Laplace transform

Original article: w:Laplace transform

수학(mathematics)에서, 라플라스 변환(Laplace transform)은, 발견자 피에르-시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace) (/ləˈplɑːs/)의 이름을 따서 지었으며, 실수 변수 (보통 시간 도메인에서 $t$)의 함수를 복소수 변수 $s$ (복소 주파수 도메인에서, 역시 s-도메인, 또는 s-평면이라고도 함)의 함수로 변환하는 적분 변환입니다. 그 변환은 미분 방정식(differential equations)을 풀기 위한 도구이기 때문에 과학과 공학 분야에서 많은 응용 분야를 가집니다. 특히, 그것은 보통의 미분 방정식(ordinary differential equations)을 대수적 방정식(algebraic equations)으로, 합성곱(convolution)을 곱셈(multiplication)으로 변환합니다. 적합한 함수 $f$에 대해, 라플라스 변환은 다음과 같은 적분(integral)입니다: $${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$$

History

Pierre-Simon, marquis de Laplace

라플라스 변환은 확률 이론(probability theory)에 관한 그의 연구에서 유사한 변환을 사용했던 수학자이자 천문학자인 라플라스 후작 피에르-시몽의 이름을 따서 지어졌습니다. 라플라스는 Essai philosophique sur les probabilités (1814)에서 생성 함수(generating functions)의 사용에 대해 광범위하게 썼고, 그 결과 라플라스 변환의 적분 형식이 자연스럽게 발전했습니다.

라플라스의 생성 함수 사용은 현재 z-변환(z-transform)으로 알려진 것과 유사했고, 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)에 의해 논의되었던 연속 변수(continuous variable) 사례에는 거의 관심을 기울이지 않았습니다. 그 이론은 19세기와 20세기 초에 Mathias Lerch, Oliver Heaviside, 및 Thomas Bromwich에 의해 더욱 발전되었습니다.

변환의 현재 광범위한 사용 (주로 공학)은 제2차 세계 대전 중과 직후에 발생하여, 이전의 헤비사이드 연산적 미적분(operational calculus)을 대체했습니다. 라플라스 변환의 장점은 구스타프 도에치(Gustav Doetsch)에 의해 강조되었으며, 라플라스 변환이라는 이름이 그로 인해 유래한 것으로 보입니다.

1744년부터, 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)는 미분 방정식의 해로서 다음 형식의 적분을 조사했지만, 그 문제를 그리 멀리 추구하지는 않았습니다:

$$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx$$ 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)는 오일러의 숭배자였고, 확률 밀도 함수(probability density functions)를 적분하는 그의 연구에서, 다음 형식의 표현을 조사했습니다: $$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$$ 일부 현대 역사가들은 이를 현대 라플라스 변환 이론 내에서 해석했습니다.

이들 유형의 적분은 1782년에 라플라스의 관심을 처음으로 끌었던 것으로 보이며, 여기서 그는 적분 자체를 방정식의 해로 사용하는 오일러의 정신을 따르고 있었습니다. 어쨌든, 1785년에, 라플라스는 단순히 적분의 형태로 해를 찾는 것이 아니라 나중에 대중화되는 의미에서 변환을 적용하기 시작했을 때 중요한 단계를 밟았습니다. 그는 다음 형식의 적분을 사용했습니다: $$\int x^{s}\varphi (x)\,dx,$$ 이는 변환된 방정식의 해를 찾기 위해 차이 방정식(difference equation)의 전체를 변환하기 위한 멜린 변환(Mellin transform)과 유사합니다. 그는 그런-다음 계속해서 같은 방식으로 라플라스 변환을 적용하고 그 속성 중 일부를 도출하기 시작하여 잠재적인 강력한 힘을 인식하기 시작했습니다.

라플라스는 역시 확산 방정식(diffusion equation)을 풀기 위한 조제프 푸리에(Joseph Fourier)의 푸리에 급수(Fourier series)의 방법이 제한된 공간의 영역에만 적용될 수 있음을 인식했는데, 왜냐하면 그것들의 해가 주기적(periodic)이기 때문입니다. 1809년에, 라플라스는 자신의 변환을 적용하여 공간에서 무한하게 확산되는 해를 찾았습니다.

Formal definition

모든 실수 t ≥ 0에 대해 정의된 함수(function) f(t)의 라플라스 변환은 함수 F(s)이며, 다음과 같이 정의되는 단방향 변환입니다:

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$

(Eq.1)

여기서 s는 복소(complex) 주파수 도메인 매개변수입니다: $$s=\sigma +i\omega ,$$ 여기서 σ와 ω는 실수입니다.

라플라스 변환에 대한 대안적인 표기법은 F 대신 ${\mathcal {L}}\{f\}$입니다.

적분의 의미는 관심 함수의 유형에 따라 다릅니다. 적분의 존재를 위한 필요 조건은 f가 [0, ∞) 위에 지역적으로 적분-가능(locally integrable)해야 한다는 것입니다. 무한대에서 감쇠하거나 지수 유형 ($|f(t)|\leq Ae^{B|t|}$)인 지역적으로 적분-가능 함수에 대해, 적분은 (적절한) 르베그 적분(Lebesgue integral)으로 이해될 수 있습니다. 어쨌든, 많은 응용에 대해 ∞에서 조건부로 수렴(conditionally convergent)하는 부적절한 적분(improper integral)으로 고려할 필요가 있습니다. 훨씬 더 일반적으로, 적분은 약한 의미(weak sense)로 이해될 수 있고, 이는 아래에서 다루어집니다.

우리는 르베그 적분에 의해 유한 보렐 측정(Borel measure) μ의 라플라스 변환을 정의할 수 있습니다:$${\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$$중요한 특수한 경우는 μ가 확률 측정(probability measure), 예를 들어, 디랙 델타 함수(Dirac delta function)인 경우입니다. 연산적 미적분에서, 측정의 라플라스 변환은 종종 측정이 확률 밀도 함수 f에서 나온 것처럼 취급됩니다. 해당 경우에서, 잠재적 혼란을 피하기 위해, 우리는 종종 다음과 같이 씁니다: $${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,$$

여기서 0⁻의 아래쪽 극한은 다음에 대한 속기 표기법입니다: $$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$$

이 극한은 0에 위치한 임의의 점 질량이 라플라스 변환에 의해 완전히 포착된다는 점을 강조합니다. 비록 르베그 적분과 함께, 그러한 극한을 취할 필요가 없을지라도, 라플라스–스틸티어스 변환(Laplace–Stieltjes transform)과 관련하여 더 자연스럽게 나타납니다.

Bilateral Laplace transform

Main article: Two-sided Laplace transform

우리는 자격 부여 없이 "라플라스 변환"을 말할 때, 한쪽의 또는 단-측 변환이 보통 의도됩니다. 라플라스 변환은 적분의 극한을 전체 실수 축으로 확장함으로 양방향 라플라스 변환(bilateral Laplace transform) 또는 양-측 라플라스 변환(two-sided Laplace transform)으로 대안적으로 정의될 수 있습니다. 그렇게 하면, 공통적인 단방향 변환은 변환되는 함수의 정의가 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)를 곱하는 양방향 변환의 특수한 경우가 됩니다.

양방향 라플라스 변환 F(s)는 다음과 같이 정의됩니다:

$F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

(Eq.2)

양방향 라플라스 변환의 대안적인 표기법은 F 대신 ${\mathcal {B}}\{f\}$입니다.

Inverse Laplace transform

Main article: Inverse Laplace transform

두 개의 적분-가능 함수는 만약 그것들이 르베그 측정(Lebesgue measure) 영의 집합에서 다른 경우에만 같은 라플라스 변환을 가집니다. 이것은, 변환 치역 위에, 역 변환이 있음을 의미합니다. 실제로, 적분-가능 함수 외에도, 라플라스 변환은 보통 치역의 쉬운 특성이 없을지라도 다른 많은 함수 공간에서도 한 함수 공간에서 또 다른 함수 공간으로의 일-대-일 매핑(one-to-one mapping)입니다.

이것이 사실인 전형적인 함수 공간은 경계진 연속 함수의 공간, 공간 L^∞(0, ∞), 또는 (0, ∞) 위의 보다 일반적으로 완화된 분포(tempered distributions)를 포함합니다. 라플라스 변환은 역시 완화된 분포의 적절한 공간에 대해 정의되고 단사입니다.

이들 경우에서, 라플라스 변환의 이미지는 수렴의 영역에서 해석적 함수(analytic functions)의 공간에 있습니다. 역 라플라스 변환(inverse Laplace transform)은 다양한 이름 (브롬위치 적분(Bromwich integral), 푸리에-멜린 적분(Fourier–Mellin integral), 및 멜린의 역 공식(Mellin's inverse formula))으로 알려져 있는 다음 복소 적분에 의해 제공됩니다:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds$

(Eq.3)

여기서 γ는 적분 윤곽 경로가 F(s)의 수렴의 영역에 있도록 하는 실수입니다. 대부분의 응용에서, 윤곽은 닫힐 수 있으며, 잔여 정리(residue theorem)의 사용을 허용합니다. 역 라플라스 변환에 대한 대안적인 공식은 포스트의 반전 공식(Post's inversion formula)에 의해 제공됩니다. 여기서 극한 약한-* 토폴로지(weak-* topology)에서 해석됩니다.

실제로는, 전형적으로 라플라스 변환을 테이블에서 얻은 함수의 알려진 변환으로 분해하고, 검사를 통해 역 변환을 구성하는 것이 더 편리합니다.

Probability theory

순수 확률과 응용 확률에서, 라플라스 변환은 기댓값(expected value)으로 정의됩니다. 만약 X가 확률 밀도 함수 f를 갖는 확률 변수(random variable)이면, f의 라플라스 변환은 다음 기댓값에 의해 제공됩니다: $${\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \!\left[e^{-sX}\right]\!.$$

관례(convention)에 의해, 이것은 확률 변수 X 자체의 라플라스 변환이라고 참조됩니다. 여기서, s를 −t로 바꾸면 X의 모멘트 생성 함수(moment generating function)를 제공합니다. 라플라스 변환은 마르코프 체인(Markov chains)과 같은 확률적 과정(stochastic processes)의 첫 번째 통과 시간(first passage times), 및 갱신 이론(renewal theory)을 포함하여 확률 이론 전반에 걸쳐 응용을 가집니다.

다음과 같이 라플라스 변환을 수단으로 연속 확률 변수 X의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)를 복구하는 기능이 특히 유용합니다:$$F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}\!(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}\!(x).$$

Algebraic construction

라플라스 변환은 양의 반쪽-직선 위에 함수의 합성곱 링(ring)에 분수의 필드 구성을 적용함으로써 순수하게 대수적 방식으로 대안적으로 정의될 수 있습니다. 추상 연산자의 결과 공간은 라플라스 공간과 정확하게 동등하지만, 이 구조에서 순방향 변환과 역방향 변환은 명시적으로 정의할 필요가 없습니다 (수렴 증명 관련 어려움 방지합니다).

Region of convergence

만약 f가 지역적으로 적분-가능 함수 (또는 보다 일반적으로 경계진 변동의 지역적 보렐 측정)이면, f의 라플라스 변환 F(s)는 다음 극한이 존재한다는 조건으로 하여 수렴합니다: $$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$$ 라플라스 변환은 다음 극한이 적절한 르베그 적분으로 존재하면 절대적으로 수렴합니다:$$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$$ 라플라스 변환은 보통 조건적으로 수렴으로 이해되며, 그것은 전자에서는 수렴하지만 후자에서는 수렴하지 않음을 의미합니다.

F(s)가 절대적으로 수렴하는 값의 집합은 Re(s) > a 또는 Re(s) ≥ a 형식 중 하나이며, 여기서 a는 −∞ ≤ a ≤ ∞를 갖는 확장된 실수 상수(extended real constant)입니다 (지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)의 결론입니다). 상수 a는 절대 수렴의 앱시서로 알려져 있고, f(t)의 성장 행동에 따라 달라집니다. 유사하게, 양-측 변환은 a < Re(s) < b 형식의 스트립에서 절대적으로 수렴하고, Re(s) = a 또는 Re(s) = b 직선을 포함할 수 있습니다. 라플라스 변환이 절대적으로 수렴하는 s 값의 부분집합은 절대 수렴의 영역, 또는 절대 수렴의 도메인이라고 불립니다. 양-측의 경우에서, 그것은 때때로 절대 수렴의 스트립이라고 불립니다. 라플라스 변환은 절대 수렴의 영역에서 해석적입니다: 이것은 푸비니의 정리(Fubini's theorem)와 모레라 정리(Morera's theorem)의 결과입니다.

마찬가지로, F(s)가 (조건적으로 또는 절대적으로) 수렴하는 값의 집합은 조건부 수렴의 영역, 또는 단순히 수렴의 영역 (ROC)으로 알려져 있습니다. 만약 라플라스 변환이 s = s₀에서 (조건적으로) 수렴하면, 그것은 Re(s) > Re(s₀)를 갖는 모든 s에 대해 자동적으로 수렴합니다. 그러므로, 수렴의 영역은 Re(s) > a 형식의 절반-평면이며, 경계선 Re(s) = a의 일부 점을 포함할 수 있습니다.

수렴의 영역 Re(s) > Re(s₀)에서, f의 라플라스 다음 적분으로 부분에 의해 적분함으로써 표현될 수 있습니다:$$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$$

즉, F(s)는 수렴의 영역에서 일부 다른 함수의 절대적으로 수렴하는 라플라스 변환으로 효과적으로 표현될 수 있습니다. 특히, 그것은 해석적입니다.

f의 붕괴 속성과 수렴의 영역 내에서 라플라스 변환의 속성 사이의 관계에 관한 몇 가지 페일리-위너 정리(Paley–Wiener theorems)가 있습니다.

공학 응용에서, 선형 시간-불변 (LTI) 시스템에 해당하는 함수는 만약 모든 각 경계진 입력이 경계진 출력을 생성하면 안정적입니다. 이것은 Re(s) ≥ 0 영역에서 충격 응답 함수의 라플라스 변환의 절대 수렴과 동등합니다. 결과적으로, 충격 응답 함수의 라플라스 변환의 극점이 음의 실수 부분을 가지면 LTI 시스템은 안정적입니다.

이러한 ROC는 시스템의 인과 관계와 안정성을 파악하는 데 사용됩니다.

Properties and theorems

라플라스 변환은 선형 동역학적 시스템(dynamical systems)을 분석하는 데 유용한 여러 속성을 가집니다. 가장 중요한 이점은 미분이 곱셈이 되고, 적분이 s에 의한 나눗셈이 된다는 것입니다 (로그가 곱셈을 로그의 덧셈으로 변경하는 방법을 연상시킵니다).

이 속성 때문에, 라플라스 변수 s는 L 도메인에서 연산자 변수(operator variable)로도 알려져 있습니다: 도함수 연산자 또는 (s⁻¹에 대해) 적분 연산자. 그 변환은 적분 방정식과 미분 방정식을 풀기 훨씬 더 쉬운 다항 방정식으로 바꿉니다. 방정식을 일단 풀면, 역 라플라스 변환은 원래 도메인으로 되돌아가기 위해 사용됩니다.

함수 f(t)와 g(t)와 그것들 각각의 라플라스 변환 F(s)와 G(s)가 주어지면,$${\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}$$

다음 테이블은 단방향 라플라스 변환의 속성의 목록입니다:

Properties of the unilateral Laplace transform

Property	Time domain	s domain	Comment
Linearity	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Can be proved using basic rules of integration.
Frequency-domain derivative	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	F′ is the first derivative of F with respect to s.
Frequency-domain general derivative	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	More general form, nth derivative of F(s).
Derivative	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{-})\$	f is assumed to be a differentiable function, and its derivative is assumed to be of exponential type. This can then be obtained by integration by parts
Second derivative	$f''(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	f is assumed twice differentiable and the second derivative to be of exponential type. Follows by applying the Differentiation property to f′(t).
General derivative	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{-})\$	f is assumed to be n-times differentiable, with nth derivative of exponential type. Follows by mathematical induction.
Frequency-domain integration	${\frac {1}{t}}f(t)\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$	This is deduced using the nature of frequency differentiation and conditional convergence.
Time-domain integration	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	u(t) is the Heaviside step function and (u ∗ f)(t) is the convolution of u(t) and f(t).
Frequency shifting	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)\$
Time shifting	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)\$	a > 0, u(t) is the Heaviside step function
Time scaling	$f(at)$	${\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)$	a > 0
Multiplication	$f(t)g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	The integration is done along the vertical line Re(σ) = c that lies entirely within the region of convergence of F.
Convolution	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$
Circular convolution	$(f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	For periodic functions with period T.
Complex conjugation	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
Cross-correlation	$(f\star g)(t)=\int _{0}^{\infty }f(\tau )^{*}\,g(t+\tau )\,d\tau$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
Periodic function	$f(t)$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	f(t) is a periodic function of period T so that f(t) = f(t + T), for all t ≥ 0. This is the result of the time shifting property and the geometric series.
Periodic summation	$\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)u(t-Tn)$ $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)u(t-Tn)$	${\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)$ ${\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)$

Initial value theorem

$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.$

Final value theorem

만약 $sF(s)$의 모든 극점(poles)이 왼쪽 절반-평면에 있으면, $f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$.

최종 값 정리는 부분 분수 분해 (또는 다른 어려운 대수)를 수행하지 않고도 장기 행위를 제공하기 때문에 유용합니다. 만약 F(s)의 오른쪽 평면에 극점 또는 허수 축 위에 극점을 가지면 (예를 들어, $f(t)=e^{t}$ 또는 $f(t)=\sin(t)$이면), 이 공식의 행동은 정의되지 않습니다.

Relation to power series

라플라스 변환은 거듭제곱 급수(power series)의 연속(continuous) 아날로그로 볼 수 있습니다. 만약 a(n)이 양의 정수 n의 이산 함수이면, a(n)과 결합된 거듭제곱 급수는 다음 급수입니다: $$\sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}$$ 여기서 x는 실수 변수입니다 (Z-변환 참조). n에 걸쳐 합을 t에 걸쳐 적분으로 대체하면, 거듭제곱 급수의 연속 버전이 됩니다: $$\int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt$$ 여기서 이산 함수 a(n)은 연속 함수 f(t)로 대체됩니다.

x에서 e로 거듭제곱의 밑수를 변경하면 다음을 제공합니다: $$\int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt$$

이를 위해, 말하자면, 모든 경계진 함수 f에 대해 수렴하기 위해, ln x < 0임을 요구할 필요가 있습니다. −s = ln x로 대체하면 라플라스 변환만 제공됩니다: $$\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt$$

다시 말해, 라플라스 변환은 이산 매개변수 n이 연속 매개변수 t로 대체되고, x가 e^−s로 대체되는 거듭제곱 급수의 연속 아날로그입니다.

Relation to moments

Main article: Moment-generating function

다음 수량은 $$\mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt$$

함수 f의 모멘트(moments)입니다. 만약 f의 첫 번째 n 모멘트가 절대적으로 수렴하면, 적분 아래에서 반복된 미분에 의해, 다음을 제공합니다: $$(-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.$$ 이것은 확률 변수 X의 모멘트가 기댓값 $\mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]$으로 주어지는 확률 이론에서 특별한 의미가 있습니다. 그런-다음 관계가 유지됩니다: $$\mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).$$

Computation of the Laplace transform of a function's derivative

함수 도함수의 변환을 찾기 위해 라플라스 변환의 미분 속성을 사용하는 것이 종종 편리합니다. 이것은 다음과 같이 라플라스 변환의 기본 표현에서 파생될 수 있습니다: $${\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}$$ 다음을 산출합니다: $${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),$$ 그리고 양방향 경우에서, $${\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.$$

일반적인 결과는 다음과 같습니다: $${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),$$ 여기서 $f^{(n)}$는 f의 n-번째 도함수를 나타내고, 그런-다음 귀납적 인수로 설립될 수 있습니다.

Evaluating integrals over the positive real axis

라플라스 변환의 유용한 속성은 $0$의 오른쪽 이웃에서 $f,g$의 행동과 $\infty$의 왼쪽 이웃에서 $f,g$의 감쇠율에 대한 적절한 가정 아래에서 다음과 같습니다: $$\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds$$ 위의 공식은 연산자 ${\frac {d}{dx}}$ 및 $\int \,dx$가 ${\mathcal {L}}$ 및 ${\mathcal {L}}^{-1}$로 대체된 부분에 의한 적분의 변형입니다. 동등한 형식화를 증명해 보겠습니다: $$\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.$$

$({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds$를 대입함으로써, 왼쪽 변은 다음과 같이 바뀝니다: $$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,$$ 그러나 푸비니의 정리가 유지된다고 가정하면, 적분 순서를 반대로 바꿈으로써 원하는 오른쪽 변을 얻습니다.

이 방법은 실수 미적분의 기본 방법을 사용하여 계산하기 어려운 적분을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어,$$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.$$

Relationship to other transforms

Laplace–Stieltjes transform

함수 g : ℝ → ℝ의 (단방향) 라플라스-스틸티어스 변환은 다음과 같이 르베그-스틸티어스 적분(Lebesgue–Stieltjes integral)에 의해 정의됩니다:

$$\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.$$

함수 g는 경계진 변동(bounded variation)으로 가정됩니다. 만약 g가 f의 역도함수(antiderivative)이면:

$$g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t$$

g의 라플라스–스틸티어스 변환과 f의 라플라스 변환이 일치합니다. 일반적으로, 라플라스–스틸티어스 변환은 g와 결합된 스틸티어스 측정(Stieltjes measure)의 라플라스 변환입니다. 따라서 실제로, 두 변환 사이의 유일한 차이점은 라플라스 변환은 측정의 밀도 함수에서 작동하는 것으로 생각되고, 반면 라플라스–스틸티어스 변환은 누적 분포 함수에서 작동하는 것으로 생각된다는 것입니다.

Fourier transform

Further information: Fourier transform § Laplace transform

푸리에 변환(Fourier transform)은 양방향 라플라스 변환의 (특정 조건 아래에서) 특수한 경우입니다. 함수의 푸리에 변환이 실수 변수 (주파수)의 복소 함수라면, 함수의 라플라스 변환은 복소 변수의 복소 함수입니다. 라플라스 변환은 보통 t ≥ 0을 갖는 t 함수의 변환으로 제한됩니다. 이 제한의 결과는 함수의 라플라스 변환이 변수 s의 정칙 함수(holomorphic function)라는 것입니다. 푸리에 변환과 달리, 분포(distribution)의 라플라스 변환은 일반적으로 잘-행동된(well-behaved) 함수입니다. 복소 변수의 기술은 라플라스 변환을 직접 연구하기 위해 사용될 수도 있습니다. 정칙 함수로서, 라플라스 변환은 거듭제곱 급수(power series) 표현을 가집니다. 이 거듭제곱 급수는 함수 모멘트(moments)의 선형 중첩으로 함수를 표현합니다. 이 관점은 확률 이론에 응용을 가집니다.

푸리에 변환은 아래 설명된 조건이 충족될 때 허수 인수 s = iω 또는 s = 2πiξ로 양방향 라플라스 변환을 평가하는 것과 동등합니다:

$${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}$$

푸리에 변환의 이 규칙 (Fourier transform § Other conventions에서 f^3(ω))은 역 푸리에 변환에서 1/2π의 인수를 요구합니다. 라플라스 변환과 푸리에 변환 사이의 이러한 관계는 종종 신호 또는 동역학적 시스템의 주파수 스펙트럼(frequency spectrum)을 결정하기 위해 사용됩니다.

위의 관계는 말한 것처럼 유효한 것과 F(s)의 수렴의 영역 (ROC)이 허수 축 σ = 0을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

예를 들어, 함수 f(t) = cos(ω₀t)는 ROC가 Re(s) > 0인 라플라스 변환 F(s) = s/(s² + ω₀²)를 가집니다. s = iω₀는 F(s)의 극점이기 때문에, F(s)에서 s = iω를 치환하면 디랙 델타 함수(Dirac delta function) δ(ω − ω₀)에 비례하는 f(t)u(t)의 푸리에 변환을 산출하지 않습니다.

어쨌든, 다음 형식의 관계는 $$\lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )$$ 훨씬 더 약한 조건 아래에서 유지됩니다. 예를 들어, 이것은 그 극한이 측정의 약한 극한으로 이해된다는 조건으로 하여 위의 예제에 대해 유지됩니다 (모호한 토폴로지(vague topology)를 참조). 푸리에 변환에 대한 경계에 있는 함수의 라플라스 변환의 극한과 관련된 일반적인 조건은 페일리-위너 정리(Paley–Wiener theorems)의 형식을 취합니다.

Mellin transform

Main article: Mellin transform

멜린 변환과 그것의 역은 간단한 변수의 변경에 의해 양-측 라플라스 변환과 관련됩니다.

만약 다음 멜린 변환에서 $$G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}$$ θ = e^−t를 설정하면 양-측 라플라스 변환을 얻습니다.

Z-transform

Further information: Z-transform § Relationship to Laplace transform

단방향 또는 한-측 Z-변환은 이상적으로 표본화된 신호를 다음으로 치환한 라플라스 변환입니다: $$z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},$$ 여기서 T = 1/f_s는 표본화 구간(sampling interval) (시간, 예를 들어, 초 단위)이고, f_s는 표본화 율(sampling rate) (초당 표본(samples per second) 또는 헤르츠(hertz))입니다.

다음을 $$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$ 표본화 충격 열차라고 놓고 (역시 디렉 빗(Dirac comb)이라고 불림), 다음을 $${\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}$$ 연속 시간 x(t)의 표본화된 표현이라고 놓습니다: $$x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.$$

표본화된 신호 x_q(t) 의 라플라스 변환은 다음과 같습니다: $${\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}$$

이것은 z → e^sT의 치환과 함께 이산 함수 x[n]의 단방향 Z-변환의 정확한 정의입니다:

$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$ 마지막 두 방정식을 비교하면, 표본화된 신호의 단방향 Z-변환과 라플라스 변환 사이의 관계를 알 수 있습니다:$$X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.$$

Z-변환과 라플라스 변환 사이의 유사성은 시간 스케일 미적분(time scale calculus)의 이론에서 확장됩니다.

Borel transform

다음 보렐 변환(Borel transform)의 적분 형식은 $$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz$$ 지수 유형의 전체 함수(entire function) f에 대한 라플라스 변환의 특수한 경우이며, 일부 상수 A와 B에 대해 다음임을 의미합니다:

$$|f(z)|\leq Ae^{B|z|}$$

일반화된 보렐 변환을 사용하면 지수 함수가 아닌 다른 가중하는 함수를 사용하여 지수 유형이 아닌 함수를 변환할 수 있습니다. 나흐빈의 정리(Nachbin's theorem)는 보렐 변환이 잘 정의되기 위한 필요충분 조건을 제공합니다.

Fundamental relationships

보통의 라플라스 변환은 양-측 변환의 특수한 경우로 쓸 수 있고, 양-측 변환은 두 개의 단-측 변환의 합으로 쓸 수 있기 때문에, 라플라스-변환, 푸리에-변환, 멜린-변환, 및 Z-변환은 바닥에서 같은 주제입니다. 어쨌든, 서로 다른 관점과 서로 다른 특징적인 문제가 이러한 네 가지 주요 적분 변환 각각과 관련되어 있습니다.

Table of selected Laplace transforms

Main article: List of Laplace transforms

다음 테이블은 단일 변수의 여러 공통 함수에 대한 라플라스 변환을 제공합니다. 정의와 설명에 대해, 테이블 끝에 있는 Explanatory Notes을 참조하십시오.

라플라스 변환은 선형 연산자이기 때문에,

• 합의 라플라스 변환은 각 항의 라플라스 변환의 합입니다.$${\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}$$
• 함수의 배수의 라플라스 변환은 해당 배수 곱하기 함수의 라플라스 변환입니다.$${\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}$$

이 선형성과 다양한 삼각 함수, 쌍곡선 함수, 및 복소수 (등) 속성 및/또는 항등식을 사용하여, 일부 라플라스 변환은 정의를 직접 사용하는 것보다 더 빠르게 다른 변환에서 얻을 수 있습니다.

단방향 라플라스 변환은 시간 도메인이 비-음의 실수인 함수를 입력으로 취하며, 이는 바로 아래 테이블의 모든 시간 도메인 함수가 헤비사이드 계단 함수 u(t)의 배수인 이유입니다.

시간 지연 τ를 포함하는 테이블의 항목은 인과적(causal)이어야 합니다 (τ > 0을 의미합니다). 인과 시스템은 충격 응답 h(t)가 t = 0 이전의 모든 시간 t에 대해 0인 시스템입니다. 일반적으로, 인과 시스템에 대한 수렴의 영역은 역-인과 시스템(anticausal systems)의 수렴의 영역과 같지 않습니다.

Selected Laplace transforms

Function	Time domain $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$	Laplace s-domain $F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}$	Region of convergence	Reference
unit impulse	$\delta (t)\$	$1$	all s	inspection
delayed impulse	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$		time shift of unit impulse
unit step	$u(t)\$	${1 \over s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	integrate unit impulse
delayed unit step	$u(t-\tau )\$	${\frac {1}{s}}e^{-\tau s}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	time shift of unit step
rectangular impulse	$u(t)-u(t-\tau )$	${\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})$	$\operatorname {Re} (s)>0$
ramp	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	integrate unit impulse twice
nth power (for integer n)	$t^{n}\cdot u(t)$	${n! \over s^{n+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ (n > −1)	integrate unit step n times
qth power (for complex q)	$t^{q}\cdot u(t)$	${\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ $\operatorname {Re} (q)>-1$
nth root	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	${1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$	Set q = 1/n above.
nth power with frequency shift	$t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	Integrate unit step, apply frequency shift
delayed nth power with frequency shift	$(t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	integrate unit step, apply frequency shift, apply time shift
exponential decay	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${1 \over s+\alpha }$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$	Frequency shift of unit step
two-sided exponential decay (only for bilateral transform)	$e^{-\alpha |t|}\$	${2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}$	$-\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha$	Frequency shift of unit step
exponential approach	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$	unit step minus exponential decay
sine	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
cosine	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$
hyperbolic sine	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|$
hyperbolic cosine	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|$
exponentially decaying sine wave	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
exponentially decaying cosine wave	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	$\operatorname {Re} (s)>-\alpha$
natural logarithm	$\ln(t)\cdot u(t)$	$-{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Bessel function of the first kind, of order n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}$	$\operatorname {Re} (s)>0$ (n > −1)
Error function	$\operatorname {erf} (t)\cdot u(t)$	${\frac {1}{s}}e^{(1/4)s^{2}}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)$	$\operatorname {Re} (s)>0$
Explanatory notes: u(t) represents the Heaviside step function. δ represents the Dirac delta function. Γ(z) represents the gamma function. γ is the Euler–Mascheroni constant. t, a real number, typically represents time, although it can represent any independent dimension. s is the complex frequency domain parameter, and Re(s) is its real part. α, β, τ, and ω are real numbers. n is an integer.

s-domain equivalent circuits and impedances

라플라스 변환은 종종 회로 분석에 사용되고, 회로 원소의 s-도메인으로의 간단한 변환이 만들어질 수 있습니다. 회로 원소는 페이저(phasor) 임피던스와 매우 유사한 임피던스(impedances)로 변환될 수 있습니다.

여기서 동등물의 요약입니다:

s-domain equivalent circuits

저항은 시간 도메인과 s-도메인에서 정확하게 같음에 주목하십시오. 회로 원소에 초기 조건이 있으면 소스가 입력됩니다. 예를 들어, 콘덴서에 초기 전압이 있거나 코일에 초기 전류가 흐르고 있으면, s-도메인에 삽입된 소스가 이를 설명합니다.

전류와 전압 소스에 대한 동등물은 위 테이블에서 변환으로부터 간단히 파생됩니다.

Examples and applications

라플라스 변환은 공학과 물리학에서 자주 사용됩니다; 선형 시간-불변 시스템의 출력은 단위 충격 응답을 입력 신호와 합성곱함으로써 계산될 수 있습니다. 라플라스 공간에서 이 계산을 수행하면 합성곱이 곱셈으로 바뀝니다; 후자는 대수적 형식이기 때문에 풀기가 더 쉽습니다. 자세한 내용에 대해, 제어 이론을 참조하십시오. 라플라스 변환은 많은 종류의 함수에서 역-가능입니다. 시스템에 대한 입력 또는 출력에 대한 간단한 수학적 또는 기능적 설명이 주어지면, 라플라스 변환은 종종 시스템의 동작을 분석하거나 일련의 사양을 기반으로 새로운 시스템을 합성하는 과정을 단순화하는 대체 기능적 설명을 제공합니다.

라플라스 변환은 미분 방정식을 푸는 데에도 사용될 수 있고 기계 공학과 전기 공학에서 광범위하게 사용됩니다. 라플라스 변환은 선형 미분 방정식을 대수 방정식으로 줄이며, 그런-다음 대수학의 형식적 규칙에 의해 풀 수 있습니다. 그런-다음 역 라플라스 변환을 적용하여 원래 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 영국의 전기 공학자 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)는 라플라스 변환을 사용하지 않았지만 처음으로 유사한 스킴을 제안했습니다; 그리고 결과 연산적 미적분은 헤비사이드 미적분으로 공인됩니다.

Evaluating improper integrals

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)$라고 놓습니다. 그런-다음 (위의 테이블 참조)

$${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.$$

극한 $s\rightarrow 0$에서, 극한의 교환이 정당화될 수 있다는 조건으로 하여 다음을 얻습니다: $$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,$$ 이것은 종종 최종 값 정리(final value theorem)의 결과로 가능합니다. 교환이 정당화될 수 없는 경우에도 계산은 생각나게 할 수 있습니다. 예를 들어, a ≠ 0 ≠b와 함께, 형식적으로 진행하면 다음을 얻습니다: $${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}$$

이 항등식의 타당성은 다른 수단에 의해 입증될 수 있습니다. 그것은 프룰라니 적분(Frullani integral)의 예제입니다.

또 다른 예제는 디리클레 적분(Dirichlet integral)입니다.

Complex impedance of a capacitor

전기 회로 이론에서 콘덴서에서 전류 흐름은 전기 퍼텐셜의 정전-용량과 변화율에 비례합니다 (SI 단위 시스템에 대한 방정식 포함). 기호적으로, 이것은 다음 미분 방정식에 의해 표현됩니다: $$i=C{dv \over dt},$$ 여기서 C는 콘덴서의 정전-용량이고, i = i(t)는 시간의 함수로서 콘덴서를 통과하는 전류이고, v = v(t)는 역시 시간의 함수로서 콘덴서의 단자 양단의 전압입니다.

이 방정식의 라플라스 변환을 취하면, 다음을 얻습니다:$$I(s)=C(sV(s)-V_{0}),$$ 여기서 $${\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}$$ 그리고 $$V_{0}=v(0).$$

V(s)에 대해 풀면 다음을 가집니다: $$V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.$$

복소 임피던스 Z (옴 단위)의 정의는 초기 상태 V₀를 0으로 유지하면서 복소 전압 V를 복소 전류 I로 나눈 비율입니다: $$Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.$$

이 정의와 이전 방정식을 사용하여, 다음을 찾습니다: $$Z(s)={\frac {1}{sC}},$$ 이는 콘덴서의 복소 임피던스에 대한 올바른 표현입니다. 게다가, 라플라스 변환은 제어 이론에서 광범위하게 적용됩니다.

Impulse response

전달 함수(transfer function)를 갖는 선형 시간-불변 시스템을 생각해 보십시오: $$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.$$

충격 응답(impulse response)은 단순히 이 전달 함수의 역 라플라스 변환입니다: $$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.$$

Partial fraction expansion

이 역 변환을 평가하기 위해, 부분 분수 전개의 방법을 사용하여 H(s)를 전개함으로써 시작합니다, $${\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.$$

미지수 상수 P와 R은 전달 함수의 해당 극점에 위치한 잔여(residues)입니다. 각 잔여는 전달 함수의 전체 모양에 대한 해당 특이성(singularity)의 상대적 기여도를 나타냅니다.

잔여 정리(residue theorem)에 의해, 역 라플라스 변환은 극점과 그 잔여에만 의존합니다. 잔여 P를 찾기 위해, 방정식의 양쪽 변에 s + α를 곱하여 다음을 얻습니다:$${\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.$$

그런-다음 s = −α로 두면, R에서 기여가 사라지고 남은 것은 다음과 같습니다: $$P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.$$

유사하게, 잔여 R은 다음에 의해 제공됩니다: $$R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.$$

다음임을 주목하십시오: $$R={-1 \over \beta -\alpha }=-P$$ 그리고 따라서 R과 P를 H(s)에 대한 전개된 표현으로 대체하면 다음을 얻습니다: $$H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).$$

마지막으로, 선형성 속성과 지수 감쇠에 대해 알려진 변환을 사용하여 (위의 라플라스 변환 테이블의 항목 #3 참조), H(s)의 역 라플라스 변환을 수행하여 다음을 얻을 수 있습니다: $$h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),$$ 이는 시스템의 충격 응답입니다.

Convolution

합성곱 속성(convolution property)을 사용하면 시스템이 전달 함수 1/(s + α)와 1/(s + β)를 갖는 일련의 필터인 것처럼 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 즉, 다음의 역은 $$H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}$$ 다음입니다: $${\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.$$

Phase delay

Time function	Laplace transform
$\sin {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$
$\cos {(\omega t+\varphi )}$	${\frac {s\cos(\varphi )-\omega \sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}.$

라플라스 변환을 시작하여, $$X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}$$ 분수에서 항을 먼저 다시 정렬함으로써 역을 찾습니다: $${\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}$$

이제 항의 역 라플라스 변환을 취할 수 있습니다: $${\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}$$

이것은 인수 합의 사인(sine of the sum)에 불과하며, 다음을 산출합니다: $$x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).$$

유사한 논리를 적용하여 다음임을 찾을 수 있습니다: $${\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.$$

Statistical mechanics

통계 역학(statistical mechanics)에서, 상태 밀도 $g(E)$의 라플라스 변환은 분할 함수(partition function)를 정의합니다. 즉, 정식의 분할 함수 $Z(\beta )$는 다음에 의해 제공됩니다: $$Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE$$ 그리고 그 역은 다음에 의해 제공됩니다. $$g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta$$

Spatial (not time) structure from astronomical spectrum

라플라스 변환과 그 역의 광범위하고 일반적인 적용 가능성은 천문학에서의 응용으로 설명되며, 이는 스펙트럼 (주파수 영역)과 시간 영역을 연결하는 대신, 그것의 플럭스 밀도 스펙트럼이 주어지면, 한 점보다 많이 분해하기에는 너무 멀리 떨어져 있는 무선-주파수 열 복사의 천문학적 소스의 물질의 공간 분포에 대한 일부 정보를 제공합니다.

물체의 특정 속성, 예를 들어, 구형 모양과 일정한 온도를 가정하여, 물체의 스펙트럼에서 역 라플라스 변환 수행을 기반으로 한 계산은 스펙트럼과 일치하는 물질 분포 (중심으로부터의 거리 함수로서의 밀도)에 대한 유일한 가능한 모델을 생성할 수 있습니다. 물체 구조에 대한 독립적인 정보를 사용할 수 있을 때, 역 라플라스 변환 방법이 잘 일치하는 것으로 나타났습니다.

Gallery

• 
  An example curve of e^t cos(10t) that is added together with similar curves to form a Laplace Transform.
• 
  Animation showing how adding together curves can approximate a function.

See also

• Analog signal processing
• Bernstein's theorem on monotone functions
• Continuous-repayment mortgage
• Hamburger moment problem
• Hardy–Littlewood Tauberian theorem
• Laplace–Carson transform
• Moment-generating function
• Nonlocal operator
• Post's inversion formula
• Signal-flow graph

References

Modern

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Further reading

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External links

• "Laplace transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". MathWorld.
• Good explanations of the initial and final value theorems Archived 2009-01-08 at the Wayback Machine
• Laplace Transforms at MathPages
• Computational Knowledge Engine allows to easily calculate Laplace Transforms and its inverse Transform.
• Laplace Calculator to calculate Laplace Transforms online easily.
• Code to visualize Laplace Transforms and many example videos.