Asymptote

Original article: w:Asymptote

"Asymptotic" redirects here. It is not to be confused with Asymptomatic. For other uses, see Asymptote (disambiguation).

The graph of a function with a horizontal (y = 0), vertical (x = 0), and oblique asymptote (purple line, given by y = 2x).

A curve intersecting an asymptote infinitely many times.

해석적 기하학(analytic geometry)에서, 곡선(curve)의 점근선(asymptote) (/ˈæsɪmptoʊt/)은 x 또는 y 좌표 중 하나 또는 둘 다가 무한대로 경향(tends to infinity)일 때 곡선과 직선 사이의 거리가 영에 접근하는 직선입니다. 투영적 기하학(projective geometry) 및 관련된 문맥에서, 곡선의 점근선은 무한대에서 점(point at infinity)에서 곡선에 접하는(tangent) 직선입니다.

단어 asymptote는 그리스어(Greek) ἀσύμπτωτος (asumptōtos)에서 유래된 것이며, 이것은 ἀ 부정(priv.) + σύν "함께(together)" + πτωτ-ός "떨어짐(fallen)"으로부터, "함께 떨어지지 않는 것"을 의미입니다. 그 용어는 원뿔 단면(conic sections)에 대한 그의 연구에서 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)에 의해 도입되었지만, 그것의 현대 의미와는 달리, 그는 주어진 곡선과 교차하지 않는 직선을 의미하기 위해 그것을 사용했습니다.

점근선에는 세 가지 종류: 수평(horizontal), 수직(vertical) 및 경사(oblique) 점근선이 있습니다. 함수 y = ƒ(x)의 그래프에 의해 주어진 곡선에 대해, 수평 점근선은 x가 +∞ 또는 −∞로 경향일 때 함수의 그래프가 접근하는 수평 직선입니다. 수직 점근선은 함수가 경계없이 커져서 접근하는 수직 직선입니다. 경사 점근선은, 함수의 그래프는, x가 +∞ 또는 −∞로 경향일 때, 그것에 접근하는, 비-영이지만 유한한 기울기를 가집니다.

보다 일반적으로, 비록 그 자체로 용어 점근선이 보통 선형 점근선에 대해 예약되어 있을지라도, 하나의 곡선이, 만약 두 곡선이 무한대로 경향일 때, 두 곡선 사이의 거리가 영으로 경향이면, 또 다른 곡선의 (선형 점근선과 반대로) 곡선의 점근선(curvilinear asymptote)입니다.

점근선은 큰 것에서 곡선의 행동에 대한 정보를 전달하고, 함수의 점근선을 결정하는 것은 그의 그래프의 개형을 그리는 중요한 단계입니다. 광범위한 의미로 해석된, 함수의 점근선의 연구는 점근적 해석학(asymptotic analysis)의 주제의 일부를 형성합니다.

Introduction

$f(x)={\tfrac {1}{x}}$ graphed on Cartesian coordinates. The x and y-axes are the asymptotes.

곡선이 실제로 같게 되는 것없이 직선에 임의적으로 접근할 수 있다는 아이디어는 실생활의 경험에 반하는 것처럼 보일 수 있습니다. 종이의 부분 위에 마크 또는 컴퓨터 화면 위에 픽셀로 직선과 곡선의 표현은 양의 너비를 가집니다. 그래서 만약 그들이 충분히 멀리 연장되어지면, 적어도 눈이 식별할 수 있는 한 그들은 합쳐지는 것처럼 보일 것입니다. 그러나 이것들은 대응하는 수학적 실체의 물리적 표현입니다; 직선과 곡선은 그의 너비가 0인 이상적인 개념입니다 (직선(Line)을 참조하십시오). 그러므로, 점근선의 아이디어의 이해는 경험보다는 이성의 노력이 필요합니다.

오른쪽에 보인 함수 $f(x)={\frac {1}{x}}$의 그래프를 생각해 보십시오. 곡선 위의 점의 좌표는 형식 $\left(x,{\frac {1}{x}}\right)$의 것이며, 여기서 x는 0 이외의 숫자입니다. 예를 들어, 그래프는 점 (1, 1), (2, 0.5), (5, 0.2), (10, 0.1), …를 포함합니다. $x$의 값이 더 커져 질수록, 말하자면 100, 1,000, 10,000 …, 그림의 오른쪽에 멀리 그들을 놓으면, $y$의 대응하는 값, .01, .001, .0001, …은 표시된 스케일에 상대적으로 무한소가 됩니다. 그러나 $x$가 아무리 커게 되더라도, 그의 역 ${\frac {1}{x}}$는 절대 0이 아니므로, 곡선이 실제로 x-축에 절대 닿지 않습니다. 비슷하게, $x$의 값이 점점 더 작아져 갈 때, 말하자면 .01, .001, .0001, …, 표시된 스케일에 상대적으로 무한소로 그들을 만들면, $y$의 대응하는 값, 100, 1,000, 10,000 …은 점점 더 커집니다. 그래서 곡선은, 그것이 y-축에 점점 더 가까워 질 때, 위쪽으로 점점 더 멀어집니다. 따라서, x 및 y-축 둘 다는 곡선의 점근선입니다. 이들 아이디어는 수학에서 극한(limit)의 개념의 기초의 일부이고, 이 연결은 아래에서 더 자세히 설명됩니다.

Asymptotes of functions

미적분학(calculus)의 연구에서 가장 공통적으로 마주치는 점근선은 형식 y = ƒ(x)의 곡선의 것입니다. 이들은 극한(limits)을 사용하여 계산될 수 있고 그들의 방향에 따라 수평, 수직, 및 경사 점근선으로 분류됩니다. 수평 점근선은 함수의 그래프가 x가 +∞ 또는 −∞로 경향일 때 접근하는 수평 직선입니다. 이름에서 알 수 있듯이, 그들은 x-축과 평행합니다. 수직 점근선은 함수가 경계없이 증가하는 수직 직선 (x-축에 직각)으로 다가갑니다. 경사 점근선은 곡선과 직선 사이의 차이가 x가 +∞ 또는 −∞로 경향일 때 0에 접근하는 대각 직선입니다.

Vertical asymptotes

직선 x = a는 만약 다음 명제의 적어도 하나가 참이면 함수 y = ƒ(x)의 그래프의 수직 점근선입니다:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty ,$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,$

여기서 $\lim _{x\to a^{-}}$는 왼쪽으로부터 (더 작은 값으로부터) 값 a에 접근할 때 극한이고, $\lim _{x\to a^{+}}$는 x가 오른쪽으로부터 a에 접근할 때 극한입니다.

예를 들어, 만약 ƒ(x) = x/(x–1)이면, 분자는 1에 접근하고 분모는 x가 1에 접근할 때 0에 접근합니다. 그래서

$\lim _{x\to 1^{+}}{\frac {x}{x-1}}=+\infty$

$\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {x}{x-1}}=-\infty$

및 곡선은 수직 점근선 x=1을 가집니다.

함수 ƒ(x)는 a에서 정의되거나 정의되지 않을 수 있고, 점 x = a에서 그의 정확한 값은 점근선에 영향을 미치지 않습니다. 예를 들어, 다음 함수에 대해,

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}&{\text{if }}x>0,\\5&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

은 x → 0⁺일 때 +∞의 극한을 가지며, 비록 ƒ(0) = 5일지라도, ƒ(x)는 수직 점근선 x = 0을 가집니다. 이 함수의 그래프는 (0,5)에서 수직 점근선과 한번 교차합니다. 함수의 그래프가 하나보다 많은 점에서 수직 점근선 (또는 일반적으로 수직 직선)과 교차하는 것은 불가능합니다. 게다가, 만약 함수가 그것이 정의된 각 점에서 연속(continuous)이면, 그의 그래프가 임의의 수직 점근선과 교차하는 것은 불가능합니다.

수직 점근선의 공통 예제는 분모가 0이고 분자가 0이 아닌 것을 만족하는 점 x에서 유리 함수의 경우입니다.

만약 함수가 수직 점근선을 가지면, 함수의 도함수는 같은 위치에서 수직 점근선을 갖는 것은 필연적으로 참이 아닙니다. 예를 들어,

$f(x)={\tfrac {1}{x}}+\sin({\tfrac {1}{x}})\quad$ at $\quad x=0$.

이 함수는 $x=0$에서 수직 점근선을 가지는데, 왜냐하면 다음이기 때문입니다:

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim _{x\to 0^{+}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=+\infty ,$

및

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim _{x\to 0^{-}}\left({\tfrac {1}{x}}+\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right)=-\infty$.

$f$의 도함수는 다음 함수입니다:

$f'(x)={\frac {-(\cos({\tfrac {1}{x}})+1)}{x^{2}}}$.

점의 수열에 대해,

$x_{n}={\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)\pi }},\quad$ for $\quad n=0,1,2,\ldots$

은 왼쪽 및 오른쪽 둘 다로부터 $x=0$에 접근할 때, 값 $f'(x_{n})$은 상수적으로 $0$입니다. 그러므로, $0$에서 $f'$의 한-쪽(one-sided limit) 극한 둘 다는 $+\infty$도 아니고 $-\infty$도 아닙니다. 따라서 $f'(x)$는 $x=0$에서 수직 점근선을 가지지 않습니다.

Horizontal asymptotes

The graph of a function can have two horizontal asymptotes. An example of such a function would be $y=\arctan(x).$

수평 점근선은 함수 그래프가 x → ±∞일 때 접근하는 수평 직선입니다. 수평 직선 y = c는 다음이면 함수 y = ƒ(x)의 수평 점근선입니다:

$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=c$ or $\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=c$.

첫 번째 경우에서, ƒ(x)는 x가 −∞로 경향일 때 점근선으로 y = c를 가지고, 두 번째 경우에서, ƒ(x)는 x가 +∞로 경향일 때 점근선으로 y = c를 가집니다.

예를 들어, 아크탄젠트 함수는 다음을 만족시킵니다:

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\arctan(x)=-{\frac {\pi }{2}}$ 및 $\lim _{x\rightarrow +\infty }\arctan(x)={\frac {\pi }{2}}.$

그래서 직선 y = −π/2은 x가 −∞로 경향일 때 아크탄젠트에 대해 수평 점근선이고 y = π/2는 x가 +∞로 경향일 때 아크탄젠트에 대해 수평 점근선입니다.

함수는 한-쪽 또는 양-쪽에 수평 점근선이 없을 수 있거나, 양-쪽 방향에서 같은 하나의 수평 점근선을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 함수 ƒ(x) = 1/(x²+1)는 x가 −∞ 및 +∞ 둘 다로 경향일 때 y = 0에서 수평 점근선을 가지는데, 왜냐하면, 각각 다음이기 때문입니다:

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}=0.$

Oblique asymptotes

In the graph of $f(x)=x+{\tfrac {1}{x}}$, the y-axis (x = 0) and the line y = x are both asymptotes.

선형 점근선이 x- 또는 y-축에 평행하지 않을 때, 경사 점근선 또는 사선 점근선으로 불립니다. 함수 f(x)는 다음이면 직선 y = mx + n (m ≠ 0)에 대해 점근적입니다:

$\lim _{x\to +\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0\,{\mbox{ or }}\lim _{x\to -\infty }\left[f(x)-(mx+n)\right]=0.$

첫 번째 경우에서 직선 y = mx + n은 x가 +∞로 경향일 때 ƒ(x)의 경사 점근선이고, 두 번째 경우에서 직선 y = mx + n은 x가 −∞로 경향일 때 ƒ(x)의 경사 점근선입니다.

예제는 ƒ(x) = x + 1/x이며, 이것은 경사 점근선 y = x (즉, m = 1, n = 0)을 가지는데 왜냐하면 다음 극한에서 알 수 있기 때문입니다:

$\lim _{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }\left[\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-x\right]$

$=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {1}{x}}=0.$

Elementary methods for identifying asymptotes

많은 기본 함수의 점근선은 (비록 그러한 방법의 도함수는 전형적으로 극한을 사용할지라도) 극한의 명시적 사용없이 구할 수 있습니다.

General computation of oblique asymptotes for functions

함수 f(x)에 대해 경사 점근선은 방정식 y=mx+n에 의해 제공될 수 있습니다. m에 대해 값은 처음 계산되고 다음에 의해 제공됩니다:

$m{\stackrel {\text{def}}{=}}\lim _{x\rightarrow a}f(x)/x$

여기서 a는 연구되는 경우에 따라 $-\infty$ 또는 $+\infty$ 중 하나입니다. 두 경우를 개별적으로 처리하는 것이 좋은 연습입니다. 만약 이 극한이 존재하지 않으면, 해당 방향에서 경사 점근선이 없습니다.

m을 가지면 n에 대해 값은 다음에 의해 계산될 수 있습니다:

$n{\stackrel {\text{def}}{=}}\lim _{x\rightarrow a}(f(x)-mx)$

여기서 a는 전에 사용된 같은 값이어야 합니다. 만약 이 극한이 존재에 실패하면, 심지어 m을 정의하는 극한이 존재하더라도, 해당 방향에서 경사 점근선은 없습니다. 그렇지 않으면, y = mx + n은 x가 a로 경향일 때 ƒ(x)의 경사 점근선입니다.

예를 들어, 함수 ƒ(x) = (2x² + 3x + 1)/x는 다음을 가집니다:

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2$ 및 그런-다음

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3$

그래서 y = 2x + 3는 x가 +∞로 경향일 때 ƒ(x)의 점근선입니다.

함수 ƒ(x) = ln x는 다음을 가집니다:

$m=\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)/x=\lim _{x\rightarrow +\infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$ 및 그런-다음

$n=\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-mx)=\lim _{x\rightarrow +\infty }\ln x$, 이것은 존재하지 않습니다.

그래서 y = ln x는 x가 +∞로 경향일 때 점근선을 가지지 않습니다.

Asymptotes for rational functions

유리 함수(rational function)는 많아야 하나의 수평 점근선 또는 경사 (사선) 점근선, 및 아마도 많은 수직 점근선을 갖습니다.

분자의 차수(degree)와 분모의 차수는 임의의 수평 또는 경사 점근선이 있는지 여부를 결정합니다. 경우는 아래 테이블에 나와 있으며, 여기서 차수(분자)는 분자의 차수이고 차수(분모)는 분모의 차수입니다.

유리 함수에 대해 수평 및 수직 점근선의 경우들

차수(분자)−차수(분모)	일반적인 점근선	예제	예제에 대해 점근선
< 0	$y=0$	$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$	$y=0$
= 0	y = 선행 계수의 비율	$f(x)={\frac {2x^{2}+7}{3x^{2}+x+12}}$	$y={\frac {2}{3}}$
= 1	y = 분모에 의한 분자의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 몫	$f(x)={\frac {2x^{2}+3x+5}{x}}=2x+3+{\frac {5}{x}}$	$y=2x+3$
> 1	none	$f(x)={\frac {2x^{4}}{3x^{2}+1}}$	선형 점근선은 없지만, 곡선의 점근선(curvilinear asymptote)은 존재합니다.

수직 점근선은 오직 분모가 영일 때 발생합니다 (만약 분자와 분모 둘 다가 영이면, 영의 중복도가 비교됩니다). 예를 들어, 다음 함수는 x = 0, 및 x = 1에서 수직 점근선을 갖지만, x = 2에서 수직 점근선을 갖지 않습니다.

$f(x)={\frac {x^{2}-5x+6}{x^{3}-3x^{2}+2x}}={\frac {(x-2)(x-3)}{x(x-1)(x-2)}}$

Oblique asymptotes of rational functions

Black: the graph of $f(x)=(x^{2}+x+1)/(x+1)$. Red: the asymptote $y=x$. Green: difference between the graph and its asymptote for $x=1,2,3,4,5,6$

유리 함수의 분자가 분모보다 정확히 일 큰 차수를 가지면, 함수는 경사 (사선) 점근선을 가집니다. 점근선은 분자와 분모를 나눈(dividing) 후의 다항식 항입니다. 이 현상은 발생하는데 왜냐하면 분수를 나눌 때, 선형 항, 및 나머지가 있을 것이기 때문입니다. 예를 들어, 오른쪽에 보이는 것처럼, 다음 함수를 생각해 보십시오:

$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}$.

x의 값이 증가할 때, f는 점근선 y = x에 접근합니다. 이것은 다른 항, 1/(x+1)이 0에 접근하기 때문입니다.

만약 분자의 차수가 분모의 차수보다 2이상 더 크고, 분모가 분모를 나누지 않으면, x가 증가할 때 영으로 가는 비-영 나머지가 있을 것이지만, 몫은 선형이 아닐 것이고, 함수는 경사 점근선을 가지지 않습니다.

Transformations of known functions

만약 알려진 함수가 (y=0 또는 f(x)=e^x와 같은) 점근선을 가지면, 그것의 평행-이동은 역시 점근선을 가집니다.

• 만약 x=a가 f(x)의 수직 점근선이면, x=a+h는 f(x-h)의 수직 점근선입니다.
• 만약 y=c가 f(x)의 수평 점근선이면, y=c+k는 f(x)+k의 수평 점근선입니다.

만약 알려진 함수가 점근선을 가지면, 함수의 스케일링(scaling)은 역시 점근선을 가집니다.

• 만약 y=ax+b가 f(x)의 점근선이면, y=cax+cb는 cf(x)의 점근선입니다. 예를 들어, f(x)=e^x-1+2는 수평 점근선 y=0+2=2를 가지고, 수직 또는 경사 점근선을 가지지 않습니다.

General definition

(sec(t), cosec(t)), or x² + y² = (xy)², with 2 horizontal and 2 vertical asymptotes.

A : (a,b) → R²를 좌표 A(t) = (x(t),y(t))에서, 매개-변수의(parametric) 평면 곡선으로 놓습니다. 곡선이 무한대로 경향인 것, 즉 다음으로 가정합니다:

$\lim _{t\rightarrow b}(x^{2}(t)+y^{2}(t))=\infty .$

직선 ℓ은 만약 점 A(t)에서 ℓ까지의 거리가 t → b일 때 영으로 경향이면 A의 점근선입니다. 정의로부터, 일부 무한 가지를 가진 오직 열린 곡선은 점근선을 가질 수 있습니다. 닫힌 곡선은 점근선을 가질 수 없습니다.

예를 들어, 곡선 y = 1/x의 위의 오른쪽 가지는 x = t, y = 1/t (여기서 t > 0)로 매개-변수적으로 정의될 수 있습니다. 먼저 t → ∞일 때 x → ∞이고 곡선에서 x-축까지 거리는 1/t이며 t → ∞일 때 0으로 접근합니다. 그러므로, x-축은 곡선의 점근선입니다. 역시, 오른쪽으로부터 t → 0일 때 y → ∞이고, 곡선과 y-축 사이의 거리는 t이며 t → 0일 때 0으로 접근합니다. 그래서, y-축은 역시 점근선입니다. 비슷한 논증은 곡선의 아래의 왼쪽 가지는 점근선과 같은 두 직선을 역시 가짐을 보입니다.

비록 정의가 여기서 곡선의 매개-변수화를 사용할지라도, 점근선의 개념은 매개-변수화에 의존하지 않습니다. 실제로, 만약 직선의 방정식이 $ax+by+c=0$이면 점 A(t) = (x(t),y(t))에서 직선까지의 거리는 다음에 의해 제공됩니다:

${\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

만약 γ(t)가 매개-변수화의 변경이면 거리는 다음이 됩니다:

${\frac {|ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

이것은 이전 표현과 동시에 영으로 경향이 있습니다.

특별한 경우는 곡선이 실수 함수(real function) (하나의 실수 변수와 실수 값을 반환하는 함수)의 그래프(graph)일 때입니다. 함수 y = ƒ(x)의 그래프는 좌표가 (x,ƒ(x))를 갖는 평면의 점의 집합입니다. 이것에 대해, 매개-변수화는 다음입니다:

$t\mapsto (t,f(t)).$

이 매개-변수화는 열린 구간 (a, b)에 걸쳐 고려되어지며, 여기서 a는 −∞이고 b는 +∞일 수 있습니다.

점근선은 수직 또는 비-수직 (경사 또는 수평)일 수 있습니다. 첫 번째 경우에서, 그의 방정식은, 일부 실수 c에 대해, x = c입니다. 비-수직 경우는 방정식 y = mx + n을 가지며, 여기서 m과 n은 실수입니다. 점근선의 모든 세 유형은 특정 예제에서 동시에 존재할 수 있습니다. 함수 그래프인 곡선에 대해 점근선과 달리, 일반적인 곡선은 두 비-수직 점근선보다 많이 가질 수 있고, 한 번보다 많이 수직 점근선을 교차할 수 있습니다.

Curvilinear asymptotes

x²+2x+3 is a parabolic asymptote to (x³+2x²+3x+4)/x

A : (a,b) → R²를 좌표 A(t) = (x(t),y(t))에서 매개-변수의 평면 곡선으로 놓고, B를 또 다른 (비-매개변수화된) 곡선으로 놓습니다. 이전처럼, 곡선 A가 무한대로 경향이 있다고 가정합니다. 곡선 B는 만약 점 A(t)에서 B 위의 점까지 최단 거리가 t → b일 때 0로 경향이 있으면 A의 곡선의 점근선입니다. 때때로 B는, 선형 점근선과 혼동할 위험이 없을 때, 단순히 A의 점근선으로 참조됩니다.

예를 들어, 다음 함수

$y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}$

는 곡선의 점근선 y = x² + 2x + 3을 가지며, 이것은 포물형 점근선으로 알려져 있는데 왜냐하면 그것은 직선이 아니라 포물선(parabola)이기 때문입니다.

Asymptotes and curve sketching

점근선은 곡선 개형-그리기(curve sketching)의 절차에서 사용됩니다. 점근선은 무한대를 향한 곡선의 동작을 보여기 위한 안내선 역할을 합니다. 곡선의 근사를 더 잘 얻기 위해, 곡선의 점근선은, 비록 용어 점근적 곡선(asymptotic curve)이 더 선호되는 것처럼 보일지라도, 역시 사용되어 왔습니다.

Algebraic curves

A cubic curve, the folium of Descartes (solid) with a single real asymptote (dashed).

아핀 평면(affine plane)에서 대수적 곡선(algebraic curve)의 점근선은 무한대에서 점(point at infinity)을 통해 투영된 곡선(projectivized curve)에 접하는 직선입니다. 예를 들어, 우리는 이 방식으로 단위 쌍곡선에 대한 점근선을 식별할 수 있습니다. 점근선은, 비록 그들이 임의의 필드(field)에 걸친 곡선에 대해 이 방법으로 정의될 때 역시 의미가 있을지라도, 종종 실수 곡선에 대해 오직 고려됩니다.

차수 n의 평면 곡선은, 베주의 정리(Bézout's theorem)에 의해, 많아야 n−2 다른 점에서 그의 점근선과 교차하는데, 왜냐하면 무한대에서 교차점은 적어도 이의 중복도이기 때문입니다. 원뿔형(conic)에 대해, 임의의 복소 점에서 원뿔형과 교차하지 않은 한 쌍의 직선이 있습니다: 이들은 원뿔형의 두 점근선입니다.

평면 대수적 곡선은 형식 P(x,y) = 0의 방정식에 의해 정의되며, 여기서 P는 차수 n의 다음 다항식입니다:

$P(x,y)=P_{n}(x,y)+P_{n-1}(x,y)+\cdots +P_{1}(x,y)+P_{0}$

여기서 P_k는 차수 k의 동차(homogeneous)입니다. 가장-높은 항 P_n의 선형 인수의 사라짐은 곡선의 점근선을 정의합니다: Q = P_n를 설정하여, 만약 P_n(x, y) = (ax − by) Q_n−1(x, y)이면, 직선

$Q'_{x}(b,a)x+Q'_{y}(b,a)y+P_{n-1}(b,a)=0$

은 만약 $Q'_{x}(b,a)$이면 점근선이고 $Q'_{y}(b,a)$는 둘 다 영이 아닙니다. 만약 $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=0$ 및 $P_{n-1}(b,a)\neq 0$이면, 점근선이 없지만, 곡선은 포물선의 가지처럼 보이는 가지를 가집니다. 그러한 가지는, 심지어 그것이 곡선의 점근선인 임의의 포물선을 가지지 않을 때에도, 포물형 가지로 불립니다. 만약 $Q'_{x}(b,a)=Q'_{y}(b,a)=P_{n-1}(b,a)=0$이면, 곡선은 무한대에 단 하나의 점을 가지며 이것은 여러 점근선 또는 포물형 가지를 가질 수 있습니다.

복소수에 걸쳐, P_n은 선형 인수로 분할되며, 그것의 각각이 점근선 (또는 중복 인수에 대해 여러 점근선)을 정의합니다. 실수에 걸쳐, P_n은 선형 또는 이차 인수인 인수로 나뉩니다. 오직 선형 인수는 곡선의 무한 (실수) 가지에 해당하지만, 만약 선형 인수가 일보다 큰 중복도를 가지면, 곡선은 여러 점근선 또는 포물형 가지를 가질 수 있습니다. 이러한 중복 선형 인수는 두 복소 켤레 가지에 해당하고, 실수 곡선의 임의의 무한 가지에 해당하지 않는 것으로 역시 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 곡선 x⁴ + y² - 1 = 0은 정사각형 $|x|\leq 1,|y|\leq 1$ 밖의 실수 점을 가지지 않지만, 그의 가장-높은 차수 항은 중복도 4를 갖는 선형 인수 x를 제공하며, 고유한 점근선 x=0으로 이어집니다.

Asymptotic cone

Hyperbolas, obtained cutting the same right circular cone with a plane and their asymptotes.

쌍곡선(hyperbola)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

은 다음 두 쌍곡선을 가집니다:

$y=\pm {\frac {b}{a}}x.$

이들 두 직선의 합집합에 대해 방정식은 다음입니다:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.$

비슷하게, 쌍곡면체(hyperboloid)

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

은 다음 점근 원뿔(asymptotic cone)을 가지는 것으로 말합니다:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.$

쌍곡면체와 원뿔 사이의 거리는, 원점으로부터 거리가 무한대로 접근할 때 0으로 접근합니다.

보다 일반적으로, 다음 암시적 방정식 $P_{d}(x,y,z)+P_{d-2}(x,y,z)+\cdots P_{0}=0$을 가지는 표면을 생각해 보십시오. 여기서 $P_{i}$는 차수 $i$의 동차 다항식(homogeneous polynomial)이고 $P_{d-1}=0$입니다. 그런-다음 방정식 $P_{d}(x,y,z)=0$은 원점에 중심을 둔 원뿔(cone)로 정의합니다. 그것은 점근 원뿔(asymptotic cone)로 불리는데, 왜냐하면 표면의 한 점의 원뿔에 대한 거리는, 표면 위의 그 점이 무한대로 경향일 때, 영으로 경향이기 때문입니다.

See also

• Big O notation

References

General references

• Kuptsov, L.P. (2001) [1994], "Asymptote", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Specific references

External links

• Asymptote at PlanetMath.org.
• Hyperboloid and Asymptotic Cone, string surface model, 1872 from the Science Museum