Plane curve

수학(mathematics)에서, 평면 곡선(plane curve)은 유클리드 평면(Euclidean plane), 아핀 평면(affine plane) 또는 투영 평면(projective plane)일 수 있는 평면(plane) 안의 곡선(curve)입니다. 가장 자주 연구된 경우는 (조각별(piecewise) 매끄러운 평면 곡선을 포함하여) 매끄러운 평면 곡선들 및 대수적 평면 곡선(algebraic plane curve)입니다. 평면 곡선은 역시 조르당 곡선(Jordan curve) (평면의 영역을 둘러싸지만 매끄러울 필요는 없는 곡선)과 연속 함수의 그래프(graphs of continuous function)를 포함합니다.

Symbolic representation

평면 곡선은 종종 일부 특정 함수 f에 대해 형식 $f(x,y)=0$ 의 암시적 방정식(implicit equation)에 의해 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서 표현될 수 있습니다. 만약 이 방정식이 y 또는 x에 대해 명시적으로 풀릴 수 있으면 – 즉, 특정 함수 g 또는 h에 대해 $y=g(x)$ 또는 $x=h(y)$ 로 다시 쓸 수 있으면, 이것이 표현의 대안적인, 명시적, 형식을 제공합니다. 평면 곡선은 역시 특정 함수 $x(t)$ 와 $y(t)$ 에 대해 형식 $(x,y)=(x(t),y(t))$ 의 매개변수 방정식(parametric equation)에 의해 데카르트 좌표에서 표현될 수 있습니다.

평면 곡선은 때때로 역시 각도와 원점으로부터의 거리의 관점에서 각 점의 위치를 나타내는 극 좌표(polar coordinates)와 같은 대안적인 좌표 시스템(coordinate system)에서 표시될 수 있습니다.

Smooth plane curve

매끄러운 평면 곡선은 실수(real) 유클리드 평면 R²의 곡선이고 일-차원 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)입니다. 이것은 매끄러운 평면 곡선은 모든 각 점 근처에서, 그것이 매끄러운 함수(smooth function)에 의해 직선에 매핑될 수 있다는 의미에서 "지역적으로 직선(line)처럼 보이는" 평면 곡선입니다. 동등하게, 매끄러운 평면 곡선은 방정식 f(x, y) = 0으로 지역적으로 주어질 수 있으며, 여기서 f : R² → R은 매끄러운 함수(smooth function)이고, 부분 도함수(partial derivative) ∂f/∂x와 ∂f/∂y는 곡선의 한 점에서 결코 둘 다 0이 아닙니다.

Algebraic plane curve

대수적 평면 곡선(algebraic plane curve)은 하나의 다항 방정식 f(x, y) = 0 (또는 F(x, y, z) = 0, 여기서 F는 사영 경우에서 동차 다항식(homogeneous polynomial))에 의해 주어진 아핀(affine) 또는 투영 평면(projective plane)에서 곡선입니다.)

대수적 곡선은 18세기 이래로 널리 연구되어 왔습니다.

모든 각 대수적 평면 곡선은 차수, 정의하는 방정식의 차수(degree)를 가지며, 이것은, 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)의 경우에서, 일반 위치(general position)에서 직선과 곡선의 교차의 개수와 같습니다. 예를 들어, 방정식 x² + y² = 1에 의해 주어진 원은 차수 2를 가집니다.

차수 2의 비-특이(non-singular) 평면 대수적 곡선은 원뿔 단면(conic section)이라고 불리고, 그것들의 투영 완성(projective completion)은 원 x² + y² = 1 (즉, 방정식 x² + y² – z²= 0의 투영 곡선)의 투영 완성과 모두 동형(isomorphic)입니다. 차수 3의 평면 곡선은 삼차 평면 곡선(cubic plane curve)이라고 불리고, 만약 그것들이 비-특이이면, 타원형 곡선(elliptic curve)입니다. 차수 4의 그것들은 사차 평면 곡선(quartic plane curve)이라고 불립니다.

Examples

평면 곡선의 수많은 예제는 곡선의 갤러리(Gallery of curves)에 표시되고 곡선의 목록(List of curves)에 나열됩니다. 차수 1 또는 2의 대수적 곡선은 여기에 표시됩니다 (3보다 작은 차수의 대수적 곡선은 항상 평면에 포함됩니다):

Name	암시적 방정식	매개변수 방정식	함수
직선	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)$	$y=mx+c$
원	$x^{2}+y^{2}=r^{2}$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
포물선	$y-x^{2}=0$	$(x,y)=(t,t^{2})$	$y=x^{2}$
타원	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
쌍곡선	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

References

Coolidge, J. L. (April 28, 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5.

External links

Weisstein, Eric W. "Plane Curve". MathWorld.