Indexed family

수학(mathematics)에서, 가족(family) 또는 인덱스된 가족(indexed family)은 비공식적으로 대상의 모음이며, 각각은 일부 인덱스 집합의 인덱스와 결합됩니다. 예를 들어, 정수의 집합에 의해 인덱스된 실수의 가족은 실수의 모음이며, 여기서 주어진 함수는 각 정수에 대해 하나의 실수 (같은 것도 가능)를 인덱싱으로 선택합니다.

더 형식적으로, 인덱스된 가족은 도메인(domain) $I$ 와 이미지(image) $X$ 와 함께 수학적 함수(mathematical function)입니다. (즉, 인덱스된 가족과 수학적 함수는 기술적으로 동일하고, 단지 관점이 다릅니다.) 종종 집합 $X$ 의 원소(elements)는 가족을 구성하는 것으로 참조됩니다. 이러한 관점에서, 인덱스된 가족은 함수 대신 인덱스된 원소의 모음으로 해석됩니다. 집합 $I$ 는 가족의 인덱스 집합(index set)이라고 불리고, $X$ 는 인덱스된 집합(indexed set)입니다.

수열(Sequences)은 자연수에 의해 인덱스된 가족의 유형 중 하나입니다. 일반적으로, 인덱스 집합 $I$ 는 셀-수-있는(countable) 것으로 제한되지 않습니다. 예를 들어, 실수에 의해 인덱스된 자연수의 부분집합의 셀-수-없는 가족을 고려할 수 있습니다.

Formal definition

$I$ 및 $X$ 를 집합으로 놓고 $f$ 를 다음을 만족하는 함수(function)로 놓습니다: ${\begin{aligned}f~:~&I\to X\\&i\mapsto x_{i}=f(i),\end{aligned}}$ 여기서 $i$ 는 $I$ 의 원소이고 함수 $f$ 아래에서 $i$ 의 이미지 $f(i)$ 는 $x_{i}$ 에 의해 표시됩니다. 예를 들어, $f(3)$ 는 $x_{3}$ 에 의해 표시됩니다. 기호 $x_{i}$ 는 $x_{i}$ 가 $i\in I$ 에 의해 인덱스된 $X$ 의 원소임을 나타내기 위해 사용됩니다. 함수 $f$ 는 따라서 $\left(x_{i}\right)_{i\in I},$ 또는 인덱스 집합이 알려진 것으로 가정되면 간단히 $\left(x_{i}\right)$ 에 의해 표시되는 $I$ 에 의해 인덱스된 $X$ 에서 원소의 가족(family of elements in $X$ indexed by $I$ )을 설립합니다. 때때로 괄호 대신 꺾쇠 괄호나 중괄호를 사용하지만, 중괄호를 사용하면 인덱스된 가족과 집합을 혼동할 위험이 있습니다.

도메인(domain) $I$ 를 갖는 임의의 함수 $f$ 는 가족 $(f(i))_{i\in I}$ 를 유도하고 그 반대도 마찬가지 때문에 함수(functions)와 인덱스된 가족은 형식적으로 동등합니다. 가족의 한 구성원이 되는 것은 해당하는 함수의 치역에 있는 것과 동등합니다. 실제로, 어쨌든, 가족은 함수가 아닌 집합으로 봅니다.

임의의 집합 $X$ 는 가족 $\left(x_{x}\right)_{x\in X}$ 를 야기하며, 여기서 $X$ 는 자체적으로 인덱스됩니다 ( $f$ 가 항등 함수임을 의미합니다). 어쨌든, 가족은 같은 대상이 가족에서 다른 인덱스로 여러 번 나타날 수 있지만, 집합은 구별되는 대상의 모음이라는 점에서 집합과 다릅니다. 가족이 임의의 원소를 정확하게 한번 포함하는 것과 해당하는 함수가 단사(injective)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

인덱스된 가족 $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ 은 집합 ${\mathcal {X}}=\{x_{i}:i\in I\},$ 즉, $f$ 아래의 $I$ 의 이미지를 정의합니다. 매핑 $f$ 는 단사(injective)일 필요는 없기 때문에, $x_{i}=x_{j}$ 를 만족하는 $i\neq j$ 를 갖는 $i,j\in I$ 가 존재할 수 있습니다. 따라서, $|{\mathcal {X}}|\leq |I|$ , 여기서 $|A|$ 는 집합 $A$ 의 카디널리티를 나타냅니다. 예를 들어, 자연수 $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ 에 의해 인덱스된 수열 $\left((-1)^{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ 은 이미지 집합 $\left\{(-1)^{i}:i\in \mathbb {N} \right\}=\{-1,1\}$ 을 가집니다. 게다가, 집합 $\{x_{i}:i\in I\}$ 은 $I$ 위에 임의의 구조에 대한 정보를 전달하지 않습니다. 따라서, 가족 대신 집합을 사용함으로써, 일부 정보가 손실될 수 있습니다. 예를 들어, 가족의 인덱스 집합에 대한 순서화는 가족에 대한 순서화를 유도하지만, 해당 이미지 집합에 대한 순서화는 유도하지 않습니다.

Indexed subfamily

인덱스된 가족 $\left(B_{i}\right)_{i\in J}$ 이 인덱스된 가족 $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ 의 부분가족(subfamily)인 것과 $J$ 가 $I$ 의 부분집합이고 $B_{i}=A_{i}$ 가 모든 $i\in J$ 에 대해 유지되는 것은 필요충분 조건입니다.

Examples

Indexed vectors

예를 들어, 다음 문장을 생각해 보십시오:

벡터 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 는 선형적으로 독립이다.

여기서 $\left(v_{i}\right)_{i\in \{1,\ldots ,n\}}$ 는 벡터의 가족을 나타냅니다. $i$ -번째 벡터 $v_{i}$ 는 이 가족에 관해서만 의미가 있는데, 왜냐하면 집합이 순서화되지 않으므로 집합의 $i$ -번째 벡터가 없기 때문입니다. 게다가, 선형 독립성(linear independence)은 모음의 속성으로 정의됩니다; 따라서 만약 그들 벡터가 집합 또는 가족으로서 선형적으로 독립이면 중요합니다. 예를 들어, 만약 우리가 $n=2$ 와 $v_{1}=v_{2}=(1,0)$ 을 같은 벡터로 고려하면, 그것들의 집합은 하나의 원소로만 구성되고 (왜냐하면 집합은 비-순서화된 구별되는 원소의 모음이기 때문) 선형적으로 독립적이지만, 가족은 동일한 원소를 두 번 포함하고 (왜냐하면 다른 인덱스를 가지기 때문에) 선형적으로 종속입니다 (같은 벡터는 선형적으로 종속적입니다).

Matrices

텍스트에 다음과 같은 내용이 있다고 가정합니다:

정사각 행렬 $A$ 가 역가능인 것과, $A$ 의 행이 선형적으로 독립인 것은 필요충분 조건이다.

이전 예제에서와 같이, $A$ 의 행이 집합이 아니라 가족으로서 선형적으로 독립이라는 것이 중요합니다. 예를 들어, 다음 행렬을 생각해 보십시오: $A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.$ 행의 집합(set)은 단일 원소 $(1,1)$ 로 구성되어 집합이 고유한 원소로 만들어지므로 그것은 선형적으로 독립이지만, 그 행렬은 행렬 행렬식(determinant)이 0이기 때문에 역-가능이 아닙니다. 다른 한편으로, 행의 가족은 첫 번째 행 $(1,1)$ 과 두 번째 행 $(1,1)$ 과 같이 다르게 인덱스된 두 개의 원소가 포함하고 있으므로 그것은 선형적으로 종속입니다. 그 명제는 따라서 만약 그것이 행의 가족을 참조하면 맞지만, 만약 그것이 행의 집합을 참조하면 틀린 것입니다. (그 명제는 "행"이 중복집합(multiset)을 참조하는 것으로 해석될 때에도 정확하며, 이것에서 원소는 역시 고유하게 유지되지만 인덱싱된 가족의 일부 구조가 부족합니다.)

Other examples

$\mathbf {n}$ 을 유한 집합 $\{1,2,\ldots n\}$ 으로 놓으며, 여기서 $n$ 은 양의 정수(integer)입니다.

순서화된 쌍(ordered pair) (2-튜플)은 두 원소 $\mathbf {2} =\{1,2\}$ 에 의해 인덱스된 가족입니다; 순서화된 쌍의 각 원소는 집합 $\mathbf {2}$ 의 각 원소에 의해 인덱스됩니다.
$n$ -튜플은 집합 $\mathbf {n}$ 에 의해 인덱스된 가족입니다.
무한 수열(sequence)은 자연수에 의해 인덱스된 가족입니다.
목록(list)은 지정되지 않은 $n,$ 또는 무한 수열에 대해 $n$ -튜플입니다.
$n\times m$ 행렬(matrix)은 원소가 순서화된 쌍인 데카르트 곱(Cartesian product) $\mathbf {n} \times \mathbf {m}$ 에 의해 인덱스된 가족입니다; 예를 들어, $(2,5)$ 는 두 번째 행과 다섯 번째 열에서 행렬 원소를 인덱스합니다.
네트(net)는 방향화된 집합(directed set)에 의해 인덱스된 가족입니다.

Operations on indexed families

인덱스 집합은 종종 합과 기타 유사한 연산에 사용됩니다. 예를 들어, 만약 $\left(a_{i}\right)_{i\in I}$ 가 인덱스된 숫자의 가족이면, 모든 그들 숫자의 합은 다음에 의해 표시됩니다: $\sum _{i\in I}a_{i}.$

$\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ 가 집합의 가족(family of sets)이면, 모든 그들 집합의 합집합(union)은 다음에 의해 표시됩니다: $\bigcup _{i\in I}A_{i}.$

교집합(intersections)과 데카르트 곱(Cartesian products)에 대해서도 마찬가지입니다.

Usage in category theory

카테고리 이론(category theory)에서 유사한 개념은 다이어그램(diagram)이라고 불립니다. 다이어그램은 또 다른 카테고리 $J$ 에 의해 인덱스된 카테고리 $C$ 에서 대상의 인덱스된 가족을 야기하고, 두 인덱스에 의존하여 사상(morphisms)에 의해 관련되는 함수자(functor)입니다.

References

Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).