Measurable function

수학(mathematics)과 특히 측정 이론(measure theory)에서, 측정-가능 함수는 공간의 구조를 보존하는 둘의 측정-가능 공간(measurable spaces)의 놓여있는 집합 사이의 함수입니다: 임의의 측정-가능(measurable) 집합의 이전-이미지(preimage)는 측정-가능입니다. 이것은 토폴로지적 공간(topological spaces) 사이의 연속(continuous) 함수가 토폴로지적 구조를 보존한다는 정의와 직접적으로 유사합니다: 임의의 열린 집합(open set)의 이전-이미지는 열린 것입니다. 실수 해석학(real analysis)에서, 측정-가능 함수는 르베그 적분(Lebesgue integral)의 정의에서 사용됩니다. 확률 이론(probability theory)에서, 확률 공간(probability space) 위의 측정-가능 함수는 확률 변수(random variable)로 알려져 있습니다.

Formal definition

$(X,\Sigma )$ 와 $(Y,\mathrm {T} )$ 를 측정-가능 공간으로 놓으며, $X$ 와 $Y$ 가 각각 $\sigma$ -대수 $\Sigma$ 와 $\mathrm {T}$ 를 갖춘 집합임을 의미합니다. 함수 $f:X\to Y$ 는 만약 모든 각 $E\in \mathrm {T}$ 에 대해 $f$ 아래에서 $E$ 의 이전-이미지가 $\Sigma$ 안애 있으면; 즉, 모든 $E\in \mathrm {T}$ 에 대해, 다음이면 측정-가능이라고 말합니다: $f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .$

즉, $\sigma (f)\subseteq \Sigma$ 이며, 여기서 $\sigma (f)$ 는 f에 의해 생성된 σ-대수입니다. 만약 $f:X\to Y$ 가 측정-가능 함수이면, 우리는 $\sigma$ -대수 $\Sigma$ 와 $\mathrm {T}$ 에 종속성을 강조하기 위해 다음을 쓸 것입니다: $f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).$

Term usage variations

위의 정의에서 $\sigma$ -대수의 선택은 때때로 암시적이고 컨텍스트에 따라 달라집니다. 예를 들어, $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ 또는 다음 토폴로지적 공간에 대해, (모든 열린 집합을 포함하는) 보렐 대수(Borel algebra)는 하나의 공통 선택입니다. 일부 저자는 측정-가능 함수를 보렐 대수에 관해 배타적으로 실수-값 측정-가능 함수로 정의합니다.^[1]

만약 함수의 값이 무한-차원 벡터 공간(infinite-dimensional vector space)에 있으면, 약한 측정-가능성(weak measurability)과 보흐너 측정-가능성(Bochner measurability)과 같은 측정-가능성의 다른 비-동등한 정의가 존재합니다.

Notable classes of measurable functions

확률 변수는 정의에 의해 확률 공간 위에 정의된 측정-가능 함수입니다.
만약 $(X,\Sigma )$ 와 $(Y,T)$ 가 보렐 공간(Borel space)이면, 측정-가능 함수 $f:(X,\Sigma )\to (Y,T)$ 는 역시 보렐 함수라고 불립니다. 연속 함수는 보렐 함수이지만 모든 보렐 함수가 연속인 것은 아닙니다. 어쨌든 측정-가능 함수는 거의 연속 함수입니다; 루진의 정리(Luzin's theorem)를 참조하십시오. 만약 보렐 함수가 맵 $Y\xrightarrow {~\pi ~} X$ 의 하나의 섹션으로 발생하면, 보렐 섹션이라고 불립니다.
르베그 측정-가능(Lebesgue measurable) 함수는 측정-가능 함수 $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })$ 이며, 여기서 ${\mathcal {L}}$ 는 르베그 측정-가능 집합의 $\sigma$ -대수이고, ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ 는 복소수(complex number) $\mathbb {C}$ 위에 보렐 대수(Borel algebra)입니다. 르베그 측정-가능 함수는 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 흥미로운데 왜냐하면 그것들은 적분될 수 있기 때문입니다. 경우 $f:X\to \mathbb {R}$ 에서, $f$ 가 르베그 측정-가능인 것과 $\{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}$ 가 모든 $\alpha \in \mathbb {R}$ 에 대해 측정-가능인 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 역시 $\{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}$ 가 모든 $\alpha$ 에 대해 측정-가능, 또는 임의의 열린 집합의 이전-이미지가 측정-가능인 것의 임의의 것과 동등합니다. 연속 함수, 단조 함수, 계단 함수, 반연속 함수, 리만-적분가능 함수, 및 경계진 변동의 함수는 모두 르베그 측정-가능입니다.^[2] 함수 $f:X\to \mathbb {C}$ 가 측정-가능인 것과 실수와 허수 부분이 측정-가능인 것은 필요충분 조건입니다.

Properties of measurable functions

복소-값 측정-가능 함수의 합과 곱은 측정-가능입니다.^[3] 영에 의한 나눗셈이 없는 한, 몫도 마찬가지입니다.^[1]
만약 $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ 와 $g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})$ 가 측정-가능 함수이면, 그것들의 합성 $g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3})$ 도 마찬가지입니다.^[1]
만약 $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ 와 $g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})$ 가 측정-가능 함수이면, 그것들의 합성 $g\circ f:X\to Z$ 은 $\Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}$ 이 아니면 $(\Sigma _{1},\Sigma _{4})$ -측정가능일 필요가 없습니다. 실제로, 두 르베그-측정가능 함수는 그것들의 합성 비-르베그-측정가능을 만들기 위해 그러한 방법으로 구성될 수 있습니다.
실수-값 측정가능 함수의 (즉, 셀-수-있게 많은) 수열의 (점별) 상한(supremum), 하한(infimum), 극한 상부(limit superior), 및 극한 하부(limit inferior)는 마찬가지로 모두 측정가능입니다.^[1]^[4]
측정가능 함수 $f_{n}:X\to Y$ 의 수열의 점별(pointwise) 극한은 측정가능이며, 여기서 $Y$ 는 (보렐 대수를 갖춘) 메트릭 공간입니다. 이것은 일반적으로 만약 $Y$ 가 비-메트릭이면 사실이 아닙니다. 연수 함수에 대해 대응하는 명제는 점별 수렴보다 더 강한 조건, 예를 들어 균등 수렴을 요구합니다.^[5]^[6]

Non-measurable functions

응용에서 만나는 실수-값 함수는 측정-가능인 경향이 있습니다; 어쨌든, 비-측정가능 함수의 존재를 입증하는 것은 어렵지 않습니다. 그러한 증명은 선택의 공리(axiom of choice)없이 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)이 그러한 함수의 존재를 입증하지 않는다는 의미에서 본질적인 방법으로 선택의 공리에 의존합니다.

비-측정가능 집합(non-measurable set) $A\subset X,$ $A\notin \Sigma$ 을 갖는 임의의 측정가능 공간 $(X,\Sigma )$ 에서, 우리는 비-측정가능 지시 함수(indicator function)를 구성할 수 있습니다: $\mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}$ 여기서 $\mathbb {R}$ 은 보통의 보렐 대수(Borel algebra)를 갖춥니다. 이것은 비-측정가능 함수인데 왜냐하면 측정가능 집합 $\{1\}$ 의 이전이미지는 비-측정가능 $A$ 이기 때문입니다.

또 다른 예제, 임의의 비-상수 함수 $f:X\to \mathbb {R}$ 는 자명한 $\sigma$ -대수 $\Sigma =\{\varnothing ,X\}$ 에 관한 비-측정가능인데 왜냐하면 치역에서 임의의 점의 이전이미지는 자명한 $\Sigma$ 의 원소가 아닌 $X$ 의 일부 적절한, 비-빈 부분집합이기 때문입니다.

Notes

^ ^a ^b ^c ^d Strichartz, Robert (2000). The Way of Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.
^ Carothers, N. L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.
^ Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0-471-31716-0.
^ Royden, H. L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.
^ Dudley, R. M. (2002). Real Analysis and Probability (2 ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2.
^ Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker’s Guide (3 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

External links

[strichartz-1] Strichartz, Robert (2000). The Way of Analysis. Jones and Bartlett. ISBN 0-7637-1497-6.

[carothers-2] Carothers, N. L. (2000). Real Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-49756-6.

[folland-3] Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley. ISBN 0-471-31716-0.

[royden-4] Royden, H. L. (1988). Real Analysis. Prentice Hall. ISBN 0-02-404151-3.

[dudley-5] Dudley, R. M. (2002). Real Analysis and Probability (2 ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00754-2.

[aliprantis-6] Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker’s Guide (3 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

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