Identity function
수학(mathematics)에서, 항등 함수(identity function)는, 역시 항등 관계(identity relation) 또는 항등 맵(identity map) 또는 항등 변환(identity transformation)이라고 불리며, 그것의 인수로 사용된 것과 같은 값을 항상 반환하는 함수(function)입니다. 즉, 항등인 f에 대해, 상등(equality) f(x) = x은 모든 x에 대해 유지됩니다.
Definition
공식적으로, 만약 M이 집합(set)이면, M 위에 항등 함수 f는 다음을 만족시키는 도메인(domain)과 코도메인(codomain) M을 갖는 해당 함수로 정의됩니다:
- M에서 모든 원소 x에 대해 f(x) = x.[1]
달리 말해서, M (즉, 코도메인)에서 함수 값 f(x)은 항상 M (지금 도메인으로 고려됨)의 같은 입력 원소 x입니다. M 위의 항등 함수는 분명하게 단사 함수(injective function)와 마찬가지로 전사 함수(surjective function)이므로, 그것은 역시 전단사(bijective)입니다.[2]
M 위의 항등 함수 f는 종종 idM으로 표시됩니다.
집합 이론(set theory)에서, 여기서 함수는 이항 관계(binary relation)의 특정 종류로 정의되며, 항등 함수는 항등 관계, 또는 M의 대각선(diagonal)에 의해 제공됩니다.[3]
Algebraic properties
만약 f : M → N가 임의의 함수이면, 우리는 f ∘ idM = f = idN ∘ f를 가집니다 (여기서 "∘"는 함수 합성(function composition)을 표시합니다). 특히, idM은 M에서 M으로의 모든 함수의 모노이드(monoid)의 항등 원소(identity element)입니다.
모노이드의 항등 원소는 고유(unique)하므로,[4] 우리는 대리로 이 항등 원소로 M 위의 항등 함수를 정의할 수 있습니다. 그러한 정의는 카테고리 이론(category theory)에서 항등 사상(identity morphism)의 개념으로 일반화되며, 여기서 M의 자기-사상(endomorphism)은 함수일 필요는 없습니다.
Properties
- 항등 함수는 벡터 공간(vector space)에 적용될 때 선형 연산자(linear operator)입니다.[5]
- 양의 정수(integer) 위에 항등 함수는 숫자 이론(number theory)에서 고려된 완전하게 곱셈 함수(completely multiplicative function) (본질적으로 1에 의한 곱셈)입니다.[6]
- n-차원 벡터 공간(vector space)에서, 항등 함수는 기저(basis)에 관계없이 항등 행렬(identity matrix) In로 표현됩니다.[7]
- 메트릭 공간(metric space)에서, 항등원 자명하게 등거리-변환(isometry)입니다. 임의의 대칭(symmetry)없이 대상은 이 등거리-변환 (대칭 유형 C1)을 오직 포함하는 자명한 그룹을 대칭 그룹(symmetry group)을 가집니다.[8]
- 토폴로지적 공간(topological space)에서, 항등 함수는 항상 연속입니다.[9]
- 항등 함수는 거듭상등(idempotent)입니다.[10]
See also
References
- ^ Knapp, Anthony W. (2006), Basic algebra, Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
- ^ Mapa, Sadhan Kumar (7 April 2014). Higher Algebra Abstract and Linear (11th ed.). Sarat Book House. p. 36. ISBN 978-93-80663-24-1.
- ^ Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. American Mathematical Society. 1974. p. 92. ISBN 978-0-8218-1425-3.
...then the diagonal set determined by M is the identity relation...
- ^ Rosales, J. C.; García-Sánchez, P. A. (1999). Finitely Generated Commutative Monoids. Nova Publishers. p. 1. ISBN 978-1-56072-670-8.
The element 0 is usually referred to as the identity element and if it exists, it is unique
- ^ Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
- ^ D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Number Theory through Inquiry. Mathematical Association of America Textbooks. Mathematical Assn of Amer. ISBN 978-0883857519.
- ^ T. S. Shores (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-038-733-195-9.
- ^ James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9
- ^ Conover, Robert A. (2014-05-21). A First Course in Topology: An Introduction to Mathematical Thinking. Courier Corporation. p. 65. ISBN 978-0-486-78001-6.
- ^ Conferences, University of Michigan Engineering Summer (1968). Foundations of Information Systems Engineering.
we see that an identity element of a semigroup is idempotent.