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Scientific notation

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Original article: w:Scientific notation
This article is about a numeric notation. For the musical notation, see Scientific pitch notation.
"E notation" redirects here. For the series of preferred numbers, see E series.

과학적 표기법(Scientific notation)은 십진수 형식(decimal form)으로 편리하게 쓰기에는 너무 크거나 너무 작은 실수(real numbers)를 표현하는 방법입니다. 그것은 과학적 형식(scientific form) 또는 표준 인덱스 형식(standard index form), 또는 영국에서 표준 양식(standard form)이라고 참조될 수 있습니다. 이 밑수 십(base ten) 표기법은 과학자, 수학자, 및 엔지니어에 의해 공통적으로 사용되는데, 일부에서 그것은 산술 연산(arithmetic operations)을 단순화할 수 있기 때문입니다. 과학 계산기에서는 그것은 보통 "SCI" 디스플레이 모드로 알려져 있습니다.

Decimal notation Scientific notation
2 2×100
300 3×102
4,321.768 4.321768×103
−53,000 −5.3×104
6,720,000,000 6.72×109
0.2 2×10−1
987 9.87×102
0.000 000 007 51 7.51×10−9

과학적 표기법에서, 모든 숫자는 다음 형식으로 씁니다:

m × 10n

또는 m 곱하기 십에 올려진 n의 거듭제곱, 여기서 지수(exponent) n은 정수(integer)이고, 계수(coefficient) m은 임의의 실수(real number)입니다. 정수 n은 크기의 정도(order of magnitude)라고 불리고 실수 m은 유효숫자(significand) 또는 가수(mantissa)라고 불립니다.[1] 어쨌든, 용어 "가수(matissa)"는 혼동을 일으킬 수 있는데 왜냐하면 그것은 상용 로그(common logarithm)의 분수 부분(fractional part)의 이름이기 때문입니다. 만약 유효숫자가 음수이면, 보통 십진 표기법에서 처럼, 음의 부호가 m 앞에 옵니다. 정규화된 표기법(normalized notation)에서, 지수는 선택되므로 유효숫자 m의 절댓값(absolute value) (모듈러스)은 적어도 1이지만 10미만입니다.

십진수 부동-점(decimal floating point)은 과학적 표기법과 밀접한 관련된 컴퓨터 산술 시스템입니다.

Normalized notation

Main article: Normalized number

임의의 주어진 실수는 여러 가지 방법에서 형식 m×10^n으로 쓸 수 있습니다: 예를 들어, 350은 3.5×102 또는 35×101 또는 350×100으로 쓸 수 있습니다.

정규화된 과학 표기법에서 (영국에서 "표준 형식"이라고 불림), 지수 n은 m의 절댓값(absolute value)이 최소 일이지만 십 미만으로 유지되도록 선택됩니다 (1 ≤ |m| < 10). 따라서 350은 3.5×102으로 씁니다. 이 형식은, 지수 n이 숫자의 크기의 정도(order of magnitude)를 제공할 때, 숫자의 쉬운 비교를 허용합니다. 그것은 상용 로그(common logarithm)의 테이블을 사용할 때 요구되는 형식입니다. 정규화된 표기법에서, 지수 n은 0과 1 사이의 절댓값을 갖는 숫자에 대해 음수입니다 (예를 들어, 0.5는 5×10−1로 씁니다). 10과 지수는 지수가 0일 때 종종 생략됩니다.

정규화된 과학적 형식은, 공학 표기법(engineering notation)과 같은 비-정규화된 형식이 요구되지 않은 한, 많은 분야에서 큰 숫자의 표현의 전형적인 형식입니다. 정규화된 과학적 표기법은 종종 지수(exponential) 표기법이라고 불립니다—비록 후자의 용어가 더 일반적이고 m이 (예를 들어 공학 표기법에서 처럼) 1에서 10 범위 및 (예를 들어 3.15×2^20) 10이 아닌 밑수(base)로 제한되지 않을 때 역시 적용됩니다.

Engineering notation

Main article: Engineering notation

공학 표기법 (과학용 계산기에서 종종 "ENG" 표시 모드로 이름-지어짐)은 지수 n이 3의 배수(multiples)로 제한된다는 점에서 정규화된 과학적 표기법과 다릅니다. 결과적으로, m의 절댓값은 1 ≤ |m| < 10이 아닌 범위 1 ≤ |m| < 1000 안에 있습니다. 비록 개념에서 유사하지만, 공학 표기법은 드물게 과학적 표기법이라고 불립니다. 공학 표기법은 숫자를 그들의 해당하는 SI 접두사(SI prefixes)와 명시적으로 일치하는 것을 허용하며, 읽기 및 구두 의사 소통을 용이하게 합니다. 예를 들어, 12.5×10−9 m는 "12-점-5 나노미터"로 읽을 수 있고 12.5 nm로 쓸 수 있지만, 그것의 과학적 표기법에서 동등한 1.25×10−8 m은 "1-점-2-오 곱하기 10-의-음의-8 미터"로 읽을 수 있습니다.

Significant figures

Main article: Significant figures

유효 숫자는 그것의 정밀도에 더해지는 숫자에서 자릿수입니다. 이것은 모든 비-영 숫자, 유효 자릿수 사이의 영들, 및 유효숫자로 표시된 영들을 포함합니다. 선행하는 및 후행하는 영들은 유효숫자가 아닌데 왜냐하면 그들은 숫자의 스케일을 표시하기 위해 오직 존재하기 때문입니다. 그러므로, 1230400는 보통 다섯 개의 유효 숫자: 1, 2, 3, 0, 및 4를 가집니다; 마지막 두 개의 영들은 자리-표시자로 오직 역할을 하고 원래 숫자에 정밀도에 더해지지 않습니다.

숫자가 정규화된 과학적 표기법으로 변환될 때, 1에서 10 사이의 숫자로 축소됩니다. 모든 유효 자릿수는 그대로 유지되지만, 영들을 보유하는 자리는 더 이상 요구되지 않습니다. 따라서 1230400은 1.2304×106이 됩니다. 어쨌든, 숫자가 6개 이상의 유효 숫자로 알려져 있을 가능성도 있으며, 이 경우에서 그 숫자는 (예를 들어) 1.23040×106으로 표시됩니다. 따라서, 과학적 표기법의 추가적인 장점은 유효 숫자의 수가 더 명확하다는 것입니다.

Estimated final digit(s)

과학적 측정에서 측정으로부터 모든 확실하게 알려진 자릿수를 기록하고, 만약 관찰자에게 추정을 만들기 위해 활성화하기 위한 모든 유용한 임의의 정보가 있으면 최소한 하나의 추가적인 자릿수를 추정하는 것이 관례적입니다. 결과 숫자는 해당 여분의 자릿수없는 것보다 보다 많은 정보를 포함하고, 그것은 (또는 그들은) 유효 자릿수로 고려될 수 있는데 왜냐하면 (그들을 더하는 또는 그들을 함께 곱하는) 측정 및 측정의 집계에서 더 큰 정밀도로 이어지는 일부 정보를 전달하기 때문입니다.

정밀도에 대한 추가적인 정보는 추가적인 표기법을 통해 전달될 수 있습니다. 최종 자릿수가 얼마나 정확한지 아는 것이 종종 유용합니다. 예를 들어, 허용되는 기본 요금의 단위의 값은 1.6021766208(98)×10−19 C으로 적절하게 표현될 수 있으며,[2] 이것은 (1.6021766208±0.0000000098)×10−19 C에 대해 속기된 것입니다.

E notation

A calculator display showing the Avogadro constant in E notation

대부분의 계산기(calculator)와 많은 컴퓨터 프로그램(computer program)은 전형적으로 공급-업체와 모델에 따라 (지수에 대해) EXP, (지수 입력에 대해) EEX, EE, EX, E, 또는 ×10x로 표시된 키에 의해 호출된, 과학적 표기법에서 매우 큰 또는 매우 작은 결과를 나타냅니다. 107과 같은 위첨자된(superscripted) 지수는 항상 편리하게 표시될 수 없기 때문에, 문자 E (또는 e)는 종종 "곱하기 십에 올려진 거듭-제곱" (이것은 "× 10n"로 쓰임)을 나타내기 위해 사용되고, 지수의 값에 의해 뒤따르게 됩니다; 달리 말해서, 임의의 두 실수 m과 n에 대해, "mEn"의 사용은 m × 10n의 값을 나타냅니다. 이 사용법에서, 문자 e는 수학적 상수 e(mathematical constant e) 또는 지수 함수(exponential function) ex와 관련이 없습니다 (만약 과학적 표기법이 대문자 E로 표시되면 혼동 가능성이 낮습니다). 비록 E는 지수를 나타낼지라도, 그 표기법은 보통 (과학적) 지수 표기법이 아닌 (과학적) E 표기법으로 참조됩니다. E 표기법의 사용은 텍스트 통신에서 데이터 입력 및 가독성을 용이하게 하는데 왜냐하면 그것은 키 입력을 최소화하고, 줄여진 글꼴 크기를 피하고 더 간단하고 보다 간결한 표시를 제공하지 않기 때문이지만, 일부 출판물에서는 권장되지 않습니다.[3]

Examples and other notations

This article contains Unicode "Miscellaneous Technical" characters. Without proper rendering support, you may see question marks, boxes, or other symbols instead of "₁₀" (Decimal Exponent Symbol U+23E8 TTF).

Order of magnitude

Main article: Order of magnitude

과학적 표기법은 더 간단한 크기의-정도 비교를 활성화합니다. 양성자(proton)의 질량은 0.0000000000000000000000000016726 kg입니다. 만약 1.6726×10−27 kg으로 쓰면, 이 질량을 아래에 주어진 전자의 질량과 비교하는 것이 더 쉽습니다. 질량의 비율의 크기의 정도(order of magnitude)는 선행하는 영들을 세는 보다 오류-경향이-있는(error-prone) 임무 대신에 지수를 비교함으로써 얻어질 수 있습니다. 이 경우에서, −27은 −31보다 더 크고 따라서 양성자는 전자보다 대략적으로 네 크기의 정도 (10,000 배) 더 무겁습니다.

과학적 표기법은 십억(billion)과 같은 특정 수량자에서 지역적 차이로 인한 오해를 역시 피하며, 이것은 109 또는 1012를 나타낼 수 있습니다.

물리학과 천체물리학에서, 두 숫자 사이의 크기의 정도의 숫자는 "덱스(dex)", "십진 지수"의 축약으로 때때로 참조됩니다 (화학적 존재 비율(Chemical abundance ratios)을 참조하십시오). 예를 들어, 만약 두 숫자가 서로의 1 dex 이내에 있으면, 큰 숫자와 작은 숫자의 비율은 10 미만입니다. 분수 값이 사용될 수 있으므로, 만약 0.5 dex 이내이면, 비율은 100.5 미만이며, 이런 식입니다.

Use of spaces

정규화된 과학 표기법, E 표기법, 및 공학 표기법에서, 오직 "×" 앞뒤 또는 "E"의 앞에 허용되는 공간(space) (이것은 조판(typesetting)에서 표준 너비 공간 또는 얇은 공간(thin space)으로 표시될 수 있음)은, 비록 그것이 알파벳 문자 앞에 생략하는 것이 공통적이지 않을지라도, 때때로 생략됩니다.[22]

Further examples of scientific notation

  • 전자(electron)의 질량은 약 0.000000000000000000000000000000910938356 kg입니다.[23] 과학적 표기법에서, 이것은 (SI 단위에서) 9.10938356×10−31 kg으로 씁니다.
  • 지구(Earth)의 질량(mass)은 약 5972400000000000000000000 kg입니다.[24] 과학적 표기법에서, 이것은 5.9724×1024 kg으로 씁니다.
  • 지구의 둘레(Earth's circumference)는 근사적으로 40000000 m입니다.[25] 과학적 표기법에서, 이것은 4×107 m입니다. 공학 표기법에서, 이것은 40×106 m로 씁니다. SI 쓰기 스타일(SI writing style)에서, 이것은 40 Mm (40 megametres)로 쓸 수 있습니다.
  • 인치(inch)는 정확하게 25.4 mm로 정의됩니다. 25.400 mm의 값을 인용하면 그 값이 가장 가까운 마이크로 미터까지 정확함을 나타냅니다. 오직 두 유효 숫자를 갖는 근사화된 값은 대신 2.5×101 mm일 것입니다. 유효 자릿수의 숫자에 제한이 없으므로, 인치의 길이는, 만약 필요하면, 대신 (말하자면) 2.54000000000×101 mm로 쓸 수 있습니다.
  • 초인플레이션(Hyperinflation)은 상품이 너무 적어 너무 많은 돈이 인쇄될 때 인플레이션 율이 한 달에 50%이상 상승하는 문제입니다; 통화는 시간이 지남에 따라 내재 가치를 잃는 경향이 있습니다. 일부 국가는 한 달 동안 100만% 이상의 인플레이션 율을 보였으며, 이것은 보통 곧 그 국가의 통화를 포기하게 됩니다. 2008년 11월에, 짐바브웨 달러(Zimbabwean dollar)의 월 인플레이션 율은 796억%에 달했습니다; 세 개의 유효 숫자를 갖는 근사적인 값은 7.96×1010%입니다.[26][27]

Converting numbers

이들 경우에서 숫자를 변환한다는 것은 숫자를 과학적 표기법 형식으로 변환, 다시 십진수 형식으로 그것을 변환하는 것 또는 방정식의 지수 부분을 변경하는 것을 의미합니다. 이들 중 어느 것도 실제 숫자를 변경하지 않고, 오직 표현 방식을 변경합니다.

Decimal to scientific

먼저, 십진점 분리 점을 충분한 자리, n으로 이동하여, 숫자의 값을 원하는 범위, 정규화된 표기법에 대해 1과 10 사이에 넣습니다. 만약 십진점이 왼쪽으로 이동되면, × 10n을 덧붙입니다; 오른쪽으로 이동하면, × 10−n을 덧붙입니다. 정규화된 과학적 표기법에서 숫자 1,230,400을 나타 내기 위해, 십진 구분-기호는 왼쪽으로 6 자리를 이동하고 × 106를 덛붙이며, 1.2304×106를 초래합니다. 숫자 −0.0040321은 십진 구분-기호를 왼쪽 대신 오른쪽으로 3 자리 이동되고 결과로써 −4.0321×10−3를 산출합니다.

Scientific to decimal

숫자를 과학적 표기법에서 십진수 표기법으로 변환하려면, 먼저 끝에 있는 × 10n을 제거하고, 그런-다음 십진 분리-기호 n을 오른쪽 (양수 n) 또는 왼쪽 (음수 n)으로 이동합니다. 숫자 1.2304×106은 십진 분리-기호를 오른쪽으로 6 자리 이동하고 1,230,400가 되지만, −4.0321×10−3은 십진 분리-기호를 왼쪽으로 3 자리 이동하고 −0.0040321이 됩니다.

Exponential

다른 지수 값을 갖는 같은 숫자의 다른 과학적 표기법 표현 사이의 변환은 유효 숫자에 십의 거듭-제곱만큼 곱셈 또는 나눗셈의 반대 연산을 수행하고 지수 부분에 1을 뺄셈 또는 덧셈을 수행함으로써 성취됩니다. 유효숫자에서 십진 분리-기호는, 아래에 표시된 것처럼, 왼쪽 (또는 오른쪽)으로 x 자리 이동되고 x는 지수에 더합니다 (또는 빼집니다).

1.234×103 = 12.34×102 = 123.4×101 = 1234

Basic operations

과학적 표기법에서 두 숫자가 주어지면,

및

곱셈(multiplication)과 나눗셈(division)은 지수화(exponentiation)와 함께 연산에 대해 규칙을 사용하여 수행됩니다:

및

일부 예제는 다음입니다:

및

덧셈(addition)과 뺄셈(subtraction)은, 유효숫자가 단순히 더해지거나 빼지도록, 숫자를 같은 지수 부분을 사용하여 표현되는 것을 요구합니다:

및 여기서

다음으로, 유효숫자를 더하거나 뺍니다:

예제:

Other bases

밑수 십이 과학적 표기법에 대해 통상적으로 사용되지만, 다른 밑수의 거듭제곱이 역시 사용될 수 있으며,[28] 밑수 2가 다음으로 가장 공통적으로 사용되는 하나입니다.

예를 들어, 밑수-2 과학적 표기법에서, 이진법(binary)에서 숫자 1001b (=9d)는 이진수를 사용하여 1.001b × 2d11b 또는 1.001b × 10b11b (또는 문약 이진 문맥이 분명하면, 더 짧게 1.001 × 1011)로 씁니다. E 표기법에서, 이것은 1.001bE11b (또는 더 짧게: 1.001E11)로 쓰이며 여기서 문자 E는 이제 "곱하기 이 (10b)에 대한 거듭제곱"을 의미합니다. 밑수-10 지수로부터 이 밑수-2 지수를 더 나은 구별을 위해, 밑수-2 지수는 때때로 역시 E 대신에 문자 B를 사용함으로써 1.001bB11b (또는 더 짧게: 1.001B11)에서 처럼 나타내며,[29] 속기 표기법은 1968년에 브룩헤이븐 국립 연구소(Brookhaven National Laboratory)의 브루스 앨런 마틴(Bruce Alan Martin)에 의해 원래 제안되었습니다.[30] 비교를 위해, 십진 표현(decimal representation)에서 같은 숫자: 1.125 × 23 (십진 표현을 사용함), 또는 1.125B3 (여전히 십진 표현을 사용함). 일부 계산기는 이진 부동점 숫자에 대해 혼합된 표현을 사용하며, 여기서 지수는 심지어 이진 모드에서 십진 숫자로 표시되므로, 위의 것은 1.001b × 10b3d 또는 더 짧게 1.001B3가 됩니다.[29]

이것은 컴퓨터 산술에서 공통적으로 사용되는 밑수-2 부동-점 표현, 맟 IEC 이진 접두사 (예를 들어 1×210 (kibi)에 대해 1B10, 1×220 (mebi)에 대해 1B20, 1×230 (gibi)에 대해 1B30, 1×240 (tebi)에 대해 1B40)의 사용법곽 밀접하게 관련됩니다.

B (또는 b[31])와 유사하게, 문자 H[29] (또는 h[31]) 및 O[29] (또는 o,[31] 또는 C[29])가, 1.25 = 1.40h × 10h0h = 1.40H0 = 1.40h0, 또는 98000 = 2.7732o × 10o5o = 2.7732o5 = 2.7732C5에서 처럼, 곱하기 16 또는 8에 대한 거듭제곱을 나타내기 위해 때때로 역시 사용됩니다.[29]

밑수-2 지수를 나타내기 위한 또 다른 유사한 관례는 문자 P (또는 "거듭제곱"에 대해, p)를 사용하는 것입니다. 이 표기법에서, 유효숫자는 항상 십육진수임을 의미하지만, 지수는 항상 십진수임을 의미합니다.[32] 이 표기법은, %a 또는 %A 변환 지정자를 사용할 때, C99 상세와 (단일 유닉스 상세(Single Unix Specification)) IEEE Std 1003.1 POSIX 표준을 따르는 함수의 printf 가족의 구현에 의해 생성될 수 있습니다.[32][33][34] C++11로 시작하는, C++ I/O 함수는 마찬가지로 P 표기법을 구문 분석하고 인쇄할 수 있습니다. 한편 이야기는 바뀌어, 그 표기법은 C++17 이래로 언어 표준에서 완전히 채택되었습니다.[35] 애플(Apple)의 Swift는 마찬가지로 그것을 지원합니다.[36] 그것은 IEEE 754-2008 이진 부동-점 표준에 의해 역시 요구됩니다. 예제: 1.3DEp42는 1.3DEh × 242를 나타냅니다.

공학 표기법(Engineering notation)은 밑수-1000 과학적 표기법으로 보일 수 있습니다.

See also

References

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External links

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