Partial differential equation

A visualisation of a solution to the two-dimensional heat equation with temperature represented by the vertical direction and color.

수학(mathematics)에서, 부분 미분 방정식(partial differential equation, PDE)은 다변수 함수(multivariable function)의 다양한 부분 도함수(partial derivatives) 사이의 함수를 계산하는 방정식입니다.

함수는 종종 $x 2 - 3 x + 2 = 0$ 과 같은 대수적 방정식에서 $x$ 가 해결되어야 할 미지수 숫자로 생각되는 방법과 유사하게 해결되어야 할 "미지수"인 것으로 생각됩니다. 어쨌든, 보통 부분 미분 방정식의 해에 대한 명시적 공식을 쓰는 것은 불가능합니다. 그에 따라, 컴퓨터를 사용하여 특정 부분 미분 방정식의 해를 수치적으로 근사화하는 방법에 대한 방대한 양의 현대적 연구와 과학적 연구가 있습니다. 부분 미분 방정식은 역시 순수 수학적 연구의 큰 부문을 차지하며, 이것에서 보통 질문은, 광범위하게 말해서, 존재, 고유성, 규칙성, 및 안정성과 같은 다양한 부분 미분 방정식 해의 일반적인 질적 특색을 식별하는 것입니다. 많은 열린 질문 중에는 2000년 밀레니엄 상 문제 중 하나로 이름-지은 나비에-스토크스 방정식(Navier–Stokes equations)에 대한 해의 존재와 매끄러움(existence and smoothness)이 있습니다.

부분 미분 방정식은 물리학과 공학과 같은 수학 중심의 과학 분야에서 두루 나타납니다. 예를 들어, 그것들은 소리, 열, 확산, 정전기학, 전기역학, 열역학, 유체 역학, 탄성, 일반 상대성, 및 양자 역학 (슈뢰딩거 방정식, 파울리 방정식, 등)의 현대 과학적 이해에서 토대적입니다. 그것들은 역시 미분 기하학(differential geometry)과 변화의 계산법(calculus of variations)과 같은 많은 순수하게 수학적 고려 사항에서 발생합니다; 다른 주목할만한 응용 중에서, 그것들은 기하학적 토폴로지(geometric topology)에서 푸앵카레 추측(Poincaré conjecture)의 증명에서 토대적 도구입니다.

부분적으로 이러한 다양한 출처로 인해, 다양한 유형의 부분 미분 방정식이 광범한 스펙트럼이 있고, 방법들은 발생하는 많은 개별 방정식을 처리하기 위한 개발되어 왔습니다. 이를테면, 부분 미분 방정식의 "일반적인 이론"이 없다는 것이 보통 인정되며, 전문 지식은 본질적으로 여러 구별되는 하위-분야로 다소 나누어집니다.^[1]

보통의 미분 방정식(Ordinary differential equations)은 단일 변수의 함수에 해당하는 부분 미분 방정식의 부분-클래스를 형성합니다. 확률적 부분 미분 방정식(Stochastic partial differential equations)과 비-지역적 방정식(nonlocal equations)은, 2020년 현재, "PDE" 개념의 확장으로 특히 널리 연구되고 있습니다. 여전히 활발히 연구되고 있는 보다 고전적인 주제는 타원 부분 미분 방정식과 포물선 부분 미분 방정식, 유체 역학, 볼츠만 방정식, 및 분산 부분 미분 방정식을 포함합니다.

Introduction

세 변수의 함수 $u (x, y, z)$ 가 다음 조건을 만족시키면 "조화(harmonic)" 또는 "라플라스 방정식(Laplace equation)의 해"라고 말합니다: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$ 그러한 함수는 고전 역학(classical mechanics)과의 관련성 때문에 19세기에 널리 연구되었으며, 예를 들어 동차 고체의 평형 온도 분포는 조화 함수입니다. 만약 함수가 명시적으로 주어지면, 보통 그것이 조화인지 여부를 확인하는 것은 보통 간단한 계산의 문제입니다. 예를 들어, 다음과 $u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}$ 다음은 $u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}$ 둘 다 조화이지만, 다음은 아닙니다: $u(x,y,z)=\sin(xy)+z$ 조화 함수의 두 개의 주어진 예제가 서로 현저하게 다른 형식이라는 것은 놀라운 일일 수 있습니다. 이것은 그것들이 둘 다 라플라스 방정식의 "일반적인 해 공식"의 특별한 경우가, 즉각적인 방법에서, 아니라는 사실을 반영한 것입니다. 이것은 라플라스 방정식과 거의 유사한 보통의 미분 방정식(ordinary differential equations ODE)의 경우와 현저한 대조를 이루며, 많은 입문 교과서의 목적은 일반적인 해 공식으로 이어지는 알고리듬을 찾는 것입니다. 라플라스 방정식에 대해, 많은 부분 미분 방정식과 마찬가지로, 그러한 해 공식이 존재하지 않습니다.

이 실패의 본성은 다음 PDE의 경우에서 보다 구체적으로 볼 수 있습니다: 두 변수의 함수 $v (x, y)$ 에 대해, 다음 방정식을 생각해 보십시오: ${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.$ 임의의 단일-변수 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, $v (x, y) = f (x) + g (y)$ 형식의 임의의 함수 $v$ 가 이 조건을 만족시키는지 직접 확인될 수 있습니다. 이것은 전형적으로 일부 숫자를 자유롭게 선택할 수 있는 ODE 해 공식에서 사용할 수 있는 선택 범위를 훨씬 뛰어넘습니다. PDE의 연구에서, 일반적으로 함수를 자유롭게 선택할 수 있습니다.

이 선택의 본성은 PDE마다 다릅니다. 임의의 주어진 방정식에 대해 그것을 이해하기 위해, 존재와 고유성 정리(existence and uniqueness theorems)는 보통 중요한 조직 원칙입니다. 많은 입문 교과서에서, ODE에 대한 존재와 고유성 정리의 역할은 다소 불투명할 수 있습니다; 임의의 제안된 해 공식을 직접 확인할 수 있기 때문에 존재 절반은 보통 불필요하지만, 고유성 절반은 종종 제안된 해 공식이 가능한 한 일반적인지 확인하기 위해 종종 배경으로만 존재합니다. 대조적으로, PDE에 대해, 존재와 고유성 정리는 종종 눈앞에 있는 다양한 해를 탐색할 수 있는 유일한 수단입니다. 이러한 이유로, 그것들은 순수하게 수치적 모의실험을 수행할 때 사용자가 지정해야 하는 데이터와 계산을 위해 컴퓨터에 남겨야 하는 데이터를 이해해야 하기 때문에 토대적입니다.

그러한 존재와 고유성 정리를 논의하기 위해, "미지수 함수"의 도메인(domain)에 대해 정확할 필요가 있습니다. 그렇지 않으면, "두 변수의 함수"와 같은 용어로만 말하면, 결과를 의미 있게 공식화할 수 없습니다. 즉, 미지수 함수의 도메인은 PDE 자체의 구조의 일부로 고려되어야 합니다.

다음은 그러한 존재와 고유성 정리의 두 가지 고전적인 예제를 제공합니다. 문제에서 두 PDE는 매우 유사하지만, 행동에서 현저한 차이가 있습니다: 첫 번째 PDE에 대해, 단일 함수의 자유 처방을 가지고, 반면 두 번째 PDE에 대해, 두 함수의 자유 처방을 가집니다.

$B$ 는 평면에서 원점 주위의 단위-반지름 디스크를 나타낸다고 놓습니다. 단위 원 위의 임의의 연속 함수 $U$ 에 대해, 다음이고 단위 원에 대한 제한은 $U$ 에 의해 주어짐을 만족하는 $B$ 위에 함수 $u$ 는 정확하게 하나가 있습니다: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$
실수 직선 $R$ 위에 임의의 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, 다음이고 $x$ 의 모든 값에 대해 $u (x, 0) = f (x)$ 와 $\partial u / \partial y (x, 0) = g (x)$ 를 가짐을 만족하는 $R \times (-1, 1)$ 위에 정확하게 하나의 함수 $u$ 가 있습니다: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

심지어 더 많은 현상이 가능합니다. 예를 들어, 미분 기하학(differential geometry) 분야에서 자연스럽게 발생하는 다음 PDE는 간단하고 완전하게 명시적인 해 공식이 있지만 하나의 함수가 아닌 세 개의 숫자만 자유롭게 선택할 수 있는 예제를 보여줍니다.

만약 $u$ 가 다음을 갖는 $R 2$ 위의 함수이면, ${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,$ $u (x, y) = ax + by + c$ 를 갖는 숫자 $a$ , $b$ , 및 $c$ 가 있습니다.

이전 예제와 달리, 이 PDE는 제곱근과 제곱으로 인해 비-선형(nonlinear)입니다. 선형(linear) PDE는 만약 그것이 동차이면, 임의의 두 해의 합이 역시 해이고, 임의의 해의 임의의 상수 배수도 해임을 만족하는 것입니다.

Well-posedness

잘-제기됨(Well-posedness)은 PDE에 대한 공통적인 개요 정보의 패키지를 나타냅니다. PDE가 잘-제기된 것이라고 말하기 위해, 다음을 가져야 합니다:

존재와 고유성 정리, 일부 자유롭게 선택된 함수의 처방에 의해, PDE의 하나의 특정 해를 선택할 수 있다고 주장합니다,
자유 선택을 연속적으로 변경함으로써, 해당 해를 연속적으로 변경합니다.

이것은 여러 다른 PDE에 적용할 필요성에 의해 다소 모호합니다. 특히 "연속성"의 요구 사항은 보통 엄격하게 정의될 수 있는 많은 부-동등한 수단이 있기 때문에 모호합니다. 어쨌든, PDE가 잘-제기된 것에서 방법을 지정 없이 PDE를 연구하는 것은 다소 이례적입니다.

The energy method

에너지 방법은 초기-경계-값-문제(Initial-Boundary-Value-Problems, IBVP)의 잘-제기됨을 확인하기 위해 사용될 수 있는 수학적 절차입니다.^[2] 다음 예제에서, 결과 IBVP가 잘-제기된 것임을 만족하는 에너지 방법을 사용하여 어디에 어떤 경계 조건을 부과해야 하는지 결정합니다. 다음에 의해 주어진 일-차원 쌍곡선 PDE를 생각해 보십시오: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,$

여기서 $\alpha \neq 0$ 는 상수이고 $u(x,t)$ 는 조기 조건 $u(x,0)=f(x)$ 를 갖는 미지수 함수입니다. $u$ 를 곱하고 도메인에 걸쳐 적분하면 다음을 제공합니다: $\int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.$

다음임을 사용하여, $\int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},$ 여기서 부분에 의한 적분(integration by parts)이 두 번째 관계에 대해 사용되었으며, 다음을 얻습니다: ${\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.$

여기서 $\|\cdot \|$ 는 표준 $L^{2}$ 노름(norm)을 나타냅니다. 잘-제기됨에 대해, 우리는 해의 에너지가 비-증가하는 것, 즉, ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ 임을 요구하며, 이는 $\alpha >0$ 이면 $x=a$ 에서 그리고 $\alpha <0$ 이면 $x=b$ 에서 $u$ 를 지정함으로써 달성됩니다. 이것은 유입에서 부과하는 경계 조건에만 해당합니다. 잘-제기됨은 데이터 (초기와 경계)의 측면에서 성장을 허용하고 따라서 모든 데이터가 영으로 설정될 때 ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ 가 유지됨을 보여주는 것으로 충분함에 주목하십시오.

Existence of local solutions

코시 초기 값 문제에 대한 코시-코왈스키 정리(Cauchy–Kowalski theorem)는 본질적으로 부분 미분 방정식에서 항이 모두 해석적 함수로 구성되고 특정 횡단성 조건이 만족되면 (초기 데이터가 부과된 초평면 또는 보다 일반적으로 초표면은 부분 미분 연산자에 관해 비-특성적이면), 특정 영역 위에, 해석적 함수이기도 한 해가 반드시 존재한다고 말합니다. 이것은 해석적 부분 미분 방정식의 연구에서 토대적인 결과입니다. 놀랍게도, 그 정리는 매끄러운 함수의 설정에서 유지되지 않습니다; 1957년에 한스 레비(Hans Lewy)에 의해 발견된 예제는 그것의 계수가 매끄러운 것이지만 (즉, 모든 차수의 도함수를 가짐) 해가 존재하지 않는 해석적이지 않은 선형 부분 미분 방정식으로 구성됩니다. 따라서 코시-코왈스키 정리는 그 범위가 해석적 함수로 제한될 수밖에 없습니다.

Classification

Notation

PDE를 작성할 때, 아래첨자를 사용하여 부분 도함수를 표시하는 것이 공통적입니다. 예를 들어: $u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$ $u$ 가 $n$ 변수의 함수인 일반적인 상황에서, $u i$ 는 $i$ -번째 입력에 관한 일차 부분 도함수를 나타내고, $u ij$ 는 $i$ -번째와 $j$ -번째 입력에 대한 이차 부분 도함수를 나타내고, 이런 식으로 계속됩니다.

그리스 문자 $Δ$ 는 라플라스 연산자(Laplace operator)를 나타냅니다; 만약 $u$ 가 $n$ 변수의 함수이면, $\Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.$ 물리학 문헌에서, 라플라스 연산자는 종종 $\nabla 2$ 로 표시됩니다; 수학 문헌에서, $\nabla 2 u$ 는 $u$ 의 헤세 행렬(Hessian matrix)을 나타낼 수도 있습니다.

Equations of first order

Linear and nonlinear equations

Linear equations

PDE는 미지수와 그 도함수에서 선형이면 선형(linear)이라고 불립니다. 예를 들어, $x$ 와 $y$ 의 함수 $u$ 에 대해, 이차 선형 PDE는 다음과 같은 형식입니다: $a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)$ 여기서 $a i$ 와 $f$ 는 독립 변수 $x$ 와 $y$ 만의 함수입니다. (종종 혼합된-부분 도함수 $u xy$ 와 $u yx$ 는 동일시되지만, 이것은 선형성을 논의하는 데 필요하지 않습니다.) 만약 $a i$ 가 ( $x$ 와 $y$ 와 독립적인) 상수이면 PDE는 상수 계수를 갖는 선형(linear with constant coefficients)이라고 불립니다. 만약 $f$ 가 모든 곳에서 영이면 선형 PDE는 동차(homogeneous)이고, 그렇지 않으면 비-동차(inhomogeneous)입니다. (이것은 PDE에 대한 해에 대한 계수의 고주파 진동의 효과를 연구하는 점근적 동차화(asymptotic homogenization)와 별개입니다.)

Nonlinear equations

비선형 PDE(nonlinear PDE)의 세 가지 주요 유형은 반선형(semilinear) PDE, 준선형(quasilinear) PDE, 및 완전하게 비선형(fully nonlinear) PDE입니다.

선형 PDE에 가장 가까운 것은 반선형(semilinear) PDE로, 여기서는 최고 차수 도함수만 선형 항으로 나타나고, 계수는 독립 변수의 함수입니다. 낮은 차수 도함수와 미지수 함수는 임의적으로 나타날 수 있습니다. 예를 들어, 두 변수에서 일반적인 이차 반선형 PDE는 다음과 같습니다: $a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$

준선형(quasilinear) PDE에서, 최고 차수 도함수는 마찬가지로 선형 항으로만 나타나지만, 계수는 미지수와 낮은-차수 도함수의 함수일 수 있습니다: $a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$ 일반 상대성(general relativity)의 아인슈타인 방정식(Einstein equations)과 유체 운동을 설명하는 나비에-스토크스 방정식(Navier–Stokes equations)과 같은 물리학에서 토대적 PDE 중 다수는 준선형입니다.

임의의 선형성 속성 없는 PDE는 완전하게 비선형(fully nonlinear)이라고 불리고, 하나 이상의 최고-차수 도함수에서 비선형성을 보유합니다. 한 가지 예제는 미분 기하학(differential geometry)에서 발생하는 몽주-앙페르 방정식(Monge–Ampère equation)입니다.

Linear equations of second order

차수 2의 타원, 포물선, 및 쌍곡선 부분 미분 방정식은 20세기 초부터 널리 연구되어 왔습니다. 어쨌든, 삼차 비-선형 코르테버흐-더 프리스 방정식(Korteweg–de Vries equation)과 같은 많은 다른 중요한 유형의 PDE가 있습니다. 도메인의 다른 영역(regions)에 대해 타원에서 쌍곡선까지 다양한 오일러–크리코미 방정식(Euler–Tricomi equation)과 같은 잡종도 있습니다. 고차 PDE에 대한 이들 기본 유형의 중요한 확장도 있지만, 그러한 지식은 보다 전문적입니다.

타원/포물선/쌍곡선 분류는 적절한 초기 조건과 경계 조건과 해의 매끄러움에 대한 지침을 제공합니다. $u xy = u yx$ 라고 가정하여, 두 독립 변수에서 일반적인 선형 2차 PDE는 다음 형식을 가집니다: $Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,$ 여기서 계수 $A$ , $B$ , $C$ ...는 $x$ 와 $y$ 에 따라 달라질 수 있습니다. 만약 $xy$ -평면의 영역에 걸쳐 $A 2 + B 2 + C 2 > 0$ 이면, 그 PDE는 해당 영역에서 2차입니다. 이 형식은 원뿔 단면에 대한 방정식과 유사합니다: $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$

보다 정확하게, $\partial x$ 를 $X$ 로 대체하고, 다른 변수에 대해서도 마찬가지로 하고 (형식적으로 이것은 푸리에 변환에 의해 수행됨), 상수-계수 PDE를 같은 차수의 다항식으로 변환하며, 가장 높은 차수의 항 (동차 다항식, 여기서 이차 형식)이 분류에 가장 중요합니다.

판별식 $B 2 - 4 AC$ 를 기반으로 원뿔 단면과 이차 형식을 포물선, 쌍곡선, 및 타원으로 분류하는 것처럼, 같은 것은 주어진 점에서 이차 PDE에 대해 수행될 수 있습니다. 어쨌든, PDE에서 판별식은 $xy$ 항이 $B$ 가 아니라 $2 B$ 라는 관례로 인해 $B 2 - AC$ 로 지정됩니다; 형식적으로, (결합된 이차 형식의) 판별식은 $(2 B) 2 - 4 AC = 4(B 2 - AC)$ 이며, 단순화를 위해 인수 4를 생략했습니다.

$B 2 - AC < 0$ (타원 부분 미분 방정식): 타원 PDF의 해는 방정식과 해가 정의된 영역의 내부 내에서 계수가 허용하는 만큼 매끄러운 것입니다. 예를 들어, 라플라스 방정식(Laplace's equation)의 해는 그것들이 정의된 영역 내에서 해석적이지만 해는 매끄럽지 않은 경계 값을 가정할 수 있습니다. 아음속 속력에서 유체의 운동은 타원 PDF로 근사화될 수 있고, 오일러-트리코미 방정식은 $x < 0$ 인 타원입니다.
$B 2 - AC = 0$ (포물선 부분 미분 방정식): 모든 각 점에서 포물선(parabolic)인 방정식은 독립 변수의 변경에 의해 열 방정식(heat equation)과 유사한 형식으로 변환될 수 있습니다. 변환된 시간 변수가 증가함에 따라 해가 매끄럽게 됩니다. 오일러–트리코미 방정식은 $x = 0$ 인 직선에서 포물선 유형을 가집니다.
$B 2 - AC > 0$ (쌍곡선 부분 미분 방정식): 쌍곡선(hyperbolic) 방정식은 초기 데이터에서 함수 또는 도함수의 임의의 불연속성을 유지합니다. 파동 방정식(wave equation)이 그 예제입니다. 초음속 속력에서 유체의 운동은 쌍곡선 PDE로 근사화될 수 있고, 오일러-트리코미 방정식은 $x > 0$ 인 쌍곡선입니다.

만약 $n$ 개의 독립 변수 $x 1, x 2, \dots, x n$ 이 있으면, 이차의 일반적인 선형 부분 미분 방정식의 형식은 다음과 같습니다: $Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.$

분류는 계수 행렬 $a i, j$ 의 고윳값(eigenvalues)의 시그니처에 따라 달라집니다.

타원: 고윳값은 모두 양수 또는 모두 음수입니다.
포물선: 고윳값은 영인 것을 제외하고 모두 양수 또는 모두 음수입니다.
쌍곡선: 오직 하나의 음의 고윳값이 있고 나머지 모두는 양수, 또는 오직 하나의 양의 고윳값이 있고 나머지 모두는 음수입니다.
극단-쌍곡선(Ultrahyperbolic): 하나보다 많은 양의 고윳값과 하나보다 많은 음의 고윳값이 있고, 영 고윳값이 없습니다.^[3]

타원 방정식, 포물선 방정식, 및 쌍곡선 방정식의 이론은 라플라스 방정식, 열 방정식, 및 파동 방정식의 표준 예제를 중심으로 또는 기반으로 수세기 동안 연구되어 왔습니다.

Systems of first-order equations and characteristic surfaces

부분 미분 방정식의 분류는 일-차 방정식의 시스템으로 확장될 수 있으며, 여기서 미지수 $u$ 는 이제 $m$ 개의 성분을 갖는 벡터(vector)이고, 계수 행렬 $A ν$ 는 $ν = 1, 2, \dots, n$ 에 대한 m x m 행렬입니다. 부분 미분 방정식은 다음 형식을 취합니다: $Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,$ 여기서 계수 행렬 $A ν$ 와 벡터 $B$ 는 $x$ 와 $u$ 에 따라 달라질 수 있습니다. 만약 초표면(hypersurface) $S$ 가 암시적 형식으로 제공되면, $\varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$ 여기서 $φ$ 는 비-영 그래디언트를 가지고, $S$ 는 만약 특성 형식이 사라지면 주어진 점에서 연산자 $L$ 에 대한 특성 표면(characteristic surface)입니다: $Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.$

이 조건의 기하학적 해석은 다음과 같습니다: 만약 $u$ 에 대한 데이터가 표면 $S$ 위에 지정되어 있으면, 미분 방정식에서 $S$ 위에 $u$ 의 법선 도함수를 결정할 수 있습니다. 만약 $S$ 위에 데이터와 미분 방정식이 $S$ 위에 $u$ 의 법선 도함수를 결정하면, $S$ 는 비-특성적입니다. 만약 $S$ 위에 데이터와 미분 방정식이 $S$ 위에 $u$ 의 법선 도함수를 결정하지 않으면, 표면이 특성적(characteristic)이고, 미분 방정식은 $S$ 위에 데이터를 제한합니다: 미분 방정식은 $S$ 내부에 있습니다.

일-차 시스템 $Lu = 0$ 은 표면이 $L$ 에 대해 특성적이지 않으면 타원(elliptic)입니다: $S$ 위에 $u$ 의 값과 미분 방정식은 항상 $S$ 위에 $u$ 의 법선 도함수를 결정합니다.
일-차 시스템은 해당 점에서 법선 $ξ$ 를 갖는 공간-같은(spacelike) 표면 S가 있으면 해당 점에서 쌍곡선(hyperbolic)입니다. 이것은 $ξ$ 에 직교하는 임의의 비-자명한 벡터 $η$ 와 스칼라 곱셈수 $λ$ 가 주어지면, 방정식 $Q (λξ + η) = 0$ 은 $m$ 개의 실수 근 $λ 1, λ 2, \dots, λ m$ 을 가짐을 의미합니다. 그 시스템은 만약 이들 근이 항상 구별되면 엄격하게 쌍곡선(strictly hyperbolic)입니다. 이 조건의 기하학적 해석은 다음과 같습니다: 특성 형식 $Q (ζ) = 0$ 은 동차 좌표 ζ를 갖는 원뿔 (정규 원뿔)을 정의합니다. 쌍곡선의 경우에서, 이 원뿔은 m개의 판(sheet)을 가지고, 축 $ζ = λξ$ 는 이들 판 내부에서 실행됩니다: 그것은 어떤 판와도 교차하지 않습니다. 그러나 원점에서 η만큼 이동하면, 이 축이 모든 각 판과 교차합니다. 타원의 경우에서, 정규 원뿔은 실수 판을 가지지 않습니다.

Analytical solutions

Separation of variables

선형 PDE는 변수의 분리의 중요한 기술에 의해 보통의 미분 방정식 시스템으로 줄일 수 있습니다. 이 기술은 미분 방정식에 대한 해의 특징에 의존합니다: 만약 방정식을 풀고 경계 조건을 만족시키는 해를 찾을 수 있으면, 그것이 그 해입니다 (이것은 역시 ODE에 적용됩니다). 우리는 매개변수 공간과 시간에 대한 해의 의존성이 각각 단일 매개변수에 의존하는 항의 곱으로 쓸 수 있다고 ansatz로 가정하고, 그런-다음 만약 이것이 문제를 해결하기 위해 만들어질 수 있는지 확인합니다.^[4]

변수의 분리의 방법에서, PDE를 더 적은 숫자의 변수에서 PDE로 줄이며, 이는 하나의 변수에 있으면 보통의 미분 방정식입니다 – 이것들은 차례로 풀기가 더 쉽습니다.

이것은 분리-가능한 부분 미분 방정식(separable partial differential equations)이라고 하는 간단한 PDE에 대해 가능하고, 그 도메인은 일반적으로 직사각형 (구간의 곱)입니다. 분리-가능한 PDE는 대각선 행렬(diagonal matrices)에 해당합니다 – "고정된 $x$ 에 대한 값"을 좌표로 생각하여, 각 좌표는 별도로 이해될 수 있습니다.

이것은 특성의 방법(method of characteristics)으로 일반화되고, 역시 적분 변환(integral transforms)에서 사용됩니다.

Method of characteristics

특수한 경우에서, 방정식이 ODE로 축소되는 특성 곡선을 찾을 수 있습니다 – 이들 곡선을 직선화하기 위해 도메인에서 좌표를 변경하는 것은 변수의 분리를 허용하고, 특성의 방법(method of characteristics)이라고 불립니다.

보다 일반적으로, 특성 표면을 찾을 수 있습니다. 이차 부분 미분 방정식 해에 대해, 샤르핏 방법(Charpit method)을 참조하십시오.

Integral transform

적분 변환(integral transform)은 PDE를 더 간단한 것으로, 특히, 분리-가능한 PDE로 변환할 수 있습니다. 이것은 연산자를 대각화하는 것과 같습니다.

이에 대한 중요한 예제는 정현파의 고유-기저(eigenbasis)를 사용하여 열 방정식을 대각화하는 푸리에 해석(Fourier analysis)입니다.

만약 도메인이 유한하거나 주기적이면, 푸리에 급수(Fourier series)와 같은 해의 무한 합이 적합하지만, 푸리에 적분(Fourier integral)과 같은 해의 적분은 무한 도메인에 대해 요구됩니다. 위에 주어진 열 방정식에 대해 점 소스에 대한 해는 푸리에 적분의 사용의 예입니다.

Change of variables

종종 PDE는 적절한 변수의 변경(change of variables)에 의해 알려진 해를 갖는 더 간단한 형식으로 줄일 수 있습니다. 예를 들어, 다음 블랙-숄즈 방정식(Black–Scholes equation)은 ${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$ 다음과 같은 열 방정식(heat equation)으로 줄일 수 있으며, ${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ 이때 다음과 같은 변수의 변경을 사용합니다:^[5] ${\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}$

Fundamental solution

비-동차 방정식은 토대적인 해(fundamental solution, 점 소스에 대한 해)를 찾고, 그런-다음 해를 얻기 위해 경계 조건과 합성곱(convolution)을 취함으로써 해결될 수 있습니다 (상수 계수 PDE에 대해, 항상 해결됩니다).

이것은 신호 처리(signal processing)에서 충격 응답(impulse response)에 의해 필터를 이해하는 것과 유사합니다.

Superposition principle

중첩 원리는 PDE의 선형 시스템을 포함한 임의의 선형 시스템에 적용됩니다. 이 개념의 공통적인 시각화는 예를 들어 $sin x + sin x = 2 sin x$ 와 같이 더 큰 진폭을 생성하기 위해 결합되는 위상의 두 파동의 상호 작용입니다. 같은 원칙이 해가 실수 또는 복소수이고 덧셈적일 수 있는 PDE에서 관찰될 수 있습니다. 만약 $u 1$ 과 $u 2$ 가 일부 함수 공간 $R$ 에서 선형 PDE의 해이면, 임의의 상수 $c 1$ 과 $c 2$ 를 갖는 $u = c 1 u 1 + c 2 u 2$ 는 역시 같은 함수 공간에서 해당 PDE의 해입니다.

Methods for non-linear equations

비선형 PDE을 풀기 위해 일반적으로 적용할 수 있는 방법은 없습니다. 여전히, 존재와 고유성 결과 (예를 들어, 코시-코발레브스카야 정리(Cauchy–Kowalevski theorem))는 해의 중요한 질적 및 양적 속성의 증명 (이들 결과를 얻는 것이 해석학의 주요 부분임)과 마찬가지로 종종 가능합니다. 비선형 PDE에 대한 계산적 해, 분할-단계 방법(split-step method)은 비선형 슈뢰딩거 방정식(nonlinear Schrödinger equation)과 같은 특정 방정식에 대해 존재합니다.

그럼에도 불구하고, 일부 기술은 여러 유형의 방정식에 대해 사용될 수 있습니다. $h$ -원리( $h$ -principle)는 미달-결정 방정식(underdetermined equations)을 풀기 위한 가장 강력한 방법입니다. Riquier–Janet theory은 많은 해석적 초과결정 시스템(overdetermined systems)에 대한 정보를 얻는 데 효과적인 방법입니다.

특성의 방법(method of characteristics)은 비선형 부분 미분 방정식을 풀기 위해 매우 특별한 경우에 사용될 수 있습니다.^[6]

일부 경우에서, PDE는 섭동 해석(perturbation analysis)을 통해 해결될 수 있으며, 이것에서 해는 알려진 해를 갖는 방정식을 수정한 것으로 고려됩니다. 대안은 간단한 유한 차이(finite difference) 스킴에서 보다 성숙한 다중-격자(multigrid) 및 유한 원소 방법(finite element methods)에 이르는 수치 해석(numerical analysis) 기술입니다. 과학과 공학의 많은 흥미로운 문제는 컴퓨터, 때로는 고성능 슈퍼컴퓨터를 사용하여 이러한 방법으로 해결됩니다.

Lie group method

1870년부터 소푸스 리(Sophus Lie)의 연구는 미분 방정식 이론을 보다 만족스러운 토대 위에 놓았습니다. 그는 이전 수학자들의 적분 이론이 현재 리 그룹(Lie groups)이라고 불리는 것을 도입함으로써 공통 소스로 참조될 수 있음을 보여주었습니다; 그리고 같은 무한소 변환(infinitesimal transformations)을 허용하는 보통의 미분 방정식은 적분의 비슷한 어려움을 나타낸다는 것을 보여주었습니다. 그는 역시 접촉의 변형(transformations of contact)이라는 주제를 강조했습니다.

PDE를 풀기 위한 일반적인 접근 방식은 미분 방정식의 대칭 속성, 해에서 해로의 연속적인 무한소 변환 (리 이론)을 사용합니다. 연속 그룹 이론, 리 대수, 및 미분 기하학은 적분-가능 방정식을 생성하기 위한 선형 부분 미분 방정식과 비선형 부분 미분 방정식의 구조를 이해하고, 랙스 쌍(Lax pairs), 재귀 연산자, 베크룬트 변환(Bäcklund transform)을 찾고 마지막으로 PDE에 대한 정확한 해석적 해를 찾기 위해 사용됩니다.

대칭 방법은 수학, 물리학, 공학, 및 기타 여러 분야에서 발생하는 미분 방정식을 연구하는 것으로 인식되어 왔습니다.

Semianalytical methods

어도미언 분해 방법(Adomian decomposition method),^[7] Lyapunov 인공 작은 매개변수 방법, 및 그의 호모토피 섭동 방법(homotopy perturbation method)은 모두 보다 일반적인 호모토피 해석 방법(homotopy analysis method)의 특별한 경우입니다.^[8] 이들은 급수 전개 방법이고, Lyapunov 방법을 제외하고 잘 알려진 섭동 이론(perturbation theory)과 비교할 때 작은 물리적 매개변수와 독립적이며, 따라서 이들 방법에 더 큰 유연성과 해 일반성을 제공합니다.

Numerical solutions

PDE를 풀기 위해 가장 널리 사용되는 세 가지 수치적 방법은 유한 원소 방법 (FEM), 유한 부피 방법 (FVM), 및 유한 차이 방법 (FDM)과 그물-없는 방법(meshfree methods)이라고 불리는 다른 종류의 방법입니다. 그물-없는 방법은 앞서 언급한 방법이 제한되는 문제를 해결하기 위해 만들어졌습니다. FEM은 이들 방법 중 두드러진 위치를 차지하고 특히 매우 효율적인 고차 버전 hp-FEM를 가집니다. FEM과 그물-없는 방법의 다른 변종 버전은 일반화된 유한 원소 방법 (GFEM), 확장된 유한 원소 방법 (XFEM), 스펙트럼 유한 원소 방법 (SFEM), 그물-없는 유한 원소 방법, 불연속 골요르킨 유한 원소 방법 (DGFEM), 원소-없는 골요르킨 방법 (EFGM), 보간 원소-없는 골요르킨 방법 (IEFGM), 등을 포함합니다.

Finite element method

유한 원소 방법 (FEM) (종종 유한 원소 해석 (FEA)으로 알려진 그것의 실제 응용)은 부분 미분 방정식 (PDE)과 마찬가지로 적분 방정식의 근사적인 해를 찾기 위한 수치적 기법입니다.^[9]^[10] 해 접근 방식은 미분 방정식을 완전하게 제거하거나 (정상 상태 문제), PDE를 보통의 미분 방정식의 근사 시스템으로 렌더링하고, 그런-다음 오일러 방법, 룽게–쿠타 등과 같은 표준 기술을 사용하여 수치적으로 적분하는 것을 기반으로 합니다.

Finite difference method

유한-차이 방법은 도함수를 근사하기 위해 유한 차이(finite difference) 방정식을 사용하여 미분 방정식에 대한 해를 근사화하는 수치적 방법입니다.

Finite volume method

유한 차이 방법 또는 유한 원소 방법과 유사하게, 값은 그물 기하학의 불연속 위치에서 계산됩니다. "유한 부피"는 그물 위에 각 노드 점을 둘러싼 작은 부피를 나타냅니다. 유한 부피 방법에서, 발산 항을 포함하는 부분 미분 방정식에서 표면 적분은 발산 정리(divergence theorem)를 사용하여 부피 적분으로 변환됩니다. 그런 다음 이들 항은 각 유한 부피의 표면에서 플럭스로 평가됩니다. 주어진 부피에 들어가는 플럭스가 인접한 부피에서 나가는 플럭스와 동일하기 때문에, 이들 방법은 설계에 의해 질량을 보존합니다.

Data-driven solution of partial differential equations

PDE의 데이터-중심 해(data-driven solution of PDE)는 경계 데이터 및/또는 측정 $z$ 와 고정된 모델 매개변수 $\lambda$ 가 주어진 시스템의 숨겨진 상태 $u(t,x)$ 를 계산합니다.^[11] 우리는 다음을 해결합니다:

$u_{t}+N[u]=0,\quad x\in \Omega ,\quad t\in [0,T]$ .

잔여 $f(t,x)$ 를 다음으로 정의함으로써

$f:=u_{t}+N[u]=0$ ,

그리고 심층 신경망에 의해 $u(t,x)$ 를 근사화합니다. 이 네트워크는 자동 미분을 사용하여 미분될 수 있습니다. $u(t,x)$ 와 $f(t,x)$ 의 매개변수는 다음 손실 함수 $L_{tot}$ 를 최소화함으로써 학습될 수 있습니다:

$L_{tot}=L_{u}+L_{f}$ .

여기서 $L_{u}=\Vert u-z\Vert _{\Gamma }$ 는 PINN $u(t,x)$ 와 경계 조건과 데이터가 정의된 점 집합 $\Gamma$ 에 대한 경계 조건 집합과 측정 데이터 사이의 오차이고, $L_{f}=\Vert f\Vert _{\Gamma }$ 는 잔여 함수의 평균-제곱된 오차입니다. 이 두 번째 항은 PINN이 교육 과정 중에 부분 미분 방정식에 의해 표현되는 구조 정보를 학습하도록 권장합니다.

이 접근 방식은 물리적 과정의 예측, 모델링 예측 제어, 다중-물리와 다중-스케일 모델링, 모의실험, 및 불확실성 정량화에 응용을 갖는 계산적으로 효율적인 대리 모델을 산출하기 위해 사용되었습니다.^[12]^[13]

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External links

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