Restriction (mathematics)

수학(mathematics)에서, 함수(function) $f$ 의 제한(restriction)은 원래 함수 $f$ 에 대해 더 작은 도메인(domain) A를 선택함으로써 얻어지는 새로운 함수이며, $f\vert _{A}$ 또는 $f{\upharpoonright _{A}}$ 로 표시됩니다.

Formal definition

$f:E\to F$ 를 집합(set) $E$ 에서 집합 $F$ 로의 함수라고 놓습니다. 만약 집합 $A$ 가 $E$ 의 부분집합(subset)이면, $A$ 로의 $f$ 의 제한은 A에서 x에 대해 f|_A(x) = f(x)에 의해 주어진 함수입니다:^[1]

{f|}_{A}\colon A\to F

.

비공식적으로, $A$ 에 대한 $f$ 의 제한은 $f$ 와 같은 함수이지만, 오직 $A\cap \operatorname {dom} f$ 위에 정의됩니다.

만약 함수 $f$ 가 데카르트 곱(Cartesian product) $E\times F$ 위에 관계(relation) $(x,f(x))$ 로 생각되면, $A$ 로의 $f$ 의 제한은 다음과 같은 그래프(graph)로 표현될 수 있습니다:

G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}=G(f)\cap (A\times F)

,

여기서 쌍 $(x,f(x))$ 는 그래프 $G$ 에서 순서화된 쌍(ordered pair) 표현합니다.

Examples

도메인 $\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ 로의 비-단사(non-injective) 함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ 의 제한은 단사 $f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ 입니다.
팩토리얼(factorial) 함수는 하나씩 이동된 인수를 갖는 양의 정수로의 감마 함수(gamma function)의 제한: ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$ 입니다.

Properties of restrictions

함수 $f:X\rightarrow Y$ 를 그것의 전체 도메인 $X$ 로 제한하는 것은 원래 함수, 즉, $f|_{X}=f$ 를 다시 제공합니다.
함수를 두번 제한하는 것은 그것을 한번 제한하는 것과 같습니다. 즉, 만약 $A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f$ 이면, $(f|_{B})|_{A}=f|_{A}$ 입니다.
집합 X 위의 항등 함수(identity function)를 X의 부분집합 A로의 제한은 단지 A에서 X 안으로의 포함 맵(inclusion map)입니다.^[2]
연속 함수(continuous function)의 제한은 연속입니다.^[3]^[4]

Applications

Inverse functions

역을 가지기 위한 함수에 대해, 그것은 일-대-일(one-to-one)이어야 합니다. 만약 함수 $f$ 가 일대일이 아니면, 도메인을 제한함으로써 $f$ 의 부분 역(partial inverse)을 정의하는 것이 가능합니다. 예를 들어, $\mathbb {R}$ 의 전체 위에 정의된 다음 함수는

f(x)=x^{2}

일-대-일이 아닌데 왜냐하면 $\mathbb {R}$ 에서 임의의 x에 대해 x² = (−x)²이기 때문입니다. 어쨌든, 그 함수는 만약 우리가 도메인을 $\mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty )$ 으로 제한하면 일-대-일이 되며, 이 경우에서

f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.

(만약 우리가 대신에 도메인을 $(-\infty ,0]$ 로 제한하면, 역은 $y$ 의 제곱근의 음수입니다.) 대안적으로, 만약 우리가 역을 다중-값 함수(multivalued function)로 허용하면 도메인을 제한할 필요가 없습니다.

Selection operators

관계 대수(relational algebra)에서, 선택(selection) (때때로 SQL의 SELECT 사용과 혼동을 피하기 위해 제한이라고 불림)은 $\sigma _{a\theta b}(R)$ or $\sigma _{a\theta v}(R)$ 으로 쓰인 단항 연산(unary operation)이며 여기서:

$a$ 와 $b$ 는 속성 이름입니다,
$\theta$ 는 집합 $\{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\}$ 에서 이항 연산(binary operation)입니다,
$v$ 은 값 상수입니다,
$R$ 은 관계(relation)입니다.

선택 $\sigma _{a\theta b}(R)$ 은 $\theta$ 가 $a$ 와 $b$ 속성 사이에 보유하는 $R$ 에서 모든 그것들의 튜플(tuple)을 선택합니다.

선택 $\sigma _{a\theta v}(R)$ 은 $\theta$ 가 $a$ 속성과 값 $v$ 사이에 유지하는 $R$ 에서 모든 그것들의 튜플을 선택합니다.

따라서, 선택 연산자는 전체 데이터베이스의 부분집합으로 제한합니다.

The pasting lemma

붙여넣기 보조정리는 부분집합으로 그것의 제한의 연속성과 함수의 연속성을 관련시키는 토폴로지(topology)의 결과입니다.

$X,Y$ 를 $A=X\cup Y$ 를 만족하는 토폴로지적 공간 $A$ 의 둘의 닫힌 부분집합 (또는 둘의 열린 부분집합)으로 놓고, $B$ 를 역시 토폴로지적 공간으로 놓습니다. 만약 $f:A\to B$ 가 $X$ 와 $Y$ 둘 다로 제한될 때 연속이면, $f$ 는 연속입니다.

이 결과는 토폴로지적 공간의 닫힌 (또는 열린) 부분집합 위에 정의된 둘의 연속 함수를 취하고 새로운 하나를 생성하는 것을 허용합니다.

Sheaves

뭉치(Sheaves)는 함수 외에 대상으로 제한을 일반화하는 방법을 제공합니다.

뭉치 이론(sheaf theory)에서, 우리는 카테고리(category)에서 대상 $F(U)$ 를 토폴로지적 공간(topological space)의 각 열린 집합(open set) $U$ 로 할당하고, 대상이 특정 조건을 만족시키는 것을 요구합니다. 가장 중요한 조건은 중첩된 열린 집합으로 결합된 모든 각 대상의 쌍 사이에 제한 사상이 있다는 것입니다; 즉, 만약 $V\subseteq U$ 이면, 함수의 제한을 모방하도록 설계된 다음 속성을 만족시키는 사상 res_V,U : F(U) → F(V)가 있습니다:

X의 모든 각 열린 집합 U에 대해, 제한 사상 res_U,U : F(U) → F(U)는 F(U) 위의 항등 사상입니다.
만약 우리가 셋의 열린 집합 $W \subseteq V \subseteq U$ 을 가지면, $res W, V \circ res V, U = res W, U$ 을 합성합니다(composite).
(지역성) 만약 (U_i)가 열린 집합 U의 열린 덮개(covering)이고, s,t ∈ F(U)가 덮개의 각 집합 U_i에 대해 $s | U i = t | U i$ 를 만족하는 것이면, s = t입니다; 그리고
(붙이기) 만약 (U_i)가 열린 집합 U의 열린 덮개이고, 각 i에 대해 선택 $s i \in F (U i)$ 가 덮개 집합의 각 쌍 U_i,U_j에 대해 s_i와 s_j의 제한이 겹침을 동의하는: $s i | U i \cap U j = s j | U i \cap U j$ 을 만족하는 것으로 주어지면, 각 i에 대해 $s | U i = s i$ 를 만족하는 선택 $s \in F (U)$ 가 있습니다.

모든 그러한 대상의 모음은 뭉치라고 불립니다. 만약 오직 처음 둘의 속성이 만족되면, 그것은 준-뭉치(pre-sheaf)입니다.

Left- and right-restriction

보다 일반적으로, $E$ 와 $F$ 사이의 이항 관계(binary relation) $R$ 의 제한 (또는 도메인 제한 또는 왼쪽-제한) $A ◁ R$ 은 도메인 $A$ , 코도메인 $F$ 및 그래프 $G(A ◁ R) = {(x, y) \in G(R) | x \in A}$ 를 가지는 관계로 정의될 수 있습니다. 유사하게, 우리는 오른쪽-제한 또는 치역 제한 $R ▷ B$ 을 정의할 수 있습니다. 사실, 우리는 $n$ -항( $n$ -ary) 관계로, 마찬가지로 이항 관계에 대해 $E \times F$ 의 부분집합에서 처럼, 관계로 이해되는 부분집합(subset)으로의 제한을 정의할 수 있습니다. 이들 경우는 뭉치(sheaves)의 개요에 적합하지 않습니다.^{[clarification needed]}

Anti-restriction

집합 $A$ 에 의한 (도메인 $E$ 와 코도메인 $F$ 를 갖는) 함수 또는 이항 관계 $R$ 의 도메인 역-제한 (또는 도메인 빼기)은 $(E \ A) ◁ R$ 로 정의될 수 있습니다; 그것은 도메인 $E$ 에서 $A$ 의 모든 원소를 제거합니다. 그것은 때때로 $A$ ⩤ $R$ 로 표시됩니다.^[5] 유사하게, 집합 $B$ 에 의한 함수 또는 이항 관계 $R$ 의 치역 역-제한 (또는 치역 빼기)은 $R ▷ (F \ B)$ 로 정의됩니다; 그것은 코도메인 $F$ 에서 $B$ 의 모든 원소를 제거합니다. 그것은 때때로 $R$ ⩥ $B$ 로 표시됩니다.

References

^ Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (2nd ed.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. 5. ISBN 0-7167-0457-9.
^ Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
^ Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
^ Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

[Stoll-1] Stoll, Robert (1974). Sets, Logic and Axiomatic Theories (2nd ed.). San Francisco: W. H. Freeman and Company. pp. 5. ISBN 0-7167-0457-9.

[2] Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).

[3] Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

[4] Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.

[5] Dunne, S. and Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5–7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues). Springer (2006)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Function
$x \mapsto f (x)$
History of the function concept
Examples of domains and codomains
$X$ → $\mathbb {B}$ , $\mathbb {B}$ → $X$ , $\mathbb {B} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Z}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {R}$ , $\mathbb {R}$ → $X$ , $\mathbb {R} ^{n}$ → $X$ $X$ → $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ → $X$ , $\mathbb {C} ^{n}$ → $X$
Classes/properties
Constant Identity Linear Polynomial Rational Algebraic Analytic Smooth Continuous Measurable Injective Surjective Bijective
Constructions
Restriction Composition λ Inverse
Generalizations
Binary relation Partial Multivalued Implicit Space
v t e