Right-hand rule

수학(mathematics)과 물리학(physics)에서, 오른손 규칙(right-hand rule)은 삼-차원 공간에서 축의 방향을 이해하기 위한 공통적인 기억법입니다. 그것은 역시 두 벡터의 교차-곱의 방향을 빠르게 찾을 수 있는 편리한 방법입니다. 수학적 사실이라기보다는, 수직 축을 중심으로 한 회전이 반시계 방향이면 양수이고 시계 방향이면 음수라는 관례와 밀접하게 관련된 관례입니다.

대부분의 다양한 왼손 규칙과 오른손 규칙은 삼-차원 공간의 세 축이 두 가지 가능한 방향을 가진다는 사실에서 비롯됩니다.^[1] 손을 바깥쪽으로 모아 손바닥을 위로 향하게 하고 엄지손가락을 왼쪽과 오른쪽으로 쭉 뻗게 놓고, 손가락을 바깥쪽으로 곧게 편 후 위쪽을 향하도록 구부리면 이를 볼 수 있습니다. (가까운 손 그림은 이에 대한 설명이 아닙니다.) 만약 손가락을 구부리는 동작이 첫 번째 (x-축)에서 두 번째 (y-축)로의 이동을 나타내면, 세 번째 (z-축)는 하나의 엄지 손가락을 따라 가리킬 수 있습니다. 좌표 축을 다룰 때 왼손 규칙과 오른손 규칙이 발생합니다. 그 규칙은 수학과 화학에서 자기 필드의 방향, 회전, 나선, 전기자기 필드, 거울 이미지, 및 거울상-이성질체(enant)를 찾기 위해 사용될 수 있습니다.

순서는 종종 집게 손가락, 가운데 손가락, 엄지 손가락입니다. 두 개의 다른 순서는 역시 그것들이 순환을 유지하기 때문에 작동합니다:

가운데 손가락, 엄지 손가락, 집게 손가락.
엄지 손가락, 집게 손가락, 가운데 손가락 (예를 들어, the ninth series of the Swiss 200-francs banknote를 참조).

Curve orientation and normal vectors

벡터 미적분(vector calculus)에서, 표면에 대한 법선(normal) 벡터를 경계를 이루는 곡선과 관련시킬 필요가 있습니다. 표면 $S$ 를 경계로 하는 양수적으로-방향화된 곡선 $C$ 에 대해, 표면에 대한 법선 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 은 오른쪽 엄지손가락이 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 의 방향을 가리키고, 손가락이 경계짓는 곡선 $C$ 의 방향을 따라 말리도록 정의됩니다.

Coordinates

For right-handed coordinates use the right hand.
For left-handed coordinates use the left hand.
Axis or vector	Two fingers and thumb	Curled fingers
x, 1, or A	First or index	Fingers extended
y, 2, or B	Second finger or palm	Fingers curled 90°
z, 3, or C	Thumb	Thumb

좌표는 보통 오른-손입니다.

오른쪽-손 좌표에 대해, 오른쪽 엄지손가락은 z-축을 따라 양의 방향을 가리키고 오른손 손가락의 마는 동작은 첫 번째 또는 x-축에서 두 번째 또는 y-축으로의 동작을 나타냅니다. 꼭대기 또는 z-축에서 볼 때 시스템은 반-시계방향입니다.

왼쪽-손 좌표에 대해, 왼쪽 엄지손가락은 z-축을 따라 양의 방향을 가리키고 왼손 손가락의 마는 동작은 첫 번째 또는 x-축에서 두 번째 또는 y-축으로의 동작을 나타냅니다. 꼭대기 또는 z-축에서 볼 때 시스템은 시계방향입니다.

임의의 두 축의 레이블을 교환하면 손모양을 반대로 합니다. 한 축 (또는 세 축 모두)의 방향을 바꾸면 역시 손모양을 반대로 합니다. (만약 축에 양수 또는 음수 방향이 없으면, 손모양은 의미가 없습니다.) 두 축을 반대로 하면 남아있는 축을 중심으로 180° 회전합니다.^[2]

Rotations

A rotating body

수학에서, 회전체는 공통적으로 회전축을 따라 유사-벡터(pseudovector)에 의해 표현됩니다. 벡터의 길이는 회전의 속력(speed of rotation)을 제공하고 축의 방향은 오른손 규칙에 따라 회전의 방향을 제공합니다: 오른쪽 손가락은 회전 방향으로 말리고 오른쪽 엄지는 축의 양의 방향을 가리킵니다. 이것은 벡터 교차-곱을 사용하여 몇 가지 쉬운 계산을 허용합니다. 몸체의 어떤 부분도 축 화살표 방향으로 움직이지 않습니다. 우연의 일치로, 엄지손가락이 북쪽을 가리키면 지구는 오른손 규칙에 따라 순행 방향으로 회전합니다. 이로 인해 태양, 달, 및 별은 왼손 규칙에 따라 서쪽으로 공전하는 것처럼 보입니다.

Helices and screws

나선(helix)은 중심이 z-축 위 또는 아래로 이동하는 동안 중심 주위를 회전하는 점에 의해 형성되는 곡선입니다. 나선은 오른쪽-손 또는 왼쪽-손이며, 구부러진 손가락은 회전 방향을 나타내고 엄지손가락은 z-축을 따라 전진하는 방향을 나타냅니다.

나사의 나사산은 나선형이고 따라서 나사는 오른쪽-손 또는 왼쪽-손일 수 있습니다: 그 규칙은 다음과 같습니다: 나사가 오른쪽-손 (대부분의 나사)이면, 나사가 전진하기를 원하는 방향으로 오른쪽 엄지 손가락을 가리키고 구부러진 오른쪽 손가락 방향으로 나사를 돌립니다.

Electromagnetism

긴 직선 전선(long straight wire)에 전기 (전통적인 전류)가 흐를 때, 그것은 오른쪽-손 규칙에 따라 전선 주위에 원형 또는 원통형 자기 필드를 생성합니다. 실제 전자의 흐름과 반대인 전통적인 전류는 양의 z-축을 따라 양전하의 흐름입니다. 자력 선의 전통적인 방향은 나침반 바늘에 의해 지정됩니다.
전자석(Electromagnet): 전선 주변의 자기 필드는 매우 약합니다. 만약 전선이 나선으로 감겨 있으면, 나선 내부의 모든 필드 선은 같은 방향을 가리키고 각 연속 코일은 다른 코일을 강화합니다. 나선의 진행, 전류의 비-원형 부분, 및 필드 선은 모두 양의 z 방향을 가리킵니다. 자기 단일-극(magnetic monopole)이 없기 때문에, 필드 선은 +z 끝에서 빠져나와 나선 바깥쪽을 돌고 −z 끝에서 다시 들어옵니다. 선이 나가는 +z 끝은 북극으로 정의됩니다. 오른쪽-손의 손가락을 전류의 원형 성분 방향으로 감으면, 오른쪽-손 엄지손가락은 북극을 가리킵니다.
로렌츠 힘(Lorentz force): 양전하가 자기 필드를 가로질러 이동하면, 그것은 오른쪽-손 규칙에 의해 주어진 방향과 함께 로렌츠 힘에 따른 힘을 받습니다. 오른쪽 손가락의 구부림이 전하가 자기 필드의 방향으로 이동하는 방향에서 회전을 나타내면, 힘은 오른쪽 엄지 방향에 있습니다. 전하가 움직이기 때문에, 힘으로 인해 입자 경로가 구부러집니다. 굽힘력은 벡터 교차-곱으로 계산됩니다. 이것은 굽힘력이 입자의 속도와 자기 필드의 세기에 따라 증가한다는 것을 의미합니다. 그 힘은 입자 방향과 자기 필드가 직각일 때 최대이고, 다른 각도에서는 작고 입자가 자기 필드와 평행하게 움직일 때 영입니다.

Ampère's right-hand grip rule

Prediction of direction of field (B), given that the current I flows in the direction of the thumb

앙페르(Ampère)의 오른손 쥐는 규칙(right-hand grip rule, 역시 오른손 나사 규칙(right-hand screw rule), 커피-잔 규칙(coffee-mug rule), 또는 나사-이동 규칙(corkscrew-rule)이라고 불림)은 벡터 (예를 들어, 오일러 벡터) 물체, 자기 필드, 또는 유체의 회전을 나타내기 위해 정의되어야 할 때, 또는 그 반대로, 회전이 어떻게 발생하는지 이해하기 위해 회전 벡터를 정의할 필요가 있을 때 사용됩니다. 그것은 전류와 전류가 생성된 자기 필드의 자기 필드 선 사이의 연결을 보여줍니다.

그 규칙이 그의 이름을 따서 지은 프랑스 물리학자이자 수학자, 앙드레-마리 앙페르(André-Marie Ampère)는 자석 바늘을 실험한 또 다른 물리학자 한스 크리스티안 외르스테드(Hans Christian Ørsted)로부터 영감을 받았습니다. 외르스테드는 바늘이 전류가 흐르는 전선 근처에 있을 때 소용돌이치는 것을 관찰하고, 전기가 자기 필드를 생성할 수 있다고 결론지었습니다.

Application

이 규칙은 앙페르의 회로 법칙(Ampère's circuital law)의 두 가지 다른 응용에서 사용됩니다:

전류는 직선 전선을 통과합니다. 엄지손가락이 전통적인 전류의 방향 (양에서 음으로)을 가리키면, 구부러진 손가락이 그때에 도체 주변의 자기 플럭스(flux) 선의 방향을 가리킬 것입니다. 자기 필드의 방향 (엄지손가락 끝을 볼 때 좌표의 시계 방향 회전 대신 반시계 방향 회전)은 이러한 관례의 결과이고 놓여있는 물리적 현상의 결과가 아닙니다.
전류가 솔레노이드를 통과하여, 자기 필드가 발생합니다. 전통적인 전류의 방향으로 손가락으로 솔레노이드를 오른쪽 손으로 감았을 때, 엄지손가락은 자기 북쪽 극의 방향을 가리킵니다.

Cross products

두 벡터의 교차 곱(cross product)은 종종 물리학과 공학에서 사용됩니다. 예를 들어, 정역학(statics)과 동역학(dynamics)에서, 토크는 지렛대 길이와 힘(force)의 교차 곱이고, 반면에 각 운동량(angular momentum)은 거리와 선형 운동량(linear momentum)의 교차 곱입니다. 전기와 자기에서, 자기 필드 B에서 움직일 때 움직이는 하전된 입자에 가해지는 힘은 다음과 같습니다:

\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}

교차 곱의 방향은 다음과 같이 오른쪽-손 규칙을 적용함으로써 찾을 수 있습니다:

집게 손가락은 속도 벡터 $\mathbf {v}$ 의 방향을 가리킵니다.
가운데 손가락은 자기 필드 벡터 $\mathbf {B}$ 의 방향을 가리킵니다.
엄지 손가락은 교차 곱 $\mathbf {F}$ 의 방향을 가리킵니다.

예를 들어, 자기 필드가 서쪽을 가리키는 영역에서 북쪽으로 이동하는 양전하를 띤 입자에 대해, 결과 힘은 위쪽을 가리킵니다.^[2]

Applications

오른쪽-손 규칙은 물리학에서 널리 사용됩니다. 오른쪽-손 규칙에 의해 방향이 관련된 물리적 양의 목록은 다음과 같습니다. (이들 중 일부는 교차 곱과 간접적으로만 관련되고, 두 번째 형식을 사용합니다.)

회전하는 물체에 대해, 만약 오른쪽-손 손가락이 물체의 한 점의 곡선을 따라가면, 엄지손가락은 회전의 축을 따라 각속도(angular velocity) 벡터의 방향을 가리킵니다.
토크(torque), 토크를 유발하는 힘, 및 힘의 작용의 점의 위치.
자기 필드(magnetic field), 그것이 결정되는 점의 위치, 및 그것을 일으키는 전류 (또는 전기 플럭스(electric flux)의 변화).
전선의 코일에서 자기 필드와 전선에서 전류.
하전 입자에 대한 자기 필드의 힘, 자기 필드 자체, 및 물체의 속도.
유체 흐름 필드에서 임의의 점에서의 소용돌이(vorticity).
자기 필드에서 운동으로 인한 유도 전류 (플레밍의 오른쪽-손 규칙으로 알려짐).
데카르트 좌표 시스템에서 x, y, 및 z 단위 벡터는 오른쪽-손 규칙을 따르도록 선택될 수 있습니다. 오른쪽-손 좌표 시스템은 종종 강체 및 운동학(kinematics)에서 사용됩니다.

References

^ Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013), Multivariable Calculus (10th ed.), p. 865
^ ^a ^b Watson, George (1998). "PHYS345 Introduction to the Right Hand Rule". udel.edu. University of Delaware.

External links

Feynman's lecture on the right-hand rule
Right and Left Hand Rules - Interactive Java Tutorial National High Magnetic Field Laboratory
Weisstein, Eric W. "Right-hand rule". MathWorld.
Christian Moser : right-hand-rule : wpftutorial.net

[1] Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013), Multivariable Calculus (10th ed.), p. 865

[p345-2] Watson, George (1998). "PHYS345 Introduction to the Right Hand Rule". udel.edu. University of Delaware.

[1]

[2]