Remainder

수학(mathematics)에서, 나머지는 일부 계산을 수행한 후 "남은" 양입니다. 산술(arithmetic)에서, 나머지는 정수 몫(quotient)을 생성하기 위해 하나의 정수(integer)를 다른 정수로 나눈(dividing) 후의 "남은" 정수입니다 (정수 나눗셈). 대수(algebra)에서, 나머지는 다항식을 하나의 다항식으로 나눈 후 "남은" 다항식입니다. 모듈로 연산(modulo operation)은 나누어지는-숫자와 나누는-숫자가 주어졌을 때 그러한 나머지를 생성하는 연산입니다.

공식적으로 나머지는 한 숫자를 또 다른 숫자에서 뺀(subtracting) 후에 남은 것이라는 것은 역시 참이지만, 이것은 보다 정확하게 차이라고 불립니다. 이 사용법은 일부 기본 교과서에서 찾아질 수 있습니다; 구어체로 "2달러를 나에게 돌려주고 나머지는 그대로 두십시오."와 같이 "나머지"라는 표현으로 대체됩니다.^[1] 어쨌든, 용어 "나머지"는 함수(function)가 급수 전개(series expansion)에 의해 근사화되고 오차 표현 ("남은 것")은 나머지 항(remainder term)으로 참조될 때 이런 의미에서 여전히 사용됩니다.

Integer division

만약 a와 d가 정수(integer)이면, 비-영 d와 함께, $a = qd + r$ 및 $0 \leq r < | d |$ 를 만족하는 고유한 정수 q와 r이 존재함을 입증될 수 있습니다. 숫자 q는 몫(quotient)이라고 불리고, r은 나머지(remainder)라고 불립니다.

이 결과의 증명에 대해 유클리드 나눗셈(Euclidean division)을 참조하고 나머지를 계산하는 방법을 설명하는 알고리듬에 대해 나눗셈 알고리듬(division algorithm)을 참조하십시오.

나머지는, 위에서 언급된 것처럼, 최소 양의 나머지 또는 단순히 나머지라고 불립니다.^[2] 정수 a는 d의 배수 또는 d의 연속적인 배수, 즉 q⋅d와 (q + 1)d (양수 q에 대해) 사이의 구간에 놓입니다.

때때로 a가 d의 정수 배수에 최대한 가깝도록 나눗셈을 수행하는 것이 편리합니다. 즉, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

a = k⋅d + s, 여기서, 임의의 정수 k에 대해 |s| ≤ |d/2|입니다.

이 경우에서, s는 최소 절대 나머지라고 불립니다.^[3] 몫과 나머지와 마찬가지로, k와 s는 d = 2n 및 s = ± n인 경우를 제외하고 고유하게 결정됩니다. 이 예외에 대해 우리는 다음을 가집니다:

a = k⋅d + n = (k + 1)d − n.

고유한 나머지는 이 경우에서 항상 s의 양의 값을 취하는 것과 같은 일부 규칙에 의해 얻어질 수 있습니다.

Examples

5로 43의 나눗셈에서 우리는 다음을 가집니다:

43 = 8 × 5 + 3,

따라서 3은 최소 양의 나머지입니다. 우리는 역시 다음을 가집니다:

43 = 9 × 5 − 2,

그리고 −2는 최소 절대 나머지입니다.

이들 정의는 만약 d가 음수이면 역시 유효하며, 예를 들어, −5로 43의 나눗셈에서 그렇습니다.

43 = (−8) × (−5) + 3,

그리고 3은 최소 양의 나머지이지만,

43 = (−9) × (−5) + (−2)

그리고 −2는 최소 절대 나머지입니다.

5로 42의 나눗셈에서 우리는 다음을 가집니다:

42 = 8 × 5 + 2,

그리고 2 < 5/2이므로, 2는 최소 양의 나머지 및 최소 절대 나머지 둘 다입니다.

이들 예제에서, (음의) 최소 절대 나머지는 최소 양의 나머지를 d인 5를 뺌으로써 얻습니다. 이것은 일반적으로 유지됩니다. d로 나눌 때, 두 나머지 모두는 양수이고 따라서 같거나, 그들은 반대 부호를 가집니다. 만약 양의 나머지가 r₁이고, 음의 나머지가 r₂이면,

r₁ = r₂ + d.

For floating-point numbers

a와 d가 부동-점 숫자(floating-point number)이며, 비-영 d와 함께, a는, 몫은 또 다른 부동-점 숫자인 것과 함께, 나머지없이 d로 나누어질 수 있습니다. 만약 몫이 정수로 제한되면, 어쨌든, 나머지의 개념이 여전히 필요합니다. 0 ≤ r < |d|와 함께 a = qd + r를 만족하는 고유한 정수 몫 q와 고유한 부동-점 나머지 r이 존재함을 입증될 수 있습니다.

위에서 설명한 것처럼 부동-점 숫자에 대해 나머지의 정의를 확장하는 것은 수학에서 이론적으로 중요하지 않습니다; 어쨌든, 많은 프로그래밍 언어(programming language)가 이 정의를 구현하며, 모듈로 연산(modulo operation)을 참조하십시오.

In programming languages

정의에 내재된 어려움은 없지만, 음수가 나머지를 계산하는 것에서 포함될 때 일어나는 구현 문제가 있습니다. 다른 프로그래밍 언어는 다른 규칙을 채택했습니다:

파스칼(Pascal)은 mod 연산 결과를 양수로 선택하지만, d는 음수 또는 영을 허용하지 않습니다 (따라서, a = (a div d ) × d + a mod d는 항상 유효하지는 않습니다).^[4]

C99는 나누어지는-숫자 a와 같은 부호를 가진 나머지를 선택합니다.^[5] (C99 이전에, C 언어는 다른 선택을 허용했습니다.)

펄(Perl), 파이션(Python) (오직 최신 버전), 및 Common Lisp은 약수 d와 같은 부호로 나머지를 선택합니다.^[6]

해스켈(Haskell) 및 스킴(Scheme)은 두 함수, 나머지와 모듈을 제공합니다 – PL/I은 mod 및 rem을 가지지만, 포트란(Fortran)은 mod 및 modulo을 가집니다; 각 경우에서, 전자는 나누어지는-숫자와 부호에서 일치하고, 후자는 나누는-숫자와 일치합니다.

Polynomial division

다항식의 유클리드 나눗셈은 정수의 유클리드 나눗셈(Euclidean division)과 매우 유사하고 다항식 나머지로 이어집니다. 그것의 존재는 다음 정리를 기반으로 합니다: 필드 (특히, 실수(reals) 또는 복소수(complex number))에 걸쳐 정의된 두 개의 일변수 다항식 a(x)와 b(x)가 주어지면 (여기서 b(x)는 영 다항식이 아님), 다음을 만족시키는 두 개의 다항식 q(x) (몫) 및 r(x) (나머지)가 존재합니다:^[7]

a(x)=b(x)q(x)+r(x)

여기서

\deg(r(x))<\deg(b(x)),

여기서 "deg(...)"는 다항식의 차수를 나타냅니다 (그의 값이 항상 0인 상수 다항식의 차수는 이 차수 조건이 이것이 나머지일 때 항상 유효하게 되도록 음으로 정의됩니다.) 게다가, q(x)와 r(x)는 이들 관계에 의해 고유하게 결정됩니다.

이것은 정수에 대해, 차수 조건이 나머지 r에 대한 경계로 대체되는 것 (비-음수이고 나누는-숫자보다 작으며, 이것이 r이 고유함을 보장합니다)에서 정수의 유클리드 나눗셈과는 다릅니다. 정수에 대해 및 역시 다항식에 대해 유클리드 나눗셈의 유사성은 유클리드 나눗셈이 유효한 가장 일반적인 대수적 설정에 대해 묻는 것으로 이어집니다. 그러한 정리가 존재하는 링은 유클리드 도메인(Euclidean domain)이라고 불리지만, 이 일반성에서 몫과 나머지의 고유성은 보장되지 않습니다.^[8]

다항식 나눗셈은 나머지 정리(Remainder theorem)로 알려진 결과로 이어집니다: 만약 다항식 f(x)가 x − k로 나누어지면, 나머지는 상수 r = f(k)입니다.^[9]

Notes

^ Smith 1958, p. 97
^ Ore 1988, p. 30. But if the remainder is 0, it is not positive, even though it is called a "positive remainder".
^ Ore 1988, p. 32
^ Pascal ISO 7185:1990 6.7.2.2
^ "C99 specification (ISO/IEC 9899:TC2)" (PDF). 6.5.5 Multiplicative operators. 2005-05-06. Retrieved 16 August 2018.{{cite web}}: CS1 maint: location (link)
^ ^{[citation needed]}
^ Larson & Hostetler 2007, p. 154
^ Rotman 2006, p. 267
^ Larson & Hostetler 2007, p. 157

References

Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308