Inflection point

미분학(differential calculus)에서, 변곡점(inflection point), 변곡의 점(point of inflection), 굴곡(flex) 또는 변곡(inflection) (영국식 영어: inflexion^{[citation needed]})은 곡선이 그의 접선을 가로지르는, 즉, 곡선이 오목(concave) (아래로 오목)에서 볼록(convex) (위로 오목)으로, 또는 그 반대로 변하는 점에서 연속(continuous) 평면 곡선(plane curve) 위의 점입니다.

만약 곡선이 미분-가능성 클래스(differentiability class) $C 2$ 의 함수 $y = f (x)$ 의 그래프(graph)이면, 이것은 $f$ 의 이차 도함수(second derivative)가 영이 되고 그 지점에서 부호가 변경됨을 의미합니다. 이차 도함수가 영이 되지만 부호가 변경되지 않는 점은 파동의 점(point of undulation) 또는 파동점(undulation point)이라고 때때로 불립니다.

대수 기하학에서, 변곡점은 접선이 적어도 3 차수(order)에 곡선을 만나는 정규 점(regular point)으로 약간 더 일반적으로 정의되고, 파동점 또는 초굴곡(hyperflex)은 접선이 적어도 4 차수에 곡선을 만나는 점으로써 정의됩니다.

Definition

변곡점은 곡률(curvature)이 그의 부호를 변경하는 곡선의 점입니다.^[1]^[2]

미분-가능한 함수(differentiable function)는 (x, f(x))에서 변곡점을 가지는 것과 그의 일차 도함수, f′가 x에서 고립된(isolated) 극점(extremum)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. (이것은 f가 극점을 가짐이라고 말하는 것과 다릅니다). 즉, 일부 이웃에서, x는, f′가 (지역) 최솟값 또는 최댓값을 갖는 하나이고 유일한 점입니다. 만약 f′의 모든 극점(extrema)이 고립된(isolated) 것이면, 변곡점은 접선(tangent)이 곡선을 가로지르는 것에서 f의 그래프 위의 점입니다.

변곡의 떨어지는 점(falling point of inflection)은 도함수가 극솟값을 가지는 변곡점이고, 변곡의 올라가는 점(rising point of inflection)은 도함수가 극댓값을 가지는 점입니다.

대수 곡선(algebraic curve)에 대해, 비-특이점이 변곡점인 것과 (접하는 점에서) 접선과 곡선의 교차점의 중복도(multiplicity)가 홀수이고 2보다 큰 것은 필요충분 조건입니다.^[3]

매개-변수 방정식(parametric equation)에 의해 주어진 곡선에 대해, 점은, 만약 그의 부호화된 곡률(signed curvature)이 양에서 음 또는 음에서 양, 즉, 그의 부호(sign)를 변경하면, 변곡점입니다.

두번 미분-가능한 함수에 대해, 변곡점은, 이차 도함수(second derivative)가 고립된 영을 가지고 부호가 변경되는 것에서 그래프 위의 점입니다.

Plot of f(x) = sin(2x) from − $π$ /4 to 5 $π$ /4; the second derivative is f″(x) = –4sin(2x), and its sign is thus the opposite of the sign of f. Tangent is blue where the curve is convex (above its own tangent), green where concave (below its tangent), and red at inflection points: 0, $π$ /2 and $π$

A necessary but not sufficient condition

만약 이차 도함수, f'' (x)가 x₀에 존재하고, x₀가 f에 대해 변곡점이면, f'' (x₀) = 0이지만, 이 조건은, 심지어 임의의 차수의 도함수가 존재할지라도, 변곡점을 갖는 것에 대해 충분(sufficient)이지 않습니다. 이 경우에서, 우리는 홀수 차수의 것에 가장-낮은-차수 (이차 위의) 비-영 도함수 (삼차, 오차, 등)가 역시 필요합니다. 만약 가장-낮은-차수 비-영 도함수가 짝수 차수의 것이면, 그 점은 변곡점이 아니지만 파동 점(undulation point)입니다. 어쨌든, 대수 기하학에서, 변곡점과 파동점 둘 다는 보통 변곡점(inflection points)으로 불립니다. 파동 점의 예제는 f(x) = x⁴에 의해 주어진 함수 f에 대해 x = 0입니다.

이전 주장에서, 그것은 f가 x에서 어떤 더-높은-차수 비-영 도함수를 가지는 것을 가정되며, 이것은 필연적으로 그 경우는 아닙니다. 만약 이것이 그 경우이면, 첫 번째 비-영 도함수가 홀수 차수인 조건은 f'(x)의 부호가 x의 이웃(neighborhood)에서 x의 양쪽에서 같다는 것을 의미합니다. 만약 이 부호가 양수(positive)이면, 점은 변곡의 올라가는 점(rising point of inflection)입니다; 만약 그것이 음수(negative)이면, 그 점은 변곡의 내려가는 점(falling point of inflection)입니다.

Inflection points sufficient conditions:

1) 변곡점에 대해 충분 존재 조건은 다음입니다:

만약 f(x)은 k 홀수이고 k ≥ 3와 함께 점 x의 특정 이웃에서 k번 연속적으로 미분-가능하며, 반면에 n = 2,...,k − 1에 대해 f⁽ⁿ⁾(x₀) = 0이고 f^(k)(x₀) ≠ 0이면, f(x)는 x₀에서 변곡점입니다.

2) 또 다른 충분 존재 조건은 x의 이웃에서 반대 부호를 가지기 위해 f′′(x + ε) 및 f′′(x − ε)를 요구합니다 (브론슈테인 및 세멘디아예프(Bronshtein and Semendyayev) 2004, p. 231).

Categorization of points of inflection

변곡점은 f′(x)가 0 또는 비-영의 여부에 따라 역시 분류될 수 있습니다.

만약 f′(x)이 영이면, 그 점은 하나의 변곡의 정류 점(stationary point)입니다.
만약 f′(x)이 영이 아니면, 그 점은 하나의 변곡의 비-정류 점(non-stationary point of inflection)입니다.

변곡의 정류점은 극솟값(local extremum)이 아닙니다. 보다 일반적으로, 여러 실수 변수의 함수(functions of several real variables)의 문맥에서, 극솟값이 아닌 정류점은 안장 점(saddle point)이라고 불립니다.

변곡의 정류점의 예제는 y = x³의 그래프 위의 점 (0,0)입니다. 접선은 x-축이며, 이것은 이 점에서 그래프를 자릅니다.

변곡의 비-정류 점의 예제는, 임의의 비-영 a에 대해, y = x³ + ax의 그래프 위의 점 (0,0)입니다. 원점에서 접선은 직선 y = ax이며, 이것은 이 점에서 그래프를 자릅니다.

Functions with discontinuities

일부 함수는 변곡점을 가지는 것없이 오목성을 바꿉니다. 대신에, 그들은 수직 점근선 또는 불연속 주위의 오목성을 바꿀 수 있습니다. 예를 들어, 함수 $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ 는 음의 $x$ 에 대해 오목하고 양의 $x$ 에 대해 볼록하지만, 그것은 변곡점을 가지지 않는데, 왜냐하면 0은 함수의 도메인 안에 없기 때문입니다.

References

^ Problems in mathematical analysis. Baranenkov, G. S. Moscow: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
^ Bronshtein; Semendyayev (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). Berlin: Springer. p. 231. ISBN 3-540-43491-7.
^ "Point of inflection". encyclopediaofmath.org.

Sources

Weisstein, Eric W. "Inflection Point". MathWorld.
"Point of inflection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Problems in mathematical analysis. Baranenkov, G. S. Moscow: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)

[2] Bronshtein; Semendyayev (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). Berlin: Springer. p. 231. ISBN 3-540-43491-7.

[3] "Point of inflection". encyclopediaofmath.org.

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