Operator theory

수학(mathematics)에서, 연산자 이론(operator theory)은 미분 연산자(differential operators)와 적분 연산자(integral operators)로 시작하는 함수 공간(function spaces) 위에 선형 연산자(linear operators)에 대한 연구입니다. 연산자는 경계진 선형 연산자(bounded linear operators) 또는 닫힌 연산자(closed operators)와 같은 그것들의 특성에 의해 추상적으로 표시될 수 있고, 비선형 연산자(nonlinear operators)를 고려할 수 있습니다. 함수 공간의 토폴로지(topology)에 크게 의존하는 연구는 함수형 해석학(functional analysis)의 한 가지입니다.

만약 연산자 모음이 필드에 걸쳐 대수(algebra over a field)를 형성하면, 그것은 연산자 대수(operator algebra)입니다. 연산자 대수의 설명은 연산자 이론의 일부입니다.

Single operator theory

단일 연산자 이론은 한 번에 하나씩 고려되는 연산자의 속성과 분류를 다룹니다. 예를 들어, 스펙트럼(spectra) 측면에서 정규 연산자(normal operators)의 분류가 이 카테고리에 속합니다.

Spectrum of operators

스펙트럼 정리(spectral theorem)는 선형 연산자(linear operators) 또는 행렬(matrices)에 대한 여러 결과 중 임의의 하나입니다.^[1] 넓은 용어에서 스펙트럼 정리(theorem)는 연산자(operator) 또는 행렬이 대각화될 수 있는 조건을 제공합니다 (즉, 어떤 기준에서 대각 행렬(diagonal matrix)로 표현됩니다). 대각화의 이러한 개념은 유한-차원 공간 위의 연산자에 대해 비교적 간단하지만, 무한-차원 공간 위의 연산자에 대해 약간의 수정이 필요합니다. 일반적으로, 스펙트럼 정리는 찾을 수 있을 만큼 간단한 것인 곱셈 연산자(multiplication operators)에 의해 모델링될 수 있는 선형 연산자(linear operators) 클래스를 식별합니다. 보다 추상적인 언어에서, 스펙트럼 정리는 교환 C*-대수(C*-algebras)에 대한 설명입니다. 역사적 관점에 대해서는 스펙트럼 이론(spectral theory)을 참조하십시오.

스펙트럼 정리가 적용되는 연산자의 예제는 자기-인접 연산자(self-adjoint operators) 또는 힐베르트 공간(Hilbert spaces) 위의 보다 일반적으로 정규 연산자(normal operators)입니다.

스펙트럼 정리는 역시 연산자가 작용하는 놓여있는 벡터 공간의 스펙트럼 분해(spectral decomposition), 고윳값 분해(eigenvalue decomposition), 또는 고유-분해(eigendecomposition)라고 불리는 정식의(canonical) 분해를 제공합니다.

Normal operators

복소 힐베르트 공간(Hilbert space) H의 정규 연산자(normal operator)는 에르미트 인접(hermitian adjoint) N*과 교환(commutes)하는, 즉: NN* = N*N인 연속(continuous) 선형 연산자(linear operator) N : H → H입니다.

정규 연산자는 스펙트럼 정리(spectral theorem)가 그것들에 대해 유지되기 때문에 중요합니다. 오늘날, 정규 연산자의 클래스는 잘 이해되어 있습니다. 정규 연산자의 예제는 다음과 같습니다:

유니태리 연산자(unitary operators): N* = N⁻¹
에르미트 연산자(Hermitian operators) (즉, 자기-인접 연산자: N* = N; 역시, 역-자기인접 연산자: N* = −N)
양수 연산자(positive operators): N = MM*
정규 행렬(normal matrices)은 힐베르트 공간을 Cⁿ으로 취하면 정규 연산자로 볼 수 있습니다.

스펙트럼 정리는 보다 일반적인 종류의 행렬로 확장됩니다. A를 유한-차원 안의 곱 공간 위에 연산자라고 놓습니다. A는 만약 A^* A = A A^*이면 정규(normal)라고 말합니다. 우리는 A가 정규인 것과 그것이 단일하게 대각화-가능인 것은 필요충분 조건임을 보일 수 있습니다. 슈어 분해(Schur decomposition)에 의해, 우리는 A = U T U^*를 가지며, 여기서 U는 유니태리이고 T는 높은-삼각입니다. A가 정규이므로, T T^* = T^* T입니다. 그러므로, T는 대각이어야 하는데 왜냐하면 정규 위쪽 삼각 행렬은 대각이기 때문입니다. 그 전환은 분명합니다.

다시 말해서, A가 정규인 것과 다음을 만족하는 유니태리 행렬(unitary matrix) U가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다: $A=UDU^{*}$ 여기서 D는 대각 행렬(diagonal matrix)입니다. 그런-다음, D의 대각선의 엔트리는 A의 고윳값(eigenvalues)입니다. U의 열 벡터는 A의 고유-벡터이고 그것들은 직교정규입니다. 에르미트의 경우와 달리, D의 엔트리는 실수일 필요는 없습니다.

Polar decomposition

복소 힐베르트 공간(Hilbert spaces) 사이의 경계진 선형 연산자(bounded linear operator) A의 극 분해(polar decomposition)는 부분 등거리-변환(partial isometry)과 비-음의 연산자의 곱으로 정식의 인수분해입니다.^[2]

행렬에 대해 극 분해는 다음과 같이 일반화됩니다: 만약 A가 경계진 선형 연산자이면 A를 곱 A = UP으로 고유한 분해가 있으며, 여기서 U는 부분 등거리-변환, P는 비-음의 자기-인접 연산자이고 U의 초기 공간은 P의 치역의 클로저입니다.

연산자 U는 다음 문제 때문에 유니태리가 아닌 부분 등거리-변환으로 약화되어야 합니다. 만약 A가 l²(N) 위의 한-쪽 이동(one-sided shift)이면, |A| = (A*A)^1/2 = I입니다. 따라서 만약 A = U |A|이면, U는 A여야 하며, 이는 유니태리가 아닙니다.

극 분해의 존재는 더글라스의 보조-정리(Douglas' lemma)의 결과입니다:

Lemma — 만약 A, B가 힐베르트 공간 H 위에 경계진 연산자이고, A*A ≤ B*B이면, A = CB를 만족하는 수축 C가 존재합니다. 게다가, C는 만약 Ker(B*) ⊂ Ker(C)이면 고유합니다.

연산자 C는 $Ran(B)$ 의 클로저까지 연속성에 의해 확장되고 $Ran(B)$ 의 직교 여집합 위에 영에 의해 확장된 $C (Bh) = Ah$ 로 정의될 수 있습니다. 연산자 C는 $A*A \leq B*B$ 가 $Ker(B) \subset Ker(A)$ 를 의미하기 때문에 잘-정의됩니다. 그 보조 정리가 그때에 뒤따릅니다.

특히, $A*A = B*B$ 이면, C는 부분 등거리-변환이며, 이는 $Ker(B*) \subset Ker(C)$ 이면 고유합니다. 일반적으로, 임의의 경계진 연산자 A에 대해, $A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}},$ 여기서 (A*A)^1/2는 보통의 함수형 미적분(functional calculus)에 의해 주어진 A*A의 고유한 양의 제곱근입니다. 따라서 그 보조정리에 의해, 일부 부분 등거리-변환 U에 대해 다음을 가집니다: $A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}$ 이는 Ker(A) ⊂ Ker(U)이면 고유합니다. ( $Ker(A) = Ker(A*A) = Ker(B) = Ker(B*)$ 을 주목하십시오, 여기서 $B = B* = (A*A) 1/2$ 입니다.) P를 (A*A)^1/2로 취하고 극 분해 A = UP를 얻습니다. 유사한 논증은 A = P'U' 임을 보이기 위해 사용될 수 있음을 유의하십시오, 여기서 P'는 양수이고 U'는 부분 등거리-변환입니다.

H가 유한 차원일 때, U는 유니태리 연산자로 확장될 수 있습니다; 이것은 일반적으로 참이 아닙니다 (위의 예제를 참조하십시오). 대안적으로, 극 분해는 특이값 분해(singular value decomposition)의 연산자 버전을 사용하여 표시될 수 있습니다.

연속 함수형 미적분(continuous functional calculus)의 속성에 의해, |A|는 A에 의해 생성된 C*-대수(C*-algebra)에 있습니다. 유사하지만 더 약한 명제는 부분 등거리-변환에 대해 유지됩니다: 극 부분 U는 A에 의해 생성된 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)에 있습니다. 만약 A가 역-가능이면, U는 마찬가지로 A에 의해 생성된 C*-대수(C*-algebra)에 있습니다.

Connection with complex analysis

연구되는 많은 연산자는 정칙 함수(holomorphic functions)의 힐베르트 공간 위에 연산자이고, 연산자의 연구는 함수 이론에서 질문과 밀접하게 연결되어 있습니다. 예를 들어, 뷰링의 정리(Beurling's theorem)는 원 위의 거의 모든 곳에서 단일-모듈 경계 값을 갖는 단위 디스크 위의 경계진 단일-측면 함수인 안의 함수의 관점에서 단일하게 이동의 불변 부분-공간(invariant subspaces)을 설명합니다. 뷰링은 단일-측면 이동을 하디 공간(Hardy space) 위에 독립 변수의 곱으로 해석했습니다.^[3] 곱셈 연산자, 더 일반적으로 퇴플리츠 연산자(Toeplitz operators) (이는 곱셈에 뒤따른 하디 공간 위로의 투영임)를 연구하는 데 성공은 버그먼 공간(Bergman space)과 같은 다른 공간 위에 유사한 질문의 연구에 영감을 주었습니다.

Operator algebras

연산자 대수(operator algebras)의 이론은 C*-대수(C*-algebras)과 같은 연산자의 대수(algebras)를 전면에 내세웁니다.

C*-algebras

C*-대수, A는 맵(map) $* : A \to A$ 과 함께 복소수(complex numbers)의 필드에 걸쳐 바나흐 대수(Banach algebra)입니다. 우리는 A의 원소 x의 이미지에 대해 x*를 씁니다. 맵 *는 다음 속성을 가집니다:^[4]

그것은 A에서 모든 각 x에 대해 인볼루션(involution)입니다: $x^{**}=(x^{*})^{*}=x$
A에서 모든 x, y에 대해: $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
C에서 모든 각 λ와 A에서 모든 각 x에 대해: $(\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}.$
A에서 모든 x에 대해: $\|x^{*}x\|=\left\|x\right\|\left\|x^{*}\right\|.$

Remark. 처음 세 개의 항등식은 A가 *-대수(*-algebra)라고 말합니다. 마지막 항등식은 C* 항등식이라고 불리고 다음과 동등합니다: $\|xx^{*}\|=\|x\|^{2},$

C*-항등식은 매우 강한 요구 사항입니다. 예를 들어, 스펙트럼 반지름 공식(spectral radius formula)과 함께, C*-노름이 대수적 구조에 의해 고유하게 결정됨을 의미합니다: $\|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1{\text{ is not invertible}}\}.$

References

^ Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag
^ Conway, John B. (2000), A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0821820656
^ Nikolski, N. (1986), A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.
^ Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

External links

History of Operator Theory

[1] Sunder, V.S. Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag

[2] Conway, John B. (2000), A Course in Operator Theory, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0821820656

[3] Nikolski, N. (1986), A treatise on the shift operator, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the Hardy space.

[4] Arveson, W. (1976), An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.

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