미적분학(calculus) 과 수학적 해석학(mathematical analysis) 의 다른 가지에서, 독립 변수에서 함수의 대수적 조합을 포함하는 극한은 이들 함수를 그들의 극한(limits) 으로 대체하여 종종 평가될 수 있습니다; 만약 이 대체 후에 얻은 표현이 원래 극한을 결정하기 위해 충분한 정보를 제공하지 않으면, 그것은 불확정 형식 (indeterminate form )을 취한다고 말합니다. 용어는 원래 19세기 중반에 코시(Cauchy) 의 학생 모이그노(Moigno) 에 의해 도입되었습니다.
문헌에서 전형적으로 고려되는 불확정 형식은 다음과 같이 표시됩니다:
0
0
,
∞
∞
,
0
×
∞
,
1
∞
,
∞
−
∞
,
0
0
and
∞
0
.
{\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ and }}\infty ^{0}.}
불확정 형식의 가장 공통적인 예제는 두 함수의 비율로 발생하며, 이들 함수 둘 다는 극한에서 영으로 가는 경향이 있고, "불확정 형식 0/0"으로 언급됩니다. x 가 0에 가까워지면, 비율 x /x 3 , x /x , 및 x 2 /x 은, 각각, ∞, 1 및 0으로 갑니다. 각각의 경우에서, 만약 분자와 분모의 극한이 대체되면, 결과 표현은 0/0이며, 이는 정의되지 않습니다. 그래서, 말하자면, 0/0은 값 0, 1 또는 ∞을 취할 수 있고, 극한은 임의의 특정 값에 대해 유사한 예제를 구성할 수 있습니다.
보다 형식적으로, x 가 어떤 극한 점(limit point) c 에 접근할 때 함수(functions) f (x )와 g (x )가 모두 0에 접근하는 것으로 주어질 때 극한(limit) 을 평가하기 위해 충분한 정보를 가지지 않습니다:
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.}
모든 각 정의되지 않은 대수 표현이 불확정 형식에 해당하는 것은 아닙니다. 예를 들어, 표현 1/0은 실수(real number) 로 정의되지 않지만 불확정 형식에 해당하지 않습니다. 왜냐하면 이 형식을 발생시키는 극한은 무한대로 발산(divergence to infinity) 하기 때문입니다.
불확정 형식 표현은 일부 문맥에서 값을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 만약 κ 가 무한 세는-숫자(cardinal number) 이면, 표현 0κ 0 , 1κ κ 0 은 세는-숫자 연산(cardinal arithmetic) 의 문맥에서 잘 정의됩니다. 영의 거듭제곱을 갖는 영(Zero to the power of zero) 을 참조하십시오. 무한대 거듭제곱을 갖는 영은 불확정 형식이 아니라는 점에 유의하십시오 .
Some examples and non-examples Indeterminate form 0/0 불확정 형식 0/0은 미적분학 에서 특히 공통적이며, 왜냐하면 그것은 그들의 극한 정의를 사용하여 도함수(derivative) 의 평가에서 자주 발생하기 때문입니다.
위에서 언급한 것처럼,
lim
x
→
0
x
x
=
1
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad }
반면에
lim
x
→
0
x
2
x
=
0
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad }
이것은 0/0이 불확정 형식인 것을 보여주기에 충분합니다. 이 불확정 형식을 갖는 다른 예제는 다음과 같습니다:
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
1
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad }
그리고
lim
x
→
49
x
−
49
x
−
7
=
14
,
{\displaystyle \lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad }
x 가 이들 표현에 접근하는 숫자의 직접 치환은 이들이 불확정 형식 0/0의 예제인 것을 보여 주지만, 이들 극한은 많은 다른 값을 취합니다. 임의의 원하는 값 a 는 다음과 같이 이 불확정 형식에 대해 얻어질 수 있습니다:
lim
x
→
0
a
x
x
=
a
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad }
값 무한대는 (무한대로 발산의 의미에서) 역시 얻어질 수 있습니다:
lim
x
→
0
x
x
3
=
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad }
Indeterminate form 00 다음 극한은, 표현 00 이 불확정 형식인 것을 묘사합니다:
lim
x
→
0
+
x
0
=
1
,
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad }
lim
x
→
0
+
0
x
=
0.
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad }
따라서, 일반적으로,
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!}
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.}
만약 함수 f 와 g 가 c 에서 해석적(analytic) 이면, 그리고 f 가 c 에 충분히 가까지만 같이 않은 x 에 대해 양수이면, f (x ) g (x ) 의 극한은 1이 될 것입니다.[1] 테이블(table) 에서 변환을 사용하십시오.
Expressions that are not indeterminate forms 표현 1/0은 공통적으로 불확정 형식으로 여겨지지 않는데 왜냐하면 f /g 가 접근하는 값의 무한대 범위가 없기 때문입니다. 구체적으로, 만약 f 가 1에 접근하고 g 가 0에 접근하면, f 와 g 는 (1) f /g 가 +∞에 근접하거나, (2) f /g 가 –∞에 접근하거나, (3) 극한이 존재하지 않는 것 중에서 선택될 수 있습니다. 각 경우에서 절대 값 |f /g |는 +∞에 접근하고, 그래서 몫 f /g 는, 확장된 실수(extended real number) 의 의미에서, 반드시 발산합니다. (투영적으로 확장된 실수 직선 의 프레임워크에서, 극한은 모든 세가지 경우에서 부호없는 무한대(unsigned infinity) ∞입니다.) 비슷하게, a ≠ 0a = +∞a = −∞a /0의 임의의 표현은 불확정 형식이 아닌데 왜냐하면 그러한 표현에서 발생하는 몫은 항상 발산하기 때문입니다.
표현 0∞ 은 불확정 형식이 아닙니다. 표현 0+∞ 은 주어진 개별 극한에 대해 극한하는 값 0을 가지고, 표현 0−∞ 은 1/0과 동등합니다.
Evaluating indeterminate forms 형용사 불확정 은, 위의 많은 예제에서 보여 주듯이, 극한이 존재하지 않는다는 것을 의미하지는 않습니다 . 많은 경우에서, 대수적 제거, 르피탈의 규칙 , 또는 다른 방법은 표현을 조작하기 위해 사용될 수 있으며 그래서 극한은 평가될 수 있습니다.
예를 들어, 표현 x 2 /x 은 x = 0이 아닌 임의의 다른 점에서 x 로 단순화될 수 있습니다. 따라서, x 가 0으로 접근할 때 (x = 0 그 자체가 아닌, 0에 가까운 점들에 의존하는) 이 표현의 극한은 x 의 극한이고, 이것은 0입니다. 위의 다른 대부분의 예제는 대수 단순화를 사용하여 역시 평가될 수 있습니다.
Equivalent infinitesimal 두 변수
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
lim
β
α
=
1
{\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}
동등 무한소 (equivalent infinitesimal )라고 불립니다.
불확정 형식 0/0의 평가에 대해, 다음과 같은 동등 무한소(infinitesimal) 를 사용할 수 있습니다:[2]
x
∼
sin
x
,
{\displaystyle x\sim \sin x,}
x
∼
arcsin
x
,
{\displaystyle x\sim \arcsin x,}
x
∼
sinh
x
,
{\displaystyle x\sim \sinh x,}
x
∼
tan
x
,
{\displaystyle x\sim \tan x,}
x
∼
arctan
x
,
{\displaystyle x\sim \arctan x,}
x
∼
ln
(
1
+
x
)
,
{\displaystyle x\sim \ln(1+x),}
1
−
cos
x
∼
x
2
2
,
{\displaystyle 1-\cos x\sim {\frac {x^{2}}{2}},}
cosh
x
−
1
∼
x
2
2
,
{\displaystyle \cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},}
a
x
−
1
∼
x
ln
a
,
{\displaystyle a^{x}-1\sim x\ln a,}
e
x
−
1
∼
x
,
{\displaystyle e^{x}-1\sim x,}
(
1
+
x
)
a
−
1
∼
a
x
.
{\displaystyle (1+x)^{a}-1\sim ax.}
예를 들어:
lim
x
→
0
1
x
3
[
(
2
+
cos
x
3
)
x
−
1
]
=
lim
x
→
0
e
x
ln
2
+
cos
x
3
−
1
x
3
=
lim
x
→
0
1
x
2
ln
2
+
cos
x
3
=
lim
x
→
0
1
x
2
ln
(
cos
x
−
1
3
+
1
)
=
lim
x
→
0
cos
x
−
1
3
x
2
=
−
1
6
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}=-{\frac {1}{6}}}
다음은 간단한 증명입니다:
두 동등 무한소
α
∼
α
′
{\displaystyle \alpha \sim \alpha '}
β
∼
β
′
{\displaystyle \beta \sim \beta '}
lim
β
α
=
lim
β
β
′
α
′
β
′
α
′
α
=
lim
β
β
′
lim
α
′
α
lim
β
′
α
′
=
lim
β
′
α
′
{\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}
L'Hôpital's rule 르피탈의 규칙은 불확정 형식 0/0 및 ∞/∞을 평가할 것에 대해 일반적인 방법입니다. 이 규칙은 (접근 조건 아래에서) 다음과 같다고 말합니다:
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
,
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},\!}
여기서 f' 와 g' 는 f 와 g 의 도함수(derivative) 입니다. (이 규칙은 표현 ∞/0, 1/0, 등등에 적용할 수 없음 에 주의하십시오; 이들 표현은 불확정 형식이 아닙니다.) 이들 도함수는 대수 단순화를 수행하고 결국 극한을 평가하는 것을 허용합니다.
르피탈의 규칙은, 먼저 적절한 대수적 변환을 사용하여, 다른 불확정 형식에 역시 적용될 수 있습니다. 예를 들어, 형태 00 을 평가하기 위해:
ln
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
.
{\displaystyle \ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.\!}
오른쪽 변은 형태 ∞/∞이며, 그래서 르피탈의 규칙이 적용됩니다. 자연 로그(natural logarithm) (ln)이 연속 함수(continuous function) 이기 때문에 (오른쪽 변이 정의되는 한) 이 방정식이 유효한 것에 주목하십시오; 그것은 f 가 점근적으로 양수인 한 f 와 g 가 얼마나 잘 작동하는지 (또는 작동하지 않는지)에 관계없습니다.
비록 르피탈의 규칙이 0/0 및 ∞/∞에 적용될지라도, 이들 형태 중 하나는 특별한 경우에 (대수 단순화의 가능성 때문에) 다른 경우보다 유용할 수 있습니다. 만약 필요하다면, f /g 를 (1/g )/(1/f )로 변환하여 이들 형태 사이를 변경할 수 있습니다.
List of indeterminate forms 다음 테이블은 가장 공통적인 불확정 형식과 르피탈의 규칙을 적용에 대해 변형을 나열합니다.
불확정 형식
조건
0/0으로 변환
∞/∞으로 변환
0/0
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
—
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
∞/∞
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
—
0 × ∞
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}
∞ − ∞
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
−
1
/
f
(
x
)
1
/
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
ln
lim
x
→
c
e
f
(
x
)
e
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}
00
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
+
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
1∞
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
1
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
∞0
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
See also References
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}=-{\frac {1}{6}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58dba5923a6334c2afecfe386a171f3e072362ce)
