Point at infinity
기하학(geometry)에서, 무한대에서 점(point at infinity) 또는 아이디얼 점(ideal point)은 각 직선의 "끝"에 있는 이상화된 극한하는 점입니다.
아핀 평면(affine plane) (유클리드 평면 포함)의 경우에서, 평면의 평행 직선의 각 연필(pencil)에 대해 하나의 아이디얼 점이 있습니다. 이들 점을 인접하는 것은, 만약 우리가 어떤 점이 더해졌는지 "잊어버리면" 점이 구별될 수 없는 투영 평면(projective plane)을 생성합니다. 이것은 임의의 필드에 걸친 기하학과, 더 일반적으로 임의의 분할 링(division ring)에 걸쳐 유지됩니다.[1]
실수 경우에서, 무한대에서 점은 직선을 토폴로지적으로 닫힌 곡선으로 완성합니다. 더 높은 차원에서, 무한대에서 모든 점은 그것들이 속한 전체 투영 공간의 차원보다 한 차원 작은 투영 부분공간을 형성합니다. 무한대에서 점은 복소 직선(complex line) (복소 평면으로 생각될 수 있음)에 추가될 수 있으며, 이에 따라 그것을 복소 투영 직선, CP1으로 알려진 닫힌 표면으로 전환되며, (복소수가 각 점에 매핑될 때) 리만 구(Riemann sphere)라고도 불립니다.
쌍곡 공간(hyperbolic space)의 경우에서, 각 직선은 두 개의 구별되는 아이디얼 점(ideal points)을 가집니다. 여기서, 아이디얼 점의 집합은 이차-초곡면(quadric)의 형식을 취합니다.
Affine geometry
더 높은 차원의 아핀(affine) 또는 유클리드 공간(Euclidean space)에서, 무한대에서 점은 투영 완비(projective completion)를 얻기 위해 공간에 추가되는 점입니다. 무한대에서 점의 집합은 공간의 차원에 따라 무한대에서 직선(line at infinity), 무한대에서 평면(plane at infinity) 또는 무한대에서 초평면(hyperplane at infinity), 모든 경우에서 일 적은 차원의 투영 공간이라고 불립니다.
필드에 걸쳐 투영 공간은 매끄러운 대수적 다양체(smooth algebraic variety)이므로, 같은 것은 무한대에서 점 집합에 대해서도 참입니다. 유사하게, 바닥 필드가 실수 필드이거나 복소수 필드이면, 무한대에서 점 집합은 매니폴드(manifold)입니다.
Perspective
예술적 그림과 기술적 관점에서, 평행 직선의 클래스의 무한대에서 점의 그림 평면 위에 투영은 그것들의 사라지는 점(vanishing point)이라고 불립니다.
Hyperbolic geometry
쌍곡 기하학(hyperbolic geometry)에서, 무한대에서 점은 전형적으로 아이디얼 점(ideal points)이라고 이름-짓습니다. 유클리드(Euclidean) 기하학과 타원(elliptic) 기하학과 달리, 각 직선은 무한대에서 두 개의 점을 가집니다; 직선 l과 l 위에 있지 않은 점 P가 주어지면, 오른쪽- 및 왼쪽-극한하는 평행(limiting parallels)은 무한대에서 다른 점으로 점근적(asymptotically)으로 수렴(converge)합니다.
무한대에서 모든 점은 함께 쌍곡 평면(hyperbolic plane)의 케일리 절대(Cayley absolute) 또는 경계를 형성합니다.
Projective geometry
점과 직선의 대칭은 투영 평면에서 발생합니다: 한 쌍의 점이 하나의 직선을 결정하는 것처럼, 한 쌍의 직선이 하나의 점을 결정합니다. 평행 직선의 존재는 이들 평행 직선의 교차점을 나타내는 무한대에서 점을 설립하도록 이어집니다. 이 공리적 대칭은 평행 투영(parallel projection)이 중심 C가 무한대에서 점 또는 비유적인 점(figurative point)인 중심 투영(central projection)으로 발생하는 그래픽 원근(graphical perspective)의 연구에서 비롯되었습니다.[2] 점과 직선의 공리적 대칭은 이중성(duality)이라고 불립니다.
무한대에서 점은 투영 범위(projective range)의 임의의 다른 점과 하나의 동등 위에 고려되지만, 투영 좌표(projective coordinates)를 갖는 점의 표시에서, 구별이 주목됩니다: 유한 점은 최종 좌표에서 1로 표시되는 반면 무한대에서 점은 그곳에서 0을 가집니다. 무한대에서 점을 나타내야 하는 필요성은 유한 점 공간을 넘어 하나의 여분의 좌표가 필요하다는 것을 요구합니다.
Other generalisations
이 구성은 토폴로지적 공간(topological spaces)으로 일반화될 수 있습니다. 주어진 공간에 대해 다른 컴팩트화가 존재할 수 있지만, 임의적인 토폴로지적 공간은 원래 공간은 자체로 컴팩트가 아닐 때 한-점 컴팩트화(compactification)라고도 불리는 알렉산드로프 확장(Alexandroff extension)을 허용합니다. (임의적인 필드에 걸쳐) 투영 직선은 해당 필드의 알렉산드로프 확장입니다. 따라서 원은 실수 직선의 한-점 컴팩트화이고, 구는 평면의 한-점 컴팩트화입니다. n > 1에 대해 투영 공간 Pn은 § Affine geometry에서 위에서 언급한 이유로 해당 아핀 공간의 한-점 컴팩트화가 아니고, 아이디얼 점을 갖는 쌍곡 공간의 완비도 한-점 컴팩트화가 아닙니다.
See also
References
- ^ Weisstein, Eric W. "Point at Infinity". mathworld.wolfram.com. Wolfram Research. Retrieved 28 December 2016.
- ^ G. B. Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry, page 7