한 실수에 "매우 가깝습니다". 이 숫자 st(x)는 x의 표준 부분(standard part)이라고 불리며, 개념적으로 가장 가까운 실수에 대한 x와 같습니다. 이 연산은 순서-보존하는 준동형이고 따라서 대수적으로나 순서 이론적으로 둘 다에서 잘-행동됩니다. 그것은 등장성은 아니지만 순서-보존하는 것입니다; 즉, $x\leq y$ 는 $\operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)$ 를 의미하지만, $x<y$ 는 $\operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)$ 를 의미하지는 않습니다.

우리는, 만약 x와 y 둘 다가 유한이면 다음을 가집니다, $\operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)$ $\operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)$
만약 x가 유한이고 무한소가 아니면, $\operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)$
x가 실수인 것과 다음은 필요충분 조건입니다: $\operatorname {st} (x)=x$

맵 st는 유한 초실수의 순서 토폴지에 관해 연속적(continuous)입니다; 사실 그것은 지역적 상수(locally constant)입니다.

Hyperreal fields

X가 T_3.5 공간이라고도 불리는 티호노프 공간(Tychonoff space)이고, C(X)는 X 위에 연속 실수-값 함수의 대수라고 가정합니다. M은 C(X)에서 최대 아이디얼(maximal ideal)이라고 가정합니다. 그런-다음 인수 대수(factor algebra) A = C(X)/M는 실수를 포함하는 전체적으로 순서화된 필드 F입니다. 만약 F가 R을 엄격하게 포함하면 M은 초실수 이이디얼 (휴잇(Hewitt) (1948)에 기인한 용어)이라고 불리고 F는 초실수 필드라고 불립니다. 가정은 F의 카디널리티가 R보다 크다는 만들어지지 않음에 주목하십시오; 그것은 실제로 같은 카디널리티를 가질 수 있습니다.

중요한 특별한 경우는 X 위에 토폴로지가 이산 토폴로지(discrete topology)인 경우입니다; 이 경우에서 X는 세는 숫자(cardinal number) κ로 식별될 수 있고 C(X)는 κ에서 R로의 함수의 실수 대수 R^κ로 식별될 수 있습니다. 이 경우에 얻은 초실수 필드는 R의 극단거듭제곱(ultrapower)이라고 불리고 모델 이론에서 자유 극단필터(ultrafilter)를 통해 구성된 극단거듭제곱과 동일합니다.

References

^ Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)
^ Ball, p. 31
^ Keisler
^ Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals" (PDF), Journal of Symbolic Logic, 69: 159–164, arXiv:math/0311165, doi:10.2178/jsl/1080938834, archived from the original (PDF) on 2004-08-05, retrieved 2004-10-13
^ Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
^ Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3. The classic introduction to nonstandard analysis.
^ Loeb, Peter A. (2000), "An introduction to nonstandard analysis", Nonstandard analysis for the working mathematician, Math. Appl., vol. 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–95
^ Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3

External links

Crowell, Calculus. A text using infinitesimals.
Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
Stroyan, A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Lecture 1 Lecture 2 Lecture 3^{[permanent dead link]}

[1] Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994)

[2] Ball, p. 31

[3] Keisler

[kanovei2003-4] Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals" (PDF), Journal of Symbolic Logic, 69: 159–164, arXiv:math/0311165, doi:10.2178/jsl/1080938834, archived from the original (PDF) on 2004-08-05, retrieved 2004-10-13

[5] Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9

[robinson-6] Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3. The classic introduction to nonstandard analysis.

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