Improper rotation
| Group | S4 | S6 | S8 | S10 | S12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Subgroups | C2 | C3, S2 = Ci | C4, C2 | C5, S2 = Ci | C6, S4, C3, C2 |
| Example |  beveled digonal antiprism |
 triangular antiprism |
 square antiprism |
 pentagonal antiprism |
 hexagonal antiprism |
| Antiprisms with directed edges have rotoreflection symmetry. p-antiprisms for odd p contain inversion symmetry, Ci. | |||||
기하학(geometry)에서, 부적절한 회전(improper rotation)은, 역시 rotation-reflection,[1] rotoreflection,[2] rotary reflection,[3] 또는 rotoinversion[4]라고 불리며, 축에 대한 회전과 해당 축에 수직인 평면에서 반사의 조합인 유클리드 공간의 등거리변환(isometry)입니다. 반사와 반전(inversion)은 각각 부적절한 회전의 특수한 경우입니다. 임의의 부적절한 회전은 아핀 변환(affine transformation)이고, 고정된 좌표 원점을 유지하는 경우에서, 선형 변환(linear transformation)입니다.[5] 그것은 기하학적 대칭(geometric symmetry), 분자 대칭(molecular symmetry), 및 결정학(crystallography)의 맥락에서 대칭 연산(symmetry operation)으로 사용되며, 여기서 회전과 반사의 조합에 의해 변하지 않는 물체는 부적절한 회전 대칭을 가진다고 합니다.
Three dimensions
3차원에서, 부적절한 회전은 축에 대한 회전과 축 위의 점에서의 반전의 조합으로 동등하게 정의됩니다.[2] 이러한 이유로, 그것은 회전 반전(rotoinversion or rotary inversion)이라고도 불립니다. 두 정의는 각도 θ만큼 회전에 뒤이은 반사가 θ + 180°만큼 회전에 뒤이은 반전 (반사 평면에 있는 반전 점을 취함)과 같은 변환이기 때문에 동등합니다. 두 정의 모두에서, 연산은 교환합니다.
하나의 고정된 점(fixed point)만 가지는 3-차원 대칭은 필연적으로 부적절한 회전입니다.[3]
따라서 대상의 부적절한 회전은 그것의 거울 이미지의 회전을 생성합니다. 그 축은 회전-반사 축(rotation-reflection axis)이라고 불립니다.[6] 이것은 반사 전후의 회전의 각도가 360°/n (여기서 n은 짝수여야 함)이면 n-겹 부적절한 회전(n-fold improper rotation)이라고 불립니다.[6] 구별되는 부적절한 회전의 이름을 지정하는 데 여러 다른 시스템이 있습니다:
- 쇤플리스 표기법(Schoenflies notation)에서, 기호 Sn (독일어, Spiegel, 거울)는, 여기서 n은 짝수여야 하며, n-겹 부적절한 회전에 의해 생성된 대칭 그룹을 나타냅니다. 예를 들어, 대칭 연산 S6은 (360°/6)=60°의 회전과 거울 평면 반사의 조합입니다. (이것은 대칭 그룹에 대한 같은 표기법과 혼동해서는 안 됩니다).[6]
- 헤르만-모갱 표기법(Hermann–Mauguin notation)에서, 기호 n은 n-겹 회전-반전(n-fold rotoinversion)에 사용됩니다; 즉, 반전을 갖는 360°/n의 회전 각도만큼 회전합니다. 만약 n이 짝수이면, 그것은 4로 나눌 수 있어야 합니다. (2는 단순히 반사이고, 통상적으로 "거울(mirror)"에 대해 "m"으로 표시됩니다.) 만약 n이 홀수일 때, 이것은 2n-겹 부적절한 회전 (또는 회전 반사)에 해당합니다.
- S2n에 대한 콕서터 표기법(Coxeter notation)은 [2n+,2+]이고
에 대해 [2n,2]의 인덱스 4 부분그룹, 
에 대해 3회 반사의 곱으로 생성된 것입니다. - 오비폴드 표기법(orbifold notation)은 n×, 차수 2n입니다.
Subgroups for S2 to S20.
C1 is the identity group.
S2 is the central inversion.
Cn are cyclic groups.
Subgroups
- S2n의 직접 부분그룹(direct subgroup)은 Cn, 차수 n, 인덱스 2, 두 번 적용된 회전반사 생성기입니다.
- 홀수 n에 대해, S2n은 Ci 또는 S2로 표시되는 반전(inversion)을 포함합니다. S2n은 직접 곱(direct product)입니다: n이 홀수이면 S2n = Cn × S2입니다.
- 임의의 n에 대해, 홀수 p가 n의 약수이면, S2n/p는 S2n의 부분그룹, 인덱스 p입니다. 예를 들어 S4는 S12의 부분그룹, 인덱스 3입니다.
As an indirect isometry
더 넓은 의미에서, 부적절한 회전은 임의의 간접적인 등거리변환(indirect isometry)으로 정의될 수 있습니다; 즉, E(3)\E+(3)의 원소입니다: 따라서 그것은 평면에서 순수한 반사이거나, 미끄러짐 평면(glide plane)을 가질 수도 있습니다. 간접 등거리변환은 −1의 행렬식을 가지는 직교 행렬(orthogonal matrix)을 갖는 아핀 변환(affine transformation)입니다.
적절한 회전(proper rotation)은 보통의 회전입니다. 더 넓은 의미에서, 적절한 회전은 직접적인 등거리변환(direct isometry)으로 정의됩니다; 즉, E+(3)의 원소입니다: 그것은 항등식, 축을 따라 평행이동을 갖는 회전, 또는 순수 평행이동일 수도 있습니다. 직접 등거리변환은 1의 행렬식을 가지는 직교 행렬을 갖는 아핀 변환입니다.
좁은 의미나 넓은 의미에서, 두 개의 부적절한 회전의 합성은 적절한 회전이고, 부적절한 회전과 적절한 회전의 합성은 부적절한 회전입니다.
Physical systems
부적절한 회전 아래에서 물리적 시스템의 대칭을 연구할 때 (예를 들어, 시스템이 거울 대칭 평면을 가지면), 벡터와 유사벡터 (마찬가지로 스칼라와 유사스칼라, 및 일반적으로 텐서와 유사텐서)를 구별하는 것이 중요한데, 왜냐하면 후자는 적절한 회전과 부적절한 회전 아래에서 다르게 변환되기 때문입니다 (3차원에서, 유사벡터는 반전 아래에서 불변입니다).
See also
References
- ^ Miessler, Gary; Fischer, Paul; Tarr, Donald (2014), Inorganic Chemistry (5 ed.), Pearson, p. 78
- ^ a b Morawiec, Adam (2004), Orientations and Rotations: Computations in Crystallographic Textures, Springer, p. 7, ISBN 978-3-540-40734-8.
- ^ a b Kinsey, L. Christine; Moore, Teresa E. (2002), Symmetry, Shape, and Surfaces: An Introduction to Mathematics Through Geometry, Springer, p. 267, ISBN 978-1-930190-09-2.
- ^ Klein, Philpotts (2013). Earth Materials. Cambridge University Press. pp. 89–90. ISBN 978-0-521-14521-3.
- ^ Salomon, David (1999), Computer Graphics and Geometric Modeling, Springer, p. 84, ISBN 978-0-387-98682-1.
- ^ a b c Bishop, David M. (1993), Group Theory and Chemistry, Courier Dover Publications, p. 13, ISBN 978-0-486-67355-4.