Midpoint

기하학(geometry)에서, 중간점(midpoint)은 선분(line segment)의 중간 점(point)입니다. 그것은 두 끝점으로부터 등거리(equidistant)이고, 그것은 끝점과 선분의 도형-중심(centroid)입니다. 그것은 선분을 이등분(bisection)합니다.

Formulas

n-차원 공간에서 끝점이 $A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ 와 $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ 인 선분의 중앙점은 다음에 의해 제공됩니다:

{\frac {A+B}{2}}.

즉, 중앙점의 i^번째 좌표 (i = 1, 2, ..., n)는 다음입니다:

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.

Construction

관심을 갖는 두 점이 주어지면, 그들이 결정한 선분의 중앙점을 찾는 것은 나침반과 직선자 구성(compass and straightedge construction)으로 이루어질 수 있습니다. 평면(plane)에 삽입된, 선분의 중앙점은 먼저 두 끝점을 중심으로 같은 (그리고 충분하게 큰) 반지름의 원호를 사용하여 렌즈(lens)를 구성하고, 그런-다음 렌즈의 뾰족점 (호가 교차하는 두 점)을 연결함으로써 위치될 수 있습니다. 뾰족점을 연결하는 직선이 선분과 교차하는 점은 그런-다음 선분의 중앙점입니다. 오직 나침반을 사용하여 중앙점을 탐색하는 것이 더 어렵지만, 모르-마스케로니 정리(Mohr-Mascheroni theorem)에 따르면 여전히 가능합니다.^[1]

Geometric properties involving midpoints

Circle

원의 지름(diameter)의 중앙점은 원(circle)의 중심입니다.

원의 임의의 현(chord)에 수직(perpendicular)이고 그것의 중앙점을 통과하는 임의의 직선은 원의 중심을 통과합니다.

나비 정리(butterfly theorem)는, 만약 M이 원의 현 PQ의 중앙점이고, 그것을 통과하는 두 다른 현 AB와 CD가 그려지면, AD와 BC는 M이 XY의 중앙점을 만족하는, 각각, X와 Y에서 현 PQ와 교차한다고 말합니다.

Ellipse

타원(ellipse)의 넓이(area) 이등분선(bisector) 또는 둘레(perimeter) 이등분선인 임의의 선분의 중앙점은 타원의 중심입니다.

타원의 중심은 역시 타원의 두 초점(foci)을 연결하는 선분의 중앙점입니다.

Hyperbola

쌍곡선(hyperbola)의 꼭짓점을 연결하는 선분의 중앙점은 쌍곡선의 중심입니다.

Triangle

삼각형(triangle)의 변의 수직 이등분선은 해당 변에 직각이고 그것의 중앙점을 통과하는 직선입니다. 삼각형 세 변의 세 수직 이등분선은 둘레-중심(circumcenter) (세 꼭짓점을 통과하는 원의 중심)에서 교차합니다.

삼각형의 변의 중선(median)은 변의 중앙점과 삼각형의 반대 꼭짓점(vertex)을 둘 다를 통과합니다. 삼각형의 세 중선은 삼각형의 도형-중심(centroid) (삼각형은 만약 그것이 균등-밀도의 금속의 얇은 판으로 만들어졌으면 균형을 이루게 되는 점)에서 교차합니다.

삼각형의 아홉-점 중심(nine-point center)은 둘레-중심과 직교-중심(orthocenter) 사이의 중앙점에 놓입니다. 이들 점은 오일러 직선(Euler line) 위에 모두 있습니다.

삼각형의 중간선분 (또는 중간직선)은 삼각형의 두 변의 중앙점을 연결하는 선분입니다. 그것은 세 번째 변과 평행하고 해당 세 번째 변의 절반과 같은 길이를 가집니다.

주어진 삼각형의 중점 삼각형(medial triangle)은 주어진 삼각형의 변의 중앙점에 꼭짓점을 가지며, 따라서 그것의 변은 주어진 삼각형의 세 중간선분입니다. 그것은 주어진 삼각형과 같은 도형-중심과 중선을 공유합니다. 중점 삼각형의 둘레(perimeter)는 원래 삼각형의 반-둘레(semiperimeter) (둘레의 절반)와 같고, 그것의 넓이는 원래 삼각형 넓이의 1/4입니다. 중점 삼각형의 직교-중심(orthocenter) (고도(altitude)의 교차점)은 원래 삼각형의 둘레-중심(circumcenter) (꼭짓점을 통과하는 원의 중심)과 일치합니다.

모든 각 삼각형은 슈타이너 내접-타원(Steiner inellipse)으로 불리는 내접된(inscribed) 타원(ellipse), 즉 모든 그것의 변의 중앙점에서 삼각형에 내부적으로 접하는 타원을 가집니다. 이 타원은 삼각형의 도형-중심에 중심을 두고, 그것은 삼각형에 내접된 임의의 타원 중 가장 큰 넓이를 가집니다.

직각 삼각형(right triangle)에서, 둘레-중심은 빗변(hypotenuse)의 중앙점입니다.

이등변 삼각형(isosceles triangle)에서, 밑변(base)으로부터 중선, 고도(altitude), 및 수직 이등분선과 꼭대기(apex)의 각 이등분선(angle bisector)은 오일러 직선과 대칭의 축(axis of symmetry)과 일치하고, 이들 일치하는 직선은 밑면의 중앙점을 통과합니다.

Quadrilateral

볼록(convex) 사변형(quadrilateral)의 두 쌍-중앙선(bimedians)은 반대 변의 중앙점을 연결하는 선분이며, 따라서 각각의 두 변을 이등분합니다. 대각선의 중앙점을 결합하는 두 쌍-중선과 선분은 "꼭짓점 도형-중심"으로 불리는 점에서 공점(concurrent)이며 (그 점에서 모두 교차합니다), 이것은 이들 선분의 모든 셋의 중앙점입니다.^[2]^: p.125

볼록 사변형의 네 "적도(maltitudes)"는 반대 변의 중앙점을 통과하는 변에 직각이며, 따라서 후자를 이등분합니다. 만약 사변형이 순환(cyclic)이면 (원에 내접되면), 이들 적도는 모두 "반중심"으로 불리는 공통 점에서 모두 만납니다.

브라마굽타의 정리(Brahmagupta's theorem)는 만약 순환 사변형이 직교-대각선(orthodiagonal)이면 (즉, 수직(perpendicular) 대각선(diagonals)을 가지면), 대각선의 교차의 점으로부터 변에 수직선은 항상 반대 변의 중앙점을 통과한다고 말합니다.

바리논의 정리(Varignon's theorem)는 임의의 사변형의 변의 중앙점이 평행-사변형(parallelogram)의 꼭짓점을 형성하고, 만약 그 사변형이 자기-교차하지 않으면 평행-사변형의 넓이는 사변형의 넓이의 절반임을 말합니다.

뉴턴 직선(Newton line)은 평행-사변형이 아닌 볼록 사변형에서 두 대각선의 중앙점을 연결하는 직선입니다. 볼록 사변형의 반대 변의 중앙점을 연결하는 선분은 뉴턴 직선 위에 놓이는 점에서 교차합니다.

General polygons

정규 다각형(regular polygon)은 그것의 중앙점에서 다각형의 각 변에 접하는(tangent) 내접원(inscribed circle)을 가집니다.

짝수 개의 변을 갖는 정규 다각형에서, 반대 꼭짓점 사이의 대각선(diagonal)의 중앙점은 다각형의 중심입니다.

순환 다각형(cyclic polygon) $P$ (그의 꼭짓점 모두가 같은 원에 떨어지는 다각형(polygon))의 중앙점-펼침 다각형(midpoint-stretching polygon)은 같은 원 안에 내접하는 또 다른 순환 다각형, 그의 꼭짓점이 $P$ 의 꼭짓점 사이의 원형 호(circular arc)의 중앙점인 다각형입니다.^[3] 임의의 초기 다각형 위에 중앙점-펼침 연산을 반복하면 모양이 정규 다각형(regular polygon)의 모양에 수렴하는 다각형의 수열을 초래합니다.^[3]^[4]

Generalizations

선분의 중앙점에 대해 위에-언급된 공식은 암시적으로 선분의 길이를 사용합니다. 어쨌든, 선분 길이가 정의되지 않은,^[5] 아핀 기하학(affine geometry)에 대한 일반화에서, 중앙점은 여전히 정의될 수 있는데 왜냐하면 그것이 아핀 불변(invariant)이기 때문입니다. 선분 $AB$ 의 중앙점 $M$ 의 합성(synthetic) 아핀 정의는 직선 $AB$ 의, 무한대에서 점(point at infinity), $P$ 의 투영 조화 켤레(projective harmonic conjugate)입니다. 즉, $H[A, B; P, M]$ 를 만족하는 점 $M$ 입니다.^[6] 좌표가 아핀 기하학에서 도입될 수 있을 때, 중앙점의 두 정의는 일치할 것입니다.^[7]

중간 점은 투영 기하학(projective geometry)에서 자연스럽게 정의되지 않는데 왜냐하면 무한대에서 점의 역할을 수행하기 위한 구별되는 점이 없기 때문입니다 (투영 범위(projective range)에서 임의의 점은 (같은 또는 일부 다른) 투영 범위에서 임의의 다른 점에 투영적으로 매핑될 수 있습니다). 어쨌든, 무한대에서 점을 고정하면 문제의 투영 직선(projective line) 위에 아핀 구조를 정의하고 위의 정의는 적용될 수 있습니다.

선분의 중앙점의 정의는 리만 매니폴드(Riemannian manifold)의 측지(geodesic) 호(arcs)로 확장될 수 있습니다. 아핀 경우와 달리, 두 점 사이의 중앙점은 고유하게 결정되지 않을 수 있음에 주목하십시오.

References

^ "Wolfram mathworld". 29 September 2010.
^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
^ ^a ^b Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 July 2003), "Markov chains and dynamic geometry of polygons" (PDF), Linear Algebra and its Applications, 367: 255–270, doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1, retrieved 19 October 2011.
^ Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons", 18th Fall Workshop on Computational Geometry
^ Fishback, W.T. (1969), Projective and Euclidean Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 214, ISBN 0-471-26053-3
^ Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9
^ Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, Carus Mathematical Monographs #4, Mathematical Association of America, pp. 84–85

External links

Animation – showing the characteristics of the midpoint of a line segment
What is Midpoint Formula

[1] "Wolfram mathworld". 29 September 2010.

[Altshiller-Court-2] Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.

[dhz-3] Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 July 2003), "Markov chains and dynamic geometry of polygons" (PDF), Linear Algebra and its Applications, 367: 255–270, doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1, retrieved 19 October 2011.

[4] Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons", 18th Fall Workshop on Computational Geometry

[5] Fishback, W.T. (1969), Projective and Euclidean Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 214, ISBN 0-471-26053-3

[6] Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9

[7] Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, Carus Mathematical Monographs #4, Mathematical Association of America, pp. 84–85

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