Radical extension

수학(mathematics)과 보다 구체적으로 필드 이론(field theory)에서, 필드(field) K의 제곱근 확장(radical extension)은 원소의 n번째 근(nth root)의 수열에 인접함으로써 얻어지는 K의 확장(extension)입니다.

Definition

단순 제곱근 확장(simple radical extension)은 K의 원소 b에 대해 $\alpha ^{n}=b$ 를 만족시키는 단일 원소 $\alpha$ 에 의해 생성된 단순 확장(simple extension) F/K입니다. 특성(characteristic) p에서, 우리는 역시 아르틴–슈라이어 다항식(Artin–Schreier polynomial)의 근에 의한 확장을 단순 제곱근 확장으로 취합니다. 제곱근 급수(radical series)는 각 확장 $F_{i}/F_{i-1}$ 가 단순 제곱근 확장인 곳에서 타워(tower) $K=F_{0}<F_{1}<\cdots <F_{k}$ 입니다.

Properties

만약 E가 F의 제곱근 확장이고 F가 K의 제곱근 확장이면 E는 K의 제곱근 확장입니다.
만약 E와 F가 필드 C에 걸쳐 공통으로 K의 제곱근 확장이면, 합성-필드(compositum) EF는 K의 제곱근 확장입니다.
만약 E가 F의 제곱근 확장이고 E > K > F이면 E는 K의 제곱근 확장입니다.

이들 세 속성은 제곱근 확장의 클래스가 필드 확장의 구별된 클래스(distinguished class of field extensions)임을 보여줍니다.

Solvability by radicals

제곱근 확장은 제곱근(radicals)에서 다항 방정식(polynomial equation)을 풀 때 자연스럽게 발생합니다. 사실, 제곱근에서 해(solution in radicals)는 제곱근 급수의 원소로서 해의 표현입니다: 필드 K에 걸쳐 다항식 f는 만약 K의 제곱근 확장에 포함된 K에 걸쳐 f의 분할 필드(splitting field)가 있으면 제곱근에 의해 풀리는 것으로 말합니다.

아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)는 제곱근에 의한 그러한 해가, 일반적으로, 적어도 차수 5의 방정식에 대해 존재하지 않는다고 말합니다. 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 방정식이 제곱근에서 풀릴 수 있는 것과 그것의 갈루아 그룹(Galois group)이 풀릴 수 있는(solvable) 것은 필요충분 조건임을 보여주었습니다. 증명은 갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory)와 다음 정리를 기반으로 합니다.

K를 n 구별되는 단위의 $n$ 번째 근( $n$ th roots of unity)을 포함하는 필드로 놓습니다. 차수(degree) n의 K의 확장은 K의 원소의 n번째 근에 의해 생성된 제곱근 확장인 것과 그것은 그것의 갈루아 그룹이 차수 n의 순환 그룹(cyclic group)인 갈루아 확장(Galois extension)인 것은 필요충분 조건입니다.

증명은 라그랑주 분해(Lagrange resolvent)와 관련됩니다. $\omega$ 를 (K에 속하는) 단위의 주요 n번째 근(primitive nth root of unity)으로 놓습니다. 만약 그 확장이 최소 다항식(minimal polynomial)으로 $x^{n}-a$ 을 갖는 $\alpha$ 에 의해 생성되면, 매핑 $\alpha \mapsto \omega \alpha$ 은 갈루아 그룹을 생성하는 확장의 K-동형을 유도하며, "단지 만약(only if)" 함축을 보여줍니다. 거꾸로, 만약 $\phi$ 가 갈루아 그룹을 생성하는 K-동형이고, $\beta$ 가 확장의 생성기이면, 다음을 허용합니다:

\alpha =\sum _{i=0}^{n-1}\omega ^{-i}\phi ^{i}(\beta ).

관계 $\phi (\alpha )=\omega \alpha$ 가 $\alpha$ 의 켤레(conjugates)의 곱 (즉 K-동형에 의한 $\alpha$ 의 이미지)은 K에 속하고, 단위의 n번째 근의 곱에 의한 $\alpha ^{n}$ 의 곱과 같음을 의미합니다. 단위의 n번째 근의 곱은 $\pm 1$ 이므로, 이것은 $\alpha ^{n}\in K$ 이고, 따라서 그 확장은 제곱근 확장임을 의미합니다.

갈루아 확장이 제곱근 급수로 표현될 수 있는 것과 그것의 갈루아 그룹이 풀릴 수 있는 것은 필요충분 조건임은 이 정리로부터 따릅니다. 이것은, 현대 용어에서, 갈루아에 의해 제공되었던 제곱근에 의한 해가능성의 기준입니다. 증명은 차수 n의 단순 제곱근 확장의 갈루아 클로저(Galois closure)가 단위의 원시 n번째 근에 의한 그것의 확장이고, 단위의 n번째 근의 갈루아 그룹은 순환적이라는 사실을 사용합니다.

References

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Roman, Steven (2006). Field theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 158 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-27677-7. Zbl 1172.12001.