Incircle and excircles

Original article: w:Incircle and excircles

"Incircle" redirects here. For incircles of non-triangle polygons, see Tangential quadrilateral and Tangential polygon.

A      triangle with      incircle, incenter ($I$),      excircles, excenters ($J_{A}$, $J_{B}$, $J_{C}$),      internal angle bisectors and      external angle bisectors. The      green triangle is the excentral triangle.

기하학(geometry)에서, 삼각형(triangle)의 내-원(incircle) 또는 내접된 원(inscribed circle)은 삼각형에 포함된 가장 큰 원(circle)입니다; 그것은 세 변에 닿습니다 (그것에 접(tangent)합니다). 원의 중심은 삼각형의 내-중심(incenter)이라고 불리는 삼각형 중심(triangle center)입니다.

삼각형의 외-원(excircle) 또는 외접된 원(escribed circle)은 삼각형의 밖에 놓이며, 그것의 변 중 하나에 접하고 다른 두 연장선(extensions of the other two)에 접하는 원입니다. 모든 각 삼각형은 세 구별되는 외-원을 가지며, 삼각형의 변의 하나에 각각 접합니다.

내-중심(incenter)이라고 불리는 내-원의 중심은 세 내부(internal) 각도 이등분선(angle bisector)의 교차로 찾아질 수 있습니다. 외-원의 중심은 (예를 들어 꼭짓점 $A$에서) 한 각도의 내부 이등분선과 다른 두 각도의 외부(external) 이등분선의 교차입니다. 이 외-원의 중심은 꼭짓점 $A$와 관련된 외-중심(excenter), 또는 $A$의 외-중심이라고 불립니다. 각도의 내부 이등분선은 그것의 외부 이등분선에 수직이기 때문에, 세 외-원 중심과 함께 내-원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system)을 형성합니다.

모든 정규 다각형(regular polygon)은 모든 변에 접하는 내-중심을 가지지만, 모든 다각형이 그런 것은 아닙니다; 그렇게 되는 그들은 접하는 다각형(tangential polygon)입니다. 역시 원의 접선(Tangent lines to circles)을 참조하십시오.

Incircle and incenter

See also: Incenter

$\triangle ABC$가 반지름 $r$과 중심 $I$를 갖는 내-원을 가짐을 가정합니다. $a$를 $BC$의 길이, $b$를 $AC$의 길이, 및 $c$를 $AB$의 길이로 놓습니다. 역시 $T_{A}$, $T_{B}$, 및 $T_{C}$를 내-원이 $BC$, $AC$, 및 $AB$에 접촉하는 접촉점으로 놓습니다.

Incenter

내-중심은 $\angle ABC,\angle BCA$ 및 $\angle BAC$의 내부 각도 이등분선(angle bisectors)이 만나는 점입니다.

꼭짓점 $A$에서 내-중심 $I$까지의 거리는 다음입니다:

$d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}.$

Trilinear coordinates

삼각형 안의 한 점에 대해 삼-선형 좌표(trilinear coordinates)는 삼각형 변에 대한 모든 거리의 비율입니다. 내-중심이 삼각형의 모든 변으로부터 같은 거리이기 때문에, 내-중심에 대해 삼-선형 좌표는 다음입니다:

$\ 1:1:1.$

Barycentric coordinates

삼각형 안의 한 점에 대해 질량-중심 좌표(barycentric coordinates)는 그 점이 삼각형 꼭짓점 위치의 가중된 평균을 만족하는 무게를 제공합니다. 내-중심에 대해 질량-중심 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

$\ a:b:c$

여기서 $a$, $b$, 및 $c$는 삼각형의 변의 길이, 또는 동등하게 (사인의 법칙(law of sines)을 사용하여) 다음입니다:

$\sin(A):\sin(B):\sin(C)$

여기서 $A$, $B$, 및 $C$는 세 꼭짓점에서 각도입니다.

Cartesian coordinates

내-중심의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)는 둘레에 관련된 삼각형의 변 길이를 가중으로 사용하여 (즉, 합해서 단위가 되는 정규화된, 위에서 주어진 질량-중심 좌표를 사용하여) 세 꼭짓점의 좌표의 가중된 평균입니다. 가중은 양수이므로 내-중심은 위에 언급된 것처럼 삼각형 내부에 놓입니다. 만약 세 꼭짓점이 $(x_{a},y_{a})$, $(x_{b},y_{b})$, 및 $(x_{c},y_{c})$에 위치되고, 이들 꼭짓점의 반대쪽 변은 해당하는 길이 $a$, $b$, 및 $c$를 가지면, 내-중심은 다음에 있습니다:

$\left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.$

Radius

길이 $a$, $b$, $c$의 변을 갖는 삼각형에서 내-중심의 내-반지름 $r$은 다음에 의해 제공됩니다:

$r={\frac {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}},$ where $s=(a+b+c)/2.$

헤론의 공식(Heron's formula)을 참조하십시오.

Distances to the vertices

$\triangle ABC$의 내-중심을 $I$로 나타내면, 삼각형 변의 길이와 결합된 내-중심에서 꼭짓점까지 거리는 다음 방정식을 따릅니다:

${\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.$

추가적으로,

$IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},$

여기서 $R$과 $r$은 각각 삼각형의 둘레-반지름(circumradius)과 내-반지름(inradius)입니다.

Other properties

삼각형 중심의 모음은 삼-선형 좌표의 좌표-별 곱셈 아래에서 그룹(group)의 구조를 제공할 수 있습니다; 이 그룹에서, 내-중심은 항등 원소(identity element)를 형성합니다.

Incircle and its radius properties

Distances between vertex and nearest touchpoints

꼭짓점으로부터 두 가장-가까운 접촉점까지의 거리는 같습니다; 예를 들어:

$d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a).$

Other properties

내-중심의 접하는 점은 변을 $x$와 $y$, $y$와 $z$, 및 $z$와 $x$로 나눈다고 가정합니다. 그런-다음 내-중심은 다음 반지름을 가집니다:

$r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}$

그리고 삼각형의 넓이는 다음입니다:

$\Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.$

만약 길이 $a$, $b$, 및 $c$의 변으로부터 고도가 $h_{a}$, $h_{b}$, 및 $h_{c}$이면, 내-반지름 $r$은 이들 고도(altitudes)의 조화 평균(harmonic mean)의 삼분의 일입니다. 즉,

$r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.$

변 $a$, $b$, 및 $c$를 갖는 삼각형의 내-원 반지름 $r$과 둘레-원(circumcircle) 반지름 $R$의 곱은 다음입니다:

$rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.$

변, 내-원 반지름, 및 둘레-원 반지름 사이의 일부 관계는 다음입니다:

${\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}$

삼각형의 넓이와 그것의 둘레를 절반으로 나누는 삼각형을 통과하는 임의의 직선은 삼각형의 내-중심 (내-원의 중심)을 통과합니다. 임의의 주어진 삼각형에 대해 이들의 하나, 둘, 또는 셋이 있습니다.

$\triangle ABC$의 내-원의 중심을 $I$로 나타내면, 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1$

및

$IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.$

내-원 반지름은 고도의 합의 구분의 일보다 크지 않습니다.

내-중심 $I$에서 둘레-중심 $O$까지 제곱된 거리는 다음에 의해 제공됩니다:

$OI^{2}=R(R-2r)$,

그리고 내-중심에서 아홉-점 원(nine point circle)의 중심 $N$까지 거리는 다음입니다:

$IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.$

내-중심은 중간점 삼각형(medial triangle) 안에 놓입니다 (그의 꼭짓점이 변의 중간-점입니다).

Relation to area of the triangle

내-원의 반지름은 삼각형의 넓이(area)와 관련됩니다. 삼각형의 넓이에 대한 내-원의 넓이의 비율은 ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$보다 작거나 같으며, 등변 삼각형(equilateral triangle)에 대해 오직 상등을 유지시킵니다.

$\triangle ABC$가 반지름 $r$과 중심 $I$를 갖는 내-원을 가짐을 가정합니다. $a$를 $BC$의 길이, $b$를 $AC$의 길이, 및 $c$를 $AB$의 길이로 놓습니다. 이제, 내-원은 어떤 점 $C'$에서 $AB$에 접하고, 따라서 $\angle AT_{C}I$은 직각입니다. 그러므로, 반지름 $T_{C}I$는 $\triangle IAB$의 고도(altitude)입니다. 따라서 $\triangle IAB$는 밑변 길이 $c$와 높이 $r$을 가지고, 따라서 넓이 ${\tfrac {1}{2}}cr$를 가집니다. 비슷하게, $\triangle IAC$는 넓이 ${\tfrac {1}{2}}br$을 가지고 $\triangle IBC$는 넓이 ${\tfrac {1}{2}}ar$을 가집니다. 이들 세 삼각형은 $\triangle ABC$을 분해하기 때문에, 우리는 넓이 $\Delta {\text{ of }}\triangle ABC$가 다음임을 알 수 있습니다:

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,$     and     $r={\frac {\Delta }{s}},$

여기서 $\Delta$는 $\triangle ABC$의 넓이이고 $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$는 반-둘레(semiperimeter)입니다.

대안적인 공식에 대해, $\triangle IT_{C}A$을 생각해 보십시오. 이것은 $r$과 같은 한 변과 $r\cot \left({\frac {A}{2}}\right)$과 같은 다른 변을 갖는 직각 삼각형입니다. 같은 것은 $\triangle IB'A$에 대해 참입니다. 큰 삼각형은 여섯 그러한 삼각형으로 분해되고 전체 넓이는 다음입니다:

$\Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right).$

Gergonne triangle and point

A triangle, $\triangle ABC$, with      incircle,      incenter ($I$),      contact triangle ($\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$) and      Gergonne point ($G_{e}$)

$\triangle ABC$의 제르곤 삼각형(Gergonne triangle)은 세 변 위에 내-원의 세 접촉-점에 의해 정의됩니다. 접촉-점 반대편 $A$는 $T_{A}$, 등으로 표시됩니다.

이 제르곤 삼각형, $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$는 $\triangle ABC$의 접촉 삼각형(contact triangle) 또는 내-접촉 삼각형(intouch triangle)으로 알려져 있습니다. 그것의 넓이는 다음입니다:

$K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}$

여기서 $K$, $r$, 및 $s$는 넓이, 내-원(incircle)의 반지름, 및 원래 삼각형의 반-둘레이고, $a$, $b$, 및 $c$는 원래 삼각형의 변 길이입니다. 이것은 외-접촉 삼각형(extouch triangle)의 넓이와 같은 넓이입니다.

단일 점에서 세 직선 $AT_{A}$, $BT_{B}$ 및 $CT_{C}$의 교차는 제르곤 점이라고 불리며, $G_{e}$로 표시됩니다 (또는 삼각형 중심(triangle center) X₇). 제르곤 점은 그 자체의 중심에서 구멍이 난 열린 직교-도형중심의 디스크(orthocentroidal disk)에 놓이고, 거기에 임의의 점이 될 수 있습니다.

삼각형의 제르곤 점은 여러 속성을 가지며, 그것이 제르곤 삼각형의 대칭-중앙 점(symmedian point)이라는 것을 포함합니다.

내-접촉 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

• ${\text{vertex}}\,T_{A}=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,T_{B}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,T_{C}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0.$

제르곤 점에 대해 삼-선 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

$\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),$

또는, 동등하게, 사인의 법칙(Law of Sines)에 의해,

${\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.$

Excircles and excenters

A      triangle with      incircle, incenter $I$),      excircles, excenters ($J_{A}$, $J_{B}$, $J_{C}$),      internal angle bisectors and      external angle bisectors. The      green triangle is the excentral triangle.

삼각형의 외-원(excircle) 또는 외접된 원(escribed circle)은 삼각형 밖에 놓이는 원이며, 그것의 변의 하나에 접하고 다른 두 변의 연장선에 접합니다. 모든 각 삼각형은 세 구별되는 외-원을 가지며, 삼각형의 변 중 하나에 각각 접합니다.

외-원의 중심은 (예를 들어, 꼭짓점 $A$에서) 한 각도의 내부 이등분선과 다른 두 각도의 외부(external) 이등분선의 교차입니다. 이 외-원의 중심은 꼭짓점 $A$에 관련된 외-중심 또는 $A$의 외-중심으로 불립니다. 각도의 내부 이등분선은 그것의 외부 이등분선에 직교하기 때문에, 세 외-원 중심과 함께 내-원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system)을 형성합니다.

Trilinear coordinates of excenters

$\triangle ABC$의 내-중심(incenter)은 삼-선형 좌표(trilinear coordinates) $1:1:1$이지만, 외-중심은 삼-선형 $-1:1:1$, $1:-1:1$, 및 $1:1:-1$를 가집니다.

Exradii

외-원의 반지름은 외-반지름(exradii)이라고 불립니다.

$A$ 반대편 외-원의 외-반지름은 (그래서 $BC$에 접촉하는, $J_{A}$에 중심을 둔) 다음입니다:

$r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},$ where $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$

헤론의 공식(Heron's formula)을 참조하십시오.

Derivation of exradii formula

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변 $AB$에서 외-원이 $G$에서 연장된 변 $AC$에 접촉하는 것으로 놓고, 이 외-원의 반지름을 $r_{c}$ 및 그것의 중심을 $J_{c}$로 놓습니다.

그런-다음 $J_{c}G$는 $\triangle ACJ_{c}$의 고도이므로, $\triangle ACJ_{c}$ 는 넓이 ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$를 가집니다. 같은 논증에 의해, $\triangle BCJ_{c}$는 넓이 ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$를 가지고 $\triangle ABJ_{c}$는 넓이 ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$를 가집니다. 따라서 삼각형 $\triangle ABC$의 넓이 $\Delta$는 다음입니다:

$\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}$.

따라서, 대칭에 의해, $r$을 내-원의 반지름으로 나타내면,

$\Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}$.

코사인의 법칙(Law of Cosines)에 의해, 우리는 다음을 가집니다:

$\cos(A)={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

이것을 항등식 $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$에 결합하면, 우리는 다음을 얻습니다:

$\sin(A)={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}$

그러나, $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin(A)$이고, 따라서

${\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}$

이것은 헤론의 공식(Heron's formula)입니다.

이것을 $sr=\Delta$와 결합하면, 우리는 다음을 가집니다:

$r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$

비슷하게, $(s-a)r_{a}=\Delta$는 다음을 제공합니다:

$r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}$

및

$r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.$

Other properties

위의 공식으로부터 우리는 외-원이 항상 내-원보다 더 크고 가장-큰 외-원이 가장-긴 변에 접하는 것이고 가장 작은 외-원이 가장 짧은 변에 접함을 알 수 있습니다. 게다가, 이 공식들을 결합하면 다음을 산출합니다:

$\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

Other excircle properties

외-원의 원형 껍질(hull)은 각 외-원에 내부적으로 접하고 따라서 아폴로니우스 원(Apollonius circle)입니다. 이 아폴로니우스 원의 반지름은 ${\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$이며 여기서 $r$은 내-원 반지름이고 $s$는 삼각형의 반-둘레입니다.

다음 관계는 내-반지름 $r$, 둘레-반지름 $R$, 반-둘레 $s$, 및 외-원 반지름 $r_{a}$, $r_{b}$, $r_{c}$ 사이에 유지됩니다:

${\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}$

세 외-원의 반지름을 통과하는 원은 반지름 $2R$을 가집니다.

만약 $H$가 $\triangle ABC$의 수직-중심(orthocenter)이면,

${\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}$

Nagel triangle and Nagel point

Main article: Extouch triangle

The      extouch triangle ($\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$) and the      Nagel point ($N$) of a      triangle ($\triangle ABC$). The orange circles are the excircles of the triangle.

$\triangle ABC$의 나겔 삼각형(Nagel triangle) 또는 외-접촉 삼각형(extouch triangle)은 외-원이 참조 $\triangle ABC$에 접촉하고 $T_{A}$가 $A$의 반대편, 등인 세 점인 꼭짓점 $T_{A}$, $T_{B}$, 및 $T_{C}$에 의해 나타냅니다. 이 $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$는 $\triangle ABC$의 외-접촉 삼각형(extouch triangle)으로 역시 알려져 있습니다. 외-접촉 $\triangle T_{A}T_{B}T_{C}$의 둘레-원(circumcircle)은 맨다트 원(Mandart circle)이라고 불립니다.

세 직선 $AT_{A}$, $BT_{B}$ 및 $CT_{C}$는 삼각형의 (둘레-)나눔선(splitters)이라고 불립니다; 그것들은 삼각형의 둘레를 각각 이등분합니다,

$AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{2}}\left(AB+BC+AC\right).$

나눔선은 단일 점, 삼각형의 나겔 점(Nagel point) $N_{a}$ (또는 삼각형 중심(triangle center) X₈)에서 교차합니다.

외-접촉 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

• ${\text{vertex}}\,T_{A}=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,T_{B}=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
• ${\text{vertex}}\,T_{C}=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0.$

나겔 점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

$\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),$

또는, 동등하게, 사인의 법칙(Law of Sines)에 의해,

${\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.$

나겔 점은 제르곤 점의 동위 켤레(isotomic conjugate)입니다.

Related constructions

Nine-point circle and Feuerbach point

Main article: Nine-point circle

The nine-point circle is tangent to the incircle and excircles

기하학(geometry)에서, 아홉-점 원(nine-point circle)은 임의의 주어진 삼각형(triangle)에 대해 구성될 수 있는 원(circle)입니다. 그것은 삼각형으로 정의된 아홉 개의 중요한 일치-순환 점(concyclic points)을 통과하기 때문에 그렇게 이름-지어졌습니다. 이들 아홉 점(points)은 다음입니다:

• 삼각형의 각 변의 중간-점(midpoint)
• 각 고도(altitude)의 발(foot)
• 삼각형의 각 꼭짓점(vertex)으로부터 수직-중심(orthocenter)까지의 선분(line segment)의 중간-점 (여기서 세 고도가 만납니다: 이들 선분은 그들 각각의 고도 위에 놓입니다).

1822년에 카를 포이어바는 임의의 삼각형의 아홉-점 원이 해당 삼각형의 세 외-원(excircle)에 외부적으로 접(tangent)하고 그것의 내-원(incircle)에 내부적으로 접함을 발견했습니다; 이 결과는 포이어바의 정리(Feuerbach's theorem)로 알려져 있습니다. 그는 다음임을 입증했습니다:

... 삼각형의 고도의 발을 통과하는 그 원은 삼각형의 모든 세 변에 차례로 접하는 모든 네 원에 접합니다 ... (Feuerbach 1822)

내-원과 아홉-점 원이 접촉하는 삼각형 중심(triangle center)은 포이어바 점(Feuerbach point)이라고 불립니다.

Incentral and excentral triangles

선분 $BC$, $CA$, 및 $AB$를 갖는 $\triangle ABC$의 내부 각도 이등분선의 교차의 점은 내-중심 삼각형(incentral triangle)의 꼭짓점입니다. 내-중심 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

• $\ \left({\text{vertex opposite}}\,A\right)=0:1:1$
• $\ \left({\text{vertex opposite}}\,B\right)=1:0:1$
• $\ \left({\text{vertex opposite}}\,C\right)=1:1:0.$

참조 삼각형의 외-중심 삼각형(excentral triangle)은 참조 삼각형의 외-원의 중심에서 꼭짓점을 가집니다. 그것의 변은 참조 삼각형의 외부 각도 이등분선 위에 있습니다 (이 기사의 꼭대기에 그림을 참조하십시오). 외-중심 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:

• $({\text{vertex opposite}}\,A)=-1:1:1$
• $({\text{vertex opposite}}\,B)=1:-1:1$
• $({\text{vertex opposite}}\,C)=1:1:-1.$

Equations for four circles

$x:y:z$를 삼-선형 좌표(trilinear coordinates)에서 변수 점으로 놓고, $u=\cos ^{2}\left(A/2\right)$, $v=\cos ^{2}\left(B/2\right)$, $w=\cos ^{2}\left(C/2\right)$으로 놓습니다. 위에 묘사된 네 원은 두 주어진 방정식의 하나에 의해 동등하게 제공됩니다:

• 내-원:

  ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$

• $A$-외원:

  ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$

• $B$-외원:

  ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$

• $C$-외원:

  ${\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}$

Euler's theorem

오일러 정리(Euler's theorem)는 삼각형에서 다음임을 말합니다:

$(R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},$

여기서 $R$와 $r$은 각각 둘레-반지름과 내-반지름이고, $d$는 둘레-중심(circumcenter)과 내-중심 사이의 거리입니다.

외-원에 대해, 그 방정식은 비슷합니다:

$\left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},$

여기서 $r_{\text{ex}}$는 외-원 중 하나의 반지름이고, $d_{\text{ex}}$는 둘레-중심과 해당 외-원의 중심 사이의 거리입니다.

Generalization to other polygons

일부 (그러나 전부는 아님) 사변형(quadrilateral)은 내-원을 가집니다. 이들은 접하는 사변형(tangential quadrilateral)이라고 불립니다. 그들의 많은 속성 중에서 아마도 가장 중요한 것은 그들의 반대편 변의 두 쌍이 같은 합을 가진다는 것입니다. 이것은 피토 정리(Pitot theorem)라고 불립니다.

보다 일반적으로, 내접된 원을 가지는 임의의 숫자의 변을 갖는 다각형은 접하는 다각형(tangential polygon)으로 불립니다.

See also

• Circumgon
• Circumscribed circle
• Ex-tangential quadrilateral
• Harcourt's theorem
• Inconic
• Inscribed sphere
• Power of a point
• Steiner inellipse
• Tangential quadrilateral
• Trillium theorem

References

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177.

External links

• Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
• Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld.

Interactive

• Triangle incenter   Triangle incircle  Incircle of a regular polygon   With interactive animations
• Constructing a triangle's incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
• Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
• Five Incircles Theorem at cut-the-knot
• Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
• An interactive Java applet for the incenter