Triangular matrix

수학(mathematics)에서, 삼각 행렬(triangular matrix)은 특수한 종류의 정사각 행렬(square matrix)입니다. 정사각 행렬은 만약 주요 대각선(main diagonal) 위의 모든 엔트리가 영이면 아래쪽 삼각(lower triangular)이라고 불립니다. 유사하게, 정사각 행렬은 주요 대각선 아래의 모든 엔트리가 영이면 위쪽 삼각(upper triangular)이라고 불립니다.

삼각 행렬을 갖는 행렬 방정식은 풀기가 더 쉽기 때문에, 그것들은 수치 해석(numerical analysis)에서 매우 중요합니다. LU 분해 알고리듬에 의해, 역-가능 행렬(invertible matrix)은 아래쪽 삼각 행렬 L과 위쪽 삼각 행렬 U의 곱으로 쓸 수 있는 것과 모든 그것의 선행하는 주요 소행렬식(minors)이 비-영인 것은 필요충분 조건입니다.

Description

다음 형식의 행렬은

L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}

아래쪽 삼각 행렬(lower triangular matrix) 또는 왼쪽 삼각 행렬(left triangular matrix)이라고 불리고, 유사하게 다음 형식의 행렬은

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

위쪽 삼각 행렬(upper triangular matrix) 또는 오른쪽 삼각 행렬(right triangular matrix)이라고 불립니다. 아래쪽 또는 왼쪽 삼각 행렬은 공통적으로 변수 L에 의해 표시되고, 위쪽 또는 오른쪽 삼각 행렬은 공통적으로 변수 U 또는 R에 의해 표시됩니다.

위쪽 삼각 행렬과 아래쪽 삼각 행렬 둘 다인 행렬은 대각(diagonal)입니다. 삼각 행렬과 닮은 행렬은 삼각화가능(triangularisable)이라고 불립니다.

대각선 위 (아래)에 영들을 갖는 비-정사각 (또는 때로는 임의의) 행렬은 아래쪽 (위쪽) 사다리꼴 행렬이라고 불립니다. 비-영 엔트리는 사다리꼴(trapezoid) 모양을 형성합니다.

Examples

다음 행렬은

{\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

위쪽 삼각이고 다음 행렬은

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{bmatrix}}

아래쪽 삼각입니다.

Forward and back substitution

$L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 또는 $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 형식에서 행렬 방정식은 아래쪽 삼각 행렬에 대한 전방 대입(forward substitution)과 유사하게 위쪽 삼각 행렬에 대한 후방 대입(back substitution)이라고 불리는 반복 과정으로 해결하기가 매우 쉽습니다. 그 과정은 아래쪽 삼각 행렬에 대해, 먼저 $x_{1}$ 을 계산하고, 그런-다음 이를 전방으로 $x_{2}$ 를 풀기 위해 다음 방정식에 대입하고, $x_{n}$ 까지 반복하기 때문에 그렇게 불립니다. 위쪽 삼각 행렬에서, 먼저 $x_{n}$ 을 계산하고, 그런-다음 이를 후방으로 $x_{n-1}$ 을 풀기 위해 이전 방정식에 대입하고, $x_{1}$ 을 반복하면서 역방향으로 작업합니다.

이것은 행렬 반전이 필요하지 않음에 주목하십시오.

Forward substitution

행렬 방정식 $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ 은 선형 방정식의 시스템으로 쓸 수 있습니다:

{\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

첫 번째 방정식 ( $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ )은 $x_{1}$ 만 포함하고, 따라서 $x_{1}$ 을 직접 풀 수 있음을 관찰하십시오. 두 번째 방정식은 $x_{1}$ 과 $x_{1}$ 만 포함하고, 따라서 이미 해결된 값을 $x_{1}$ 에 대입하면 풀 수 있습니다. 이런 방법으로 계속하여, $k$ -번째 방정식은 $x_{1},\dots ,x_{k}$ 만 포함하고, $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ 에 대해 이전에 풀린 값을 사용하여 $x_{k}$ 를 풀 수 있습니다. 결과 공식은 다음과 같습니다:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}

위쪽 삼각 행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향으로만 작동하는 유사한 방법으로 풀 수 있습니다.

Applications

전방 대입은 금융 부트스트래핑(bootstrapping)에서 수익률 곡선(yield curve)을 구성하기 위해 사용됩니다.

Properties

위쪽 삼각 행렬의 전치(transpose)는 아래쪽 삼각 행렬이고 그 반대도 마찬가지입니다.

대칭이면서 삼각인 행렬은 대각입니다. 비슷한 맥락에서, 정규 (A^*A = AA^*를 의미, 여기서 A^*는 켤레 전치임)와 삼각도 대각입니다. 이것은 A^*A와 AA^*의 대각 엔트리를 봄으로써 알 수 있습니다.

삼각 행렬의 행렬식(determinant)과 퍼머넌트(permanent)는 직접 계산으로 확인될 수 있는 것처럼 대각 엔트리의 곱과 같습니다.

실제로 더 많은 것이 참입니다: 삼각 행렬의 고윳값(eigenvalues)은 정확히 대각선 엔트리입니다. 더욱이, 각 고윳값은 대각선에서 정확히 k번 발생하며, 여기서 k는 대수적 중복도(algebraic multiplicity), 즉, A의 특성 다항식(characteristic polynomial) $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ 의 근으로서의 중복도입니다. 다시 말해서, 삼각 n×n 행렬 A의 특성 다항식은 정확하게 다음과 같습니다:

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

,

즉, 근이 (중복도를 갖는) A의 대각선 엔트리인 고유한 차수 n 다항식입니다. 이를 확인하기 위해, $xI-A$ 도 삼각이고 따라서 행렬식 $\det(xI-A)$ 는 대각 엔트리의 곱 $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ 임을 관찰하십시오.^[1]

Special forms

Unitriangular matrix

만약 (위쪽 또는 아래쪽) 삼각 행렬의 주요 대각선(main diagonal)에 있는 엔트리는 모두 1이면, 행렬은 (위쪽 또는 아래쪽) 단위삼각(unitriangular)이라고 불립니다.

이들 행렬에 사용되는 다른 이름은 단위 (위쪽 또는 아래쪽) 삼각, 또는 매우 드물게 노름된 (위쪽 또는 아래쪽) 삼각입니다. 어쨌든, 단위 삼각 행렬은 그 단위 행렬(unit matrix)과 같지 않고, 노름된 삼각 행렬은 행렬 노름(matrix norm)의 개념과 아무런 관련이 없습니다.

모든 유한 단위삼각 행렬은 단위거듭영(unipotent)입니다.

Strictly triangular matrix

만약 (위쪽 또는 아래쪽) 삼각 행렬의 주요 대각선에 있는 모든 엔트리도 0이면, 행렬은 엄격하게 (위쪽 또는 아래쪽) 삼각이라고 불립니다.

모든 유한한 엄격하게 삼각 행렬은 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)의 결과로 인덱스 많아야 n의 거듭제곱영(nilpotent)입니다.

Atomic triangular matrix

원자적 (위쪽 또는 아래쪽) 삼각 행렬은 단일 열에서 엔트리를 제외하고 모든 비-대각 원소(off-diagonal elements)가 영인 특별한 형식의 단위삼각 행렬입니다. 그러한 행렬은 프로베니우스 행렬(Frobenius matrix), 가우스 행렬(Gauss matrix), 또는 가우스 변환 행렬(Gauss transformation matrix)이라고도 불립니다.

Triangularisability

삼각 행렬과 닮은 행렬은 삼각화-가능(triangularizable)이라고 참조됩니다. 추상적으로, 이것은 플래그(flag)를 안정화하는 것과 동등합니다: 위쪽 삼각 행렬은 정확히 표준 순서화된 기저 $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ 와 결과 플래그 $0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}$ 에 의해 제공되는 표준 플래그(standard flag)를 보존하는 행렬입니다. 모든 플래그는 켤레이므로 (일반적인 선형 그룹이 기저에 전이적으로 동작하기 때문), 플래그를 안정화하는 임의의 행렬은 표준 플래그를 안정화하는 행렬과 닮았습니다.

임의의 복소 정사각 행렬은 삼각화가능입니다.^[1] 실제로, A의 모든 고윳값을 포함하는 필드(field)에 걸쳐 행렬 A (예를 들어, 대수적으로 닫힌 필드에 걸쳐 임의의 행렬)은 삼각 행렬과 닮았습니다. 이것은 A가 고유벡터를 가지고 있다는 사실에 귀납법을 사용하고, 고유벡터에 의해 몫 공간을 취하고 A가 플래그를 안정화함을 보이기 위해 유도함으로써 입증될 수 있고, 따라서 해당 플래그에 대한 기저에 관한 삼각화가능입니다.

더 정확한 명제는 조르당 정규 형식(Jordan normal form) 정리에 의해 제공되며, 이는 이 상황에서, A가 매우 특정한 형식의 위쪽 삼각 행렬과 닮았다고 말합니다. 어쨌든, 더 간단한 삼각화 결과는 종종 충분하고, 어떤 경우든 조르당 정규 형식 정리를 입증하는 데 사용됩니다.^[1]^[2]

복소수 행렬의 경우에서, 삼각화에 대해 더 많이 말할 수 있습니다. 즉, 임의의 정사각 행렬 A는 슈어 분해(Schur decomposition)를 가집니다. 이것은 A가 위쪽 삼각 행렬과 유니태리적으로 동등하다는 것을 의미합니다 (즉, 유니태리 행렬을 기저의 변경으로 사용하여, 닮았습니다); 이것은 플래그에 대한 에르미트 기저를 취함으로써 따릅니다.

Simultaneous triangularisability

행렬 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 의 집합은 만약 그것들이 모든 위쪽 삼각형인 기저가 있으면; 동등하게, 만약 그것들이 단일 닮음 행렬 P에 의해 위쪽 삼각화가능이면 동시에 삼각화-가능(simultaneously triangularisable)이라고 말합니다. 그러한 행렬의 집합은 그것들이 생성하는 행렬의 대수, 즉, $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ 로 표시되는 $A_{i}$ 의 모든 다항식을 고려함으로써 더 쉽게 이해될 수 있습니다. 동시 삼각화-가능성은 이 대수가 위쪽 삼각 행렬의 리 부분대수학 켤레이고, 이 대수가 보렐 부분대수(Borel subalgebra)의 리 부분대수인 것과 동등함을 의미합니다.

기본 결과는 (대수적으로 닫힌 필드에 걸쳐), 교환하는 행렬(commuting matrices) $A,B$ 또는 더 일반적으로 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 가 동시에 삼각화-가능이라는 것입니다. 이것은 먼저 교환하는 행렬이 공통 고유벡터를 가지고 있음을 보여주고, 이전과 같이 차원을 귀납함으로써 입증될 수 있습니다. 이것은 교환하는 행렬에서 논의된 것처럼 교환하는 쌍을 위해 1878년에 시작된 프로베니우스에 의해 입증되었습니다. 단일 행렬에 대한 것처럼, 복소수에 걸쳐 이것들은 유니태리 행렬에 의해 삼각화될 수 있습니다.

교환하는 행렬이 공통 고유벡터를 가진다는 사실은 힐베르트의 Nullstellensatz의 결과로 해석될 수 있습니다: 교환하는 행렬은 교환 대수 $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ 에 걸쳐 교환 대수 $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ 를 형성하며, 이는 k-차원 아핀 공간에서 다양체로 해석될 수 있고, (공통) 고윳값 (및 따라서 공통 고유벡터)의 존재는 (약한) Nullstellensatz의 컨텐츠인 점 (비-빈인 것)을 가지는 이 다양성에 해당합니다. 대수학 용어에서, 이들 연산자는 k 변수에서 다항식 대수의 대수적 표현(algebra representation)에 해당합니다.

이것은 리의 정리(Lie's theorem)에 의해 일반화되며, 이는 해결-가능 리 대수(solvable Lie algebra)의 임의의 표현이 동시에 위쪽 삼각화가능, 교환하는 행렬이 아벨 리 대수 경우인 경우, 아벨이 해결-가능 포르티오리임을 보여줍니다.

보다 일반적이고 정확하게, 행렬 $A_{1},\ldots ,A_{k}$ 의 집합은 동시에 삼각화-가능인 것과 행렬 $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ 가 k 비-교환하는 변수에서 모든 다항식 p에 대해 거듭제곱영(nilpotent)인 것은 필요충분 조건이며, 여기서 $[A_{i},A_{j}]$ 는 교환자(commutator)입니다; 교환하는 $A_{i}$ 에 대해, 교환자가 사라지므로 이것이 유지됩니다. 이것은 1951년 Drazin, Dungey, 및 Gruenberg에 의해 입증되었습니다;^[3] 간략한 증명이 1994년 Prasolov에 의해 제공되었습니다.^[4] 한 가지 방향은 분명합니다: 만약 행렬이 동시에 삼각화-가능이면, $[A_{i},A_{j}]$ 는 엄격하게 위쪽 삼각화-가능 (따라서 거듭제곱영)이며, 임의의 $A_{k}$ 또는 이들의 조합에 의한 곱셈에 의해 보존됩니다 – 그것은 여전히 삼각화하는 기저에서 대각선 위에 영들을 가질 것입니다.

Algebras of triangular matrices

위쪽 삼각화는 많은 연산에 의해 보존됩니다:

두 개의 위쪽 삼각 행렬의 합은 위쪽 삼각입니다.
위쪽 삼각 행렬의 역은, 존재하다면, 위쪽 삼각입니다.
위쪽 삼각 행렬과 스칼라의 곱은 위쪽 삼각입니다.

함께 이러한 사실은 위쪽 삼각 행렬이 주어진 크기에 대한 정사각 행렬의 결합 대수(associative algebra)의 부분대수(subalgebra)를 형성한다는 것을 의미합니다. 추가적으로, 이것은 역시 위쪽 삼각 행렬이 고정된 크기의 정사각 행렬의 리 대수의 리 부분대수로 볼 수 있음을 보여주며, 여기서 리 괄호(Lie bracket) [a, b]는 교환자 ab − ba에 의해 주어집니다. 모든 위쪽 삼각 행렬의 리 대수는 해결-가능 리 대수(solvable Lie algebra)입니다. 그것은 종종 모든 정사각 행렬의 리 대수의 보렐 부분대수(Borel subalgebra)라고 참조됩니다.

모든 이들 결과는 위쪽 삼각(upper triangular)이 전체적으로 아래쪽 삼각(lower triangular)으로 대체되면 유지됩니다; 특히 아래쪽 삼각 행렬도 리 대수를 형성합니다. 어쨌든, 위쪽 삼각 행렬과 아래쪽 삼각 행렬을 혼합하는 연산은 일반적으로 삼각 행렬을 생성하지 않습니다. 예를 들어, 위쪽 삼각 행렬과 아래쪽 삼각 행렬의 합은 임의의 행렬이 될 수 있습니다; 아래쪽 삼각 행렬과 위쪽 삼각 행렬의 곱도 반드시 삼각 행렬일 필요는 없습니다.

단위삼각 행렬의 집합은 리 그룹(Lie group)을 형성합니다.

엄격하게 위쪽 (또는 아래쪽) 삼각 행렬의 집합은 ${\mathfrak {n}}$ 으로 표시되는 거듭제곱영 리 대수(nilpotent Lie algebra)를 형성합니다. 이 대수는 ${\mathfrak {b}}$ 의 유도된 리 대수, 모든 위쪽 삼각 행렬의 리 대수입니다; 기호에서 ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ 게다가, ${\mathfrak {n}}$ 은 단일삼각 행렬의 리 그룹의 리 대수입니다.

실제로, 엥겔의 정리(Engel's theorem)에 의해, 임의의 유한-차원 거듭제곱영 리 대수는 엄격하게 위쪽 삼각 행렬의 부분대수에 켤레입니다. 다시 말해, 유한-차원 거듭제곱영 리 대수는 동시에 엄격하게 위쪽 삼각화가능입니다.

위쪽 삼각 행렬의 대수는 힐베르트 공간(Hilbert spaces) 위에 중첩 대수(nest algebras)를 산출하는 함수형 해석( functional analysis)에서 자연스러운 일반화를 가집니다.

Borel subgroups and Borel subalgebras

주어진 종류 (위쪽 또는 아래쪽)의 역-가능 삼각 행렬의 집합은 그룹(group), 실제로 모든 역-가능 행렬의 일반 선형 그룹(general linear group)의 부분그룹인 리 그룹(Lie group)을 형성합니다. 삼각 행렬은 대각선 엔트리가 역-가능 (비-영)일 때 정확히 역-가능입니다.

실수에 걸쳐, 이 그룹은 분리된 것이며, 각 대각선 엔트리가 양수 또는 음수이므로 그에 따라 $2^{n}$ 개의 성분을 가집니다. 항등 성분은 대각선에 양수 엔트리를 갖는 역-가능 삼각 행렬이고, 모든 역-가능 삼각 행렬의 그룹은 이 그룹과 성분에 해당하는 대각선에 $\pm 1$ 를 갖는 대각 행렬(diagonal matrices) 그룹의 반직접 곱(semidirect product)입니다.

역가능 위쪽 삼각 행렬의 리 그룹의 리 대수는 반드시 역-가능일 필요는 없는 모든 위쪽 삼각 행렬의 집합이고, 해결-가능 리 대수(solvable Lie algebra)입니다. 이것들은, 각각, 리 그룹 GL_n의 표준 보렐 부분그룹(Borel subgroup) B와 리 대수 gl_n의 표준 보렐 부분대수(Borel subalgebra) ${\mathfrak {b}}$ 입니다.

위쪽 삼각 행렬은 정확하게 표준 플래그(standard flag)를 안정화하는 행렬입니다. 그것들 중 역-가능한 것들은 일반 선형 그룹의 부분군을 형성하며, 그의 켤레 부분그룹은 일부 (다른) 완비 플래그의 안정기로 정의된 부분그룹입니다. 이들 부분그룹은 보렐 부분그룹(Borel subgroups)입니다. 역-가능 아래쪽 삼각 행렬의 그룹은 역순으로 표준 기저와 결합된 표준 플래그의 안정기이기 때문에 그러한 부분그룹입니다.

표준 플래그의 일부를 망각함으로써 얻은 부분 플래그의 안정기는 블록 위쪽 삼각 행렬의 집합으로 설명될 수 있습니다 (단, 그 원소가 모두 삼각 행렬은 아닙니다). 그러한 그룹의 켤레는 일부 부분 플래그의 안정기로 정의된 부분그룹입니다. 이들 부분그룹은 포물형 부분그룹(parabolic subgroups)이라고 불립니다.

Examples

2×2 위쪽 단위삼각 행렬의 그룹은 스칼라 필드의 덧셈 그룹(additive group)에 동형적(isomorphic)입니다; 복소수의 경우에서, 그것은 포물형 뫼비우스 변환(Möbius transformations)으로 구성된 그룹에 해당합니다; 3×3 위쪽 단위삼각 행렬은 하이젠베르크 그룹(Heisenberg group)을 형성합니다.

References

^ ^a ^b ^c Axler, Sheldon Jay (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). New York: Springer. pp. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC 54850562.
^ Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC 3307396.
^ Drazin, M. P.; Dungey, J. W.; Gruenberg, K. W. (1951). "Some Theorems on Commutative Matrices". Journal of the London Mathematical Society. 26 (3): 221–228. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.221.
^ Prasolov, V. V. (1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. Simeon Ivanov. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 178–179. ISBN 9780821802366. OCLC 30076024.

[axler-1] Axler, Sheldon Jay (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). New York: Springer. pp. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC 54850562.

[herstein-2] Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra (2nd ed.). New York: Wiley. pp. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC 3307396.

[3] Drazin, M. P.; Dungey, J. W.; Gruenberg, K. W. (1951). "Some Theorems on Commutative Matrices". Journal of the London Mathematical Society. 26 (3): 221–228. doi:10.1112/jlms/s1-26.3.221.

[4] Prasolov, V. V. (1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. Simeon Ivanov. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 178–179. ISBN 9780821802366. OCLC 30076024.

[1]

[2]

[3]

[4]

Description

Examples

Forward and back substitution

Forward substitution

Applications

Properties

Special forms

Unitriangular matrix

Strictly triangular matrix

Atomic triangular matrix

Triangularisability

Simultaneous triangularisability

Algebras of triangular matrices

Borel subgroups and Borel subalgebras

Examples

See also

References