Linear differential equation

수학(mathematics)에서, 선형 미분 방정식(linear differential equation)은 미지 함수와 그 도함수에서 선형 다항식(linear polynomial)에 의해 정의되는 미분 방정식(differential equation), 즉 다음과 같은 형식의 방정식(equation)입니다: $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$ 여기서 $a 0 (x)$ , ..., $a n (x)$ 와 $b (x)$ 는 선형일 필요가 없는 임의적인 미분가능 함수(differentiable functions)이고, $y', ..., y (n)$ 은 변수 $x$ 의 미지 함수 $y$ 의 연속 도함수입니다.

그러한 방정식은 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation, ODE)입니다. 만약 미지 함수가 여러 변수에 의존하고, 방정식에 나타나는 도함수가 부분 도함수(partial derivatives)이면, 선형 미분 방정식은 선형 부분 미분 방정식(partial differential equation, PDE)일 수도 있습니다.

결합된 동차 방정식이 상수 계수를 가짐을 만족하는 선형 미분 방정식 또는 선형 방정식의 시스템은 구적법(quadrature)으로 풀 수 있으며, 이는 해가 적분(integrals)의 관점에서 표현될 수 있음을 의미합니다. 이것은 비-상수 계수를 갖는 차수 1의 선형 방정식의 경우에도 참입니다. 비-상수 계수를 갖는 차수 2 이상의 방정식은 일반적으로 구적법으로 풀 수 없습니다. 차수 2에 대해, 코바치치의 알고리듬(Kovacic's algorithm)은 적분의 측면에서 해가 있는지 여부를 결정하고, 만약 어떤 것이라도 있다면 해를 계산하는 것을 허용합니다.

다항식(polynomial) 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해는 홀로노믹 함수(holonomic functions)라고 불립니다. 이 클래스의 함수는 합, 곱, 미분, 적분 아래에서 안정적이고, 지수 함수, 로그, 사인, 코사인, 역삼각 함수, 오차 함수, 베셀 함수 및 초기하 함수와 같은 많은 보통의 함수와 특수 함수를 포함합니다. 정의하는 미분 방정식과 초기 조건에 의한 그것들의 표현은 인증된 오차 경계를 갖는 역도함수의 계산, 극한, 점근적 전개(asymptotic expansion), 및 임의의 정밀도에 대한 수치적 평가와 같은 대부분의 미적분 연산을 (이들 함수 위에) 알고리듬적으로 만드는 것을 허용합니다.

Basic terminology

(선형) 미분 방정식에 나타나는 가장 높은 도함수의 차수(order of derivation)는 방정식의 차수입니다. 미지 함수와 그 도함수에 의존하지 않는 항 $b (x)$ 는, 심지어 이 항이 비-상수 함수일지라도 때때로 (대수적 방정식과 유추에 의해) 방정식의 상수항(constant term)이라고 불립니다. 만약 상수 항이 영 함수(zero function)이면, 미분 방정식은 동차(homogeneous)라고 불리는데, 왜냐하면 그것은 미지 함수와 그 도함수에서 동차 다항식(homogeneous polynomial)이기 때문입니다. 선형 미분방정식에서 상수항을 영함수로 대치함으로써 얻은 방정식이 결합된 동차 방정식(associated homogeneous equation)입니다. 미분 방정식은 만약 결합된 동차 방정식에서 상수 함수(constant functions)만 계수로 나타나면 상수 계수(constant coefficients)를 가집니다.

미분 방정식의 해는 방정식을 만족시키는 함수입니다. 동차 선형 미분 방정식의 해는 벡터 공간(vector space)을 형성합니다. 보통의 경우에서, 이 벡터 공간은 방정식의 차수와 같은 유한한 차원을 가집니다. 선형 미분 방정식의 모든 해는 특정 해에 결합된 동차 방정식의 임의의 해를 더함으로써 구합니다.

Linear differential operator

차수 $i$ 의 기본 미분 연산자(basic differential operator)는 임의의 미분-가능 함수(differentiable function)를 그것의 $i$ -번째 도함수, 또는, 여러 변수의 경우에서, 차수 $i$ 의 그것의 부분 도함수 중 하나에 매핑하는 매핑입니다. 그것은 일변수(univariate) 함수의 경우에서 다음과 같은 공통적으로 표기됩니다: ${\frac {d^{i}}{dx^{i}}}$ 그리고 $n$ 변수의 함수의 경우에서, ${\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}$ 기본 미분 연산자는 항등 매핑인 차수 0의 도함수를 포함합니다.

선형 미분 연산자 (이 기사에서, 선형 연산자 또는 간단히 연산자로 약칭함)는 미분-가능 함수를 계수로 갖는 기본 미분 연산자의 선형 조합(linear combination)입니다. 일변수의 경우에서, 선형 연산자는 따라서 다음과 같은 형식을 가집니다:^[1] $a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$ 여기서 $a 0 (x), ..., a n (x)$ 는 미분가능 함수이고, 비-음의 정수 $n$ 은 (만약 $a n (x)$ 가 영 함수가 아니면) 연산자의 차수(order)입니다.

$L$ 을 선형 미분 연산자라고 놓습니다. 함수 $f$ 로의 $L$ 의 적용은 보통 변수를 지정해야 하면 $Lf$ 또는 $Lf(X)$ 로 표시됩니다 (이것은 곱셈과 혼동해서는 안 됩니다). 선형 미분 연산자는 선형 연산자(linear operator)인데, 왜냐하면 그것은 합을 합으로 매핑하고 스칼라(scalar)에 의한 곱을 같은 스칼라에 의한 곱으로 매핑하기 때문입니다.

두 선형 연산자의 합은 선형 연산자이고 미분 함수에 의한 선형 연산자의 (왼쪽에) 곱이므로, 선형 미분 연산자는 실수 또는 복소수에 걸쳐 벡터 공간을 형성합니다 (고려되는 함수의 본성에 따릅니다). 그것들은 역시 미분-가능 함수의 링(ring)에 걸쳐 자유 모듈(free module)을 형성합니다.

연산자의 언어는 미분-가능 방정식에 대한 간결한 작성을 허용합니다: 만약 다음이 $L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}},$ 선형 미분 연산자이면, 다음 방정식은 $a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)$ 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다: $Ly=b(x).$

이 표기법에는 여러 변형이 있을 수 있습니다; 특히 미분의 변수는 $Ly (x) = b (x)$ 또는 $Ly = b$ 와 같이 방정식의 오른쪽-편과 $y$ 에 명시적으로 나타나거나 나타나지 않을 수 있습니다.

선형 미분 연산자의 커널(kernel)은 선형 매핑으로서의 그것의 커널(kernel), 즉, (동차) 미분 방정식 $Ly = 0$ 의 해의 벡터 공간(vector space)입니다.

차수 $n$ 의 보통의 미분 연산자의 경우에서, 카라테오도리 존재 정리(Carathéodory's existence theorem)는 매우 온화한 조건 아래에서, $L$ 의 커널이 차원 $n$ 의 벡터 공간이고, 방정식 $Ly (x) = b (x)$ 의 해가 다음 형식을 가짐을 의미합니다: $S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),$ 여기서 $c 1, ..., c n$ 는 임의적인 숫자입니다. 전형적으로, 카라테오도르의 정리의 가설은 만약 함수 $b, a 0, ..., a n$ 가 $I$ 에서 연속이고, $I$ 에서 모든 각 $x$ 에 대해 $| a n (x) | > k$ 임을 만족하는 양의 실수 $k$ 가 있으면 구간 $I$ 에서 만족됩니다.

Homogeneous equation with constant coefficients

동차 선형 미분 방정식은 만약 그것이 다음 형식을 가지면 상수 계수(constant coefficients)를 가집니다: $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$ 여기서 $a 1, ..., a n$ 는 실수 또는 복소수입니다. 다시 말해서, 그것은 만약 그것이 상수 계수를 갖는 선형 연산자에 의해 정의되면 상수 계수입니다.

상수 계수를 갖는 이들 미분 방정식에 대한 연구는 $f (0) = 1$ 임을 만족하는 방정식 $f' = f$ 의 고유한 해인, 지수 함수(exponential function) $e x$ 를 도입한 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)로 거슬러 올라갑니다. $e cx$ 는 $c n e cx$ 임이 따라오고, 이것은 동차 선형 미분 방정식을 쉽게 풀 수 있게 합니다.

다음을 $a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0$ 상수 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식이어야 놓습니다 (즉, $a 0, ..., a n$ 은 실수 또는 복소수입니다).

$e αx$ 형식을 가지는 이 방정식의 해를 검색하는 것은 다음임을 만족하는 상수 $α$ 를 검색하는 것과 동등합니다: $a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.$ $e αx$ (결코 0이 아님)를 인수로 묶어내면, $α$ 가 미분 방정식의 다음 특성 다항식(characteristic polynomial)의 근이어야 함을 보여줍니다: $a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}$ 이는 다음 특성 방정식(characteristic equation)의 왼쪽-변입니다: $a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.$

이들 근이 모두 구별될 때, 방정식의 계수가 실수인 경우에도 반드시 실수가 아닌 $n$ 개의 구별되는 해가 있습니다. 이들 해는 $x = 0, ..., n - 1$ 에서 이들 해의 값의 방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant)을 고려함으로써 선형적으로 독립(linearly independent)으로 표시될 수 있습니다. 그것들은 함께 미분 방정식의 해의 벡터 공간 (즉, 미분 연산자의 커널)의 기저(basis)를 형성합니다.

Example
$y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0$ 은 다음의 특성 방정식을 가집니다: $z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.$ 이것은 영들, $i$ , $- i$ , 및 $1$ (중복도 2)를 가집니다. 해 기저는 따라서 다음입니다: $e^{ix},\;e^{-ix},\;e^{x},\;xe^{x}.$ 해의 실수 기저는 따라서 다음입니다: $\cos x,\;\sin x,\;e^{x},\;xe^{x}.$

특성 다항식이 단순 근(simple roots)만 가지는 경우에서, 선행 벡터 공간은 해 벡터 공간의 완전한 기저를 제공합니다. 중복 근(multiple roots)의 경우에서, 보다 선형적으로 독립 해가 기저를 가지는 데 필요합니다. 이것들은 다음과 같은 형식을 가집니다: $x^{k}e^{\alpha x},$ 여기서 $k$ 는 비-음의 정수, $α$ 는 중복도 $m$ 의 특성 다항식의 근이고, $k < m$ 입니다. 이들 함수가 해라는 것을 입증하기 위해, $α$ 가 중복도 $m$ 의 특성 다항식의 근이면, 특성 다항식은 $P (t)(t - α) m$ 으로 인수화될 수 있음을 주목하십시오. 따라서, 방정식의 미분 연산자를 적용하는 것은 먼저 $m$ 곱하기 연산자 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ 를 적용하고, 그런-다음 특성 다항식으로 $P$ 를 가지는 연산자를 적용하는 것과 동등합니다. 지수 이동 정리(exponential shift theorem)에 의해, $\left({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x},$

그리고 따라서 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ 의 $k + 1$ 적용 후에 영을 얻습니다.

대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해, 다항식의 근의 중복도의 합은 다항식의 차수와 같으므로, 위의 해의 개수는 미분 방정식의 차수와 같고, 이들 해는 해의 벡터 공간의 기저를 형성합니다.

방정식의 계수가 실수인 공통적인 경우에서, 일반적으로 실수-값 함수(real-valued functions)로 구성된 해의 기저를 갖는 것이 더 편리합니다. 그러한 기저는 만약 $a + ib$ 이 특성 다항식의 근이면, $a - ib$ 도 같은 중복도의 근이라는 것을 언급함으로써 앞의 기저로부터 얻어질 수 있습니다. 따라서 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하고, $x^{k}e^{(a+ib)x}$ 와 $x^{k}e^{(a-ib)x}$ 를 $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ 와 $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ 로 대체함으로써 실수 기저를 얻습니다.

Second-order case

이차의 동차 선형 미분 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다: $y''+ay'+by=0,$ 그리고 그것의 특성 다항식은 다음과 같습니다: $r^{2}+ar+b.$

만약 $a$ 와 $b$ 가 실수(real)이면, 판별식 $D = a 2 - 4 b$ 에 따라 해에 대해 세 가지 경우가 있습니다. 모든 세 경우에서, 일반적인 해는 두 개의 임의적인 상수 $c 1$ 과 $c 2$ 에 따라 달라집니다.

만약 $D > 0$ 이면, 특성 다항식은 두 개의 구별되는 실수 근 $α$ , 및 $β$ 를 가집니다. 이 경우에서, 일반적인 해는 다음과 같습니다: $c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}.$
만약 $D = 0$ 이면, 특성 다항식은 이중근 $- a /2$ 를 가지고, 일반적인 해는 다음과 같습니다: $(c_{1}+c_{2}x)e^{-ax/2}.$
만약 $D < 0$ 이면, 특성 다항식은 두 개의 복소 켤레(complex conjugate) 근 $α \pm βi$ 을 가지고, 일반적인 해는 다음과 같습니다: $c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x},$ 이는 오일러의 공식(Euler's formula)을 사용하여 다음과 같이 실수 항에서 다시 쓸 수 있습니다: $e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x)).$

$y (0) = d 1$ 와 $y'(0) = d 2$ 를 만족시키는 해 $y (x)$ 를 찾으면, $0$ 에서 위의 일반적인 해의 값과 거기에서 그것의 도함수의 값은 각각 $d 1$ 과 $d 2$ 와 같게 합니다. 그 결과 두 개의 미지수 $c 1$ 과 $c 2$ 에서 두 개의 선형 방정식의 선형 시스템이 생성됩니다. 이 시스템을 풀면 소위 코시 문제(Cauchy problem)에 대한 해를 제공하며, 이것에서 DEQ와 그것의 도함수의 해에 대해 $0$ 에서 값이 지정됩니다.

Non-homogeneous equation with constant coefficients

상수 계수를 갖는 차수 $n$ 의 비-동차 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다: $y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),$ 여기서 $a 1, ..., a n$ 는 실수 또는 복소수, $f$ 는 $x$ 의 주어진 함수이고, $y$ 는 미지 함수입니다 (단순햠을 위해, " $(x)$ "는 다음에서 생략될 것입니다).

그러한 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 좋은 방법은 방정식을 비-동차하게 만드는 함수 $f$ 의 본성에 따라 다릅니다. 만약 $f$ 가 지수 함수와 정현 함수의 선형 조합이면, 지수 응답 공식(exponential response formula)이 사용될 수 있습니다. 만약, 보다 일반적으로, $f$ 가 $x n e ax$ , $x n cos(ax)$ , 및 $x n sin(ax)$ 형식의 함수의 선형 조합이면, 여기서 $n$ 은 비-음의 정수이고, $a$ 가 상수이며 (각 항에서 같을 필요는 없음), 비-결정된 계수의 방법(method of undetermined coefficients)이 사용될 수 있습니다. 훨씬 더 일반적으로, 소멸자 방법(annihilator method)은 $f$ 가 동차 선형 미분 방정식, 전형적으로, 홀로노믹 함수(holonomic function)를 만족시킬 때 적용됩니다.

가장 일반적인 방법은 여기에서 제시되는 상수의 변형(variation of constants)입니다.

다음과 같은 결합된 동차 방정식의 일반적인 해는 $y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}y'+a_{n}y=0$ 다음과 같습니다: $y=u_{1}y_{1}+\cdots +u_{n}y_{n},$ 여기서 $(y 1, ..., y n)$ 은 해의 벡터공간의 기저이고 $u 1, ..., u n$ 은 임의적인 상수입니다. 상수의 변형 방법은 다음 아이디어에서 그 이름을 가져옵니다. $u 1, ..., u n$ 을 상수로 고려하는 대신, 그것들이 $y$ 를 비-동차 방정식의 해로 만들기 위해 결정되어야 하는 미지 함수로 고려할 수 있습니다. 이를 위해, 다음 제약 조건을 더합니다: ${\begin{aligned}0&=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}\\0&=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}\\&\;\;\vdots \\0&=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)},\end{aligned}}$ 이는 $i = 1, ..., n - 1$ 에 대해 다음을 의미합니다 (곱 규칙과 귀납법에 의해) $y^{(i)}=u_{1}y_{1}^{(i)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(i)}$ 그리고 $y^{(n)}=u_{1}y_{1}^{(n)}+\cdots +u_{n}y_{n}^{(n)}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

원래 방정식 $y$ 와 그 도함수를 이들 표현으로 대체하고, $y 1, ..., y n$ 이 원래 동차 방정식의 해라는 사실을 사용하여, 다음을 얻습니다: $f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.$

이 방정식과 왼쪽 변으로 영을 갖는 위의 방정식은 그 계수가 알려진 함수 ( $f$ , 및 $y i$ , 및 그것들의 도함수)인 $u' 1, ..., u' n$ 에서 $n$ 개의 선형 방정식의 시스템을 형성합니다. 이 시스템은 임의의 선형 대수(linear algebra)의 방법으로 풀 수 있습니다. 역도함수(antiderivatives)의 계산은 $u 1, ..., u n$ 을 제공하고, 그런-다음 $y = u 1 y 1 + \dots + u n y n$ 를 제공합니다.

역도함수는 상수의 덧셈까지 정의되므로, 비-동차 방정식의 일반 해는 임의적인 해와 결합된 동차 방정식의 일반 해의 합임을 다시 한 번 알 수 있습니다.

First-order equation with variable coefficients

차수 1의 선형 보통의 미분 방정식의 일반 형식은, $y'(x)$ 의 계수를 나눈 후, 다음과 같습니다: $y'(x)=f(x)y(x)+g(x).$

만약 방정식이 동차, 즉, $g (x) = 0$ 이면, 다음과 같이 다시 쓸 수 있고 적분할 수 있습니다: ${\frac {y'}{y}}=f,\qquad \log y=k+F,$ 여기서 $k$ 는 임의적인 적분의 상수(constant of integration)이고 $F=\textstyle \int f\,dx$ 는 $f$ 의 임의의 역도함수(antiderivative)입니다. 따라서, 동차 방정식의 일반 해는 다음과 같습니다: $y=ce^{F},$ 여기서 $c = e k$ 는 임의적인 상수입니다.

일반 비-동차 방정식에 대해, 동차 방정식 해의 역수(reciprocal) $e - F$ 를 곱할 수 있습니다.^[2] 이것은 다음을 제공합니다: $y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}.$ $-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right)$ 이기 때문에, 곱 규칙(product rule)은 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있게 합니다: ${\frac {d}{dx}}\left(ye^{-F}\right)=ge^{-F}.$ 따라서, 일반 해는 다음과 같습니다: $y=ce^{F}+e^{F}\int ge^{-F}dx,$ 여기서 $c$ 는 적분의 상수이고, $F$ 는 $f$ 의 임의의 역도함수입니다 (역도함수의 변경은 적분의 상수를 변경하게 됩니다).

Example

다음 방정식을 풉니다 $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.$ 결합된 동차 방정식 $y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0$ 은 다음을 제공합니다: ${\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},$ 즉, $y={\frac {c}{x}}.$

원래 방정식을 이러한 해 중 하나로 나누는 것은 다음을 제공합니다: $xy'+y=3x^{2}.$ 즉 $(xy)'=3x^{2},$ $xy=x^{3}+c,$ 그리고 $y(x)=x^{2}+c/x.$ 다음 초기 조건에 대해 $y(1)=\alpha ,$ 다음과 같은 특정 해를 얻습니다: $y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}.$

System of linear differential equations

선형 미분 방정식의 시스템은 여러 미지 함수를 포함하는 여러 선형 미분 방정식으로 구성됩니다. 일반적으로 연구를 미지 함수의 개수가 방정식의 개수와 같음을 만족하는 시스템으로 제한됩니다.

임의적인 선형 보통의 미분 방정식과 그러한 방정식의 시스템은 가장 높은 차수 도함수를 제외한 모든 변수를 더함으로써 선형 미분 방정식의 일차 시스템으로 변환될 수 있습니다. 즉, 만약 $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ 가 방정식에 나타나면 방정식 $y'=y_{1}$ 와 $i = 1, ..., k - 1$ 에 대해 $y_{i}'=y_{i+1}$ 을 만족시켜야 하는 새로운 미지 함수 $y_{1},\ldots ,y_{k}$ 로 대체할 수 있습니다.

$n$ 개의 미지 함수와 $n$ 개의 미분 방정식을 가지는 일차 선형 시스템은 통상적으로 미지 함수의 도함수에 대해 풀릴 수 있습니다. 만약 그것이 그 경우가 아니면, 이것은 미분-대수적 시스템(differential-algebraic system)이고, 이것은 다른 이론입니다. 그러므로, 여기에서 고려되는 시스템은 다음과 같은 형식을 가집니다: ${\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\\[1ex]&\;\;\vdots \\[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}}$ 여기서 $b_{n}$ 과 $a_{i,j}$ 는 $x$ 의 함수입니다. 행렬 표기법에서, 이 시스템은 다음과 같이 쓸 수 있습니다 (" $(x)$ "를 생략함) $\mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .$

푸는 방법은 단일 일차 선형 미분 방정식의 푸는 방법과 유사하지만, 행렬 곱셈의 비교환성으로 인해 복잡해집니다.

다음을 $\mathbf {u} '=A\mathbf {u} .$ 위의 행렬 방정식과 결합된 동차 방정식이라고 놓습니다. 그것의 해는 차원 $n$ 의 벡터 공간(vector space)을 형성하고, 따라서 함수 $U(x)$ 의 정사각 행렬(square matrix)의 열이며, 그의 행렬식(determinant)은 영 함수가 아닙니다. 만약 $n = 1$ , 또는 $A$ 가 상수의 행렬, 또는 더 일반적으로, $A$ 가 역도함수(antiderivative) $\textstyle B=\int Adx$ 로 교환하면, $U$ 를 $B$ 의 지수(exponential)와 같도록 선택할 수 있습니다. 사실, 이들 경우에서, 다음을 가집니다: ${\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B).$ 일반적인 경우에서, 동차 방정식에 대한 닫힌-형식 해가 없고, 수치적 방법(numerical method)이나 매그너스 확장(Magnus expansion)와 같은 근사 방법을 사용해야 합니다.

행렬 $U$ 를 알면, 비-동차 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다: $\mathbf {y} (x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b} (x)\,dx,$ 여기서 열 행렬 $\mathbf {y_{0}}$ 는 임의적인 적분의 상수(constant of integration)입니다.

만약 초기 조건이 다음과 같이 주어지면 $\mathbf {y} (x_{0})=\mathbf {y} _{0},$ 이들 초기 조건을 만족시키는 해는 다음과 같습니다: $\mathbf {y} (x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int _{x_{0}}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b} (t)\,dt.$

Higher order with variable coefficients

변하는 계수를 갖는 일차의 선형 보통의 방정식은 구적법(quadrature)으로 풀 수 있으며, 이는 해가 적분(integrals)의 관점에서 표현될 수 있음을 의미합니다. 이것은 차수 적어도 2에 대한 경우는 아닙니다. 이것은 에밀 피카르(Émile Picard)와 에르네스트 베시오(Ernest Vessiot)에 의해 시작되었던 피카르–베시오 이론(Picard–Vessiot theory)의 주요 결과이고, 그것의 최근 발전된 것은 미분 갈루아 이론(differential Galois theory)이라고 불립니다.

구적법으로 풀 수 없다는 것은 아벨-루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)와 비교될 수 있으며, 이 정리는 일반적으로 차수 적어도 5의 대수적 방정식(algebraic equation)은 제곱근으로 풀 수 없다고 말합니다. 이 유추는 증명 방법으로 확장되거 미분 갈루아 이론(differential Galois theory)의 명칭에 동기를 부여합니다.

대수적 경우와 유사하게, 이 이론은 어떤 방정식이 구적법으로 풀릴 수 있는지 결정하고, 가능한 경우 풀 수 있도록 합니다. 어쨌든, 두 이론 모두에 대해, 가장 강력한 컴퓨터를 사용해도 필요한 계산이 매우 어렵습니다.

그럼에도 불구하고, 유리수 계수를 갖는 차수 2의 경우는 코바치치의 알고리듬(Kovacic's algorithm)으로 완전하게 해결되었습니다.

Cauchy–Euler equation

코시–오일러 방정식(Cauchy–Euler equations)은 명시적으로 풀 수 있는 변하는 계수를 갖는 임의의 차수의 방정식의 예제입니다. 이것들은 다음 형식의 방정식입니다: $x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,$ 여기서 $a_{0},\ldots ,a_{n-1}$ 는 상수 계수입니다.

Holonomic functions

홀로노믹 함수(holonomic function)는, D-유한 함수(D-finite function)라고도 불리며, 다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해인 함수입니다.

수학에서 공통적으로 고려되는 대부분의 함수는 홀로노믹 또는 홀로노믹 함수의 몫입니다. 실제로, 홀로노믹 함수는 다항식, 대수적 함수, 로그, 지수 함수, 사인, 코사인, 쌍곡 사인, 쌍곡 코사인, 역 삼각함수, 역 쌍곡 함수, 및 베셀 함수, 초기하 함수와 같은 많은 특수 함수를 포함합니다.

홀로노믹 함수는 여러 클로저 속성(closure properties)을 가집니다; 특히, 홀로노믹 함수의 합, 곱, 도함수(derivative), 및 적분(integrals)은 홀로노믹합니다. 더욱이, 이들 클로저 속성은 입력의 미분 방정식을 알고 이들 연산 중 임의의 것의 결과의 미분 방정식을 계산하기 위한 알고리듬(algorithms)이 있다는 점에서 효과적입니다.^[3]

홀로노믹 함수의 개념의 유용성은 다음과 같은 Zeilberger 정리의 결과입니다.^[3]

홀로노믹 수열(holonomic sequence)은 다항식 계수와의 재귀 관계(recurrence relation)에 의해 생성될 수 있는 숫자의 수열입니다. 홀로노믹 함수의 한 점에서 테일러 급수(Taylor series)의 계수는 홀로노믹 수열을 형성합니다. 반대로, 거듭제곱 급수(power series)의 계수의 수열이 홀로노믹이면, 급수는 홀로노믹 함수를 정의합니다 (심지어 수렴의 반지름이 0인 경우에도). 미분 방정식에서 재귀 관계를 계산하거나 그 반대로 계산하기 위한 두 가지 변환을 위한 효율적인 알고리듬이 있습니다.^[3]

따라서 미분 방정식과 초기 조건을 정의함으로써 홀로노믹 함수를 (컴퓨터에서) 나타내면, 대부분의 미적분 연산은 도함수, 부정 적분과 정적분, (계수에 대한 재귀 관계 덕분에) 테일러 급수의 빠른 계산, 근사 오차의 인증된 경계를 갖는 높은 정밀도로 계산, 극한, 특이점(singularities)의 지역화, 무한대와 거의 특이점에서의 점근적 행동(asymptotic behavior), 항등식의 증명, 등과 같은 이들 함수에서 자동으로 수행될 수 있습니다,^[4]

References

^ Gershenfeld 1999, p.9
^ Motivation: In analogy to completing the square technique we write the equation as $y' - fy = g$ , and try to modify the left side so it becomes a derivative. Specifically, we seek an "integrating factor" $h = h (x)$ such that multiplying by it makes the left side equal to the derivative of $hy$ , namely $hy' - hfy = (hy)'$ . This means $h' = - f$ , so that $h = e -\int f dx = e - F$ , as in the text.
^ ^a ^b ^c Zeilberger, Doron. A holonomic systems approach to special functions identities. Journal of computational and applied mathematics. 32.3 (1990): 321-368
^ Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M., & Salvy, B. (2010, September). The dynamic dictionary of mathematical functions (DDMF). In International Congress on Mathematical Software (pp. 35-41). Springer, Berlin, Heidelberg.

Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

External links

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
Dynamic Dictionary of Mathematical Function. Automatic and interactive study of many holonomic functions.

[1] Gershenfeld 1999, p.9

[2] Motivation: In analogy to completing the square technique we write the equation as $y' - fy = g$ , and try to modify the left side so it becomes a derivative. Specifically, we seek an "integrating factor" $h = h (x)$ such that multiplying by it makes the left side equal to the derivative of $hy$ , namely $hy' - hfy = (hy)'$ . This means $h' = - f$ , so that $h = e -\int f dx = e - F$ , as in the text.

[zeilberger-3] Zeilberger, Doron. A holonomic systems approach to special functions identities. Journal of computational and applied mathematics. 32.3 (1990): 321-368

[4] Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezzarobba, M., & Salvy, B. (2010, September). The dynamic dictionary of mathematical functions (DDMF). In International Congress on Mathematical Software (pp. 35-41). Springer, Berlin, Heidelberg.

[1]

[2]

[3]

[4]