Shear mapping

Original article: w:Shear mapping

Horizontal shearing of the plane, transforming the blue into the red shape. The black dot is the origin.

In fluid dynamics a shear mapping depicts fluid flow between parallel plates in relative motion.

평면 기하학(plane geometry)에서, 전단 매핑(shear mapping)은 해당 방향에 평행(parallel)하고 원점을 통과하는 직선으로부터의 부호화된 거리(signed distance)에 비례하는 총양만큼 고정된 방향에서 각 점을 변위시키는 선형 맵(linear map)입니다. 이러한 유형의 매핑은 전단 변환(shear transformation), 횡단(transvection) 또는 그냥 전단(shearing)이라고도 합니다.

좌표(coordinates) $(x,y)$를 갖는 임의의 점을 점 $(x+2y,y)$으로 취하는 매핑이 한 예입니다. 이 경우에서, 변위는 고정된 직선이 $x$-축이고, 부호화된 거리는 $y$ 좌표인 2의 인수만큼 수평입니다. 기준 직선의 반대쪽에 있는 점은 반대 방향으로 변위됩니다.

전단 매핑은 회전(rotations)과 혼동되어서는 안 됩니다. 평면의 점의 집합에 전단 맵을 적용하면 그들 사이의 모든 각도(평각(straight angles) 제외), 및 변위의 방향과 평행하지 않은 임의의 선분(line segment)의 길이를 변경할 것입니다. 그러므로, 보통 예를 들어 정사각형을 평행사변형(parallelograms)으로, 및 원(circles)을 타원(ellipses)으로 바꾸는 것과 같이 기하학적 도형의 모양을 왜곡할 것입니다. 어쨌든, 전단은 기하학적 도형의 넓이(area)와 공선형(collinear) 점의 정렬과 상대 거리를 보존합니다. 전단 매핑은 문자의 수직 스타일과 기울어진 스타일 사이의 주요 차이점입니다.

거리가 고정된 평면에서 측정된다는 점을 제외하면, 같은 정의는 삼-차원 기하학(three-dimensional geometry)에서 사용됩니다. 삼-차원 전단 변환은 고체 도형의 부피를 보존하지만, 평면 도형의 넓이를 변경합니다 (변위와 평행인 것들 제외). 이 변환은 판 사이의 유체의 층류(laminar flow)를 설명하기 위해 사용되며, 하나는 첫 번째 평면과 평행하고 위의 평면에서 이동합니다.

일반적인 $n$-차원 데카르트 공간(Cartesian space) $\mathbb {R} ^{n}$에서, 거리는 변위 방향에 평행한 고정된 초평면(hyperplane)에서 측정됩니다. 이 기하학적 변환은 임의의 집합의 $n$-차원 측정(measure) (초-부피)를 보존하는 $\mathbb {R} ^{n}$의 선형 변환(linear transformation)입니다.

Definition

Horizontal and vertical shear of the plane

Horizontal shear of a square into parallelograms with factors $\cot(60^{\circ })\approx 0.58$ and $\cot(45^{\circ })=1$

평면 $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R}$에서, 수평 전단(horizontal shear) (또는 $x$ 축에 평행한 전단(shear parallel))은 좌표 $(x,y)$를 갖는 일반적인 점을 점 $(x+my,y)$으로 취하는 함수입니다; 여기서 $m$은 고정된 매개변수이고, 전단 인수(shear factor)라고 불립니다.

이 매핑의 효과는 $y$ 좌표에 비례적인 총양만큼 모든 각 점을 수평으로 변위시키는 것입니다. $x$-축 위의 임의의 점은 $m>0$이면 오른쪽 ($x$ 증가)으로, $m<0$이면 왼쪽으로 변위됩니다. $x$-축 아래의 점은 반대 방향으로 이동하고, 축 위의 점은 고정되게 남습니다.

$x$-축에 평행한 직선은 그대로 유지되지만, 모든 다른 직선은 $x$-축과 교차하는 점을 중심으로 (다양한 각도에 의해) 회전됩니다. 특히 수직 직선은 기울기가$1/m$을 갖는 사선(oblique)이 됩니다. 그러므로, 전단 인수 $m$은 이전 수직 직선과 $x$-축 사이의 전단 각도(shear angle) $\varphi$의 코탄젠트입니다. (그림의 예에서 정사각형은 30° 기울어져 있으므로, 전단 각도는 60°입니다.)

만약 점의 좌표가 열 벡터 (2x1 행렬)로 작성되면, 전단 매핑은 2x2 행렬의 곱셈(multiplication)으로 작성될 수 있습니다:

${\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+my\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

직선의 수직 전단(vertical shear) (또는 $y$-축에 평행한 전단)은 $x$와 $y$의 역할이 뒤바꾼다는 점을 제외하고 유사합니다. 그것은 좌표 벡터에 전치된 행렬(transposed matrix)을 곱하는 것에 해당합니다:

${\begin{pmatrix}x^{\prime }\\y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\mx+y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\m&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

수직 전단은 $m$의 부호에 따라 $y$-축의 오른쪽에 있는 점을 위 또는 아래로 변위합니다. 그것은 수직 직선을 불변으로 남기지만, 모든 다른 직선은 $y$-축과 만나는 지점에 대해 기울어집니다. 특히 수평 직선은 전단 각도 $\varphi$만큼 기울어져 기울기 $m$을 갖는 직선이 됩니다.

General shear mappings

벡터 공간(vector space) V와 부분공간(subspace) W에 대해, W를 고정하는 전단은 W에 평행한 방향에서 모든 벡터를 평행이동합니다.

보다 자세하게, V가 W와 W′의 직접 합(direct sum)이고, 벡터를 다음과 같이 쓰면,

v = w + w′

상응하게, W를 고정하는 전형적인 전단 L은 다음과 같습니다:

L(v) = (Lw + Lw′) = (w + Mw′) + w′,

여기서 M은 W′에서 W로의 선형 매핑입니다. 그러므로 블록 행렬(block matrix)에서 항 L은 다음으로 표현될 수 있습니다:

${\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}.$

Applications

윌리엄 킹던 클리포드(William Kingdon Clifford)는 다음과 같이 전단 매핑 적용에 대해 언급했습니다:

""전단의 연속은 직선에 의해 경계진 임의의 도형을 같은 넓이의 삼각형으로 줄이는 것을 활성화할 것입니다."

"... 우리는 임의의 삼각형을 직각 삼각형으로 깎을 수 있고, 이것은 그 넓이를 변경하지 않습니다. 따라서 임의의 삼각형의 넓이는 같은 밑변과 반대편 각도에서 밑변 위로 수직선과 같은 높이를 갖는 직사각형의 넓이의 절반입니다."

전단 매핑의 넓이-보존하는 속성은 넓이와 관련된 결과에 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)는 전단 매핑과 마찬가지로 관련된 기하 평균 정리(geometric mean theorem)로 설명되어 왔습니다.

Alan W. Paeth에 기인한 알고리듬은 임의적인 각도에 의해 디지털 이미지(digital image)를 회전하기 위해 세 개의 전단 매핑의 수열 (수평, 수직, 그 다음 다시 수평)를 사용합니다. 그 알고리듬은 각 단계가 한 번에 픽셀의 한 열 또는 한 행만 처리하기 때문에 구현하기가 매우 간단하고, 매우 효율적입니다.

타이포그래피(typography)에서, 전단 매핑에 의해 변형된 일반 텍스트는 사선 유형(oblique type)이 됩니다.

아인슈타인-이전의 갈릴레이 상대성(Galilean relativity)에서, 참조 프레임(frames of reference) 사이의 변환은 갈릴레이 변환(Galilean transformations)이라고 하는 전단 매핑입니다. 이것들은 역시 때때로 절대 시간과 공간(absolute time and space)으로 참조되는 "선호되는" 프레임에 상대적으로 이동하는 참조 프레임을 설명할 때 보입니다.

See also

• Shear matrix
• Transformation matrix