Projectively extended real line

실수 해석학(real analysis)에서, 투영적으로 확장된 실수 직선(projectively extended real line) (역시 실수 직선(real line)의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)라고 불림)은 $\infty$ 로 표시된 한 점에 의한 실수(real number)의 집합, $\mathbb {R}$ 의 확장입니다. 그것은 따라서 가능한 곳에서 표준 산술 연산을 갖는 집합 $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ 이고, 때때로 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에 의해 표시됩니다. 추가된 점은 무한대에서 점(point at infinity)이라고 불리는데, 왜냐하면 그것은 실수 직선의 끝(ends) 둘 다의 이웃으로 고려되기 때문입니다. 보다 정확하게, 무한대에서 점은 그의 그것의 절댓값(absolute values)이 증가하고 무경계(unbounded)진 실수의 모든 각 수열(sequence)의 극한(limit)입니다.

투영적으로 확장된 실수 직선은 세 점이 특정 값 $0$ , $1$ , 및 $\infty$ 에 할당되는 실수 투영 직선(real projective line)으로 식별될 수 있습니다. 투영적으로 확장된 실수 직선은 $+\infty$ 와 $-\infty$ 가 구별되는 아핀적으로 확장된 실수 직선(affinely extended real number line)과 구별됩니다.

Dividing by zero

직관적인 '숫자' 개념의 대부분의 수학적 모델과 달리, 이 구조는 비-영 a에 대해 영에 의한 나눗셈(division by zero)을 허용합니다:

{\frac {a}{0}}=\infty

.

특히, $1/0 = \infty$ 이고, 게다가 $1/\infty = 0$ 이며, 이 구조에서, 역수(reciprocal), $1/ x$ 을 전체 함수(total function)로 만듭니다. 그 구조는, 어쨌든, 필드(field)가 아니고, 이진 산술 연산 중 어느 것도 전체가 아닌데, 왜냐하면 역수가 전체임에도 불구하고 예를 들어 $0\cdot\infty$ 가 정의되지 않는 것이 목격되기 때문입니다. 어쨌든, 그것은 그것은 사용가능한 해석을 가집니다 – 예를 들어, 기하학에서, 수직 직선은 무한대 기울기(slope)를 가집니다.

Extensions of the real line

투영적으로 확장된 실수 직선은 리만 구(Riemann sphere)가 전통적으로 $\infty$ 라고 불리는 단일 점을 추가함으로써 복소수(complex number)의 필드를 확장하는 것과 같은 방법에서 실수(real number)의 필드(field)를 확장합니다.

대조적으로, 아핀적으로 확장된 실수 직선(affinely extended real number line) (역시 실수 직선의 두-점 컴팩트화(compactification)라고 불림)은 $+\infty$ 와 $-\infty$ 를 구별합니다.

Order

순서 관계는 의미 있는 방법에서 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 로 확장될 수 없습니다. 숫자 $a\neq \infty$ 가 주어지면, $a>\infty$ 또는 $a<\infty$ 중 하나를 정의하기 위한 설득력이 있는 논증이 없습니다. $\infty$ 는 다른 임의의 원소와 비교될 수 없으므로, ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 위에 이 관계를 유지하는 것은 의미가 없습니다. 어쨌든, $\mathbb {R}$ 위에 순서는 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 의 정의에서 사용됩니다.

Geometry

$\infty$ 가 임의의 다른 점과 다르지 않은 한 점이라는 아이디어의 기본은 실수 투영 직선이 동차 공간(homogeneous space), 실제로 원(circle)으로의 위상동형(homeomorphic)이라는 방법입니다. 예를 들어, 2×2 실수 역-가능(invertible) 행렬의 일반 선형 그룹(general linear group)은 그것 위에 전이 동작(transitive action)을 가집니다. 그룹 동작(group action)은 선형 분수 변환의 분모가 0일 때, 그 이미지가 $\infty$ 라는 이해와 함께, 뫼비우스 변환(Möbius transformation) (역시 선형 분수 변환이라고 불림)에 의해 표현될 수 있습니다.

동작의 자세한 해석은 임의의 셋의 구별되는 점 P, Q, 및 R에 대해, P를 0으로, Q를 1로, 및 R을 $\infty$ 로 취하는 선형 분수적 변환이 있음을 보여줍니다. 즉, 선형 분수적 변환의 그룹은 실수 투영 직선 위에 삼중적으로 전이(transitive)입니다. 교차-비율(cross-ratio)이 불변하기 때문에, 이것은 점의 4-튜플로 확장될 수 없습니다.

용어 투영 직선(projective line)은 적절한데, 왜냐하면 그 점은 $\mathbb {R} ^{2}$ 의 일-차원 선형 부분공간(linear subspace)을 갖는 1-대-1 대응에 있습니다.

Arithmetic operations

Motivation for arithmetic operations

이 공간 위에 산술 연산은 실수 위의 같은 연산의 확장입니다. 새로운 정의에 대해 동기는 실수의 함수의 극한입니다.

Arithmetic operations that are defined

${\widehat {\mathbb {R} }}$ 의 부분집합 $\mathbb {R}$ 위에 표준 연산 외에도, 다음 연산이 표시된 예외와 함께 $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 에 대해 정의됩니다:

{\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}

Arithmetic operations that are left undefined

다음 표현은 실수 함수의 극한을 고려함으로써 동기-부여될 수 없고, 그것들의 정의는 표준 대수적 속성의 명제를 모든 정의된 경우에 대해 형식에서 변경되지 않고 유지되는 것을 허용합니다.^[a] 결과적으로, 그것들은 정의되지 않은 채 남겨집니다:

{\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}

Algebraic properties

다음 상등은 의미합니다: 양쪽 변 모두가 정의되지 않았거나, 양쪽 변이 정의되고 같습니다. 이것은 임의의 $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 에 대해 참입니다.

{\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}

다음은 임의의 $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 에 대해 오른쪽 변이 정의될 때마다 참입니다.

{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=({\frac {a}{b}})\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}

일반적으로, $\mathbb {R}$ 에 대해 유효한 산술의 모든 법칙은 역시 모든 발생하는 표현이 정의될 때마다 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에 대해 유효합니다.

Intervals and topology

구간(interval)의 개념은 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 로 확장될 수 있습니다. 어쨌든, 그것은 순서화되지 않은 집합이기 때문에, 구간은 약간 다른 의미를 가집니다. 닫힌 구간에 대해 정의는 다음과 같습니다: ( $a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ 임을 가정합니다):

{\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}

끝점이 같을 때의 예외와 함께, 해당하는 열린 및 반-열린 구간은 각 끝점을 제거함으로써 정의됩니다.

${\widehat {\mathbb {R} }}$ 와 빈 집합은 임의의 단일 점을 제외하는 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에서 처럼 역시 구간입니다.^[b]

기저(base)로 열린 구간은 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 위에 토폴로지(topology)를 정의합니다. 기저에 대해 충분은 $\mathbb {R}$ 에서 열린 구간과 $a<b$ 를 만족하는 모든 $a,b\in \mathbb {R}$ 에 대해 구간 $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ 입니다.

말했듯이, 토폴로지는 원(circle)과 위상-동형(homeomorphic)입니다. 따라서 그것은 이 원의 보통의 메트릭 (직선 또는 원을 따라 측정됨)에 해당하는 (주어진 위상-동형에 대해) 메트릭-가능(metrizable)입니다. $\mathbb {R}$ 위에 보통의 메트릭의 확장인 메트릭이 없습니다.

Interval arithmetic

구간 산술(Interval arithmetic)은 $\mathbb {R}$ 에서 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 로 확장됩니다. 구간 위에 산술 연산의 결과는 이항 연산을 갖는 구간이 정의되지 않은 결과로 이어지는 호환되지 않는 값을 포함할 때를 제외하고 항상 구간입니다.^[c] 특히, 우리는, 모든 각 $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 에 대해, 다음을 가집니다:

x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right],

이때, 두 구간이 $0$ 와 $\infty$ 을 포함하는지 여부와 관계없습니다.

Calculus

미적분(calculus)의 도구는 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 의 함수를 분석하기 위해 사용될 수 있습니다. 그 정의는 이 공간의 토폴로지에 위해 동기 부여됩니다.

Neighbourhoods

$x\in {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ 라고 놓습니다.

A는 x의 이웃(neighbourhood)인 것과 A는 열린 구간 B와 $x\in B$ 를 포함하는 것은 필요충분(iff) 조건입니다.
A는 x의 오른쪽-편 이웃인 것과 A가 $[x,y)$ 를 포함함을 만족하는 $y\in {\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{x\}$ 가 있는 것은 필요충분 조건입니다.
A는 x의 왼쪽-편 이웃인 것과 A가 $(y,x]$ 를 포함함을 만족하는 $y\in {\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{x\}$ 가 있는 것은 필요충분 조건입니다.
A는 x의 (오른쪽-편, 왼쪽-편) 구멍-낸 이웃(punctured neighbourhood)인 것과 B가 x의 (오른쪽-편, 왼쪽-편) 이웃임과 $A=B\setminus \{x\}$ 를 만족하는 $B\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ 가 있는 것은 필요충분 조건입니다.

Limits

Basic definitions of limits

$f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 라고 놓습니다.

f(x)의 극한(limit)은 x가 p로 접근할 때, 다음으로 표현된, L인 것과

\lim _{x\to p}{f(x)}=L

L의 모든 각 이웃 A에 대해, $x\in B$ 가 $f(x)\in A$ 임을 의미함을 만족하는 p의 구멍-낸 이웃 B가 있는 것은 필요충분 조건입니다.

f(x)의 한-쪽 극한(one-sided limit)은 x가 오른쪽 (왼쪽)에서 p로 접근할 때, 다음으로 표현된, L인 것과

\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right)

L의 모든 각 이웃에 대해, $x\in B$ 가 $f(x)\in A$ 임을 의미함을 만족하는 p의 오른쪽-편 (왼쪽-편) 구멍-낸 이웃이 있는 것은 필요충분 조건입니다.

그것은 $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ 인 것과 $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ and $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$ 둘 다인 것은 필요충분 조건임을 알 수 있습니다.

Comparison with limits in ℝ

위에 주어진 정의는 실수 함수의 극한의 보통의 정의와 비교될 수 있습니다. 다음 명제에서, $p,L\in \mathbb {R}$ , 첫 번째 극한은 위에서 정의한 것과 같고, 두 번째 극한은 보통의 의미에 있습니다:

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ 는 $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ 과 동등합니다.
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ 는 $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$ 과 동등합니다.
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ 는 $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$ 과 동등합니다.
$\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ 는 $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$ 과 동등합니다.
$\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ 는 $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$ 과 동등합니다.
$\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ 는 $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$ 과 동등합니다.

Extended definition of limits

$A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ 라고 놓습니다. 그런-다음 p가 A의 극한 점(limit point)인 것과 p의 모든 각 이웃이 $y\neq p$ 를 만족하는 점 $y\in A$ 을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다.

$f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 이고, p가 A의 극한 점이라고 놓습니다. f(x)의 극한은 x가 A를 통해 p로 접근할 때 L인 것과 L의 모든 각 이웃 B에 대해, $x\in A\cap C$ 가 $f(x)\in B$ 임을 의미함을 만족하는 p의 구멍-낸 이웃 C가 있는 것은 필요충분 조건입니다.

이것은 $A\cup \lbrace p\rbrace$ 위에 부분공간 토폴로지(subspace topology)에 적용되는 연속성의 정규 토폴로지적 정의와 $A\cup \lbrace p\rbrace$ 에 대한 f의 제한에 해당합니다.

Continuity

다음 함수가

f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.

$p$ 에서 연속(continuous)인 것과 $f$ 가 $p$ 에서 정의되고 다음인 것은 필요충분 조건입니다:

\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).

만약 $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$ 이면, 다음 함수가

f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}

$A$ 에서 연속인 것과 모든 각 $p\in A$ 에 대해, $f$ 가 $p$ 에서 정의되고 $f (x)$ 의 극한이 $x$ 가 $A$ 를 통해 $p$ 로 경향일 때 $f (p)$ 인 것은 필요충분 조건입니다. 모든 각 유리 함수(rational function) $P (x)/ Q (x)$ 는, 여기서 $P$ 와 $Q$ 는 다항식, 고유한 방법에서, ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에서 연속인 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에서 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 로의 함수로 연장될 수 있습니다. 특히, 이것은 만약 그것들이 상수가 아니라면 값 $\infty$ 에서 $\infty$ 를 취하는 다항 함수(polynomial function)의 경우입니다.

역시, 만약 탄젠트 함수(tangent function) $tan$ 가 다음이 되도록 확장되면,

\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,

$tan$ 는 $\mathbb {R}$ 에서 연속이지만, ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에서 연속인 함수로 더 나아가서 연장될 수는 없습니다.

$\mathbb {R}$ 에서 연속인 많은 기본 함수(elementary function)는 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 에서 연속인 함수로 연장될 수는 없습니다. 이것은, 예를 들어, 지수 함수(exponential function)와 모든 삼각 함수(trigonometric functions)의 경우입니다. 예를 들어, 사인 함수(sine function)는 $\mathbb {R}$ 에서 연속이지만, 그것은 $\infty$ 에서 연속이도록 만들 수 없습니다. 위에서 보였듯이, 탄젠트 함수는 $\mathbb {R}$ 에서 연속인 함수로 연장될 수 있지만, 이 함수는 $\infty$ 에서 연속이도록 만들 수는 없습니다.

코도메인이 ${\widehat {\mathbb {R} }}$ 로 확장될 때 연속적이 되는 많은 불연속 함수가 코도메인(codomain)이 아핀적으로 확장된 실수 시스템(affinely extended real number system) ${\overline {\mathbb {R} }}$ 로 확장되면 불연속적으로 남습니다. 이것은 함수 $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ 의 경우입니다. 다른 한편으로, $\mathbb {R}$ 에서 연속이고 $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ 에서 불연속인 일부 함수는 도메인(domain)이 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 로 연장되면 연속이 됩니다. 이것은 아크 탄젠트(arc tangent)의 경우입니다.

As a projective range

실수 투영 직선(real projective line)이 실수 투영 평면(real projective plane)의 문맥에서 고려될 때, 데자르그의 정리(Desargues' theorem)의 결과는 암시적입니다. 특히, 점 사이의 투영 조화 켤레(projective harmonic conjugate) 관계의 구성은 실수 투영 직선의 구조의 일부입니다. 예를 들어, 임의의 점 쌍이 주어지면, 무한대에서 점(point at infinity)은 중간점(midpoint)의 투영 조화 켤레입니다.

투영성(projectivities)이 조화 관계를 유지함에 따라, 그것들은 실수 투영 직선의 자기-동형(automorphism)을 형성합니다. 링에 걸쳐 투영 직선(projective line over a ring)의 일반적인 구성에 따라 실수(real number)는 링(ring)을 형성하기 때문에 투영성은 대수적으로 호모그래피(homographies)로 설명됩니다. 집합적으로 그것들은 그룹 PGL(2,R)을 형성합니다.

그것 자체의 역인 투영성은 인볼루션(involutions)이라고 불립니다. 쌍곡선 인볼루션(hyperbolic involution)은 둘의 고정된 점(fixed point)을 가집니다. 이들 중 둘은 실수 투영 직선 위에 기본, 산술 연산: 부정(negation)과 역화(reciprocation)에 해당합니다. 실제로, 0과 ∞는 부정 아래에서 고정되고, 반면에 1과 −1은 역화 아래에서 고정됩니다.

Notes

^ An extension does however exist in which all the algebraic properties, when restricted to defined operations in ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , resolve to the standard rules: see Wheel theory.
^ If consistency of complementation is required, such that $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ and $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ for all $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (where the interval on either side is defined), all intervals excluding $\varnothing$ and ${\widehat {\mathbb {R} }}$ may be naturally represented using this notation, with $(a,a)$ being interpreted as ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ , and half-open intervals with equal endpoints, e.g. $(a,a]$ , remaining undefined.
^ For example, the ratio of intervals $[0,1]/[0,1]$ contains $0$ in both intervals, and since $0/0$ is undefined, the result of division of these intervals is undefined.

External links

Projectively Extended Real Numbers -- From Mathworld

[1] An extension does however exist in which all the algebraic properties, when restricted to defined operations in ${\widehat {\mathbb {R} }}$ , resolve to the standard rules: see Wheel theory.

[2] If consistency of complementation is required, such that $[a,b]^{\complement }=(b,a)$ and $(a,b]^{\complement }=(b,a]$ for all $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ (where the interval on either side is defined), all intervals excluding $\varnothing$ and ${\widehat {\mathbb {R} }}$ may be naturally represented using this notation, with $(a,a)$ being interpreted as ${\widehat {\mathbb {R} }}\setminus \{a\}$ , and half-open intervals with equal endpoints, e.g. $(a,a]$ , remaining undefined.

[3] For example, the ratio of intervals $[0,1]/[0,1]$ contains $0$ in both intervals, and since $0/0$ is undefined, the result of division of these intervals is undefined.

[a]

[b]

[c]