Imaginary unit

**$i$** in the complex or cartesian plane. Real numbers lie on the horizontal axis, and imaginary numbers lie on the vertical axis

허수 단위(imaginary unit) 또는 단위 허수(unit imaginary number) ( $i$ )는 이차 방정식(quadratic equation) $x 2 + 1 = 0$ 에 대한 하나의 해입니다. 비록 이런 속성을 가진 실수는 없을지라도, $i$ 는, 덧셈과 곱셈을 사용하여, 실수를 복소수라고 불리는 것으로 확장하는 것에 사용될 수 있습니다. 복소수에서 $i$ 의 사용의 간단한 예제는 $2 + 3 i$ 입니다.

허수는 중요한 수학적(mathematical) 개념이며, 실수 시스템 $ℝ$ 을 복소수 시스템 $ℂ$ 로 확장하고, 모든 각 비-상수 다항식 $P (x)$ 에 대해 적어도 하나의 근(root)을 차례로 제공합니다. (대수적 클로저(algebraic closure) 및 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)를 참조하십시오.) 용어 "허수(imaginary)"는 제곱(square)을 해서 음의 값을 갖는 실수(real)가 없기 때문에 사용됩니다.

하나의 중복 제곱근(double square root)을 가지는, 영을 제외한 모든 각 실수는 두 개의 복소수 제곱근이 있는 것과 마찬가지로, $-1$ 에 대한 복소수 제곱근은, 주로 $i$ 과 $- i$ 로 표시하는, 두 개가 있습니다.

문맥에서 $i$ 가 모호하거나 문제가 있으면, $j$ 또는 그리스어 $ι$ 가 때때로 사용됩니다 (§ Alternative notations을 참조하십시오). 전기 공학 및 제어 시스템 공학 분야에서, 허수 단위는 보통 $i$ 대신에 $j$ 로 표시됩니다; 왜냐하면 $i$ 는 공통적으로 전류를 나타내기 위해 사용되기 때문입니다.

허수 단위의 역사에 대해, Complex number § History를 참조하십시오.

Definition

The powers of $i$ return cyclic values:
$...$ (repeats the pattern from bold blue area)
$i -3 = i$
$i -2 = -1$
$i -1 = - i$
$i 0 = 1$
$i 1 = i$
$i 2 = -1$
$i 3 = - i$
$i 4 = 1$
$i 5 = i$
$i 6 = -1$
$...$ (repeats the pattern from the bold blue area)

허수 $i$ 는 그의 제곱(square)이 −1이라는 속성에 의해서 단지 정의됩니다:

i^{2}=-1.

이런 방식으로 정의된 $i$ 와 함께, 그것은 $i$ 와 $- i$ 모두가 −1의 제곱근(square root)인 대수로부터 직접적으로 따릅니다.

비록 구성은 "허수(imaginary)"라고 불리고, 그리고 비록 허수의 개념이 실수의 그것보다 직관적으로 이해하기가 훨씬 어려울지라도, 구성은 수학적 관점에서는 완벽하게 유효합니다. 실수 연산은, 표현을 조작하는 동안 미지수로 $i$ 를 처리한 다음 정의를 사용하여 $i 2$ 의 모든 항목을 −1로 대체함으로써, 허수와 복소수로 확장될 수 있습니다. $i$ 의 더 높은 정수 거듭제곱은 $- i$ , 1, $i$ , 또는 −1로 역시 대체될 수 있습니다:

i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,

i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,

i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,

비슷하게, 임의의 비-영 실수와 마찬가지로:

i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,

복소수로써, $i$ 는, 단위 허수 성분 및 실수 성분이 없는 (즉, 실수 성분은 영입니다), $0 + i$ 와 같은 직교 좌표 시스템 형식(rectangular form)으로 표현됩니다. 극좌표 시스템 형식(polar form)에서, $i$ 는, 1의 절댓값(absolute value)(또는 크기(magnitude))과 ^$π$/₂의 편각(argument)(또는 각도(angle))을 가진, $1 e i π/2$ (또는 간단히 $e i π/2$ )로써 표시됩니다. (데카르트 평면(Cartesian plane)이라고 역시 알져진) 복소 평면(complex plane)에서, $i$ 는 허수축(실수축에서 직각을 이루고 있음)을 따라 원점으로부터 한 단위에 위치한 점입니다.

$i$ and $- i$

중복 근(multiple root)을 가지지 않는 이차 다항식(quadratic polynomial)이기 때문에, 정의 방정식 $x 2 = -1$ 은 두 개의 구별되는 해를 가지며, 그것은 똑같이 유효하고 서로의 덧셈의 역원(additive)과 곱셈의 역(multiplicative inverse)으로 발생합니다. 보다 정확하게 말하면, 한번 방정식의 해 $i$ 가 고정되면, $i$ 와 구별되는 값 $- i$ 는 역시 해입니다. 방정식은 단지 $i$ 의 정의이기 때문에, 그것은 정의가 모호한 것으로 보입니다 (보다 정확하게, 잘-정의되지(well-defined) 않은 것으로 보입니다). 어쨌든, 해의 하나 또는 다른 것이 선택되고 " $i$ "로 레이블이 지정되고, 그런 다음 다른 하나는 $- i$ 로 레이블로 지정하는 한 모호한 결과는 없습니다. 이것은, 비록 $- i$ 와 $i$ 가 정량적으로(quantitatively) 동등하지는 않을지라도 (그들은 서로 덧셈의 역입니다), $i$ 와 $- i$ 사이에 대수적(algebraic) 차이가 없기 때문입니다. 두 허수는 그의 제곱이 –1인 숫자가 되는 같은 주장합니다. 만약 허수 또는 복소수를 언급하는 모든 수학적 교과서와 출판된 문헌이 $+ i$ 의 모든 발생을 $- i$ 로 대체해서 다시 쓰이면 (그러므로 $- i$ 의 모든 각 발생은 $-(- i) = + i$ 로 대체되면), 모든 사실과 정리는 동등하게 유효한 것으로 계속될 수 있습니다. $x 2 + 1 = 0$ 의 두 근 $x$ 중에 하나를 음의 부호를 갖도록 레이블을 지정하는 것의 차이는 순전히 표기법의 유물입니다; 근 중에 어떤 것도 다른 근보다 더 주요 또는 기본이라고 말할 수 없고, 이들 중 어느 것도 "양" 또는 "음"이 아닙니다.^[1]

이 문제는 미묘한 것일 수 있습니다. 가장 정확한 설명은, 비록 $ℝ[x]/(x 2 + 1)$ 로 정의된 복소수 필드(field)가 동형 사상(isomorphism)까지(up to) 고유(unique)할지라도 (복소수(complex number)를 참조하십시오), 그것은 하나의 고유한 동형까지 고유하지 않습니다 – 각 실수를 고정된 상태로 유지하는 $ℝ[x]/(x 2 + 1)$ 의 정확하게 두 개의 필드 자기-동형(field automorphisms): 항등 및 $x$ 를 $- x$ 로 보내는 자기-동형이 있습니다. 복소수 켤레(Complex conjugate) 및 갈루아 그룹(Galois group)을 역시 참조하십시오.

Matrices

비슷한 문제는 만약 복소수가 2 × 2 실수 행렬로 해석되면 역시 발생하는데 (복소수의 행렬 표시(matrix representation of complex numbers)을 참조하십시오), 왜냐하면 그런 다음 다음 두 행렬

X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}

and

X={\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

은 다음 행렬 방정식의 해입니다:

X^{2}=-I=-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&\;\;0\\\;\;0&-1\end{pmatrix}}.

이 경우에서, 모호성은 단위 원(unit circle) 주위의 "방향"이 "양의(positive)" 회전의 기하학적 선택에서 비롯됩니다. 보다 정확한 설명은 특별한 직교 그룹(special orthogonal group) $SO(2, ℝ$ )의 자기-동형 그룹(automorphism group)이 정확히 두 개의 원소—항등 및 "CW"(시계 방향)과 "CCW" (시계 반대 방향) 회전을 교환하는 자기-동형을 가지고 있다고 말하는 것입니다. 직교 그룹(orthogonal group)을 참조하십시오.

모든 이들 모호성은 복소수의 보다 엄격한 정의(definition of complex number)를 채택하고, 방정식에 대한 해 중 하나를 허수 단위로 명시적으로 선택함으로써 해결될 수 있습니다. 예를 들어, 이-차원 벡터를 갖는 복소수의 보통 구성에서 순서 쌍 (0, 1).

다음 행렬 방정식을 생각하십시오:

{\begin{pmatrix}z&x\\y&-z\end{pmatrix}}^{2}\ =\ {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

그런 다음, $z^{2}+xy=-1$ 이므로 곱 xy는 음인데 왜냐하면 $xy\ =\ -(1+z^{2})$ 이고, 따라서 점 (x,y)는 II 또는 IV 사분면에 놓입니다. 게다가,

z^{2}=-(1+xy)\geq 0\implies xy\leq -1

그래서 (x,y)는 쌍곡선 xy = –1에 의해 경계지어집니다.

Proper use

허수 단위는 때때로 고급 수학 문맥 (마찬가지로 대중적인 텍스트)에서 $\sqrt -1$ 로 쓰입니다. 어쨌든, 제곱근(radicals)이 포함된 공식을 조작할 때 각별한 주의가 필요합니다. 제곱근 기호 표기법은 오직 실수 $x \geq 0$ 에 대해 정의된 주요 (이)제곱근 함수에 대해, 또는 복소수 (이)제곱근 함수의 주요 가지에 대해 예약되어 있습니다. 복소수 제곱근 함수의 주요 가지를 조작하기 위해 주요 (실수) 제곱근 함수의 계산 규칙을 적용하려고 시도하면 잘못된 결과를 낼 수 있습니다:.

-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1

(틀림).

비슷하게:

{\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {-1}}=i

(틀림).

계산 규칙

{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}

그리고

{\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}

는 실수, $a$ 와 $b$ 의 비-음의 값에 대해 오직 유효합니다.^[2]

이들 문제는, $\sqrt -7$ 라기 보다는, $i \sqrt 7$ 와 같이 표현을 쓴 후에 조작함으로써 피할 수 있습니다. 보다 자세한 논의에 대해, 제곱근(Square root) 및 가지 점(Branch point)을 참조하십시오.

Properties

Square roots

The three cube roots of $i$ in the complex plane

$i$ 는 모든 복소수가 그런 것처럼, 두 개의 제곱근을 가집니다 (중복근을 가지는 영을 제외합니다). 이들 두 근은 다음 복소수로 표현될 수 있습니다:^{[nb 1]}

\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).

사실, 두 표현을 제곱하면:

{\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}

주요 제곱근(principal square root)에 대해 제곱근 기호를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

{\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).

Cube roots

$i$ 의 세 개의 세제곱근은

-i,

{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},

-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}.

1의 모든 근과 비슷하게, $i$ 의 모든 근은 복소 평면에서 단위 원(unit circle) 안에 새겨진 정다각형(regular polygon)의 꼭짓점입니다.

Multiplication and division

복소수에 $i$ 를 곱하면:

i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.

(이것은 복소 평면에서 원점에 대한 벡터의 90° 반-시계 회전과 동등합니다.)

$i$ 로 나누는 것은 $i$ 의 역수(reciprocal)에 의한 곱과 동등합니다:

{\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.

모든 복소수에 대한 $i$ 에 의한 나눗셈을 일반화하기 위해 이 항등식을 사용하면:

{\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.

(이것은 복소 평면에서 원점에 대한 벡터의 90° 시계 회전과 동등합니다.)

Powers

$i$ 의 거듭제곱은 다음 패턴으로 표현할 수 있는 주기로 반복됩니다. 여기서 $n$ 은 정수입니다:

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=-i,

이것은 다음 결론에 이릅니다:

i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}

여기서 모드는 모듈로 연산(modulo operation)을 나타냅니다. 동등하게:

i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)

$i$ raised to the power of $i$

오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하면, $i i$ 는

i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}

여기서 $k\in \mathbb {Z}$ , 정수(integer)의 집합.

주요 값 ( $k = 0$ 에 대해)은 $e -π/2$ 또는 근사적으로 0.207879576...^[3]

Factorial

허수 단위 $i$ 의 팩토리얼(factorial)은 $1 + i$ 에서 평가되는 감마 함수(gamma function)의 관점에서 가장 자주 제공됩니다:

i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.

또한,

|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}

^[4]

Other operations

실수와 함께 수행될 수 있는 많은 수학적 연산은 지수, 근, 로그, 및 삼각 함수와 같은, $i$ 와 함께 역시 수행될 수 있습니다. 다음의 모든 함수는 복소수(complex) 다중-값 함수(multi-valued function)이고, 그것은 함수가 실제로 정의되는 리만 곡면(Riemann surface)의 가지를 명확하게 명시해야 합니다. 목록화된 아래의 것은 가장 공통적인 선택된 가지에 대한 결과입니다.

$n i$ 거듭제곱을 올린 숫자는:

x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).

숫자의 $n i 번째$ 근은:

{\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \left({\frac {\ln x}{n}}\right)-i\sin \left({\frac {\ln x}{n}}\right).

숫자의 허수-밑 로그(imaginary-base logarithm)는:

\log _{i}(x)={\frac {2\ln x}{i\pi }}.

복소수 로그(complex logarithm)와 마찬가지로, 로그 밑수 $i$ 는 고유하게 정의되지 않습니다.

$i$ 의 코사인(cosine)은 실수입니다:

\cos i=\cosh 1={\frac {e+1/e}{2}}={\frac {e^{2}+1}{2e}}\approx 1.54308064\ldots

그리고 $i$ 의 사인(sine)은 순수 허수입니다:

\sin i=i\sinh 1={\frac {e-1/e}{2}}i={\frac {e^{2}-1}{2e}}i\approx (1.17520119\ldots )i.

Alternative notations

전기 공학(electrical engineering) 및 관련 분야에서, 허수 단위는, 전통적으로 $i (t)$ 또는 단지 $i$ 로 표시되는, 시간의 함수로 전류(electric current)와의 혼동을 피하기 위해 $j$ 로 통상적으로 표시됩니다.^[5] 파이썬 프로그래밍 언어(Python programming language)는 복소수의 허수 부분을 표시하기 위해 역시 $j$ 를 사용합니다. 매트랩(MATLAB)은 속도와 개선된 견고성을 위해, 비록 $1 i$ 또는 $1 j$ 가 바람직할지라도, $i$ 및 $j$ 둘 다를 허수 단위와 결합시킵니다.^[6]
일부 교과서는, 특히 인덱스 및 아래첨자와 혼동을 피하기 위해, 허수 단위에 대해 그리스 문자 아이오타(iota) ( $ι$ )를 사용합니다.
$i$ , $j$ , and $k$ 의 각각은 쿼터니언에서 허수 단위입니다. 이중벡터(bivector) 및 이중-쿼터니언(biquaternion)에서, 추가적인 허수 단위 $h$ 가 사용됩니다.

Notes

^ To find such a number, one can solve the equation
$(x + iy) 2 = i$
where $x$ and $y$ are real parameters to be determined, or equivalently
$x 2 + 2 ixy - y 2 = i$ .
Because the real and imaginary parts are always separate, we regroup the terms:
$x 2 - y 2 + 2 ixy = 0 + i$
and by equating coefficients, real part and real coefficient of imaginary part separately, we get a system of two equations:
$x 2 - y 2 = 0$

$2 xy = 1$ .
Substituting $y = 1/2 x$ into the first equation, we get
$x 2 - 1/4 x 2 = 0$

$x 2 = 1/4 x 2$

$4 x 4 = 1$
Because $x$ is a real number, this equation has two real solutions for $x$ : $x = 1/ \sqrt 2$ and $x = -1/ \sqrt 2$ . Substituting either of these results into the equation $2 xy = 1$ in turn, we will get the corresponding result for $y$ . Thus, the square roots of $i$ are the numbers $1/ \sqrt 2 + i / \sqrt 2$ and $-1/ \sqrt 2 - i / \sqrt 2$ . (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)

References

^ Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Circles Disturbed: The Interplay of Mathematics and Narrative (illustrated ed.). Princeton University Press. p. 225. ISBN 978-0-691-14904-2. Extract of page 225
^ Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12
^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
^ "abs(i!)", WolframAlpha.
^ Boas, Mary L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences (3. ed.). New York [u.a.]: Wiley. p. 49. ISBN 0-471-19826-9.
^ "MATLAB Product Documentation".

External links

Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence

[3] To find such a number, one can solve the equation
$(x + iy) 2 = i$
where $x$ and $y$ are real parameters to be determined, or equivalently
$x 2 + 2 ixy - y 2 = i$ .
Because the real and imaginary parts are always separate, we regroup the terms:
$x 2 - y 2 + 2 ixy = 0 + i$
and by equating coefficients, real part and real coefficient of imaginary part separately, we get a system of two equations:
$x 2 - y 2 = 0$

$2 xy = 1$ .
Substituting $y = 1/2 x$ into the first equation, we get
$x 2 - 1/4 x 2 = 0$

$x 2 = 1/4 x 2$

$4 x 4 = 1$
Because $x$ is a real number, this equation has two real solutions for $x$ : $x = 1/ \sqrt 2$ and $x = -1/ \sqrt 2$ . Substituting either of these results into the equation $2 xy = 1$ in turn, we will get the corresponding result for $y$ . Thus, the square roots of $i$ are the numbers $1/ \sqrt 2 + i / \sqrt 2$ and $-1/ \sqrt 2 - i / \sqrt 2$ . (University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.)

[1] Doxiadēs, Apostolos K.; Mazur, Barry (2012). Circles Disturbed: The Interplay of Mathematics and Narrative (illustrated ed.). Princeton University Press. p. 225. ISBN 978-0-691-14904-2. Extract of page 225

[2] Nahin, Paul J. (2010). An Imaginary Tale: The Story of "i" [the square root of minus one]. Princeton University Press. p. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9. Extract of page 12

[4] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[5] "abs(i!)", WolframAlpha.

[6] Boas, Mary L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences (3. ed.). New York [u.a.]: Wiley. p. 49. ISBN 0-471-19826-9.

[7] "MATLAB Product Documentation".

[1]

[2]

[nb 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

Imaginary unit

Definition