Mathematical analysis

Original article: w:Mathematical analysis

A strange attractor arising from a differential equation. Differential equations are an important area of mathematical analysis with many applications in science and engineering.

해석학(Analysis)은 연속 함수(continuous functions), 극한(limits), 및 미분(differentiation), 적분(integration), 측정(measure), 무한 수열(infinite sequences), 급수(series), 및 해석적 함수(analytic function)와 같은 관련된 이론을 다루는 수학(mathematics)의 한 가지입니다.

이들 이론은 보통 실수(real)와 복소수(complex)와 함수(functions)의 문맥에서 연구됩니다. 해석학은 그것의 기본 개념과 기술을 포함하는 미적분학(calculus)에서 진화했습니다. 해석학은 기하학(geometry)과 구별될 수 있습니다; 어쨌든, 그것은 근접성 (토폴로지적 공간(topological space)) 또는 대상 사이의 특정 거리 (메트릭 공간(metric space))의 정의를 가지는 수학적 대상(mathematical object)의 임의의 공간(space)에 적용될 수 있습니다.

History

Archimedes used the method of exhaustion to compute the area inside a circle by finding the area of regular polygons with more and more sides. This was an early but informal example of a limit, one of the most basic concepts in mathematical analysis.

Ancient

수학적 해석학은 17세기 과학 혁명(Scientific Revolution) 기간에 공식적으로 개발되었지만, 그 아이디어의 대부분은 초기 수학자까지 거슬러 올라갈 수 있습니다. 해석학에서 초기 결과는 고대 그리스 수학(ancient Greek mathematics)의 초기에 암묵적으로 존재했습니다. 예를 들어, 무한한 기하학적 합은 제논의(Zeno's) 이분법의 역설(paradox of the dichotomy)에 내포되어 있습니다. (엄밀히 말하면, 그 역설의 요점은 무한 합이 존재한다는 것을 부정하는 것입니다.) 나중에, 에우독수스(Eudoxus)와 아르키메데스(Archimedes)와 같은 그리스 수학자들은 영역과 고체의 넓이와 부피를 계산하기 위해 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용할 때 극한과 수렴의 개념을 보다 명시적으로, 그러나 비공식적으로, 사용했습니다. 무한수의 명시적 사용은 20세기에 재발견된 연구, 아르키메데스의 기계적 정리의 방법(The Method of Mechanical Theorems)에 나타납니다. 아시아에서, 중국 수학자 유휘(Liu Hui)가 기원후 3세기에 원의 넓이를 구하기 위해 소진의 방법을 사용했습니다. 자이나교 문헌에서, 힌두교도들은 이미 기원전 4세기에 산술(arithmetic)과 기하(geometric) 급수의 합에 대해 공식을 소유하고 있었던 것으로 보입니다. Ācārya Bhadrabāhu는 기원전 433년 그의 칼파수트라(Kalpasūtra)에서 기하 급수의 합을 사용합니다. 인도 수학에서, 산술 급수의 특정 사례는 일찍이 기원전 2000년에 베다 문헌에서 암묵적으로 발생하는 것으로 밝혀졌습니다.

Medieval

조충지(Zu Chongzhi)는 5세기에 구(sphere)의 부피를 구하기 위해 나중에 카발리에리의 원리(Cavalieri's principle)라고 하는 방법을 확립했습니다. 12세기에, 인도 수학자 바스카라 2세(Bhāskara II)는 도함수(derivatives)의 예를 제시했고 현재 롤의 정리(Rolle's theorem)로 알려진 것을 사용했습니다.

14세기에, 산가마그라마의 마드하바(Madhava of Sangamagrama)는 사인(sine), 코사인(cosine), 탄젠트(tangent), 및 아크탄젠트(arctangent)와 같은 함수의 무한 급수(infinite series) 확장 – 지금 테일러 급수(Taylor series)라고 함 – 을 개발했습니다. 삼각 함수(trigonometric functions)의 테일러 급수를 개발함과 함께, 그는 역시 이들 급수를 잘라서 발생하는 오차 항의 크기를 추정하고, 일부 무한 급수의 합리적인 근삿값을 제공했습니다. 천문학과 수학의 케랄라 학교의 추종자들은 16세기까지 그의 연구를 더욱 확장했습니다.

Modern

Foundations

수학적 해석학의 현대적 토대는 17세기 유럽에서 확립되었습니다. 이것은 페르마(Fermat)와 데카르트(Descartes)가 현대 미적분학의 전조인 해석적 기하학(analytic geometry)을 개발했을 때 시작되었습니다. 페르마의 부적합(adequality)의 방법은 그에게 함수의 최댓값과 최솟값, 곡선의 접선을 결정하는 것을 허용했습니다. 1637년에 La Géométrie의 데카르트의 출판물은, 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)을 도입했으며, 수학적 해석학의 확립으로 여겨집니다. 수십 년 후 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)는 18세기를 통해 계속했었든 응용 연구의 자극으로, 변화의 계산법(calculus of variations), 보통의 미분 방정식(ordinary)과 부분 미분 방정식(partial differential equations), 푸리에 해석(Fourier analysis), 및 생성 함수(generating functions)와 같은 해석학 주제로 성장했든 무한소 미적분학(infinitesimal calculus)을 독자적으로 개발했습니다. 이 기간 동안, 연속 문제로 이산 문제(discrete problems)를 근사화하기 위해 미적분 기술이 적용되었습니다.

Modernization

18세기에, 오일러(Euler)는 수학적 함수(mathematical function)의 개념을 도입했습니다. 실수 해석학은 1816년 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)가 연속성의 현대적 정의를 도입했을 때 독립적인 주제로 등장하기 시작했지만, 볼차노의 연구는 1870년대까지 널리 알려지지 않았습니다. 1821년에, 코시(Cauchy)는 초기 연구, 특히 오일러에 의해 널리 사용된 대수학의 일반성(generality of algebra)의 원리를 거부함으로써 확고한 논리적 토대 위에 미적분학을 세우기 시작했습니다. 대신, 코시는 기하학적 아이디어와 무한소(infinitesimals)의 관점에서 미적분학을 공식화했습니다. 따라서, 연속성의 그의 정의는 y에서 무한소 변화에 대응하기 위해 x에서 무한소 변화를 요구했습니다. 그는 역시 코시 수열(Cauchy sequence)의 개념을 도입했고, 복소 해석학(complex analysis)의 형식적 이론을 시작했습니다. 푸아송(Poisson), 리우빌(Liouville), 푸리에(Fourier), 등은 부분 미분 방정식과 조화 해석학(harmonic analysis)을 연구했습니다. 이들 수학자들과 바이어슈트라스(Weierstrass)와 같은 다른 사람들의 공헌은 극한의 (ε, δ)-정의 접근 방법을 개발하여, 현대 수학적 해석학의 분야를 설립했습니다. 거의 비슷한 시기에, 리만(Riemann)은 자신의 적분(integration)의 이론을 소개하고, 복소 해석학에서 상당한 발전을 이루었습니다.

19^세기 말에 향해, 수학자들은 증명 없이 실수(real numbers)의 연속체(continuum)의 존재를 가정하고 있다고 걱정하기 시작했습니다. 데데킨트(Dedekind)는 그때에 유리수 사이의 "틈"을 채우는 역할을 하는 무리수가 공식적으로 정의되는 데데킨트 자름에 의해 실수를 구성했으며, 그것에 따라 완전(complete) 집합: 사이먼 스테빈(Simon Stevin)에 의해 십진 전개(decimal expansions)의 관점에서 이미 개발한 실수의 연속체를 만들었습니다. 그 무렵, 리만 적분(Riemann integration)의 정리(theorems)를 개선하려는 시도는 실수 함수의 불연속(discontinuities)의 집합의 "크기"에 대한 연구로 이어졌습니다.

역시, 일반적으로 "괴물(monsters)"로 알려진 다양한 병리학적 대상(pathological objects) (예를 들어 모든 곳에서 불연속 함수(nowhere continuous functions), 연속이지만 모든 곳에서 미분-불가능 함수(nowhere differentiable functions), 및 공간-채우는 곡선(space-filling curves))에 대한 조사가 시작되었습니다. 이러한 맥락에서, 조르당(Jordan)은 그의 측정(measure) 이론을 개발했고, 칸토어(Cantor)는 지금 소박한 집합 이론(naive set theory)이라고 하는 것을 개발했고, 베르(Baire)는 베르 카테고리 정리(Baire category theorem)를 입증했습니다. 20세기 초, 미적분학은 공리적 집합 이론(set theory)을 사용하여 공식화되었습니다. 르베그(Lebesgue)는 측정 이론을 크게 개선했고, 지금 르베그 적분(Lebesgue integration)으로 알려진 자신의 적분 이론을 도입했으며, 이는 리만의 것보다 크게 개선된 것으로 판명되었습니다. 힐베르트(Hilbert)는 적분 방정식(integral equations)을 풀기 위해 힐베르트 공간(Hilbert spaces)을 도입했습니다. 노름 벡터 공간(normed vector space)에 대한 아이디어는 공중에 떠 있었고 1920년대에 바나흐(Banach)는 함수 해석학(functional analysis)을 만들었습니다.

Important concepts

Metric spaces

Main article: Metric space

수학(mathematics)에서, 메트릭 공간(metric space)은 집합의 원소 사이의 거리(distance) (메트릭(metric)이라고 불림)의 개념이 정의된 집합(set)입니다.

대부분의 해석학은 일부 메트릭 공간에서 발생합니다; 가장 공통적으로 사용되는 것은 실수 직선(real line), 복소 평면(complex plane), 유클리드 공간(Euclidean space), 다른 벡터 공간(vector spaces), 및 정수(integers)입니다. 메트릭 없는 해석학의 예로는 측정 이론(measure theory) (거리가 아닌 크기를 설명함) 및 함수 해석학(functional analysis) (임의의 거리 감각이 필요하지 않은 토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces)을 연구함)을 포함합니다.

형식적으로, 메트릭 공간은 순서쌍(ordered pair) $(M,d)$이며 여기서 $M$은 집합이고 $d$는 $M$ 위의 메트릭, 즉, 다음 함수(function)입니다:

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

이 함수는 임의의 $x,y,z\in M$에 대해, 다음 속성이 유지합니다:

1. $d(x,y)\geq 0$, 등호인 것은 $x=y$와 필요충분 조건입니다 (식별불가능의 동일성(identity of indiscernibles)),
2. $d(x,y)=d(y,x)$    (대칭), 및
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$    (삼각형 부등식(triangle inequality)).

세 번째 속성을 취하고 $z=x$라고 놓음으로써, 그것은 $d(x,y)\geq 0$임을 알 수 있습니다 (비-음수).

Sequences and limits

Main article: Sequence

See also: Limit of a sequence

수열(sequence)은 순서화된 목록입니다. 집합(set)과 마찬가지로, 그것은 구성원(members) (원소(elements) 또는 항(terms)이라고도 함)을 포함합니다. 집합과 달리, 순서가 중요하고, 정확하게 같은 원소가 수열에서 다른 위치에 여러 번 나타날 수 있습니다. 가장 정확하게, 수열은 그것의 도메인이 자연수(natural numbers)와 같이 셀-수-있는(countable) 전체 순서화된(totally ordered) 집합인 함수(function)로 정의될 수 있습니다.

수열의 가장 중요한 속성 중 하나는 수렴(convergence)입니다. 비공식적으로, 수열은 만약 그것이 하나의 극한(limit)을 가지면 수렴합니다. 계속해서 비공식적으로, (단독으로-무한) 수열은 만약 그것이 n이 매우 크게 될 때, 극한이라고 하는 어떤 점 x에 접근하면 극한을 가집니다. 즉, 추상 수열 (a_n)에 대해 (n은 1에서 무한대로 실행하는 것으로 이해됨) a_n과 x 사이의 거리가 n → ∞일 때 0에 접근합니다. 그것은 다음에 의해 표시됩니다:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.$

Main branches

Real analysis

Main article: Real analysis

실수 해석학 (전통적으로, 실수 변수의 함수 이론)은 실수(real numbers)와 실수 변수의 실수-값 함수를 다루는 수학적 해석학의 한 가지입니다. 특히, 그것은 실수의 수열(sequences)의 수렴(convergence)과 극한(limits), 실수의 미적분(calculus), 및 실수-값 함수의 연속성(continuity), 매끄러움(smoothness)과 관련된 속성을 포함하여 실수 함수(functions)와 수열(sequences)의 해석적 속성을 다룹니다.

Complex analysis

Main article: Complex analysis

복소 해석학 (전통적으로 복소 변수의 함수 이론으로 알려짐)은 복소수(complex numbers)의 함수(functions )를 조사하는 수학적 해석학의 한 가지입니다. 그것은 대수 기하학(algebraic geometry), 숫자 이론(number theory), 응용 수학(applied mathematics)을 포함한 수학의 가지뿐만 아니라 유체 역학(hydrodynamics), 열역학(thermodynamics), 기계 공학(mechanical engineering), 전기 공학(electrical engineering), 및 특히 양자 필드 이론(quantum field theory)을 포함한 물리학(physics)에서 유용합니다.

복소 해석학은 특히 복소 변수의 해석적 함수(analytic functions) (또는 보다 일반적으로 유리형 함수(meromorphic functions))과 관련이 있습니다. 임의의 해석적 함수의 분리된 실수(real) 부분과 허수(imaginary) 부분은 라플라스 방정식(Laplace's equation)을 만족시켜야 하므로, 복소 해석학은 물리학에서 2-차원 문제에 널리 적용할 수 있습니다.

Functional analysis

Main article: Functional analysis

함수 해석학은 수학적 해석학의 한 가지로, 그 핵심은 일종의 극한-관련 구조 (예를 들어 안의 곱(inner product), 노름(norm), 토폴로지(topology), 등)가 부여된 벡터 공간(vector spaces)과 이들 공간에 작용하고 적절한 의미에서 이들 구조를 존중하는 선형 연산자(linear operators)에 대한 연구로 구성됩니다. 함수 해석학의 역사적 뿌리는 함수 공간(spaces of functions)에 대한 연구와 함수 공간 사이의 연속(continuous), 유니태리(unitary) 등 연산자를 정의하는 변환으로 푸리에 변환(Fourier transform)과 같은 함수의 변환의 속성의 공식화에 있습니다. 이 관점은 미분(differential)과 적분 방정식(integral equations)의 연구에 특히 유용한 것으로 판명되었습니다.

Harmonic analysis

Main article: Harmonic analysis

조화 해석학은 기본 파동(waves)의 중첩으로 함수(functions)와 신호(signals)의 표현과 관련된 수학적 해석학의 한 가지입니다. 여기에는 푸리에 급수(Fourier series)와 푸리에 변환(Fourier transforms) (푸리에 해석)의 개념과 그 일반화에 대한 연구가 포함됩니다. 조화 해석학은 음악 이론(music theory), 숫자 이론(number theory), 표시 이론(representation theory), 신호 처리(signal processing), 양자 역학(quantum mechanics), 조수 해석(tidal analysis), 및 신경 과학(neuroscience)과 같은 다양한 영역에 적용됩니다.

Differential equations

Main article: Differential equations

미분 방정식은 함수 자체의 값과 다양한 차수(orders)의 그것의 도함수(derivatives)와 관련된 하나 또는 여러 변수(variables)의 알려지지 않은 함수(function)에 대한 수학 방정식입니다. 미분 방정식은 공학(engineering), 물리학(physics), 경제학(economics), 생물학(biology), 및 기타 분야에서 중요한 역할을 합니다.

미분 방정식은 과학과 기술의 많은 영역에서, 특히 연속적으로 변하는 양 (함수로 모델링)과 공간 또는 시간에서 변화율 (도함수로 표현)을 포함하는 결정론적(deterministic) 관계가 알려지거나 가정될 때마다 발생합니다. 이것은 시간 값이 변화함에 따라 물체의 운동이 위치와 속도로 설명되는 고전 역학(classical mechanics)에서 설명됩니다. 뉴턴의 법칙(Newton's laws)은 (위치, 속도, 가속도 및 몸체에 작용하는 다양한 힘을 감안할 때) 이들 변수를 시간의 함수로서 몸체의 알려지지 않은 위치에 대한 미분 방정식으로 동적으로 표현할 수 있도록 합니다. 어떤 경우에는, 이 미분 방정식 (운동 방정식(equation of motion)이라고 함)이 명시적으로 해결될 수 있습니다.

Measure theory

Main article: Measure (mathematics)

집합(set) 위에 측정은 해당 집합의 각 적절한 부분-집합(subset)에 숫자를 할당하는 시스템적인 방법이며, 직관적으로 그것의 크기로 해석됩니다. 이러한 의미에서, 측정은 길이, 넓이, 및 부피의 개념을 일반화한 것입니다. 특히 중요한 예는 유클리드 공간(Euclidean space) 위에 르베그 측정(Lebesgue measure)으로, 유클리드 기하학(Euclidean geometry)의 기존 길이(length), 넓이(area), 및 부피(volume)를 $n$-차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 적합한 부분집합으로 할당합니다. 예를 들어, 실수(real numbers)에서 구간(interval) $\left[0,1\right]$의 르베그 측정은 단어의 일상적 의미에서의 그것의 길이 - 구체적으로 1입니다.

기술적으로, 측정은 집합 $X$의 (특정) 부분-집합에 비-음의 실수 또는 +∞를 할당하는 함수입니다. 그것은 빈 집합(empty set)에 0을 할당하고 (셀-수-있게) 더해질 수 있어야 합니다: 유한한 (또는 셀-수-있는) 수의 '더 작은' 분리된 부분-집합으로 분해될 수 있는 '큰' 부분-집합의 측정은 "더 작은" 부분-집합의 측정의 합입니다. 일반적으로 측정의 다른 공리를 만족시키면서 주어진 집합의 각 부분-집합에 일관된 크기를 결합하기를 원하면, 셈 측정(counting measure)과 같은 자명한 예제만 찾습니다. 이 문제는 모든 부분-집합의 부분-모음에 대해서만 측정을 정의함으로써 해결되었습니다; $\sigma$대수를 형성하기 위해 요구된 소위 측정-가능 부분집합. 이것은 셀-수-있는 합집합(unions), 셀-수-있는 교집합(intersections) 및 측정-가능 부분-집합의 여집합(complements)은 측정-가능임을 의미합니다. 르베그 측정이 일관되게 정의될 수 없는 유클리드 공간에서 비-측정-가능 집합(Non-measurable sets)은 그 여집합과 심하게 뒤섞인다는 의미에서 필연적으로 복잡합니다. 실제로, 그것들의 존재는 선택의 공리(axiom of choice)의 비-자명한 결과입니다.

Numerical analysis

Main article: Numerical analysis

수치 해석학은 (이산 수학(discrete mathematics)과 구별되는 것으로) 수학적 해석학의 문제에 대해 수치적 근사(approximation) (일반적인 기호 조작(symbolic manipulations)과 반대)를 사용하는 알고리듬(algorithms)에 대한 연구입니다.

현대의 수치 해석학은 정확한 답을 추구하지 않는데, 왜냐하면 정확한 답은 종종 실제에서 얻는 것이 불가능하기 때문입니다. 대신, 수치 해석학의 대부분은 오차에 대한 합리적인 경계를 유지하면서 대략적인 해를 얻는 것과 관련이 있습니다.

수치 해석학은 공학과 물리적 과학의 모든 분야에서 자연스럽게 응용을 찾지만, 21세기에, 생명 과학과 심지어 예술까지도 과학 계산의 요소를 채택하고 있습니다. 보통의 미분 방정식(Ordinary differential equations)은 천체 역학(celestial mechanics) (행성, 별, 및 은하)에 나타납니다; 수치 선형 대수(numerical linear algebra)는 데이터 분석에 중요합니다; 확률적 미분 방정식(stochastic differential equations)과 마르코프 체인(Markov chains)은 의학과 생물학에서 살아있는 세포를 모의실험하는 데 필수적입니다.

Vector analysis

Main article: Vector (mathematics)

See also: A History of Vector Analysis and Vector Analysis

벡터 해석학은 크기와 방향 둘 다를 가지는 값을 다루는 수학적 해석학의 한 가지입니다. 벡터의 몇 가지 예에는 속도, 힘, 및 변위를 포함합니다. 벡터는 공통적으로 크기를 설명하는 값, 스칼라와 결합됩니다.

Scalar analysis

Main article: Scalar (mathematics)

스칼라 해석학은 방향과는 반대로 스케일과 관련된 값을 다루는 수학적 해석학의 한 가지입니다. 온도와 같은 값은 값은 스칼라인데 왜냐하면 그것들은 값을 가질 수도 있고 없을 수도 있는 방향, 힘, 또는 변위와 관계 없이 값의 크기를 설명하기 때문입니다.

Tensor analysis

Main article: Tensor (mathematics)

Other topics

• 변화의 계산법(Calculus of variations)은 함수(functions)를 다루는 보통의 미적분(calculus)과 달리 함수형(functionals)을 극단화하는 것을 다룹니다.
• 조화 해석학(Harmonic analysis)은 기본 파동(waves)의 중첩(superposition)으로 함수(functions) 또는 신호의 표현을 다룹니다.
• 기하 해석학(Geometric analysis)은 부분 미분 방정식(partial differential equations) 연구에서 기하학 방법의 사용과 기하학에 부분 미분 방정식 이론의 적용을 포함합니다.
• 클리퍼드 해석학(Clifford analysis), 디랙(Dirac) 또는 디랙-계열 연산자에 의해 소멸되는 클리퍼드 값 함수의 연구로, 일반적으로 단일-유전자 또는 클리퍼드 해석적 함수라고 이름 짓습니다.
• p-진수 해석학(p-adic analysis), 실수와 복소 짝으로부터 일부 흥미롭고 놀라운 방법에서 다른 p-진수 숫자(p-adic numbers)의 문맥 내에서 해석학의 연구.
• 비-표준 해석학(Non-standard analysis), 초실수(hyperreal numbers)와 그것들의 함수를 조사하고 무한소(infinitesimals)와 무한하게 큰 숫자를 엄격하게(rigorous) 취급합니다.
• 계산-가능 해석학(Computable analysis), 해석학의 어떤 부분이 계산-가능한(computable) 방식으로 수행될 수 있는지에 대한 연구.
• 확률적 미적분학(Stochastic calculus) – 확률적 프로세스(stochastic processes)에 대해 개발된 해석적 개념.
• 집합-값 해석학(Set-valued analysis) – 해석학과 토폴로지에서 아이디어를 집합-값 함수에 적용합니다.
• 볼록 해석학(Convex analysis), 볼록 집합과 함수의 연구.
• 거듭상등 해석학(Idempotent analysis) – 거듭상등 반-링(idempotent semiring)의 맥락에서 해석학, 여기서 덧셈 역원의 부족이 거듭상등 규칙 A + A = A에 의해 다소 보상됩니다.
  • 비유 해석학(Tropical analysis) – 비유적 반-링(tropical semiring) (또는 최대-더하기 대수/최소-더하기 대수)라고 하는 거듭상등 반-링의 해석학.
• 구성 해석학(Constructive analysis), 고전, 논리, 및 집합 이론보다는 구성(constructive)의 토대 위에 세워졌습니다.
• 직관적인 해석학(Intuitionistic analysis), 구성 해석학과 같은 구성 논리에서 개발되었지만 역시 선택 수열(choice sequences)도 통합합니다.
• 초일관 해석학(Paraconsistent analysis), 고전, 논리, 및 집합 이론보다는 초일관(paraconsistent)의 토대 위에 세워졌습니다.
• 매끄러운 무한소 해석학(Smooth infinitesimal analysis), 매끄러운 토포스에서 개발되었습니다.

Applications

해석학에서 기법은 다음과 같은 다른 영역에서도 찾을 수 있습니다:

Physical sciences

고전 역학(classical mechanics), 상대성(relativity), 및 양자 역학(quantum mechanics)의 대다수는 응용 해석학, 특히 미분 방정식(differential equations)을 기반으로 합니다. 중요한 미분 방정식의 예로는 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's second law), 슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation), 및 아인슈타인 필드 방정식(Einstein field equations)이 있습니다.

함수형 해석학은 역시 양자 역학(quantum mechanics)에서 주요 요소입니다.

Signal processing

오디오, 라디오 파동, 빛 파동, 지진 파동, 및 심지어 이미지와 같은 신호를 처리할 때, 푸리에 해석은 복합 파형의 개별 구성 요소를 분리하여, 더 쉽게 감지하거나 제거할 수 있도록 집중할 수 있습니다. 신호 처리 기술의 큰 가족은 신호를 푸리에 변환하고, 푸리에 변환된 데이터를 간단한 방식으로 조작하고, 변환을 반대로 하는 것으로 구성됩니다.

Other areas of mathematics

해석학에서 기법은 다음을 포함하여 수학의 많은 영역에서 사용됩니다:

• Analytic number theory
• Analytic combinatorics
• Continuous probability
• Differential entropy in information theory
• Differential games
• Differential geometry, 복잡한 내부 구조를 가지고 있지만 지역적으로 단순한 방식으로 행동하는 매니폴드(manifolds)로 알려진 특정 수학적 공간에 미적분학의 응용.
• Differentiable manifolds
• Differential topology
• Partial differential equations

Famous Textbooks

• Introductory Real Analysis, by Andrey Kolmogorov, Sergei Fomin
• Differential and Integral Calculus (3 volumes), by Grigorii Fichtenholz
• The Fundamentals of Mathematical Analysis (2 volumes), by Grigorii Fichtenholz
• A Course Of Mathematical Analysis (2 volumes), by Sergey Nikolsky
• Mathematical Analysis (2 volumes), by Vladimir Zorich
• A Course of Higher Mathematics (5 volumes, 6 parts), by Vladimir Smirnov
• Differential And Integral Calculus, by Nikolai Piskunov
• A Course of Mathematical Analysis, by Aleksandr Khinchin
• Mathematical Analysis: A Special Course, by Georgiy Shilov
• Theory of Functions of a Real Variable (2 volumes), by Isidor Natanson
• Problems in Mathematical Analysis, by Boris Demidovich
• Problems and Theorems in Analysis (2 volumes), by George Polya, Gabor Szegö
• Mathematical Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, by Tom Apostol
• Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin
• Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, by Elias Stein
• Complex Analysis, by Elias Stein
• Functional Analysis: Introduction to Further Topics in Analysis, by Elias Stein
• Analysis (2 volumes), by Terence Tao
• Analysis (3 volumes), by Herbert Amann, Joachim Escher
• Real and Functional Analysis, by Vladimir Bogachev, Oleg Smolyanov
• Real and Functional Analysis, by Serge Lang

See also

• Constructive analysis
• History of calculus
• Hypercomplex analysis
• Multivariable calculus
• Paraconsistent logic
• Smooth infinitesimal analysis
• Timeline of calculus and mathematical analysis

Further reading

• Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович]; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич]; Nikol'skiĭ [Нико́льский], Sergey Mikhailovich [Серге́й Миха́йлович]; Delone [Делоне́], Boris Nikolaevich [Бори́с Никола́евич]; Petrovskiĭ [Петро́вский], Ivan Georgievich [Ива́н Гео́ргиевич]; Sobolev [Со́болев], Sergei Lvovich [Серге́й Льво́вич]; Ladyženskaja [Лады́женская], Olga Aleksandrovna [Óльга Алекса́ндровна]; Krylov [Крылоў], Vladimir Ivanovich [Уладзімір Іванавіч] [at Wikidata]; Keldyš [Ке́лдыш], Mstislav Vsevolodovich [Мстисла́в Все́володович]; Mardzanisvili [Марджанишвили], Konstantin Konstantinovich [Константин Константинович] [in Russian]; Postnikov [Постников], Aleksei Georgievich [Алексей Георгиевич]; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич]; Lebedev [Ле́бедев], Sergey Alexeyevich [Серге́й Алексе́евич]; Kantorovič [Канторо́вич], Leonid Vitaliyevich [Леони́д Вита́льевич]; Stečkin [Сте́чкин], Sergey Borisovich [Серге́й Бори́сович]; Faddeev [Фадде́ев], Dmitry Konstantinovich [Дми́трий Константи́нович]; Aleksandrov [Алекса́ндров], Pavel Sergeyevich [Па́вел Серге́евич]; Gel'fand [Гельфа́нд], Israïl Moyseyovich [Изра́иль Моисе́евич]; Mal'cev [Ма́льцев], Anatoly Ivanovich [Анато́лий Ива́нович] (March 1969). Aleksandrov [Алекса́ндров], Aleksandr Danilovich [Алекса́ндр Дани́лович]; Kolmogorov [Колмого́ров], Andrey Nikolaevich [Андре́й Никола́евич]; Lavrent'ev [Лавре́нтьев], Mikhail Alexseevich [Михаи́л Алексе́евич] (eds.). Mathematics: Its Content, Methods, and Meaning. Vol. 1–3. Translated by Gould, Sydney Henry [at Wikidata]; Hirsch, Kurt August; Bartha, Tamas. Translation edited by Gould (2nd ed.). Cambridge, Massachusetts, USA: The M.I.T. Press / American Mathematical Society. LCCN 64-7547. MIT 106, 107, 108. ark:/13960/t4sj8550w. [1] (NB. 3 softcover volumes in slipcase. Original Russian title in March 1956: Математика, ее содержание, методы и значение [2][3][4]. First English edition in 6 volumes by AMS in 1962/1963, revised English edition in 3 volumes by MIT Press in August 1964: [5], 2nd printing by MIT Press in April 1965. First MIT paperback edition in March 1969. Reprinted in one volume by Dover.)
• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2nd ed.). Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
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• "Real Analysis - Course Notes" (PDF).

External links

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)
• Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica
• Calculus and Analysis