A triangle with incircle, incenter (
I
{\displaystyle I}
), excircles, excenters (
J
A
{\displaystyle J_{A}}
,
J
B
{\displaystyle J_{B}}
,
J
C
{\displaystyle J_{C}}
), internal angle bisectors and external angle bisectors. The green triangle is the excentral triangle.
기하학(geometry) 에서, 삼각형(triangle) 의 내-원 (incircle ) 또는 내접된 원 (inscribed circle )은 삼각형에 포함된 가장 큰 원(circle) 입니다; 그것은 세 변에 닿습니다 (그것에 접(tangent) 합니다). 원의 중심은 삼각형의 내-중심(incenter) 이라고 불리는 삼각형 중심(triangle center) 입니다.[1]
삼각형의 외-원 (excircle ) 또는 외접된 원 (escribed circle )은[2] 삼각형의 밖에 놓이며, 그것의 변 중 하나에 접하고 다른 두 연장선(extensions of the other two) 에 접하는 원입니다. 모든 각 삼각형은 세 구별되는 외-원을 가지며, 삼각형의 변의 하나에 각각 접합니다.[3]
내-중심 (incenter ) 이라고 불리는 내-원의 중심은 세 내부(internal) 각도 이등분선(angle bisector) 의 교차로 찾아질 수 있습니다.[3] [4] 외-원의 중심은 (예를 들어 꼭짓점
A
{\displaystyle A}
에서) 한 각도의 내부 이등분선과 다른 두 각도의 외부(external) 이등분선의 교차입니다. 이 외-원의 중심은 꼭짓점
A
{\displaystyle A}
와 관련된 외-중심 (excenter ), 또는
A
{\displaystyle A}
의 외-중심 이라고 불립니다.[3] 각도의 내부 이등분선은 그것의 외부 이등분선에 수직이기 때문에, 세 외-원 중심과 함께 내-원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system) 을 형성합니다.[5] : p. 182
모든 정규 다각형(regular polygon) 은 모든 변에 접하는 내-중심을 가지지만, 모든 다각형이 그런 것은 아닙니다; 그렇게 되는 그들은 접하는 다각형(tangential polygon) 입니다. 역시 원의 접선(Tangent lines to circles) 을 참조하십시오.
Incircle and incenter
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
가 반지름
r
{\displaystyle r}
과 중심
I
{\displaystyle I}
를 갖는 내-원을 가짐을 가정합니다.
a
{\displaystyle a}
를
B
C
{\displaystyle BC}
의 길이,
b
{\displaystyle b}
를
A
C
{\displaystyle AC}
의 길이, 및
c
{\displaystyle c}
를
A
B
{\displaystyle AB}
의 길이로 놓습니다.
역시
T
A
{\displaystyle T_{A}}
,
T
B
{\displaystyle T_{B}}
, 및
T
C
{\displaystyle T_{C}}
를 내-원이
B
C
{\displaystyle BC}
,
A
C
{\displaystyle AC}
, 및
A
B
{\displaystyle AB}
에 접촉하는 접촉점으로 놓습니다.
Incenter
내-중심은
∠
A
B
C
,
∠
B
C
A
{\displaystyle \angle ABC,\angle BCA}
및
∠
B
A
C
{\displaystyle \angle BAC}
의 내부 각도 이등분선(angle bisectors) 이 만나는 점입니다.
꼭짓점
A
{\displaystyle A}
에서 내-중심
I
{\displaystyle I}
까지의 거리는 다음입니다:[citation needed ]
d
(
A
,
I
)
=
c
sin
(
B
2
)
cos
(
C
2
)
=
b
sin
(
C
2
)
cos
(
B
2
)
.
{\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \left({\frac {B}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {C}{2}}\right)}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\right)}{\cos \left({\frac {B}{2}}\right)}}.}
Trilinear coordinates
삼각형 안의 한 점에 대해 삼-선형 좌표(trilinear coordinates) 는 삼각형 변에 대한 모든 거리의 비율입니다. 내-중심이 삼각형의 모든 변으로부터 같은 거리이기 때문에, 내-중심에 대해 삼-선형 좌표는 다음입니다:
[6]
1
:
1
:
1.
{\displaystyle \ 1:1:1.}
Barycentric coordinates
삼각형 안의 한 점에 대해 질량-중심 좌표(barycentric coordinates) 는 그 점이 삼각형 꼭짓점 위치의 가중된 평균을 만족하는 무게를 제공합니다. 내-중심에 대해 질량-중심 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
a
:
b
:
c
{\displaystyle \ a:b:c}
여기서
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, 및
c
{\displaystyle c}
는 삼각형의 변의 길이, 또는 동등하게 (사인의 법칙(law of sines) 을 사용하여) 다음입니다:
sin
(
A
)
:
sin
(
B
)
:
sin
(
C
)
{\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}
여기서
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
, 및
C
{\displaystyle C}
는 세 꼭짓점에서 각도입니다.
Cartesian coordinates
내-중심의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates) 는 둘레에 관련된 삼각형의 변 길이를 가중으로 사용하여 (즉, 합해서 단위가 되는 정규화된, 위에서 주어진 질량-중심 좌표를 사용하여) 세 꼭짓점의 좌표의 가중된 평균입니다. 가중은 양수이므로 내-중심은 위에 언급된 것처럼 삼각형 내부에 놓입니다. 만약 세 꼭짓점이
(
x
a
,
y
a
)
{\displaystyle (x_{a},y_{a})}
,
(
x
b
,
y
b
)
{\displaystyle (x_{b},y_{b})}
, 및
(
x
c
,
y
c
)
{\displaystyle (x_{c},y_{c})}
에 위치되고, 이들 꼭짓점의 반대쪽 변은 해당하는 길이
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, 및
c
{\displaystyle c}
를 가지면, 내-중심은 다음에 있습니다:[citation needed ]
(
a
x
a
+
b
x
b
+
c
x
c
a
+
b
+
c
,
a
y
a
+
b
y
b
+
c
y
c
a
+
b
+
c
)
=
a
(
x
a
,
y
a
)
+
b
(
x
b
,
y
b
)
+
c
(
x
c
,
y
c
)
a
+
b
+
c
.
{\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}
Radius
길이
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
의 변을 갖는 삼각형에서 내-중심의 내-반지름
r
{\displaystyle r}
은 다음에 의해 제공됩니다:[7]
r
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
,
{\displaystyle r={\frac {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}},}
where
s
=
(
a
+
b
+
c
)
/
2.
{\displaystyle s=(a+b+c)/2.}
헤론의 공식(Heron's formula) 을 참조하십시오.
Distances to the vertices
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 내-중심을
I
{\displaystyle I}
로 나타내면, 삼각형 변의 길이와 결합된 내-중심에서 꼭짓점까지 거리는 다음 방정식을 따릅니다:[8]
I
A
⋅
I
A
C
A
⋅
A
B
+
I
B
⋅
I
B
A
B
⋅
B
C
+
I
C
⋅
I
C
B
C
⋅
C
A
=
1.
{\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}
추가적으로,[9]
I
A
⋅
I
B
⋅
I
C
=
4
R
r
2
,
{\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}
여기서
R
{\displaystyle R}
과
r
{\displaystyle r}
은 각각 삼각형의 둘레-반지름(circumradius) 과 내-반지름(inradius) 입니다.
Other properties
삼각형 중심의 모음은 삼-선형 좌표의 좌표-별 곱셈 아래에서 그룹(group) 의 구조를 제공할 수 있습니다; 이 그룹에서, 내-중심은 항등 원소(identity element) 를 형성합니다.[6]
Incircle and its radius properties
Distances between vertex and nearest touchpoints
꼭짓점으로부터 두 가장-가까운 접촉점까지의 거리는 같습니다; 예를 들어:[10]
d
(
A
,
T
B
)
=
d
(
A
,
T
C
)
=
1
2
(
b
+
c
−
a
)
.
{\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{2}}(b+c-a).}
Other properties
내-중심의 접하는 점은 변을
x
{\displaystyle x}
와
y
{\displaystyle y}
,
y
{\displaystyle y}
와
z
{\displaystyle z}
, 및
z
{\displaystyle z}
와
x
{\displaystyle x}
로 나눈다고 가정합니다. 그런-다음 내-중심은 다음 반지름을 가집니다:[11]
r
=
x
y
z
x
+
y
+
z
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}
그리고 삼각형의 넓이는 다음입니다:
Δ
=
x
y
z
(
x
+
y
+
z
)
.
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.}
만약 길이
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, 및
c
{\displaystyle c}
의 변으로부터 고도가
h
a
{\displaystyle h_{a}}
,
h
b
{\displaystyle h_{b}}
, 및
h
c
{\displaystyle h_{c}}
이면, 내-반지름
r
{\displaystyle r}
은 이들 고도(altitudes) 의 조화 평균(harmonic mean) 의 삼분의 일입니다. 즉,[12]
r
=
1
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
.
{\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}}.}
변
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, 및
c
{\displaystyle c}
를 갖는 삼각형의 내-원 반지름
r
{\displaystyle r}
과 둘레-원(circumcircle) 반지름
R
{\displaystyle R}
의 곱은 다음입니다:[5] : 189, #298(d)
r
R
=
a
b
c
2
(
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}
변, 내-원 반지름, 및 둘레-원 반지름 사이의 일부 관계는 다음입니다:[13]
a
b
+
b
c
+
c
a
=
s
2
+
(
4
R
+
r
)
r
,
a
2
+
b
2
+
c
2
=
2
s
2
−
2
(
4
R
+
r
)
r
.
{\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}
삼각형의 넓이와 그것의 둘레를 절반으로 나누는 삼각형을 통과하는 임의의 직선은 삼각형의 내-중심 (내-원의 중심)을 통과합니다. 임의의 주어진 삼각형에 대해 이들의 하나, 둘, 또는 셋이 있습니다.[14]
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 내-원의 중심을
I
{\displaystyle I}
로 나타내면, 우리는 다음을 가집니다:[15]
I
A
⋅
I
A
C
A
⋅
A
B
+
I
B
⋅
I
B
A
B
⋅
B
C
+
I
C
⋅
I
C
B
C
⋅
C
A
=
1
{\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}
및[16] : 121, #84
I
A
⋅
I
B
⋅
I
C
=
4
R
r
2
.
{\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.}
내-원 반지름은 고도의 합의 구분의 일보다 크지 않습니다.[17] : 289
내-중심
I
{\displaystyle I}
에서 둘레-중심
O
{\displaystyle O}
까지 제곱된 거리는 다음에 의해 제공됩니다:[18] : 232
O
I
2
=
R
(
R
−
2
r
)
{\displaystyle OI^{2}=R(R-2r)}
,
그리고 내-중심에서 아홉-점 원(nine point circle) 의 중심
N
{\displaystyle N}
까지 거리는 다음입니다:[18] : 232
I
N
=
1
2
(
R
−
2
r
)
<
1
2
R
.
{\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}
내-중심은 중간점 삼각형(medial triangle) 안에 놓입니다 (그의 꼭짓점이 변의 중간-점입니다).[18] : 233, Lemma 1
Relation to area of the triangle
내-원의 반지름은 삼각형의 넓이(area) 와 관련됩니다.[19] 삼각형의 넓이에 대한 내-원의 넓이의 비율은
π
3
3
{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}
보다 작거나 같으며, 등변 삼각형(equilateral triangle) 에 대해 오직 상등을 유지시킵니다.[20]
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
가 반지름
r
{\displaystyle r}
과 중심
I
{\displaystyle I}
를 갖는 내-원을 가짐을 가정합니다.
a
{\displaystyle a}
를
B
C
{\displaystyle BC}
의 길이,
b
{\displaystyle b}
를
A
C
{\displaystyle AC}
의 길이, 및
c
{\displaystyle c}
를
A
B
{\displaystyle AB}
의 길이로 놓습니다. 이제, 내-원은 어떤 점
C
′
{\displaystyle C'}
에서
A
B
{\displaystyle AB}
에 접하고, 따라서
∠
A
T
C
I
{\displaystyle \angle AT_{C}I}
은 직각입니다. 그러므로, 반지름
T
C
I
{\displaystyle T_{C}I}
는
△
I
A
B
{\displaystyle \triangle IAB}
의 고도(altitude) 입니다.
따라서
△
I
A
B
{\displaystyle \triangle IAB}
는 밑변 길이
c
{\displaystyle c}
와 높이
r
{\displaystyle r}
을 가지고, 따라서 넓이
1
2
c
r
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}
를 가집니다.
비슷하게,
△
I
A
C
{\displaystyle \triangle IAC}
는 넓이
1
2
b
r
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}
을 가지고
△
I
B
C
{\displaystyle \triangle IBC}
는 넓이
1
2
a
r
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}
을 가집니다.
이들 세 삼각형은
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
을 분해하기 때문에, 우리는 넓이
Δ
of
△
A
B
C
{\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}
가 다음임을 알 수 있습니다:[citation needed ]
Δ
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
r
=
s
r
,
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}
and
r
=
Δ
s
,
{\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}
여기서
Δ
{\displaystyle \Delta }
는
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 넓이이고
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
는 반-둘레(semiperimeter) 입니다.
대안적인 공식에 대해,
△
I
T
C
A
{\displaystyle \triangle IT_{C}A}
을 생각해 보십시오. 이것은
r
{\displaystyle r}
과 같은 한 변과
r
cot
(
A
2
)
{\displaystyle r\cot \left({\frac {A}{2}}\right)}
과 같은 다른 변을 갖는 직각 삼각형입니다. 같은 것은
△
I
B
′
A
{\displaystyle \triangle IB'A}
에 대해 참입니다. 큰 삼각형은 여섯 그러한 삼각형으로 분해되고 전체 넓이는 다음입니다:[citation needed ]
Δ
=
r
2
(
cot
(
A
2
)
+
cot
(
B
2
)
+
cot
(
C
2
)
)
.
{\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot \left({\frac {A}{2}}\right)+\cot \left({\frac {B}{2}}\right)+\cot \left({\frac {C}{2}}\right)\right).}
Gergonne triangle and point
A triangle,
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
, with incircle, incenter (
I
{\displaystyle I}
), contact triangle (
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
) and Gergonne point (
G
e
{\displaystyle G_{e}}
)
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 제르곤 삼각형 (Gergonne triangle )은 세 변 위에 내-원의 세 접촉-점에 의해 정의됩니다. 접촉-점 반대편
A
{\displaystyle A}
는
T
A
{\displaystyle T_{A}}
, 등으로 표시됩니다.
이 제르곤 삼각형,
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
는
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 접촉 삼각형 (contact triangle ) 또는 내-접촉 삼각형 (intouch triangle )으로 알려져 있습니다. 그것의 넓이는 다음입니다:
K
T
=
K
2
r
2
s
a
b
c
{\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}
여기서
K
{\displaystyle K}
,
r
{\displaystyle r}
, 및
s
{\displaystyle s}
는 넓이, 내-원(incircle) 의 반지름, 및 원래 삼각형의 반-둘레이고,
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
, 및
c
{\displaystyle c}
는 원래 삼각형의 변 길이입니다. 이것은 외-접촉 삼각형(extouch triangle) 의 넓이와 같은 넓이입니다.[21]
단일 점에서 세 직선
A
T
A
{\displaystyle AT_{A}}
,
B
T
B
{\displaystyle BT_{B}}
및
C
T
C
{\displaystyle CT_{C}}
의 교차는 제르곤 점 이라고 불리며,
G
e
{\displaystyle G_{e}}
로 표시됩니다 (또는 삼각형 중심(triangle center) X 7 ). 제르곤 점은 그 자체의 중심에서 구멍이 난 열린 직교-도형중심의 디스크(orthocentroidal disk) 에 놓이고, 거기에 임의의 점이 될 수 있습니다.[22]
삼각형의 제르곤 점은 여러 속성을 가지며, 그것이 제르곤 삼각형의 대칭-중앙 점(symmedian point) 이라는 것을 포함합니다.[23]
내-접촉 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
vertex
T
A
=
0
:
sec
2
(
B
2
)
:
sec
2
(
C
2
)
{\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{A}=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
vertex
T
B
=
sec
2
(
A
2
)
:
0
:
sec
2
(
C
2
)
{\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{B}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
vertex
T
C
=
sec
2
(
A
2
)
:
sec
2
(
B
2
)
:
0.
{\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{C}=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0.}
제르곤 점에 대해 삼-선 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
sec
2
(
A
2
)
:
sec
2
(
B
2
)
:
sec
2
(
C
2
)
,
{\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),}
또는, 동등하게, 사인의 법칙(Law of Sines) 에 의해,
b
c
b
+
c
−
a
:
c
a
c
+
a
−
b
:
a
b
a
+
b
−
c
.
{\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}
Excircles and excenters
A triangle with incircle, incenter
I
{\displaystyle I}
), excircles, excenters (
J
A
{\displaystyle J_{A}}
,
J
B
{\displaystyle J_{B}}
,
J
C
{\displaystyle J_{C}}
), internal angle bisectors and external angle bisectors. The green triangle is the excentral triangle.
삼각형의 외-원 (excircle ) 또는 외접된 원 (escribed circle )은[24] 삼각형 밖에 놓이는 원이며, 그것의 변의 하나에 접하고 다른 두 변의 연장선 에 접합니다. 모든 각 삼각형은 세 구별되는 외-원을 가지며, 삼각형의 변 중 하나에 각각 접합니다.[3]
외-원의 중심은 (예를 들어, 꼭짓점
A
{\displaystyle A}
에서) 한 각도의 내부 이등분선과 다른 두 각도의 외부(external) 이등분선의 교차입니다. 이 외-원의 중심은 꼭짓점
A
{\displaystyle A}
에 관련된 외-중심 또는
A
{\displaystyle A}
의 외-중심 으로 불립니다.[3]
각도의 내부 이등분선은 그것의 외부 이등분선에 직교하기 때문에, 세 외-원 중심과 함께 내-원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system) 을 형성합니다.[5] : 182
Trilinear coordinates of excenters
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 내-중심(incenter) 은 삼-선형 좌표(trilinear coordinates)
1
:
1
:
1
{\displaystyle 1:1:1}
이지만, 외-중심은 삼-선형
−
1
:
1
:
1
{\displaystyle -1:1:1}
,
1
:
−
1
:
1
{\displaystyle 1:-1:1}
, 및
1
:
1
:
−
1
{\displaystyle 1:1:-1}
를 가집니다.[citation needed ]
Exradii
외-원의 반지름은 외-반지름 (exradii )이라고 불립니다.
A
{\displaystyle A}
반대편 외-원의 외-반지름은 (그래서
B
C
{\displaystyle BC}
에 접촉하는,
J
A
{\displaystyle J_{A}}
에 중심을 둔) 다음입니다:[25] [26]
r
a
=
r
s
s
−
a
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
,
{\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}
where
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}
헤론의 공식(Heron's formula) 을 참조하십시오.
Derivation of exradii formula[27]
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변
A
B
{\displaystyle AB}
에서 외-원이
G
{\displaystyle G}
에서 연장된 변
A
C
{\displaystyle AC}
에 접촉하는 것으로 놓고,
이 외-원의 반지름을
r
c
{\displaystyle r_{c}}
및 그것의 중심을
J
c
{\displaystyle J_{c}}
로 놓습니다.
그런-다음
J
c
G
{\displaystyle J_{c}G}
는
△
A
C
J
c
{\displaystyle \triangle ACJ_{c}}
의 고도이므로,
△
A
C
J
c
{\displaystyle \triangle ACJ_{c}}
는 넓이
1
2
b
r
c
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}
를 가집니다.
같은 논증에 의해,
△
B
C
J
c
{\displaystyle \triangle BCJ_{c}}
는 넓이
1
2
a
r
c
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}
를 가지고
△
A
B
J
c
{\displaystyle \triangle ABJ_{c}}
는 넓이
1
2
c
r
c
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}
를 가집니다.
따라서 삼각형
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 넓이
Δ
{\displaystyle \Delta }
는 다음입니다:
Δ
=
1
2
(
a
+
b
−
c
)
r
c
=
(
s
−
c
)
r
c
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}
.
따라서, 대칭에 의해,
r
{\displaystyle r}
을 내-원의 반지름으로 나타내면,
Δ
=
s
r
=
(
s
−
a
)
r
a
=
(
s
−
b
)
r
b
=
(
s
−
c
)
r
c
{\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}
.
코사인의 법칙(Law of Cosines) 에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
cos
(
A
)
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos(A)={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
이것을 항등식
sin
2
A
+
cos
2
A
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}
에 결합하면, 우리는 다음을 얻습니다:
sin
(
A
)
=
−
a
4
−
b
4
−
c
4
+
2
a
2
b
2
+
2
b
2
c
2
+
2
a
2
c
2
2
b
c
{\displaystyle \sin(A)={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}
그러나,
Δ
=
1
2
b
c
sin
(
A
)
{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin(A)}
이고, 따라서
Δ
=
1
4
−
a
4
−
b
4
−
c
4
+
2
a
2
b
2
+
2
b
2
c
2
+
2
a
2
c
2
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}
이것은 헤론의 공식(Heron's formula) 입니다.
이것을
s
r
=
Δ
{\displaystyle sr=\Delta }
와 결합하면, 우리는 다음을 가집니다:
r
2
=
Δ
2
s
2
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
.
{\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}
비슷하게,
(
s
−
a
)
r
a
=
Δ
{\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }
는 다음을 제공합니다:
r
a
2
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
{\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}
및
r
a
=
s
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
s
−
a
.
{\displaystyle r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.}
Other properties
위의 공식으로부터 우리는 외-원이 항상 내-원보다 더 크고 가장-큰 외-원이 가장-긴 변에 접하는 것이고 가장 작은 외-원이 가장 짧은 변에 접함을 알 수 있습니다. 게다가, 이 공식들을 결합하면 다음을 산출합니다:[28]
Δ
=
r
r
a
r
b
r
c
.
{\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}
Other excircle properties
외-원의 원형 껍질(hull) 은 각 외-원에 내부적으로 접하고 따라서 아폴로니우스 원(Apollonius circle) 입니다.
[29]
이 아폴로니우스 원의 반지름은
r
2
+
s
2
4
r
{\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}
이며 여기서
r
{\displaystyle r}
은 내-원 반지름이고
s
{\displaystyle s}
는 삼각형의 반-둘레입니다.
[30]
다음 관계는 내-반지름
r
{\displaystyle r}
, 둘레-반지름
R
{\displaystyle R}
, 반-둘레
s
{\displaystyle s}
, 및 외-원 반지름
r
a
{\displaystyle r_{a}}
,
r
b
{\displaystyle r_{b}}
,
r
c
{\displaystyle r_{c}}
사이에 유지됩니다:
[13]
r
a
+
r
b
+
r
c
=
4
R
+
r
,
r
a
r
b
+
r
b
r
c
+
r
c
r
a
=
s
2
,
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
=
(
4
R
+
r
)
2
−
2
s
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}
세 외-원의 반지름을 통과하는 원은 반지름
2
R
{\displaystyle 2R}
을 가집니다.[13]
만약
H
{\displaystyle H}
가
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 수직-중심(orthocenter) 이면,[13]
r
a
+
r
b
+
r
c
+
r
=
A
H
+
B
H
+
C
H
+
2
R
,
r
a
2
+
r
b
2
+
r
c
2
+
r
2
=
A
H
2
+
B
H
2
+
C
H
2
+
(
2
R
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}
Nagel triangle and Nagel point
The extouch triangle (
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
) and the Nagel point (
N
{\displaystyle N}
) of a triangle (
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
). The orange circles are the excircles of the triangle.
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 나겔 삼각형 (Nagel triangle ) 또는 외-접촉 삼각형 (extouch triangle )은 외-원이 참조
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
에 접촉하고
T
A
{\displaystyle T_{A}}
가
A
{\displaystyle A}
의 반대편, 등인 세 점인 꼭짓점
T
A
{\displaystyle T_{A}}
,
T
B
{\displaystyle T_{B}}
, 및
T
C
{\displaystyle T_{C}}
에 의해 나타냅니다. 이
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
는
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 외-접촉 삼각형 (extouch triangle )으로 역시 알려져 있습니다. 외-접촉
△
T
A
T
B
T
C
{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}
의 둘레-원(circumcircle) 은 맨다트 원 (Mandart circle )이라고 불립니다.[citation needed ]
세 직선
A
T
A
{\displaystyle AT_{A}}
,
B
T
B
{\displaystyle BT_{B}}
및
C
T
C
{\displaystyle CT_{C}}
는 삼각형의 (둘레-)나눔선(splitters) 이라고 불립니다; 그것들은 삼각형의 둘레를 각각 이등분합니다,[citation needed ]
A
B
+
B
T
A
=
A
C
+
C
T
A
=
1
2
(
A
B
+
B
C
+
A
C
)
.
{\displaystyle AB+BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{2}}\left(AB+BC+AC\right).}
나눔선은 단일 점, 삼각형의 나겔 점(Nagel point)
N
a
{\displaystyle N_{a}}
(또는 삼각형 중심(triangle center) X 8 )에서 교차합니다.
외-접촉 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
vertex
T
A
=
0
:
csc
2
(
B
2
)
:
csc
2
(
C
2
)
{\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{A}=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
vertex
T
B
=
csc
2
(
A
2
)
:
0
:
csc
2
(
C
2
)
{\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{B}=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}
vertex
T
C
=
csc
2
(
A
2
)
:
csc
2
(
B
2
)
:
0.
{\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{C}=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0.}
나겔 점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
csc
2
(
A
2
)
:
csc
2
(
B
2
)
:
csc
2
(
C
2
)
,
{\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right),}
또는, 동등하게, 사인의 법칙(Law of Sines) 에 의해,
b
+
c
−
a
a
:
c
+
a
−
b
b
:
a
+
b
−
c
c
.
{\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}
나겔 점은 제르곤 점의 동위 켤레(isotomic conjugate) 입니다.[citation needed ] [improve translation ]
Related constructions
Nine-point circle and Feuerbach point
The nine-point circle is tangent to the incircle and excircles
기하학(geometry) 에서, 아홉-점 원 (nine-point circle )은 임의의 주어진 삼각형(triangle) 에 대해 구성될 수 있는 원(circle) 입니다. 그것은 삼각형으로 정의된 아홉 개의 중요한 일치-순환 점(concyclic points) 을 통과하기 때문에 그렇게 이름-지어졌습니다. 이들 아홉 점(points) 은 다음입니다:[31] [32]
1822년에 카를 포이어바는 임의의 삼각형의 아홉-점 원이 해당 삼각형의 세 외-원(excircle) 에 외부적으로 접(tangent) 하고 그것의 내-원(incircle) 에 내부적으로 접함을 발견했습니다; 이 결과는 포이어바의 정리(Feuerbach's theorem) 로 알려져 있습니다. 그는 다음임을 입증했습니다:[citation needed ]
... 삼각형의 고도의 발을 통과하는 그 원은 삼각형의 모든 세 변에 차례로 접하는 모든 네 원에 접합니다 ... (Feuerbach 1822 ) harv error: no target: CITEREFFeuerbach1822 (help )
내-원과 아홉-점 원이 접촉하는 삼각형 중심(triangle center) 은 포이어바 점(Feuerbach point) 이라고 불립니다.
Incentral and excentral triangles
선분
B
C
{\displaystyle BC}
,
C
A
{\displaystyle CA}
, 및
A
B
{\displaystyle AB}
를 갖는
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
의 내부 각도 이등분선의 교차의 점은 내-중심 삼각형 (incentral triangle )의 꼭짓점입니다. 내-중심 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
(
vertex opposite
A
)
=
0
:
1
:
1
{\displaystyle \ \left({\text{vertex opposite}}\,A\right)=0:1:1}
(
vertex opposite
B
)
=
1
:
0
:
1
{\displaystyle \ \left({\text{vertex opposite}}\,B\right)=1:0:1}
(
vertex opposite
C
)
=
1
:
1
:
0.
{\displaystyle \ \left({\text{vertex opposite}}\,C\right)=1:1:0.}
참조 삼각형의 외-중심 삼각형 (excentral triangle )은 참조 삼각형의 외-원의 중심에서 꼭짓점을 가집니다. 그것의 변은 참조 삼각형의 외부 각도 이등분선 위에 있습니다 (이 기사의 꼭대기 에 그림을 참조하십시오). 외-중심 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼-선형 좌표는 다음에 의해 제공됩니다:[citation needed ]
(
vertex opposite
A
)
=
−
1
:
1
:
1
{\displaystyle ({\text{vertex opposite}}\,A)=-1:1:1}
(
vertex opposite
B
)
=
1
:
−
1
:
1
{\displaystyle ({\text{vertex opposite}}\,B)=1:-1:1}
(
vertex opposite
C
)
=
1
:
1
:
−
1.
{\displaystyle ({\text{vertex opposite}}\,C)=1:1:-1.}
Equations for four circles
x
:
y
:
z
{\displaystyle x:y:z}
를 삼-선형 좌표(trilinear coordinates) 에서 변수 점으로 놓고,
u
=
cos
2
(
A
/
2
)
{\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}
,
v
=
cos
2
(
B
/
2
)
{\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}
,
w
=
cos
2
(
C
/
2
)
{\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}
으로 놓습니다. 위에 묘사된 네 원은 두 주어진 방정식의 하나에 의해 동등하게 제공됩니다:[33] : 210–215
내-원:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
−
2
v
w
y
z
−
2
w
u
z
x
−
2
u
v
x
y
=
0
±
x
cos
(
A
2
)
±
y
cos
(
B
2
)
±
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
A
{\displaystyle A}
-외원:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
−
2
v
w
y
z
+
2
w
u
z
x
+
2
u
v
x
y
=
0
±
−
x
cos
(
A
2
)
±
y
cos
(
B
2
)
±
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
B
{\displaystyle B}
-외원:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
+
2
v
w
y
z
−
2
w
u
z
x
+
2
u
v
x
y
=
0
±
x
cos
(
A
2
)
±
−
y
cos
(
B
2
)
±
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
C
{\displaystyle C}
-외원:
u
2
x
2
+
v
2
y
2
+
w
2
z
2
+
2
v
w
y
z
+
2
w
u
z
x
−
2
u
v
x
y
=
0
±
x
cos
(
A
2
)
±
y
cos
(
B
2
)
±
−
z
cos
(
C
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}
Euler's theorem
오일러 정리(Euler's theorem) 는 삼각형에서 다음임을 말합니다:
(
R
−
r
)
2
=
d
2
+
r
2
,
{\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}
여기서
R
{\displaystyle R}
와
r
{\displaystyle r}
은 각각 둘레-반지름과 내-반지름이고,
d
{\displaystyle d}
는 둘레-중심(circumcenter) 과 내-중심 사이의 거리입니다.
외-원에 대해, 그 방정식은 비슷합니다:
(
R
+
r
ex
)
2
=
d
ex
2
+
r
ex
2
,
{\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}
여기서
r
ex
{\displaystyle r_{\text{ex}}}
는 외-원 중 하나의 반지름이고,
d
ex
{\displaystyle d_{\text{ex}}}
는 둘레-중심과 해당 외-원의 중심 사이의 거리입니다.[34] [35] [36]
Generalization to other polygons
일부 (그러나 전부는 아님) 사변형(quadrilateral) 은 내-원을 가집니다. 이들은 접하는 사변형(tangential quadrilateral) 이라고 불립니다. 그들의 많은 속성 중에서 아마도 가장 중요한 것은 그들의 반대편 변의 두 쌍이 같은 합을 가진다는 것입니다. 이것은 피토 정리(Pitot theorem) 라고 불립니다.[citation needed ]
보다 일반적으로, 내접된 원을 가지는 임의의 숫자의 변을 갖는 다각형은 접하는 다각형(tangential polygon) 으로 불립니다.[citation needed ]
See also
Notes
^ Kay (1969 , p. 140)
^ Altshiller-Court (1925 , p. 74)
^ a b c d e Altshiller-Court (1925 , p. 73)
^ Kay (1969 , p. 117)
^ a b c Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover, 2007 (orig. 1929).
^ a b Encyclopedia of Triangle Centers Archived 2012-04-19 at the Wayback Machine , accessed 2014-10-28.
^ Kay (1969 , p. 201)
^
Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette , 96 : 161–165 .
^ Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry , Dover Publications . #84, p. 121.
^ Mathematical Gazette , July 2003, 323-324.
^ Chu, Thomas, The Pentagon , Spring 2005, p. 45, problem 584.
^ Kay (1969 , p. 203)
^ a b c d Bell, Amy, "Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," Mathematics Magazine 83, April 2010, pp. 141-146.
^ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette 96, March 2012, 161-165.
^ Altshiller-Court, Nathan. College Geometry , Dover Publications, 1980.
^ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles , Prometheus Books, 2012.
^ a b c Franzsen, William N. (2011). "The distance from the incenter to the Euler line" (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231–236. MR 2877263 . .
^ Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
^ Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
^
Weisstein, Eric W. "Contact Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
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References
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