One-sided limit

Original article: wikipedia:One-sided limit

The function f(x) = x² + sign(x) has a left limit of -1, a right limit of +1, and a function value of 0 at the point x = 0.

미적분학(calculus)에서, 한쪽 극한(one-sided limit)은 x가 왼쪽에서 또는 오른쪽에서 지정된 점에 접근할 때 실수(real) 변수 x의 함수(function) f(x)의 두 극한(limits) 중에 하나입니다.

x가 값에서 감소할 때 a로 접근하는 극한 (x는 "오른쪽에서" 또는 "위에서"에 접근함)은 다음으로 표시될 수 있습니다:

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\$ or $\lim _{x\downarrow a}\,f(x)$ or $\lim _{x\searrow a}\,f(x)$ or $\lim _{x{\underset {>}{\longrightarrow }}a}f(x)$

x가 값에서 증가할 때 a로 접근하는 극한 (x는 "왼쪽에서" 또는 "아래에서"에 접근함)은 다음으로 표시될 수 있습니다:

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\$ or $\lim _{x\uparrow a}\,f(x)$ or $\lim _{x\nearrow a}\,f(x)$ or $\lim _{x{\underset {<}{\longrightarrow }}a}f(x)$

확률 이론(probability theory)에서는 짧은 표기법을 사용하는 것이 공통적입니다:

왼쪽 극한에 대해서 $f(x-)$ 및 오른쪽 극한에 대해서 $f(x+)$.

만약 x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한이 존재하면, 두 개의 한-쪽 극한이 존재하고 서로 같습니다. 일부 경우에서, 다음의 극한은

$\lim _{x\to a}f(x)\,$

존재하지 않지만, 두 개의 한-쪽 극한은 그럼에도 불구하고 존재합니다. 결과적으로 x가 a에 접근할 때의 극한은 때때로 "두-쪽 극한(two-sided limit)"이라고 불립니다.

일부 경우에 두 개의 한-쪽 극한 중 하나가 존재하고 다른 하나는 존재하지 않고, 어떤 경우에는 둘 다 존재하지 않습니다.

오른-쪽 극한은 다음으로 엄격하게 정의될 수 있습니다:

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),$

그리고 왼-쪽 극한은 다음으로 엄격하게 정의될 수 있습니다:

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;(0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ),$

여기서 I는 f의 도메인(domain) 내에 있는 일부 구간(interval)을 나타냅니다.

Examples

Plot of the function $1/(1+2^{-1/x})$

다른 한-쪽 극한을 갖는 함수의 예제는 다음입니다 (그림을 참조하십시오):

$\lim _{x\to 0^{+}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=1,$

반면에

$\lim _{x\to 0^{-}}{1 \over 1+2^{-1/x}}=0.$

Relation to topological definition of limit

점 p에 대한 한-쪽 극한은, 함수 도메인이 토폴로지적 공간의 부분 집합이라는 것을 허용함으로써, 또는 p를 포함하는, 한-쪽 부분공간을 고려함으로써, 한-쪽으로 제한된 함수의 도메인을 갖는, 극한의 일반적인 정의(general definition of limit)에 해당합니다. 대안적으로, 우리는 반-열린 구간 토폴로지(half-open interval topology)를 갖는 도메인을 고려할 수 있습니다.

Abel's theorem

수렴의 그들 구간(intervals of convergence)의 경계에서 특정 거듭제곱 급수(power series)의 한쪽 극한을 다루는 주목할만한 정리는 아벨의 정리(Abel's theorem)입니다.

See also

• Projectively extended real line
• Semi-differentiability
• Limit superior and limit inferior

External links

• "One-sided limit". PlanetMath.