Definite matrix

Original article: w:Definite matrix

Not to be confused with Positive matrix and Totally positive matrix.

수학(mathematics)에서, 실수 엔트리를 갖는 대칭 행렬 $M$은 만약 실수 $z^{\textsf {T}}Mz$가 모든 각 비-영 실수 열 벡터(column vector) $z$에 대해 양수이면 양수-한정(positive-definite)이며, 여기서 $z^{\textsf {T}}$는 $z$의 전치(transpose)입니다. 보다 일반적으로, 에르미트 행렬(Hermitian matrix, 즉, 그것의 켤레 전치와 같은 복소수 행렬)은 만약 실수 $z^{*}Mz$가 모든 각 비-영 복소수 열 벡터 $z$에 대해 양수이면 양수-한정(positive-definite)이며, 여기서 $z^{*}$는 $z$의 켤레 전치를 나타냅니다.

양수 반-한정(Positive semi-definite) 행렬은 스칼라 $z^{\textsf {T}}Mz$와 $z^{*}Mz$가 양수 또는 영 (즉, 비-음수)이어야 한다는 점을 제외하면 유사하게 정의됩니다. 음수-한정(Negative-definite) 및 음수 반-한정(negative semi-definite) 행렬은 유사하게 정의됩니다. 양수 반-한정도 아니고 음수 반-한정도 아닌 행렬은 때때로 비-한정(indefinite)이라고 불립니다.

따라서 행렬이 양수-한정인 것과 그것이 양수-한정 이차 형식(positive-definite quadratic form) 또는 에르미트 형식(Hermitian form)의 행렬인 것은 필요충분 조건입니다. 다시 말해서, 행렬이 양수-한정인 것과 그것이 안의 곱(inner product)을 정의하는 것은 필요충분 조건입니다.

양수-한정 및 양수-반한정 행렬은 수학의 다양한 부분에서 개념의 중요성을 설명할 수 있는 여러 방법에서 특성화될 수 있습니다. 행렬 M이 양수-한정인 것과 그것이 다음 동등한 조건 중 하나를 만족시키는 것은 필요충분 조건입니다:

• M은 양의 실수 엔트리를 갖는 대각 행렬(diagonal matrix)과 합동(congruent)입니다.
• M은 대칭 또는 에르미트이고, 모든 그것의 고윳값(eigenvalues)은 실수이고 양수입니다.
• M은 대칭 또는 에르미트이고, 모든 그것의 선행하는 주요 소행렬식(principal minors)은 양수입니다.
• $M=B^{*}B$임을 만족하는 켤레 전치 $B^{*}$을 갖는 역가능 행렬(invertible matrix) $B$가 존재합니다.

행렬은 만약 그것이 "양수"가 "비-음수"로 대체되고 "역가능 행렬"이 "행렬"로 대체되고 "선행하는"이라는 단어가 제거되는 유사한 동등한 조건을 만족시키면 양수 반-한정입니다.

양수-한정 및 양수-반한정 실수 행렬은 볼록 최적화(convex optimization)의 기초가 되는데, 왜냐하면 두 번 미분-가능인 여러 실수 변수의 함수가 주어졌을 때, 헤세 행렬(Hessian matrix, 그것의 두 번째 부분 도함수의 행렬)이 점 p에서 양수-한정이면, 그 함수는 p 근처에서 볼록(convex)하고, 반대로, 그 함수가 p 근처에서 볼록이면, 헤세 행렬은 p에서 양수-반한정이기 때문입니다.

일부 저자는 일부 비-대칭 실수 행렬, 또는 비-에르미트 복소수 행렬을 포함하여 명확성에 대한 보다 일반적인 정의를 사용합니다.

Definitions

다음 정의에서, $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}$는 $\mathbf {x}$의 전치이고, $\mathbf {x} ^{*}$는 $\mathbf {x}$의 켤레 전치(conjugate transpose)이고 $\mathbf {0}$은 n-차원 영-벡터를 나타냅니다.

Definitions for real matrices

$n\times n$ 대칭 실수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {R} ^{n}$에서 모든 비-영 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} >0$이면 양수-한정(positive-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$

$n\times n$ 대칭 실수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {R} ^{n}$에서 모든 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0$이면 양수-반한정(positive-semidefinite) 또는 비-음수-한정(non-negative-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$

$n\times n$ 대칭 실수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {R} ^{n}$에서 모든 비-영 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} <0$이면 음수-한정(negative-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$

$n\times n$ 대칭 실수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {R} ^{n}$에서 모든 $\mathbf {x}$에 대해 $x^{\textsf {T}}Mx\leq 0$이면 음수-반한정(negative-semidefinite) 또는 비-양수-한정(non-positive-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$

양수 반한정도 아니고 음수 반한정도 아닌 $n\times n$ 대칭 실수 행렬은 비-한정(indefinite)이라고 불립니다.

Definitions for complex matrices

다음 정의 모두는 항 $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x}$을 포함합니다. 이것은 임의의 에르미트 정사각 행렬 $M$에 대해 항상 실수임에 유의하십시오.

$n\times n$ 에르미트 복소수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {C} ^{n}$에서 모든 비-영 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} >0$이면 양수-한정(positive-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$

$n\times n$ 에르미트 복소수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {C} ^{n}$에서 모든 모든 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \geq 0$이면 양수 반한정(positive semi-definite) 또는 비-음수-한정(non-negative-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}$

$n\times n$ 에르미트 복소수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {C} ^{n}$에서 모든 비-영 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0$이면 음수-한정(negative-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}$

$n\times n$ 에르미트 복소수 행렬 $M$은 만약 $\mathbb {C} ^{n}$에서 모든 모든 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0$이면 음수 반한정(negative semi-definite) 또는 비-양수-한정(non-positive-definite)이라고 말합니다. 형식적으로,

$M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{*}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n}$

양수 반한정도 아니고 음수 반한정도 아닌 $n\times n$ 에르미트 복소수 행렬은 비-한정(indefinite)이라고 불립니다.

Consistency between real and complex definitions

모든 각 실수 행렬은 복소수 행렬이기도 하므로, 두 클래스에 대한 "한정성"의 정의가 일치해야 합니다.

복소수 행렬에 대해, 가장 공통적인 정의는 $M$이 양수-한정인 것과 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$가 모든 각 비-영 복소수 열 벡터 $\mathbf {z}$에 대해 실수이고 양수인 것은 필요충분 조건이라고 말합니다. 이 조건은 $M$이 에르미트 (즉, 그 전치가 그 켤레와 같음)임을 의미하는데, 왜냐하면 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$가 실수이기 때문에, 그것은 모든 각 $\mathbf {z}$에 대해 켤레 전치 $\mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z}$와 같고, 이는 $M=M^{*}$을 의미합니다.

이 정의에 의해, 양수-한정 실수 행렬 $M$은 에르미트이며, 따라서 대칭입니다; 그리고 $\mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z}$는 모든 비-영 실수 열 벡터 $\mathbf {z}$에 대해 양수입니다. 어쨌든, 마지막 조건만으로는 $M$이 양수-한정이 되기에 충분하지 않습니다. 예를 들어, 만약 다음이면, $$M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},$$

엔트리 $a$와 $b$를 갖는 실수 벡터 $\mathbf {z}$에 대해 $\mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}$를 가지며, 이는 $\mathbf {z}$가 영이 아니면 항상 양수입니다. 어쨌든, $\mathbf {z}$는 엔트리 $1$과 $i$를 갖는 열 벡터이면, 다음을 얻습니다:

$$\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i$$

이는 실수가 아닙니다. 그러므로, $M$은 양수-한정이 아닙니다.

다른 한편으로, 대칭 실수 벡터 $M$에 대해, "모든 비-영 실수 벡터 $\mathbf {z}$에 대해 $\mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} >0$"라는 조건은 $M$이 복소수 의미에서 양수-한정임을 의미합니다.

Notation

만약 에르미트 행렬 $M$이 양수 반-한정이면 때때로 $M\succeq 0$이라고 쓰고, $M$이 양수-한정이면 $M\succ 0$이라고 씁니다. $M$이 음수 반-한정임을 나타내기 위해, $M\preceq 0$이라고 쓰고 $M$이 음수-한정임을 나타내기 위해 $M\prec 0$이라고 씁니다.

그 개념은 양수 반-한정 행렬이 양수 연산자(positive operators)를 정의하는 함수형 해석(functional analysis)에서 비롯됩니다. 두 행렬 $A$와 $B$가 $B-A\succeq 0$을 만족시키면, 반사적(reflexive), 반대칭적(antisymmetric), 및 전이적(transitive)인 비-엄격한 부분 순서(non-strict partial order) $B\succeq A$를 정의할 수 있습니다; 그것은 전체 순서(total order)가 아닌데, 어쨌든, $B-A$는 일반적으로 비-한정일 수 있기 때문입니다.

공통 대안적인 표기법은 양수 반-한정 및 양수-한정, 음수 반-한정 및 음수-한정 행렬에 대해 각각 $M\geq 0$, $M>0$, $M>0$, 및 $M<0$입니다. 이것은 혼동스러울 수 있는데, 왜냐하면 때때로 비-음수 행렬 (각각, 비-양수 행렬)도 이런 방법으로 표시되기 때문입니다.

Examples

• 항등 행렬 $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$은 양수-한정입니다 (그리고 이를테면 역시 양수 반-한정입니다). 그것은 실수 대칭 행렬이고, 실수 엔트리 a와 b를 갖는 임의의 비-영 열 벡터 z에 대해, 다음을 가집니다:

  $$\mathbf {z} ^{\textsf {T}}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}.$$ 복소수 행렬로 보면, 복소수 엔트리 a와 b를 갖는 임의의 비-영 열 벡터 z에 대해, 다음을 가집니다: $$\mathbf {z} ^{*}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\overline {a}}a+{\overline {b}}b=|a|^{2}+|b|^{2}.$$

  어느 쪽이든, 결과는 양수인데 왜냐하면 $\mathbf {z}$가 영 벡터가 아니기 때문입니다 (즉, $a$와 $b$ 중 적어도 하나가 영이 아닙니다).
• 다음 실수 대칭 행렬은 $$M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$$ 양수-한정인데 왜냐하면 엔트리 a, b, 및 c를 갖는 임의의 비-영 열 벡터 z에 대해, 다음을 가집니다: $${\begin{aligned}\mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\mathbf {z} =\left(\mathbf {z} ^{\textsf {T}}M\right)\mathbf {z} &={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=(2a-b)a+(-a+2b-c)b+(-b+2c)c\\&=2a^{2}-ba-ab+2b^{2}-cb-bc+2c^{2}\\&=2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+2c^{2}\\&=a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}\\&=a^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+c^{2}\end{aligned}}$$ 이 결과는 제곱의 합이고, 따라서 비-음수입니다; 그리고 $a=b=c=0$일 때만, 즉, z가 영 벡터일 때만 영입니다.
• 임의의 실수 역가능 행렬 $A$에 대해, 곱 $A^{\textsf {T}}A$는 양수 한정 행렬입니다 ($A$의 열의 평균이 0이면, 이것은 공분산 행렬이라고도 불립니다). 간단한 증명은 임의의 비-영 벡터 $\mathbf {z}$에 대해, $\mathbf {z} ^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}A\mathbf {z} =(A\mathbf {z} )^{\textsf {T}}(A\mathbf {z} )=\|A\mathbf {z} \|^{2}>0$이라는 조건인데, 왜냐하면 행렬 $A$의 역가능성이 $A\mathbf {z} \neq 0$임을 의미하기 때문이라는 것입니다.
• 위의 예제 $M$은 일부 원소가 음수인 행렬이 여전히 양수 한정일 수 있음을 보여줍니다. 반대로, 그 엔트리가 모두 양수인 행렬이 반드시 양수 한정인 것은 아닌데, 왜냐하면 반대예제는 다음 행렬이며: $$N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}},$$ 이에 대해 ${\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}N{\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=-2<0$이기 때문입니다.

Eigenvalues

$M$을 $n\times n$ 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이라고 놓습니다 (이것은 실수 대칭 행렬을 포함합니다). $M$의 모든 고윳값은 실수이고, 그것들의 부호는 그것의 한정성을 나타냅니다:

• $M$이 양수 한정인 것과 모든 그것의 고윳값이 양수인 것은 필요충분 조건입니다.
• $M$이 양수 반-한정인 것과 모든 그것의 고윳값이 비-음수인 것은 필요충분 조건입니다.
• $M$이 음수 한정인 것과 모든 그것의 고윳값이 음수인 것은 필요충분 조건입니다.
• $M$이 음수 반-한정인 것과 모든 그것의 고윳값이 비-양수인 것은 필요충분 조건입니다.
• $M$이 비-한정인 것과 그것이 양수와 음수 둘 다 고윳값을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

$PDP^{-1}$를 $M$의 고유분해(eigendecomposition)라고 놓으며, 여기서 $P$는 열이 $M$의 고유벡터(eigenvectors)의 직교정규 기저(orthonormal basis)를 포함하는 유니태리 복소수 행렬(unitary complex matrix)이고, $D$는 주요 대각선(main diagonal)이 해당 고윳값(eigenvalues)을 포함하는 실수 대각 행렬(diagonal matrix)입니다. 행렬 $M$은 (고유벡터) 기저 $P$의 좌표로 다시 표현된 대각 행렬 $D$로 여길 수 있습니다. 달리 말하면, $M$을 어떤 벡터 z에 적용하여, Mz를 제공하는 것은 기저를 P⁻¹을 사용하여 고유벡터 좌표 시스템으로 변경하여, P⁻¹z를 제공하고, 그 결과에 늘림 변환(stretching transformation) D를 적용하여, DP⁻¹z를 제공하고, 다시 P를 사용하여 기저를 다시 변경하여, PDP⁻¹z를 제공하는 것과 같습니다.

이를 염두에 두고, 변수 $\mathbf {y} =P\mathbf {z}$의 일-대-일 변경은 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z}$가 임의의 복소수 벡터 $\mathbf {z}$에 대해 실수이고 양수인 것과 $\mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y}$가 임의의 $y$에 대해 실수이고 양수인 것은 필요충분 조건임을 보여줍니다; 다시 말해서, $D$가 양수 한정인 경우입니다. 대각 행렬에 대해, 이것은 주요 대각선의 각 원소—즉, $M$의 모든 각 고윳값이 양수인 경우에만 참입니다. 스펙트럼 정리(spectral theorem)는 에르미트 행렬의 모든 고윳값이 실수임을 보장하므로, 고윳값의 양수성은 실수, 대칭 행렬 $M$의 특성 다항식(characteristic polynomial)이 사용 가능할 때 데카르트의 교대하는 부호의 규칙을 사용하여 확인될 수 있습니다.

Decomposition

See also: Gram matrix

$M$을 $n\times n$ 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이라고 놓습니다. $M$이 양수 반한정인 것과 그것이 켤레 전치(conjugate transpose)를 갖는 행렬 $B$의 다음 곱으로 구성될 수 있는 것은 필요충분 조건입니다: $$M=B^{*}B$$ $M$이 실수일 때, $B$는 마찬가지로 실수가 될 수 있고 분해는 다음으로 쓸 수 있습니다:$$M=B^{\textsf {T}}B.$$

$M$이 양수 한정인 것과 그러한 분해가 역가능(invertible) $B$와 함께 존재하는 것은 필요충분 조건입니다. 보다 일반적으로, $M$은 랭크 $k$를 갖는 양수 반한정인 것과 분해가 전체 행 랭크 (즉, 랭크 $k$)의 $k\times n$ 행렬 $B$와 함께 존재하는 것은 필요충분 조건입니다. 게다가, 임의의 분해 $M=B^{*}B$에 대해, $\operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B)$입니다.

Proof

만약 $M=B^{*}B$이면, $x^{*}Mx=(x^{*}B^{*})(Bx)=\|Bx\|^{2}\geq 0$이므로, $M$는 양수 반한정입니다. 게다가 만약 $B$가 역가능이면 부등식은 $x\neq 0$에 대해 엄격합므로, $M$는 양수 한정입니다. 만약 $B$가 랭크 $k$의 $k\times n$이면, $\operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B^{*})=k$입니다.

다른 방향에서, $M$이 양수 반한정이라고 가정합니다. $M$이 에르미트이기 때문에, 그것은 고유분해 $M=Q^{-1}DQ$를 가지며, 여기서 $Q$는 유니태리이고 $D$는 그 엔트리가 $M$의 고윳값인 대각 행렬입니다. $M$이 양수 반한정이기 때문에, 고윳값은 비-음의 실수이므로, $D^{\frac {1}{2}}$를 그 엔트리가 고윳값의 비-음의 제곱근인 대각 행렬로 정의할 수 있습니다. 그런-다음 $B=D^{\frac {1}{2}}Q$에 대해 $M=Q^{-1}DQ=Q^{*}DQ=Q^{*}D^{\frac {1}{2}}D^{\frac {1}{2}}Q=Q^{*}D^{{\frac {1}{2}}*}D^{\frac {1}{2}}Q=B^{*}B$입니다. 더욱이 만약 $M$이 양수 한정이면, 고윳갑은 (엄격하게) 양수이므로, $D^{\frac {1}{2}}$는 역가능이고, 따라서 $B=D^{\frac {1}{2}}Q$도 역가능입니다. 만약 $M$이 랭크 $k$를 가지면, 그것은 정확하게 $k$ 양수 고윳값을 가지고 다른 것들은 영이고, 따라서 $B=D^{\frac {1}{2}}Q$에서 $k$ 행을 제외하고 모두 영으로 채워집니다. 영 행을 잘라내는 것은 $B'^{*}B'=B^{*}B=M$임을 만족하는 $k\times n$ 행렬 $B'$을 제공합니다.

$B$의 열 $b_{1},\dots ,b_{n}$은 각각 복소수 또는 실수 벡터 공간 $\mathbb {R} ^{k}$에서 벡터로 볼 수 있습니다. 그런 다음 $M$의 엔트리는 이들 벡터의 안의 곱 (실수 경우에서, 점 곱)입니다: $$M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle .$$ 다시 말해서, 에르미트 행렬 $M$이 양수 반한정인 것과 그것이 일부 벡터 $b_{1},\dots ,b_{n}$의 그람 행렬(Gram matrix)인 것은 필요충분 조건입니다. 그것이 양수 한정인 것과 그것이 선형적으로 독립(linearly independent) 벡터의 그람 행렬인 것은 필요충분 조건입니다. 일반적으로, 벡터 $b_{1},\dots ,b_{n}$의 그람 행렬의 랭크는 이들 벡터에 의해 스팬된 공간의 차원과 같습니다.

Uniqueness up to unitary transformations

분해는 고유하지 않습니다: 만약 일부 $k\times n$ 행렬 $B$에 대해 $M=B^{*}B$이고 $Q$가 임의의 유니태리(unitary) $k\times k$ 행렬 ($Q^{*}Q=QQ^{*}=I$임을 의미)이면, $A=QB$에 대해 $M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A$입니다.

어쨌든, 이것은 두 분해가 다를 수 있는 유일한 방법입니다: 분해는 유니태리 변환(unitary transformations)까지 고유합니다. 보다 형식적으로, 만약 $A$가 $k\times n$ 행렬이고 $B$가 $A^{*}A=B^{*}B$임을 만족하는 $\ell \times n$ 행렬이면, $B=QA$임을 만족하는 직교정규 열 ($Q^{*}Q=I_{k\times k}$임을 의미)을 갖는 $\ell \times k$ 행렬 $Q$가 있습니다. $\ell =k$일 때 이는 $Q$가 유니태리(unitary)임을 의미합니다.

이 명제는 실제 사례에서 직관적인 기하학적 해석을 가집니다: $A$와 $B$의 열을 $\mathbb {R} ^{k}$에서 벡터 $a_{1},\dots ,a_{n}$와 $b_{1},\dots ,b_{n}$이라고 놓습니다. 실수 유니태리 행렬은 0 점을 보존하는 (즉, 평행이동 없이 회전과 반사) 강체 변환 (유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{k}$의 등거리변환)을 설명하는 직교 행렬(orthogonal matrix)입니다. 그러므로, 점 곱 $a_{i}\cdot a_{j}$과 $b_{i}\cdot b_{j}$가 같은 것과 $\mathbb {R} ^{k}$의 일부 강체 변환이 벡터 $a_{1},\dots ,a_{n}$을 $a_{1},\dots ,a_{n}$으로 (그리고 0에서 0으로) 변환하는 것은 필요충분 조건입니다.

Square root

Main article: Square root of a matrix

에르미트 행렬 $M$이 양수 반한정인 것과 $M=BB$를 만족시키는 양수 반한정 행렬 $B$ (특히 $B$는 에르미트이므로, $B^{*}=B$)가 있는 것은 필요충분 조건입니다. 이 행렬 $B$는 고유하고, $M$의 비-음의 제곱근이라고 불리고, $B=M^{\frac {1}{2}}$로 표시됩니다. $M$이 양수 한정일 때, $M^{\frac {1}{2}}$도 마찬가지이며, 따라서 그것은 $M$의 양의 제곱근이라고도 불립니다.

비-음의 제곱근은 다른 분해 $M=B^{*}B$와 혼동해서는 안 됩니다. 일부 저자는 임의의 그러한 분해, 특히 숄레스키 분해(Cholesky decomposition), 또는 $M=BB$ 형식의 임의의 분해에 대해 제곱근이라는 이름과 $M^{\frac {1}{2}}$을 사용합니다; 다른 사람들은 비-음수 제곱근에만 그것을 사용합니다:

만약 $M>N>0$이면 $M^{\frac {1}{2}}>N^{\frac {1}{2}}>0$입니다.

Cholesky decomposition

양수 반한정 행렬 $M$은 $M=LL^{*}$로 쓸 수 있으며, 여기서 $L$은 비-음의 대각선을 갖는 아래쪽 삼각 행렬입니다 (동등하게 $M=B^{*}B$이며, 여기서 $B=L^{*}$은 위쪽 삼각 행렬입니다); 이것이 숄레스키 분해(Cholesky decomposition)입니다. 만약 $M$이 양수 한정이면, $L$의 대각선은 양수이고 숄레스키 분해는 고유합니다. 반대로 만약 $L$이 비-음의 대각선을 갖는 아래쪽 삼각이면, $LL^{*}$은 양수 반한정입니다. 숄레스키 분해는 효율적인 수치 계산에 특히 유용합니다. 밀접하게 관련된 분해는 LDL 분해, $M=LDL^{*}$이며, 여기서 $D$는 대각이고 $L$은 아래쪽 단위삼각(lower unitriangular)입니다.

Other characterizations

$M$을 $n\times n$ 실수 대칭 행렬(real symmetric matrix)이라고 놓고, $B_{1}(M):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x^{T}Mx\leq 1\}$를 $M$에 의해 정의된 "단위 공(unit ball)"이라고 놓습니다. 그런-다음 다음을 가집니다:

• $B_{1}(vv^{\mathsf {T}})$는 $\pm \{w:\langle w,v\rangle =1\}$ 사이에 끼워진 단단한 슬래브(slab)입니다.
• $M\succeq 0$인 것과 $B_{1}(M)$가 타원면체, 또는 타원면체형 원기둥인 것은 필요충분 조건입니다.
• $M\succ 0$인 것과 $B_{1}(M)$가 경계진 것, 즉, 그것이 타원면체인 것은 필요충분 조건입니다.
• 만약 $N\succ 0$이면, $M\succeq N$인 것과 $B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N)$인 것은 필요충분 조건입니다; $M\succ N$인 것과 $B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} (B_{1}(N))$인 것은 필요충분 조건입니다.
• 만약 $N\succ 0$이면, 모든 $v\neq 0$에 대해 $M\succeq {\frac {vv^{\mathsf {T}}}{v^{\mathsf {T}}Nv}}$인 것과 ${\textstyle B_{1}(M)\subset \bigcap _{v^{\mathsf {T}}Nv=1}B_{1}(vv^{\mathsf {T}})}$인 것은 필요충분 조건입니다. 따라서, 타원면체의 극 이중도 역 길이를 갖는 같은 주요 축을 갖는 타원면체이기 때문에, 다음을 가집니다:$$B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{v^{\mathsf {T}}Nv=1}B_{1}(vv^{\mathsf {T}})=\bigcap _{v^{\mathsf {T}}Nv=1}\{w:|\langle w,v\rangle |\leq 1\}$$ 즉, 만약 $N$이 양수-한정이면, 모든 $v\neq 0$에 대해 $M\succeq {\frac {vv^{\mathsf {T}}}{v^{\mathsf {T}}Nv}}$인 것과 $M\succeq N^{-1}$인 것은 필요충분 조건입니다.

$M$을 $n\times n$ 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이라고 놓습니다. 다음 속성은 $M$이 양수 한정이라는 것과 동등합니다:

The associated sesquilinear form is an inner product

$M$에 의해 정의된 반쌍선형 형식(sesquilinear form)은 $\mathbb {C} ^{n}$에서 모든 $x$와 $y$에 대해 $\langle x,y\rangle :=y^{*}Mx$임을 만족하는 $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}$에서 $\mathbb {C} ^{n}$로의 함수 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$이며, 여기서 $y^{*}$는 $y$의 켤레 전치입니다. 임의의 복소수 행렬 $M$에 대해, 이 형식은 $x$에서 선형이고 $y$에서 반선형입니다. 그러므로, 그 형식이 $\mathbb {C} ^{n}$ 위에 안의 곱(inner product)인 것과 $\langle z,z\rangle$가 모든 비-영 $z$에 대해 실수이고 양수인 것은 필요충분 조건입니다; 즉, $M$이 양수 한정인 것과 필요충분 조건입니다. (사실, $\mathbb {C} ^{n}$ 위에 모든 각 안의 곱은 에르미트 양수 한정 행렬에서 이러한 방식으로 발생합니다.)

Its leading principal minors are all positive

행렬 $M$의 k번째 선행하는 주요 소행렬식(leading principal minor)은 위-왼쪽 $k\times k$ 부분-행렬의 행렬식(determinant)입니다. 행렬이 양수 한정인 것과 모든 이들 행렬식이 양수인 것은 필요충분 조건임이 밝혀졌습니다. 이 조건은 실베스터의 기준(Sylvester's criterion)으로 알려져 있고, 대칭 실수 행렬의 양수 한정성에 대한 효율적인 테스트를 제공합니다. 즉, 가우스 소거법의 첫 번째 부분에서와 같이 기본 행 연산(elementary row operations)을 사용하고, 피벗하는 과정 중에 행렬식의 부호를 보존하도록 주의하면서 행렬을 위쪽 삼각 행렬(upper triangular matrix)로 축소합니다. 삼각 행렬의 k번째 선행하는 주요 소행렬식은 $k$행까지의 대각선 원소의 곱이므로, 실베스터의 기준은 대각선 원소가 모두 양수인지 확인하는 것과 같습니다. 이 조건은 삼각 행렬의 새로운 $k$행이 얻어질 때마다 확인할 수 있습니다.

양수 반한정 행렬이 양수 한정인 것과 그것이 역가능(invertible)인 것은 필요충분 조건입니다. 행렬 $M$이 음수 (반)한정인 것과 $-M$ 양수 (반)한정인 것은 필요충분 조건입니다.

Quadratic forms

Main article: Definite quadratic form

실수 $n\times n$ 행렬 $M$과 결합된 (순수하게) 이차 형식(quadratic form)은 모든 $x$에 대해 $Q(x)=x^{\textsf {T}}Mx$임을 만족하는 함수 $Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$입니다. $M$은 ${\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\textsf {T}}\right)$로 대체함으로써 대칭으로 가정될 수 있습니다.

대칭 행렬 $M$이 양수 한정인 것과 그것의 이차 형식이 엄격하게 볼록 함수(strictly convex function)인 것은 필요충분 조건입니다.

보다 일반적으로, $\mathbb {R} ^{n}$에서 $\mathbb {R}$로의 임의의 이차 함수(quadratic function)는 $x^{\textsf {T}}Mx+x^{\textsf {T}}b+c$로 쓸 수 있으며, 여기서 $M$은 대칭 $n\times n$ 행렬, $b$는 실수 $n$-벡터이고, $c$는 실수 상수입니다. $n=1$ 경우에서, 이것은 포물선이고, $n=1$ 경우와 마찬가지로, 다음을 가집니다:

Theorem: 이 이차 함수는 엄격하게 볼록하고, 따라서 고유한 유한 전역 최솟값을 가지는 것과 $M$이 양수 한정인 것은 필요충분 조건입니다.

Proof: 만약 $M$이 양수 한정이면, 함수는 엄격하게 볼록입니다. 그것의 그래디언트는 $M^{-1}b$의 고유한 점에서 영이며, 이는 그 함수가 엄격하게 볼록하기 때문에 전역 최솟값이어야 합니다. 만약 $M$이 양수 한정이 아니면, $v^{T}Mv\leq 0$임을 만족하는 어떤 벡터 $v$가 존재하므로, 함수 $f(t):=(vt)^{T}M(vt)+b^{t}(vt)+c$는 직선 또는 아래로 포물선이며, 따라서 엄격하게 볼록이 아니고 전역 최솟값을 가지지 않습니다.

이러한 이유로, 양수 한정 행렬은 최적화(optimization) 문제에서 중요한 역할을 합니다.

Simultaneous diagonalization

하나의 대칭 행렬과 대칭이고 양수 한정 둘 다인 또 다른 행렬은 동시에 대각화(simultaneously diagonalized)될 수 있습니다. 이것은 동시에 대각화가 반드시 닮음 변환(similarity transformation)과 함께 수행되는 것은 아닐지라도 그렇습니다. 이 결과는 3개 이상의 행렬의 경우로 확장되지 않습니다. 이 섹션에서는 실수 경우에 대해 씁니다. 복소수 경우의 확장은 즉각적입니다.

$M$을 대칭 행렬이라고 놓고 $N$을 대칭이고 양수 한정 행렬이라고 놓습니다. 일반화된 고윳값 방정식을 $\left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0$으로 쓰며, 여기서 $x$는 정규화되도록, 즉, $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}N\mathbf {x} =1$이도록 강제합니다. 이제 숄레스키 분해(Cholesky decomposition)를 사용하여 $N$의 역을 $Q^{\textsf {T}}Q$로 씁니다. $Q$를 곱하고 $\mathbf {x} =Q^{\textsf {T}}\mathbf {y}$라고 놓으면, $Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\textsf {T}}\mathbf {y} =0$을 얻으며, 이는 $\left(QMQ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y}$로 다시 쓸 수 있으며, 여기서 $\mathbf {y} ^{\textsf {T}}\mathbf {y} =1$입니다. 조작은 이제 $MX=NX\Lambda$를 산출하며, 여기서 $X$는 일반화된 고유벡터를 열로 가지는 행렬이고 $\Lambda$는 일반화된 고윳값의 대각 행렬입니다. 이제 $X^{\textsf {T}}$를 사용한 전-곱셈은 최종 결과를 제공합니다: $X^{\textsf {T}}MX=\Lambda$와 $X^{\textsf {T}}NX=I$이지만, 이것은 더 이상 $\mathbf {y} ^{\textsf {T}}\mathbf {y} =1$인 안의 곱에 관해 직교 대각화가 아님에 주목하십시오. 사실, 우리는 $N$에 의해 유도된 안의 곱에 관해 $M$을 대각화했습니다.

이 결과는 닮음 변환에 의한 동시에 대각화를 참조하는 대각화가능 행렬 기사에서 동시에 대각화에 대해 말한 것과 모순되지 않습니다. 여기서 우리의 결과는 두 개의 이차 형식의 동시에 대각화에 더 가깝고, 다른 조건 아래에서 한 형식을 최적화하는 데 유용합니다.

Properties

Induced partial ordering

임의적인 정사각 행렬 $M$, $N$에 대해, $M-N\geq 0$이면, 즉, $M-N$이 양수 반-한정이면 $M\geq N$이라고 씁니다. 이것은 모든 정사각 행렬 위에 부분 순서화(partial ordering)를 정의합니다. 유사하게 엄격한 부분 순서화 $M>N$을 정의할 수 있습니다. 순서화는 뢰브너 순서(Loewner order)라고 불립니다.

Inverse of positive definite matrix

모든 각 양수 한정 행렬은 역가능(invertible)이고 그것은 역도 양수 한정입니다. 만약 $M\geq N>0$이면 $N^{-1}\geq M^{-1}>0$입니다. 게다가, 최소-최대 정리(min-max theorem)에 의해, $M$의 k-번째 가장 큰 고윳값은 $N$의 k-번째 가장 큰 고윳값보다 크거나 같습니다.

Scaling

만약 $M$이 양수 한정이고 $r>0$가 실수이면, $rM$가 양수 한정입니다.

Addition

• 만약 $M$과 $N$이 양수-한정이면, 합 $M+N$도 양수-한정입니다.
• 만약 $M$과 $N$이 양수-반한정이면, 합 $M+N$도 양수-반한정입니다.
• 만약 $M$이 양수-한정이고 $N$이 양수-반한정이면, 합 $M+N$도 양수-한정입니다.

Multiplication

• 만약 $M$과 $N$이 양수 한정이면, 곱 $MNM$과 $NMN$도 양수 한정입니다. 만약 $MN=NM$이면, $MN$도 양수 한정입니다.
• 만약 $M$이 양수 반한정이면, $A^{*}MA$은 임의의 (아마도 직사각) 행렬 $A$에 대해 양수 반한정입니다. 만약 $M$이 양수 한정이고 $A$가 전체 열 랭크를 가지면, $A^{*}MA$은 양수 한정입니다.

Trace

양수-반한정 행렬의 대각 엔트리 $m_{ii}$는 실수이고 비-음수입니다. 결과적으로 대각합(trace), $\operatorname {tr} (M)\geq 0$입니다. 게다가, 모든 각 주요 부분-행렬 (특히, 2x2)은 양수 반한정이기 때문에, $$\left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j$$

그리고 따라서, $n\geq 1$일 때, $$\max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}$$

$n\times n$ 에르미트 행렬 $M$은 그것이 다음 대각합 부등식을 만족시키면 양수 한정입니다: $$\operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.$$

또 다른 중요한 결과는 임의의 $M$과 $N$ 양수-반한정 행렬에 대해, $\operatorname {tr} (MN)\geq 0$이라는 것입니다. 이것은 $\operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}})$로 씀으로써 따릅니다. 행렬 $M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}$는 양수-반한정이고 따라서 비-음의 고윳값을 가지며, 그것의 합, 대각합도 따라서 비-음수입니다.

Hadamard product

만약 $M,N\geq 0$이면, 비록 $MN$이 반드시 양수 반한정일 필요는 없을지라도, 아다마르 곱(Hadamard product)은, $M\circ N\geq 0$입니다 (이 결과는 종종 슈어 곱 정리(Schur product theorem)라고 불립니다).

2개의 양수 반한정 행렬 $M=(m_{ij})\geq 0$, $N\geq 0$의 아다마르 곱과 관련하여, 두 가지 주목할 만한 부등식이 있습니다:

• 오펜하임(Oppenheim)의 부등식: $\det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.$
• $\det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N)$.

Kronecker product

만약 $M,N\geq 0$이면, 비록 $MN$이 반드시 양수 반한정일 필요는 없을지라도, 크로네커 곱(Kronecker product)은 $M\otimes N\geq 0$입니다.

Frobenius product

만약 $M,N\geq 0$이면, 비록 $MN$이 반드시 양수 반한정일 필요는 없을지라도, 프로베니우스 안의 곱(Frobenius inner product)은 $M:N\geq 0$입니다 (Lancaster–Tismenetsky, The Theory of Matrices, p. 218).

Convexity

양수 반한정 대칭 행렬의 집합은 볼록(convex)입니다. 즉, 만약 $M$과 $N$이 양수 반한정이면, 0과 1 사이의 임의의 $\alpha$에 대해, $\alpha M+\left(1-\alpha \right)N$도 양수 반한정입니다. 임의의 벡터 $\mathbf {x}$에 대해: $$\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\textsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.$$

이 속성은 반한정 프로그래밍(semidefinite programming) 문제가 전역적 최적 해로 수렴되도록 보장합니다.

Relation with cosine

행렬 $A$의 양수-한정성은 임의의 벡터 $\mathbf {x}$와 그것의 이미지 $A\mathbf {x}$ 사이의 각도 $\theta$가 항상 $-\pi /2<\theta <+\pi /2$임을 나타냅니다:

$$\cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\widehat {\mathbf {x} ,A\mathbf {x} }}={\text{the angle between }}\mathbf {x} {\text{ and }}A\mathbf {x}$$

Further properties

1. 만약 $M$이 대칭 퇴플리츠 행렬(Toeplitz matrix)이면, 즉, 엔트리 $m_{ij}$가 그것들의 절대 인덱스 차이: $m_{ij}=h(|i-j|)$의 함수로 주어지고, 엄격한(strict) 부등식 ${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$이 유지되면, $M$은 엄격하게(strictly) 양수 한정입니다.
2. $M>0$라고 놓고 $N$을 에르미트라고 놓습니다. 만약 $MN+NM\geq 0$ (각각, $MN+NM>0$)이면, $N\geq 0$ (각각, $N>0$)입니다.
3. 만약 $M>0$가 실수이면, $M>\delta I$임을 만족하는 $\delta >0$가 있으며, 여기서 $I$는 항등 행렬(identity matrix)입니다.
4. 만약 $M_{k}$가 선행하는 $k\times k$ 소행렬식을 나타내면, $\det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)$는 LU 분해 동안 k-번째 피벗입니다.
5. 행렬은 만약 그것의 k-번째 차수 선행하는 주요 소행렬식(principal minor)이 $k$가 홀수일 때 음수이고, $k$가 짝수일 때 양수이면 음수 한정입니다.
6. 만약 $M$이 실수 양수 한정 행렬이면, 모든 각 벡터 $\mathbf {v}$에 대해, $\mathbf {v} ^{T}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}$임을 만족하는 양의 실수 $m$이 존재합니다.
7. 에르미트 행렬이 양수 반한정인 것과 모든 그것의 주요 소행렬식이 비-음수인 것은 필요충분 조건입니다. 어쨌든 엔트리 0과 −1을 갖는 대각 행렬에서 확인되는 것처럼 선행하는 주요 소행렬식만 고려하는 것으로는 충분하지 않습니다.

Block matrices and submatrices

양수 $2n\times 2n$ 행렬은 역시 블록(blocks)에 의해 정의될 수 있습니다: $$M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$$

여기서 각 블럭은 $n\times n$입니다. 양수성 조건을 적용함으로써, $A$와 $D$가 에르미트이고, $C=B^{*}$라는 것이 즉시 이어집니다.

우리는 모든 복소수 $\mathbf {z}$에 대해, 그리고 특히 $\mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\textsf {T}}$에 대해 $\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0$임을 가집니다. 그런-다음 $${\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0.$$

유사한 논증이 $D$에 적용될 수 있고, 따라서 우리는 $A$와 $D$ 모두 양수 한정이여야 한다는 결론을 내립니다. 논증은 $M$의 임의의 주요 부분행렬(principal submatrix)이 자체 양수 한정임을 보여주기 위해 확장될 수 있습니다.

전환 결과(Converse results)는 예를 들어 슈어 여(Schur complement)를 사용하여 블록에서 더 강한 조건으로 입증될 수 있습니다.

Local extrema

$n$ 실수 변수 $x_{1},\ldots ,x_{n}$에 대한 일반적인 이차 형식(quadratic form) $f(\mathbf {x} )$은 항상 $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x}$로 쓸 수 있으며, 여기서 $\mathbf {x}$는 그것들의 변수를 갖는 열 벡터이고, $M$은 대칭 실수 행렬입니다. 그러므로, 행렬이 양수 한정이라는 것은 $f$가 $\mathbf {x}$가 영일 때 고유한 최솟값 (영)을 가지고, 임의의 다른 $\mathbf {x}$에 대해 엄격하게 양수임을 의미합니다.

보다 일반적으로, $n$ 실수 변수에 대한 두 번-미분가능 실수 함수 $f$는 만약 그것의 그래디언트(gradient)가 영이고 그것의 헤세(Hessian, 모든 이차 도함수의 행렬)가 해당 점에서 양수 반-한정이면 인수 $x_{1},\ldots ,x_{n}$에서 지역 최솟값을 가집니다. 유사한 논증은 음수 한정과 반-한정 행렬에 대해 만들 수 있습니다.

Covariance

통계(statistics)에서, 다변수 확률 분포(multivariate probability distribution)의 공분산 행렬(covariance matrix)은 항상 양수 반-한정입니다; 그리고 그것은 한 변수가 다른 변수의 정확한 선형 함수가 아닌 한 양수 한정입니다. 반대로, 모든 각 양수 반-한정 행렬은 일부 다변수 분포의 공분산 행렬입니다.

Extension for non-Hermitian square matrices

양수 한정의 정의는 만약 모든 비-영 복소수 벡터 $\mathbf {z}$에 대해 $\Re \left(\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right)>0$이면 임의의 복소수 행렬 $M$ (예를 들어, 실수 비-대칭)을 양수 한정으로 지정함으로써 일반화될 수 있으며, 여기서 $\Re (c)$는 복소수 $c$의 실수 부분을 나타냅니다. 오직 에르미트 부분 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)}$이 그 행렬이 양수 한정인지 여부를 결정하고, 위의 좁은 의미에서 평가됩니다. 유사하게, 만약 $\mathbf {x}$와 $M$이 실수이면, 모든 실수 비-영 벡터 $\mathbf {x}$에 대해 $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} >0$를 가지는 것과 대칭 부분 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\textsf {T}}\right)}$이 좁은 의미에서 양수 한정인 것이 필요충분 조건입니다. ${\textstyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}}$가 $M$의 전치에 둔감하다는 것은 즉시 명백합니다.

결과적으로, 양의 고윳값만 갖는 비-대칭 실수 행렬은 양수 한정일 필요가 없습니다. 예를 들어, 행렬 $M=\left[{\begin{smallmatrix}4&9\\1&4\end{smallmatrix}}\right]$은 양의 고윳값을 가지지만 양수 한정이 아닙니다; 특히 $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}M\mathbf {x}$의 음의 값은 $\mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right]$ ($M$).의 대칭 부분의 음의 고윳값과 결합된 고유벡터임)을 선택하여 얻습니다.

요약하면, 실수 경우와 복소수 경우 사이의 구별되는 특징은 복소수 힐베르트 공간 위에 경계진 양수 연산자가 필연적으로 에르미트, 또는 자기 인접(self adjoint)이라는 것입니다. 일반적인 주장은 극화 항등식(polarization identity)을 사용하여 주장될 수 있습니다. 그것은 실수 경우에서는 더 이상 사실이 아닙니다.

Applications

Heat conductivity matrix

푸리에의 열전도 법칙은, 온도 그래디언트 $\mathbf {g} =\nabla T$의 관점에서 열 유량 $\mathbf {q}$를 제공하는 것은 이방성 매체에 대해 $\mathbf {q} =-K\mathbf {g}$로 쓰며, 이것에서 $K$는 대칭 열 전도성(thermal conductivity) 행렬입니다. 열이 항상 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐를 것이라는 기대를 반영하기 위해 푸리에의 법칙에 음수가 삽입되었습니다. 다시 말해서, 온도 그래디언트 $\mathbf {g}$는 항상 차가운 곳에서 뜨거운 곳으로 향하기 때문에 열 유량 $\mathbf {q}$는 $\mathbf {q} ^{\textsf {T}}\mathbf {g} <0$가 되도록 $\mathbf {g}$와 음수 안의 곱을 가지게 될 것으로 예상됩니다. 푸리에의 법칙을 대입하면 이 기대를 $\mathbf {g} ^{\textsf {T}}K\mathbf {g} >0$으로 제공하여, 전도성 행렬이 양수 한정이여야 함을 의미합니다.

See also

• Covariance matrix
• M-matrix
• Positive-definite function
• Positive-definite kernel
• Schur complement
• Sylvester's criterion
• Numerical range

References

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.
• Bhatia, Rajendra (2007). Positive definite matrices. Princeton Series in Applied Mathematics. ISBN 978-0-691-12918-1.
• Bernstein, B.; Toupin, R. A. (1962). "Some Properties of the Hessian Matrix of a Strictly Convex Function". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 210: 67–72. doi:10.1515/crll.1962.210.65.

External links

• "Positive-definite form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Positive Definite Matrix