Orientation (vector space)

실수 벡터 공간의 방향(orientation of a real vector space) 또는 단순히 벡터 공간의 방향(orientation of a vector space)은 순서화된 기저(bases)가 "양수적으로" 방향화된 것이고 "음수적으로" 방향화된 임의적인 선택입니다. 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서, 오른-손 기저는 전형적으로 양수적으로 방향화된 것으로 선언되지만, 음수 방향으로 지정될 수도 있으므로 그 선택은 임의적입니다. 선택된 방향을 갖는 벡터 공간(vector space)은 방향화된 벡터 공간(oriented vector space)이라고 불리고, 반면에 선택된 방향을 가지지 않은 것은 비-방향화된(unoriented) 벡터 공간이라 불립니다.

수학(mathematics)에서, 방향가능성(orientability)은, 이-차원에서, 순환(cycle)이 시계-방향 또는 반시계-방향으로 도는 경우를 말할 수 있게 하고, 삼-차원에서 도형이 왼쪽-손 또는 오른쪽-손일 때 말할 수 있는 더 넓은 개념입니다. 실수에 걸쳐 선형 대수(linear algebra)에서, 방향의 개념은 임의적인 유한 차원에서 의미가 있고, 단순한 변위(displacement)를 수단으로 반사(reflection)를 복제할 수 없도록 만드는 일종의 비대칭입니다. 따라서, 삼-차원에서, 변위만을 적용함으로써 사람의 왼손을 오른손으로 만드는 것은 불가능하지만, 거울에 그 모습을 비춤으로써 그렇게 하는 것이 가능합니다. 결과적으로, 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서, 두 가지 가능한 기저 방향은 오른쪽-손 및 왼쪽-손 (또는 오른쪽-카이럴 및 왼쪽-카이럴)이라고 불립니다.

Definition

V를 유한-차원(finite-dimensional) 실수 벡터 공간이라고 놓고 b₁과 b₂를 V에 대한 둘의 기저라고 놓습니다. b₁을 b₂로 보내는 고유한 선형 변환(linear transformation) A : V → V가 존재한다는 것은 선형 대수(linear algebra)의 표준 결과입니다. 기저 b₁과 b₂는 만약 A가 양의 행렬식(determinant)을 가지면 같은 방향 (또는 일관된 방향)을 가진다고 말합니다; 그렇지 않으면 그것들은 반대 방향(opposite orientations)을 가집니다. 같은 방향을 가지는 속성은 V에 대한 모든 순서화된 기저의 집합 위에 동치 관계(equivalence relation)를 정의합니다. 만약 V가 비-영이면, 이 관계에 의해 결정되는 정확히 두 개의 동치 클래스(equivalence classes)가 있습니다. V 위에 방향(orientation)은 하나의 동치 클래스에 +1을 할당하고 다른 클래스에 −1을 할당하는 것입니다.^[1]

모든 각 순서화된 기저는 하나의 동치 클래스 또는 또 다른 클래스에 있습니다. 따라서 V에 대한 특권 순서화된 기저의 임의의 선택은 방향을 결정합니다: 특권 기저의 방향 클래스는 양수로 선언됩니다.

예를 들어, Rⁿ 위에 표준 기저(standard basis)는 Rⁿ 위에 표준 방향(standard orientation)을 제공합니다 (차례로, 표준 기저의 방향은 구축된 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 방향에 의존합니다). V와 Rⁿ 사이의 선형 동형(isomorphism)의 임의의 선택은 그런-다음 V 위에 방향을 제공할 것입니다.

기저에서 원소의 순서화는 매우 중요합니다. 다른 순서화를 갖는 두 기저는 일부 순열(permutation)에 의해 달라질 것입니다. 그것들은 이 순열의 시그니처(signature)가 ±1인지 여부에 따라 같은/반대 방향을 가질 것입니다. 이것은 순열 행렬(permutation matrix)의 행렬식이 결합된 순열의 시그니처와 같기 때문입니다.

마찬가지로, A를 벡터 공간 Rⁿ을 Rⁿ으로 비-특이 선형 매핑이라고 놓습니다. 이 매핑은 만약 그것의 행렬식이 양수이면 방향-보존하는(orientation-preserving) 것입니다.^[2] 예를 들어, R³에서, 각도 α만큼 Z 데카르트 축을 중심으로 한 회전은 방향-보존하는 것입니다: $\mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ 반면에 XY 데카르트 평면에 의한 반사는 방향-보존하는 것이 아닙니다: $\mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

Zero-dimensional case

방향의 개념은 영-차원 경우에서 퇴화합니다. 영-차원 벡터 공간은 오직 단일 점, 영 벡터를 가집니다. 결과적으로, 영-차원 벡터 공간의 유일한 기저는 빈 집합 $\emptyset$ 입니다. 그러므로, 순서화된 기저의 단일 동치 클래스, 즉, 그것의 유일한 구성원이 빈 집합인 클래스 $\{\emptyset \}$ 이 있습니다. 이것은 영-차원 공간의 방향이 다음 함수임을 의미합니다: $\{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.$ 따라서 양수 및 음수의 두 가지 다른 방법에서 점을 향하게 할 수 있습니다.

단일 순서화된 기저 $\emptyset$ 만 있기 때문에, 영-차원 벡터 공간은 방향화된 기저를 갖는 영-차원 벡터 공간과 같습니다. $\{\emptyset \}\mapsto +1$ 또는 $\{\emptyset \}\mapsto -1$ 를 선택하는 것은 따라서 모든 각 영-차원 벡터 공간의 모든 각 기저의 방향을 선택합니다. 만약 모든 영-차원 벡터 공간이 이 방향을 할당하면, 영-차원 벡터 공간 사이의 모든 동형이 순서화된 기저를 보존하기 때문에, 그것들은 역시 방향을 보존합니다. 이것은 모든 동형 아래에서 보존되도록 방향을 선택할 방법이 없는 고차원 벡터 공간의 경우와 다릅니다.

어쨌든, 다른 점에 다른 방향을 제공하는 것이 바람직한 상황이 있습니다. 예를 들어, 미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 스토크스의 정리(Stokes' theorem)의 예라고 생각해 보십시오. 닫힌 구간 $[a, b]$ 는 일-차원 경계를 갖는 매니폴드(manifold with boundary)이고, 그것의 경계는 집합 ${a, b}$ 입니다. 미적분의 기본 정리에 대한 올바른 명제를 얻기 위해, 점 $b$ 는 양수적으로 방향화된 것이고, 반면에 점 $a$ 는 음수적으로 방향화되어야 합니다.

On a line

일-차원 경우는 두 방향 중 하나로 횡단될 수 있는 직선을 다룹니다. 원에 두 방향이 있는 것처럼 직선(line)에도 두 방향이 있습니다. 선분(line segment, 직선의 연결된 부분집합)의 경우에서, 두 가지 가능한 방향이 방향화된 선분을 생성합니다. 방향-가능 표면(orientable surface)은 때때로 표면에 수직인 직선의 방향에 의해 표시되는 선택된 방향을 가집니다.

Alternate viewpoints

Multilinear algebra

임의의 n-차원 실수 벡터 공간 V에 대해, 우리는 Λ^kV로 표시되는 V의 k번째-외부 거듭제곱(exterior power)을 형성할 수 있습니다. 이것은 차원 ${\tbinom {n}{k}}$ 의 실수 벡터 공간입니다. 따라서 벡터 공간 ΛⁿV (꼭대기 외부 거듭제곱(top exterior power)이라고 불림)는 차원 1을 가집니다. 즉, ΛⁿV는 실수 직선일 뿐입니다. 이 직선 위에 어느 방향이 양수인지에 대한 선험적(a priori) 선택은 없습니다. ΛⁿV 위에 임의의 비-영 선형 형식(linear form) ω는 ω(x) > 0일 때 x가 양의 방향에 있다고 선언함으로써 V의 방향을 결정합니다. 기저 관점과 연결하기 위해, 우리는 양수적으로-방향화된 기저는 ω가 양수로 평가되는 기저라고 말합니다 (왜냐하면 ω는 n-형식이기 때문에, 우리는 순서화된 n 벡터의 집합에서 그것을 평가할 수 있으며, R의 원소를 제공합니다.) 형식 ω는 방향 형식(orientation form)이라고 불립니다. 만약 {e_i}가 V에 대해 특권 기저이고 {e_i^∗}가 이중 기저(dual basis)이면, 표준 방향을 제공하는 방향 형식은 e₁^∗ ∧ e₂^∗ ∧ … ∧ e_n^∗입니다.

이것과 행렬식 관점의 연결은 다음과 같습니다: 자기-사상(endomorphism) $T:V\to V$ 의 행렬식은 꼭대기 외부 거듭제곱 위에 유도된 작용으로 해석될 수 있습니다.

Lie group theory

B를 V에 대해 모든 순서화된 기저의 집합이라고 놓습니다. 그런-다음 일반 선형 그룹(general linear group) GL(V)는 B 위에 자유롭고 전이적으로 동작(acts)합니다. (멋진 언어로 B는 GL(V)-토서(torsor)입니다). 이것은 매니폴드(manifold), B가 GL(V)에 대한 (비-정식적으로) 위상-동형적(homeomorphic)임을 의미합니다. 그룹 GL(V)는 연결된(connected) 것이 아니고, 변환의 행렬식이 양수인지 음수인지에 따라 두 개의 연결된 구성 요소(connected components)를 가짐을 주목하십시오 (자명한 그룹이고 따라서 단일 연결된 구성 요소를 가지는 GL0 제외; 이것은 영-차원 벡터 공간 위에 표준 방향에 해당합니다). GL(V)의 항등 구성 요소(identity component)는 GL⁺(V)로 표시되고 양수 행렬식을 갖는 그것들의 변환으로 구성됩니다. B 위에 GL⁺(V)의 동작은 전이적이지 않습니다: B의 연결된 구성 요소에 해당하는 두 개의 궤도가 있습니다. 이들 궤도는 정확히 위에서 언급한 동치 클래스입니다. B는 구별되는 원소 (즉, 특권 기저)를 가지지 않기 때문에, 어떤 구성 요소가 양수인지 자연스러운 선택은 없습니다. 이를 특권 구성 요소: 항등의 구성 요소를 가지는 GL(V)와 대조를 이룹니다. B와 GL(V) 사이의 위상-동형의 특정 선택은 특권 기저의 선택과 동등하고 따라서 방향을 결정합니다.

더 공식적으로: $\pi _{0}(\operatorname {GL} (V))=(\operatorname {GL} (V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\}$ 이고, $V$ 에서 n-프레임의 스티펠 매니폴드(Stiefel manifold)는 $\operatorname {GL} (V)$ -토서이므로, $V_{n}(V)/\operatorname {GL} ^{+}(V)$ 는 $\{\pm 1\}$ , 즉, 그것의 2 점에 걸쳐 토서이고, 그 중 하나의 선택은 방향입니다.

Geometric algebra

기하학적 대수(geometric algebra)의 다양한 대상은 태도, 방향, 및 크기의 세 가지 속성 또는 특질로 청구됩니다.^[4] 예를 들어, 벡터(vector)는 벡터에 평행한 직선에 의해 주어진 태도, 그것의 감각 (종종 화살촉으로 표시됨)에 의해 표시되는 방향, 및 길이로 표시되는 크기를 가집니다. 유사하게, 삼 차원에서 이중벡터(bivector)는 그것과 결합된 평면의 가족에 의해 주어진 태도 (이들 평면들에 공통적인 법선(normal line)에 의해 지정될 수 있음^[5]), 그 경계 (그것의 순환(circulation))의 순회 감각의 선택을 나타내는 방향 (때때로 평면에서 구부러진 화살표에 의해 표시됨) 및 두 벡터에 의해 정의된 평행사변형의 영역에 의해 주어진 크기를 가집니다.^[6]

Orientation on manifolds

n-차원 미분-가능 매니폴드(manifold) 위에 각 점 p는 n-차원 실수 벡터 공간인 접 공간(tangent space) T_pM을 가집니다. 이들 벡터 공간의 각각은 방향을 할당될 수 있습니다. 일부 방향은 점마다 "매끄럽게 변화"합니다. 특정 토폴로지적(topological) 제한으로 인해, 이것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 접 공간에 대해 방향의 매끄러운 선택을 허용하는 매니폴드는 방향-가능(orientable)이라고 말합니다.

References

^ W., Weisstein, Eric. "Vector Space Orientation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ W., Weisstein, Eric. "Orientation-Preserving". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2009). Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (2nd ed.). Morgan Kaufmann. p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. The algebraic bivector is not specific on shape; geometrically it is an amount of oriented area in a specific plane, that's all.
^ B Jancewicz (1996). "Tables 28.1 & 28.2 in section 28.3: Forms and pseudoforms". In William Eric Baylis (ed.). Clifford (geometric) algebras with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. p. 397. ISBN 0-8176-3868-7.
^ William Anthony Granville (1904). "§178 Normal line to a surface". Elements of the differential and integral calculus. Ginn & Company. p. 275.
^ David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics (2nd ed.). Springer. p. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

External links

"Orientation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] W., Weisstein, Eric. "Vector Space Orientation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[2] W., Weisstein, Eric. "Orientation-Preserving". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2017-12-08.{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Dorst-3] Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2009). Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry (2nd ed.). Morgan Kaufmann. p. 32. ISBN 978-0-12-374942-0. The algebraic bivector is not specific on shape; geometrically it is an amount of oriented area in a specific plane, that's all.

[Jancewicz1-4] B Jancewicz (1996). "Tables 28.1 & 28.2 in section 28.3: Forms and pseudoforms". In William Eric Baylis (ed.). Clifford (geometric) algebras with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. p. 397. ISBN 0-8176-3868-7.

[Granville-5] William Anthony Granville (1904). "§178 Normal line to a surface". Elements of the differential and integral calculus. Ginn & Company. p. 275.

[Hestenes-6] David Hestenes (1999). New foundations for classical mechanics: Fundamental Theories of Physics (2nd ed.). Springer. p. 21. ISBN 0-7923-5302-1.

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