Number line

Original article: wikipedia:Number line

This article is about the mathematical concept. For the printer's key, see Printer's key.

This article covers basic topics. For advanced topics, see Real line.

초등 수학(elementary mathematics)에서, 숫자 직선(number line)은, $\mathbb {R}$로 표시된, 실수(real number)에 대해 추상화로 역할을 하는 눈금이 매겨진 직선(line)의 그림입니다. 숫자 직선의 모든 각 점은 실수(real number)에 대응하는 것을 가정하고, 모든 각 실수는 점에 대응하는 것을 가정합니다.

정수(integer)는 종종 직선 위에 균등하게 간격을 둔 특별히-표시된 점으로 보입니다. 비록 이 이미지가 −9에서 9까지의 정수를 보일지라도, 직선은 모든 실수(real number)를 포함하며, 각 방향에서 영원히 계속되고, 정수 사이에 있는 숫자도 역시 포함합니다. 이것은, 특히 음수(negative number)를 포함하는, 간단한 덧셈(addition)과 뺄셈(subtraction)을 가르치는 것에 도움을 받기 위해서 종종 사용됩니다.

The number line

고급 수학에서, 표현 실수 숫자 직선(real number line) 또는 실수 직선(real line)은 전형적으로 직선 위의 모든 각 점이 하나의 실수에 대응하고, 그의 반대(vice versa)도 마찬가지인 위에-언급된 개념을 나타내기 위해 사용됩니다.

History

연산 목적에 대해 사용되는 숫자 직선의 첫 번째 언급은 존 월리스(John Wallis)의 Treatise of algebra에서 찾아집니다. 그의 논문에서, 월리스는, 걷는 사람의 은유 아래에서, 앞뒤로 움직이는 관점에서 숫자 직선에 덧셈과 뺄셈을 설명합니다.

연산에 대한 언급없이 초기 묘사는, 어쨌든, 존 네이피어(John Napier)의 A description of the admirable table of logarithmes에서 찾아지며, 이것은 왼쪽에서 오른쪽으로 줄 서 있는 1에서 12까지의 값을 보여줍니다.

대중적인 믿음과는 달리, 르네 데카르트(René Descartes의 원래 기하학(La Géométrie)은, 비록 그것이 좌표 시스템을 사용할지라도, 우리가 그것을 오늘날 사용하는 것처럼 정의된 숫자 직선이 없습니다. 특히, 데카르트의 연구는 직선 위로 매핑된 특정 숫자를 포함하지 않고, 오직 추상적인 양을 포함합니다.

Drawing the number line

숫자 직선은 보통 수평(horizontal)인 것으로 표시되지만, 데카르트 좌표 평면(Cartesian coordinate plane)에서 수직축 (y-축)은 역시 숫자 직선입니다. 한 규칙에 따라, 양의 숫자(positive number)는 항상 영의 오른쪽 편, 음의 숫자(negative number)는 항상 영의 왼쪽 편에 있고, 직선의 양쪽 끝에 있는 화살촉은 직선이 양과 음의 방향으로 무한히 계속됨을 의미합니다. 또 다른 규칙은 숫자가 증가하는 방향을 나타내는 오직 하나의 화살촉을 사용합니다. 직선은 끝 점없이 직선을 무한 직선으로, 하나의 끝 점을 갖는 직선을 반직선으로, 및 두 끝 점을 갖는 직선을 선분으로 정의하는 기하학의 규칙에 따라 양과 음의 방향으로 무한히 계속됩니다.

Comparing numbers

만약 특정 숫자가 또 다른 숫자보다 숫자 직선에서 오른쪽에 더 멀리 있으면, 첫 번째 숫자는 두 번째 숫자보다 큽니다 (동등하게, 두 번째 숫자가 첫 번째 숫자보다 작습니다). 그것들 사이의 거리는 그들 차이의 크기입니다–즉, 그것은 첫 번째 숫자에서 두 번째 숫자를 뺀 값, 또는 동등하게 두 번째 숫자에서 첫 번째 숫자를 뺀 값의 절댓값으로 측정합니다. 이 차이를 취하는 것이 뺄셈(subtraction)의 과정입니다.

따라서, 예를 들어, 0과 어떤 다른 숫자 사이의 선분(line segment)의 길이는 후자 숫자의 크기입니다.

두 숫자는 0에서 숫자 중 하나까지의 길이를 "선택"하고, 0이었던 끝을 다른 숫자의 꼭대기에 놓이도록 그것을 다시 내려놓음으로써 더해질(added) 수 있습니다.

두 숫자는 이 예제에서 처럼 곱해질(multiplied) 수 있습니다: 5 × 3을 곱하기 위해, 이것이 5 + 5 + 5와 같으므로, 0에서 5까지의 길이를 선택하고 5의 오른쪽에 그것을 놓고, 그런-다음 해당 길이를 다시 선택하고 그것을 이전 결과의 오른쪽에 놓는 것임을 주목하십시오. 이것은 각각 5의 3 결합된 길이인 결과를 제공합니다; 왜냐하면 그 과정은 15에서 끝나기 때문에, 우리는 5 × 3 = 15임을 발견합니다.

나눗셈(Division)은 다음 예제에서 처럼 수행될 수 있습니다: 6을 2로 나누기 위해–즉, 2가 6에 몇 번 들어가는지 찾기 위해–0에서 2까지의 길이가 0에서 6까지의 길이의 시작 부분에 놓는 것에 주목하십시오; 이전 길이를 선택하고 그것을 원래 위치의 오른쪽으로 다시 내려놓고, 이전의 끝은 0으로 이제 2에 놓이게 되고, 그런-다음 다시 그것의 마지막 위치의 오른쪽으로 길이를 이동합니다. 이것은 길이 2의 오른쪽 끝을 0에서 6까지의 길이의 오른쪽 끝에 놓습니다. 2의 세 길이가 길이 6을 채웠으므로, 2는 6에 세 번 들어갑니다 (즉, 6 ÷ 2 = 3).

• 
  The ordering on the number line: Greater elements are in direction of the arrow.
• 
  The difference 3-2=3+(-2) on the real number line.
• 
  The addition 1+2 on the real number line
• 
  The absolute difference.
• 
  The multiplication 2 times 1.5
• 
  The division 3÷2 on the real number line

Portions of the number line

The closed interval [a,b].

두 숫자 사이의 숫자 직선의 구역은 구간(interval)이라고 불립니다. 만약 구역이 두 숫자 둘 다를 포함하면 그것은 닫힌 구간이라고 말해지지만, 만약 그것이 둘 다를 제외하면 그것은 열린 구간이라고 불립니다. 만약 그것이 숫자 중 하나를 포함하지만 다른 하나는 포함하지 않으면 반-열린 구간이라고 불립니다.

특정 점에서 한 방향으로 영원히 연장되는 모든 점은 함께 반직선(ray)으로 알려져 있습니다. 만약 반직선이 특정 점을 포함하면, 그것은 닫힌 반직선입니다; 그렇지 않으면 그것은 열린 반직선입니다.

Extensions of the concept

Logarithmic scale

Main article: Logarithmic scale

A log-log plot of y = x (blue), y = x² (green), and y = x³ (red).
Note the logarithmic scale markings on each of the axes, and that the log x and log y axes (where the logarithms are 0) are where x and y themselves are 1.

숫자 직선 위에서, 두 점 사이의 거리가 단위인 것과 표현된 숫자의 차이가 1과 같은 것은 필요충분 조건입니다. 다른 선택이 가능합니다.

가장 공통적인 선택 중 하나는 로그 스케일(logarithmic scale)이며, 만약 표현된 숫자의 비율이 고정된 값, 전형적으로 10이면 두 점사이의 거리가 단위 길이임을 만족하는 직선 위의 양의 숫자의 표현입니다. 그러한 로그 스케일에서, 원점은 1을 나타냅니다; 오른쪽으로 일 인치이면, 10을 가지고, 10의 오른쪽으로 일 인치이면 10×10 = 100을 가지고, 그 다음에 10×100 = 1000 = 10³, 그 다음에 10×1000 = 10,000 = 10⁴, 이런 식으로 계속됩니다. 유사하게, 1의 왼쪽으로 일 인치이면, 1/10 = 10^–1을 가지고, 그 다음에 1/100 = 10^–2, 이런 식으로 계속됩니다.

이 접근은 매우 다른 크기의 정도(order of magnitude)를 갖는 값을, 같은 그림에서, 나타내기를 원할 때, 유용합니다. 예를 들어, 우주(Universe)에 존재하는 다른 몸체, 전형적으로, 광자(photon), 전자(electron), 원자(atom), 분자(molecule), 인간(human), 지구(Earth), 태양 시스템(Solar System), 은하(galaxy), 및 보이는 우주의 크기를 동시에 나타내기 위해 로그 스케일이 필요합니다.

로그 스케일은 그것 위에 길이를 더하는 또는 뺌으로써 숫자를 곱하는 또는 나누는 미끄럼 자(slide rule)에서 사용됩니다.

The two logarithmic scales of a slide rule

Combining number lines

원점을 통해 실수 직선에 직각으로 그려진 직선은 허수(imaginary number)를 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 이 직선은, 허수 직선(imaginary line)이라고 불리며, 숫자 직선을 복소수(complex number)를 나타내는 점을 갖는 복소수 평면(complex number plane)으로 확장합니다.

대안적으로, 하나의 실수 직선은, 공통적으로 x라고 불리는, 하나의 실수의 가능한 값을 나타내기 위해 수평적으로 그려질 수 있고, 또 다른 실수 직선은, 공통적으로 y라고 불리는, 또 다른 실수의 가능한 값을 나타내기 위해 수직적으로 그려질 수 있습니다. 이들 직선은 함께 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)으로 알려진 것을 형성하고, 평면에서 임의의 점은 한 쌍의 실수의 값을 나타냅니다. 게다가, 데카르트 좌표 시스템은 "화면 (또는 페이지)에서 나오는" 세 번째 숫자 직선을 시각화함으로써 자체로 확장될 수 있으며, z라고 불리는 세 번째 변수를 측정합니다. 양수는 화면보다 시청자의 눈에 더 가깝지만, 음수는 "화면 뒤에" 있습니다; 더 큰 숫자는 화면에서 멀어집니다. 그런-다음 우리가 살고있는 삼-차원 공간에서 임의의 점은 실수의 세-쌍의 값을 나타냅니다.

See also

• Chronology
• Complex plane
• Cuisenaire rods
• Extended real number line
• Hyperreal number line
• Number form (neurological phenomenon)
• The construction of a decimal number

External links

• Media related to Number lines at Wikimedia Commons