Rational root theorem

대수학(algebra)에서 유리수 근 정리(rational root theorem) (또는 유리수 근 테스트(rational root test), 유리수 영 정리(rational zero theorem), 유리수 영 테스트(rational zero test) 또는 p/q 정리)는 정수(integer) 계수 $a_{i}\in \mathbb {Z}$ 및 $a_{0},a_{n}\neq 0$ 를 가진 다항 방정식(polynomail equation)

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0

의 유리수(rational) 해(solutions)에 대한 제약을 말합니다.

방정식의 해는 방정식의 왼쪽 변에 대한 다항식(polynomial)의 근(roots) 또는 영이라고 역시 불립니다.

정리는, $p$ 와 $q$ 가 서로소(relatively prime)이고, 가장 낮은 항으로 쓰인, 각 유리수 해 $x = p / q$ 는 다음 조건을 만족시킨다고 말합니다:

p는 상수 항(constant term) a₀의 정수 약수이고,
q는 선행(최고차) 계수(coefficient) a_n의 정수 약수(factor)입니다.

유리수 근 정리는 다항식의 인수 분해에 대한 가우스의 보조 정리(Gauss's lemma)의 (단일 선형 인수에 대한) 특수한 경우입니다. 정수의 근 정리(integral root theorem)는, 만약 선행 계수 a_n = 1일 때, 유리수 근 정리의 특수한 경우입니다.

Application

정리는, 만약 있다면, 다항식의 모든 유리수 근을 찾기 위해 사용됩니다. 그것은, 만약 그것들이 근이면 그것을 확인하기 위해 점검될 수 있는, 유한한 숫자의 가능한 분수를 제공합니다. 만약 유리수 근 $x = r$ 이 발견되면, 선형 다항식 $(x - r)$ 은 다항식 긴 나눗셈(polynomial long division)을 사용하여 다항식으로부터 인수로 묶여질 수 있고, 결과로써 그의 근이 역시 원래 다항식의 근이 되는 낮은 차수의 다항식을 얻을 수 있습니다.

Cubic equation

정수 계수를 가진 일반적인 삼차 방정식(cubic equation)

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

은 복소 평면(complex plane)에서 세 개의 해를 가집니다. 만약 유리수 근 테스트가 유리수 해를 찾지 못하면, 대수적으로(algebraically) 해를 표현하는 유일한 방법은 세제곱근(cube root)을 사용하는 것입니다. 그러나 만약 테스트가 유리수 해 $r$ 을 찾으면, $(x - r)$ 을 인수화로 묶어내는 것은, 이차 방정식(quadratic polynomial)을 남깁니다. 이 이차 방정식은 이차 공식(quadratic formula)으로부터 두 근을 구할 수 있는데, 그것은 세제곱근을 피할 수 있는 삼차의 남은 두 근입니다.

Proofs

First proof

다항 방정식을 다음과 같이 놓습니다:

P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},\qquad a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .

어떤 서로소(coprime) $p, q \in ℤ$ 에 대해 $P (p / q) = 0$ 을 가정합니다:

P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.

이제 양쪽 변에 $q n$ 를 곱합니다.

상수항 ( $a 0$ 을 포함하는 항)을 오늘쪽 변으로 옮기고, 왼쪽 변에서 $p$ 로 묶어내면, 다음을 얻을 수 있습니다:

p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.

따라서 p는 a₀qⁿ를 나눕니다. 그러나 p는 q와 서로소이고, 그러므로 qⁿ과도 서로소이므로, 유클리드의 보조 정리(Euclid's lemma)에 의해 p는 곱의 남아있는 인수 a₀를 반드시 나눕니다.

반면에, 선행 항을 오른쪽 변으로 옮기고 왼쪽 변에서 q를 인수로 묶어내면, 다음을 얻을 수 있습니다:

\qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.

이전과 같이 추론하면, q는 a_n을 나눈다는 결론을 얻을 수 있습니다.^[1]

Proof using Gauss' lemma

다항식의 모든 계수를 나누는 자명하지 않은 인수(–1 또는 1이 아닌 것을 말함)가 반드시 있다면, 가우스의 보조 정리(Gauss's lemma)의 의미에서 원시 다항식을 구하기 위해서 계수의 최대 공약수(greatest common divisor)로 나눌 수 있습니다; 이것은 유리수 근의 집합을 변경하지 않고, 오직 나눔가능도의 조건을 강화시킵니다. 그 보조 정리는, 만약 $Q [X]$ 안의 다항식 인수이면, 그것은 원시 다항식의 곱으로써 $Z [X]$ 안의 역시 인수분해합니다. 이제 임의의 유리수 근 $p / q$ 는 다항식의 $Q [X]$ 안의 차수 1의 하나의 인수에 해당하고, 그의 원시 대표 인수는, $p$ 와 $q$ 가 서로소라고 가정할 때, $qx - p$ 입니다. 그러나 $qx - p$ 의 $Z [X]$ 안의 임의의 배수는 $q$ 로 나뉠 수 있는 선형 항을 가지고 $p$ 로 나뉠 수 있는 상수 항을 가지는데, 이것이 명제를 증명한 것입니다. 이 논증은 보다 일반적으로, $P$ 의 임의의 기약 인수가 정수 계수와 $P$ 의 해당 계수에 의해 나누어지는 선행 및 상수 계수를 가지는 것을 가정할 수 있음을 보여줍니다.

Examples

First

다음의 다항식에서

2x^{3}+x-1,

완전히 감소된 유리수 근은 1로 균등하게 나누는 분자와 2로 균등하게 나누는 분모를 가져야 합니다. 따라서 오로지 가능한 유리수 근은 ±1/2 및 ±1이며, 이들 중 어느 것을 대입해도 다항식을 영으로 만들 수 없기 때문에, 유리수 근은 존재하지 않습니다.

Second

다음의 다항식에서

x^{3}-7x+6

단지 가능한 유리수 근은 6을 나눈 분자와 1을 나눈 분모를 가질 수 있으며, 가능성을 ±1, ±2, ±3, 및 ±6으로 제한됩니다. 이들 중에서 1, 2 및 –3을 대입했을 때, 다항식이 영과 같아지므로, 따라서 유리수 근들입니다. (사실 이것들은, 삼차 다항식은 오직 세 개의 영을 가질 수 있기 때문에, 유일한 근들입니다; 일반적으로, 다항식은 일부 유리수 근과 일부 무리수(irrational) 근을 가질 수 있습니다.)

Third

다음 다항식의 모든 유리 근은

3x^{3}-5x^{2}+5x-2

기호적으로 나타냈을 때 다음의 숫자중에 반드시 있습니다:

\pm {\tfrac {1,2}{1,3}}\ =\ \pm \{1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\}.

이들 8 근 후보는, 예를 들어 호너의 방법(Horner's method)을 사용하여, $P (r)$ 을 평가함으로써 테스트될 수 있습니다. 그것으로부터, $P (r) = 0$ 을 갖는 정확히 하나가 있음을 알 수 있습니다.

이 과정은 보다 효과적으로 만들어질 수 있습니다: 만약 $P (r) \neq 0$ 이면, 그것은 남아 있는 후보의 목록을 단축하기 위해 사용될 수 있습니다.^[2] 예를 들어, $x = 1$ 은 근이 아닌데, 왜냐하면 $P (1) = 1$ 입니다. 이것은 $x = 1 + t$ 로 대체함으로써 상수항 $P (1) = 1$ 을 갖고, 반면에 $t 3$ 의 계수는 $x 3$ 의 계수와 동일하게 유지되는 $t$ 의 다항식을 만듭니다. 유리수 근 정리를 적용하는 것은 따라서 가능한 근 $t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}$ 중에 있으므로,

x=1+t=2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}.

실제 근은 반드시 양쪽 목록에 동시에 나타나므로, 유리 근 후보의 목록은 단지 $x = 2$ and $x = 2/3$ 으로 줄어듭니다.

만약 $k \geq 1$ 유리수 근이 발견된다면, 호너의 방법은 차수 $n - k$ 의 다항식을 역시 도출할 것입니다; 이 다항식의 근은 앞에서 발견한 유리수 근과 함께 원래 다항식의 근과 정확히 같습니다. 만약 후보 중에 어느 것도 해가 아니면, 방정식은 유리 해를 가지지 않습니다.

Notes

^ Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0-340-54335-3.
^ King, Jeremy D. (November 2006). "Integer roots of polynomials". Mathematical Gazette. 90: 455–456.

References

Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy, p. 116, at Google Books)
Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online copy, p. 23, at Google Books)

External links

Weisstein, Eric W. "Rational Zero Theorem". MathWorld.
RationalRootTheorem at PlanetMath
Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
The Rational Roots Test at purplemath.com

[1] Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0-340-54335-3.

[2] King, Jeremy D. (November 2006). "Integer roots of polynomials". Mathematical Gazette. 90: 455–456.

[1]

[2]