Infinitesimal rotation matrix

무한소 회전 행렬(infinitesimal rotation matrix) 또는 미분 회전 행렬(differential rotation matrix)은 무한하게 작은 회전을 나타내는 행렬(matrix)입니다.

회전 행렬(rotation matrix)은 $SO(n)$ (특수 직교 그룹)의 원소를 나타내는 직교 행렬(orthogonal matrix) $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ 이고, 반면에 회전의 미분은 자체 회전 행렬이 아닌 접 공간 ${\mathfrak {so}}(n)$ (특수 직교 리 대수)에서 반-대칭 행렬 $A^{\mathsf {T}}=-A$ 입니다.

무한소 회전 행렬은 다음과 같은 형식을 가집니다:

I+d\theta \,A,

여기서 $I$ 는 항등 행렬, $d\theta$ 는 사라질 정도로 작고, $A\in {\mathfrak {so}}(n)$ 입니다.

예를 들어, 만약 $A=L_{x}$ 이면, ${\mathfrak {so}}(3)$ 의 기저 원소인 $x$ -축에 대한 극한소 3-차원 회전을 나타냅니다:

dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

무한소 회전 행렬에 대한 계산 규칙은 2차의 무한소가 일상적으로 버려진다는 점을 제외하면 평소와 같습니다. 이들 규칙과 함께, 이들 행렬은 무한소의 보통의 처리 아래에서 보통의 유한 회전 행렬과 같은 속성을 모두 만족시키지 못합니다.^[1] 무한소 회전이 적용되는 순서는 무관하다는 것이 밝혀졌습니다.

Discussion

무한소 회전 행렬(infinitesimal rotation matrix)은 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)이며, 여기서:

임의의 회전 행렬(rotation matrix)이 +1과 같은 단일 실수 고윳값을 가지기 때문에, 대응하는 고유벡터(eigenvector)는 회전 축(rotation axis)을 정의합니다.
그것의 모듈은 무한소 각도 변위(angular displacement)를 정의합니다.

행렬의 모양은 다음과 같습니다: $A={\begin{pmatrix}1&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&1&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&1\\\end{pmatrix}}$

Associated quantities

여기에서 결합된 회전 행렬이 $A=I+d\Phi (t)$ 임을 만족하는 결합된 무한소 회전 텐서(infinitesimal rotation tensor)를 도입할 수 있습니다:

d\Phi (t)={\begin{pmatrix}0&-d\phi _{z}(t)&d\phi _{y}(t)\\d\phi _{z}(t)&0&-d\phi _{x}(t)\\-d\phi _{y}(t)&d\phi _{x}(t)&0\\\end{pmatrix}}

그것을 시간으로 나눌 때, 이것은 각속도(angular velocity) 벡터를 산출할 것입니다.

Order of rotations

이들 행렬은 무한소의 보통의 처리 아래에서 보통의 유한 회전 행렬과 같은 속성을 모두 만족시키지 않습니다.^[2] 이것이 의미하는 바를 이해하기 위해 다음을 생각해 보십시오:

dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.

먼저, 직교성 속성, $Q T Q = I$ 을 테스트합니다. 그 곱은 다음과 같으며

dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},

이차 무한소에 의한 항등 행렬과 다르며, 여기서는 버립니다. 따라서, 일차로의, 무한소 회전 행렬은 직교 행렬입니다.

다음으로, 행렬의 제곱을 조사합니다:

dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.

다시 이차 효과를 버리면, 각도가 단순히 두 배가 됨을 주목하십시오. 이것은 두 번째 무한소 회전의 도움으로 보여줄 수 있는 행동의 가장 본질적인 차이를 암시합니다,

dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.

곱 $dA x dA y$ 과 $dA y dA x$ 를 비교합니다,

{\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}

$d\theta \,d\phi$ 는 2차이므로, 그것을 버립니다: 따라서, 일차로서의, 무한소 회전 행렬의 곱셈은 교환적입니다. 실제로, 다시 일차로의,

dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },

다시 말해서, 무한소 회전이 적용되는 순서는 관련이 없습니다.

이 유용한 사실은, 예를 들어, 강체 회전의 유도를 상대적으로 간단하게 만듭니다. 그러나 이들 무한소 회전 행렬(의 일차로 처리)을 유한 회전 행렬과 리 대수 원소 모두에서 구별하는 데 항상 주의를 기울여야 합니다. 위의 BCH 공식에서 유한 회전 행렬의 행동을 모든 교환자 항이 이차 무한소가 되는 무한소 회전 행렬의 행동과 대조할 때, 진정한 벡터 공간을 찾습니다. 엄밀히 말하면, 임의의 이차 항의 이러한 버림은 그룹 수축(Group contraction)에 해당합니다.

Generators of rotations

단위 벡터 [x, y, z]로 회전의 축을 지정한다고 가정하고, 해당 벡터에 대한 각도 Δθ의 무한하게 작은 회전을 가진다고 가정합니다. 회전 행렬을 무한 덧셈으로 확장하고, 일차 접근 방식을 취하면, 회전 행렬 ΔR은 다음과 같이 표현됩니다:

\Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .

이 축에 대한 각도 θ를 통한 유한 회전은 같은 축에 대한 연속적인 작은 회전으로 볼 수 있습니다. Δθ를 θ/N으로 근사화하면, 여기서 N은 큰 숫자이며, 축에 대한 θ의 회전은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

R=\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}\approx e^{A\theta }.

오일러의 정리는 본질적으로 모든 회전이 이 형식으로 표현될 수 있다고 명시하고 있음을 볼 수 있습니다. 곱 Aθ는 행렬 A와 결합된 벡터 (x, y, z)인 특정 회전의 "생성기"입니다. 이것은 회전 행렬과 축-각도 형식이 지수 함수와 관련되어 있음을 보여줍니다.

우리는 생성기 G에 대한 간단한 표현을 유도할 수 있습니다. 수직 단위 벡터의 쌍 a와 b로 정의되는 임의적인 평면에서 시작합니다.^[3] 이 평면에서, 임의적인 벡터 x를 y와 수직적으로 선택할 수 있습니다. 그런-다음 x의 관점에서 y에 대해 풀고 평면에서의 회전에 대한 식으로 대체하면 생성기 G = ba^T − ab^T를 포함하는 회전 행렬 R이 생성됩니다.

{\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathrm {T} }x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathrm {T} }x\\y&=-ab^{\mathrm {T} }x+ba^{\mathrm {T} }x=\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathrm {T} }-ab^{\mathrm {T} }\\\end{aligned}}

회전에 평면 외부의 벡터를 포함하기 위해, 공간을 분할하는 두 개의 투영 연산자(projection operators)를 포함함으로써 R에 대한 위의 식을 수정해야 합니다. 이 수정된 회전 행렬은 다음과 같은 지수 함수로 다시 쓸 수 있습니다:

{\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=e^{G\beta }\\\end{aligned}}

전체 회전 행렬보다는 이들 생성기 측면에서 분석이 더 쉬운 경우가 많습니다. 생성기의 측면에서의 분석은 회전 그룹의 리 대수(Lie algebra)로 알려져 있습니다.

Exponential map

리 대수를 리 그룹에 연결하는 것은 $e A$ 에 대한 표준 행렬 지수(matrix exponential) 급수를 사용하여 정의되는 지수 맵(exponential map)입니다.^[4] 임의의 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix) $A$ 에 대해, $exp(A)$ 는 항상 회전 행렬입니다.^[a]

중요한 실제 경우는 $3 \times 3$ 경우입니다. 회전 그룹 SO(3)에서, 오일러 벡터 $ω = θ u$ 로 모든 각 $A \in so (3)$ 를 식별할 수 있음을 보여주며, 여기서 $u = (x, y, z)$ 는 단위 크기 벡터입니다.

식별 $su (2) ≅ R 3$ 의 속성에 의해, $u$ 는 $A$ 의 널 공간에 있습니다. 따라서, $u$ 는 $exp(A)$ 에 의해 불변으로 남고, 따라서 회전 축입니다.

표준 두 배 각도 공식(double angle formulae)과 함께 $θ = θ ⁄ 2 + θ ⁄ 2$ 의 행렬 형식 위에 로드리게스의 회전 공식을 사용하여, 다음을 얻습니다:

{\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u\cdot L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2},\end{aligned}}

이것은 절반-각도 형식의 각도 $θ$ 만큼 축 $u$ 를 중심으로 한 회전에 대한 행렬입니다. 자세한 내용에 대해, 지수 맵 SO(3)를 참조하십시오.

무한소 각도에 대해 이차 항은 무시할 수 있고 $exp(A) = I + A$ 로 유지됨에 주목하십시오.

Relationship to skew-symmetric matrices

실수의 필드에 걸쳐 반-대칭 행렬은 항등 행렬에서 실수 직교 그룹(orthogonal group) $O(n)$ ; 형식적으로, 특수 직교 리 대수에 대한 접 공간(tangent space)을 형성합니다. 이런 의미에서, 반-대칭 행렬은 무한소 회전으로 생각될 수 있습니다.

이것을 말하는 또 다른 방법은 반-대칭 행렬의 공간이 리 그룹(Lie group) $O(n)$ 의 리 대수(Lie algebra) $o(n)$ 을 형성한다는 것입니다. 이 공간의 리 괄호는 교환자(commutator)에 의해 제공됩니다:

[A,B]=AB-BA.\,

두 개의 반-대칭 행렬의 교환자가 다시 반-대칭인지 쉽게 확인할 수 있습니다:

{\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}

반-대칭 행렬 $A$ 의 행렬 지수(matrix exponential)는 그런-다음 직교 행렬(orthogonal matrix) $R$ 입니다:

R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.

리 대수의 지수 맵(exponential map)의 이미지는 항상 항등 원소를 포함하는 리 그룹의 연결된 구성 요소(connected component)에 놓입니다. 리 그룹 $O(n)$ 의 경우에서, 이 연결된 구성 요소는 행렬식 1을 갖는 모든 직교 행렬로 구성된 특수 직교 그룹 $SO(n)$ 입니다. 따라서 $R=\exp(A)$ 는 행렬식 +1을 가질 것입니다. 더욱이, 연결된 컴팩트 리 그룹의 지수 맵은 항상 전사적이기 때문에, 단위 행렬식을 갖는 모든 각 직교 행렬은 일부 반-대칭 행렬의 지수로 쓸 수 있음이 밝혀졌습니다. 차원 $n=2$ 의 특히 중요한 경우에서, 직교 행렬에 대한 지수 표현은 단위 모듈러스의 복소수의 잘-알려진 극 형식(polar form)으로 축소됩니다. 실제로, 만약 $n=2$ 이면, 특수 직교 행렬은 다음과 같은 형식을 가집니다:

{\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},

이때 $a^{2}+b^{2}=1$ . 그러므로, $a=\cos \theta$ 와 $b=\sin \theta$ 를 대입하여, 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

{\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),

이는 단위 모듈러스의 복소수의 극 형식 $\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }$ 와 정확하게 일치합니다.

차수 $n$ 의 직교 행렬의 지수 표현은 차원 $n$ 에서 임의의 특수 직교 행렬 $R$ 이 $R=QSQ^{\textsf {T}}$ 로 쓸 수 있다는 사실에서 시작하여 얻을 수도 있으며, 여기서 $Q$ 는 직교이고 $S$ 는 차수 2의 ${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$ 블록과 $n$ 이 홀수이면 차수 1 중 하나를 더한 블록 대각 행렬(block diagonal matrix)입니다; 차수 2의 각 단일 블록도 직교 행렬이기 때문에, 그것은 지수 형식을 허용합니다. 이에 따라, 행렬 $S$ 는 $R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),$ 반-대칭 행렬 $Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$ 의 지수가 되도록 위의 형식, $S=\exp(\Sigma )$ 의 반-대칭 블록 행렬 $\Sigma$ 의 지수로 씁니다. 반대로, 지수 맵의 전사성은, 위에서-언급된 반-대칭 행렬에 대한 블록-대각화와 함께, 직교 행렬에 대한 블록-대각화를 의미합니다.

Notes

^ Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$
Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2 artanh A)$ .

References

^ (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)
^ (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)
^ in Euclidean space
^ (Wedderburn 1934, §8.02)

Sources

Goldstein, Herbert; Poole, Charles P.; Safko, John L. (2002), Classical Mechanics (third ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-65702-9

[5] Note that this exponential map of skew-symmetric matrices to rotation matrices is quite different from the Cayley transform discussed earlier, differing to 3rd order, $e^{2A}-{\frac {I+A}{I-A}}=-{\frac {2}{3}}A^{3}+\mathrm {O} (A^{4})~.$
Conversely, a skew-symmetric matrix $A$ specifying a rotation matrix through the Cayley map specifies the same rotation matrix through the map $exp(2 artanh A)$ .

[1] (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)

[2] (Goldstein, Poole & Safko 2002, §4.8)

[3] Euclidean space

[4] (Wedderburn 1934, §8.02)

[1]

[2]

[3]

[4]

[a]