Angle

평면 기하학(planar geometry)에서, 각도(angle)는, 각도의 꼭짓점(vertex)으로 불리는, 공통 끝점을 공유하는, 각도의 변(sides)으로 불리는, 두 개의 반직선(rays)에 의해 형성된 그림입니다.^[1] 두 개의 반직선으로 형성된 각도는 평면에 놓이지만, 이 평면이 반드시 유클리드 평면(Euclidean plane)일 필요는 없습니다. 각도는 유클리드 및 다른 공간(Euclidean and other spaces)에서 두 평면의 교차에 의해 역시 형성됩니다. 이것들은 이면 각도(dihedral angle)로 불립니다. 평면에서 두 곡선의 교차에 의해 형성된 각도는 교차의 점에서 접 반직선에 의해 결정되는 각도로 정의됩니다. 비슷한 명제는 공간에서 유지되며, 예를 들어, 구(sphere) 위의 두 큰 원(great circle)에 의해 형성된 구면 각도(spherical angle)는 큰 원에 의해 결정되는 평면 사이의 이면 각도입니다.

단어 angle은, "구석(corner)"을 의미하는, 라틴어(Latin) 단어 angulus에서 유래합니다; 같은 기원(cognate)의 단어는 그리스어(Greek) ἀγκύλος (ankylοs)로써, "비뚤어진(crooked), 구부러진(curved)"을 의미하고, 영어(English) 단어는 "발목 관절(ankle)"입니다. 둘 다는 인도유럽조어(Proto-Indo-European) 어원 *ank-와 연관되며, "굽히기(to bend)" 또는 "굽히다(bow)"를 의미합니다.^[2]

유클리드(Euclide)는 서로 만나는 두 직선의, 평면에서, 서로에 대한 사잇각으로 평면 각도를 정의하고, 두 직선은 서로에 대해 똑바로 놓여 있지는 않습니다. 프로크로스(Proclus)에 따르면, 각도는 반드시 질(quality) 또는 양(quantity), 또는 관계(relationship) 중에 하나여야 합니다. 첫 번째 개념은, 각도를 직선(straight line)으로부터 벗어난 것으로 여기는, 유드머스(Eudemus)에 의해 사용되었습니다; 두 번째는, 교차하는 직선 사이의 구간 또는 공간으로 여기는 안티오키아의 카퍼스(Carpus of Antioch)에 의해 사용되었습니다; 유클리드는, 비록 직각, 예각, 및 둔각의 그의 정의가 확실히 양적일지라도, 세 번째 개념을 채택하였습니다.^[3]

Identifying angles

수학적 표현에서, 어떤 각도의 크기를 나타내는 변수(variables)로 쓰기 위해 그리스 문자(Greek letter) (α, β, γ, θ, φ, . . . )를 사용하는 것이 공통입니다. (그의 다른 의미와 혼동을 피하기 위해, 기호 $π$ 는 전형적으로 이 목적에 대해 사용되지 않습니다.) 소문자 로마자 (a, b, c, . . . )는, 다각형(polygon)의 문맥에서 대문자 로마자일 때, 역시 사용됩니다. 예제에 대해 이 기사에서 그림을 참조하십시오.

기하학적 도형에서, 각도는 그것을 정의하는 세 점에 부착된 라벨에 의해 역시 식별될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 반직선 AB 및 AC (즉, 점 A에서 점 B로, 점 A에서 점 C로의 직선)로 둘러싸인 꼭짓점 A에서 각도는 ∠BAC (유니코드 U+2220 ∠ ANGLE) 또는 ${\widehat {\rm {BAC}}}$ 로 표시됩니다. 때때로 혼동의 위험이 없는 곳에서, 각도는 그의 꼭짓점 ("각도 A")에 의해 간단히 참조될 수 있을 것입니다.

잠재적으로, 표시된 각도, 말하자면, ∠BAC는 네 각도의 임의의 것을 참조할 수 있습니다: B에서 C로의 시계-방향 각도, B에서 C로의 반-시계-방향 각도, C에서 B로의 시계 방향 각도, 또는 C에서 B로의 반-시계-방향 각도 중 하나를 나타내며, 여기서 각도가 측정되는 것에서 방향은 그의 부호를 결정합니다 (양 및 음의 각도를 참조하십시오). 어쨌든, 많은 기하학적 상황에서, 그것은 180도 이하의 양의 각도가 의미되고, 모호성이 발생하지 않는 것은 문맥으로부터 명백합니다. 그렇지 않으면, 관례는 ∠BAC는 B에서 C로의 반-시계-방향 (양의) 각도를, ∠CAB는 C에서 B로의 반-시계-방향 (양의) 각도를 항상 참조하도록 채택될 수 있을 것입니다.

Types of angles

Individual angles

각도에 대한 일반적인 용어가 있으며, 그의 측정은 항상 비-음입니다 (양 및 음의 각도를 참조하십시오):

0°와 같은 또는 돌리지 않은 각도는 영 각도로 불립니다.
직각보다 작은 (90°보다 작은) 각도는 예리한 각도(acute angles)로 불립니다 ("예리한"은 "날카로움"을 의미합니다).
1/4 바퀴 (90° 또는 $π$ /2 라디안)와 같은 각도는 바른 각도(right angle)로 불립니다. 직각을 형성하는 두 직선은 법선(normal), 직교(orthogonal), 또는 수직(perpendicular)으로 말합니다.
직각보다 크고 직진 각도보다 작은 각도 (90°와 180° 사이)는 둔감한 각도(obtuse angles)로 불립니다 ("둔감한"은 "무딘"을 의미합니다).
1/2 바퀴 (180° 또는 $π$ 라디안)와 같은 각도는 직진 각도(straight angle)로 불립니다.
직진 각도보다 크고 1 바퀴보다 작은 각도 (180°와 360° 사이)는 반사 각도(reflex angles)로 불립니다.
1 바퀴와 같은 각도 (360° 또는 2 $π$ 라디안)은 가득-찬 각도(full angle), 완전한 각도(complete angle), 둥근 각도(round angle) 또는 페리곤(perigon)으로 불립니다.
직각 또는 직각의 배수가 아닌 각도는 비스듬한 각도(oblique angles)로 불립니다.

이름, 구간, 및 측정된 단위는 아래 테이블에서 보입니다:

Right angle

Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

Reflex angle

Units	Interval
Name	zero	acute	right angle	obtuse	straight	reflex	perigon
Turns	0	(0, 1/4)	1/4	(1/4, 1/2)	1/2	(1/2, 1)	1
Radians	0	(0, 1/2 $π$ )	1/2 $π$	(1/2 $π$ , $π$ )	$π$	( $π$ , 2 $π$ )	2 $π$
Degrees	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
Gons	0^g	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

Equivalence angle pairs

같은 측정 (즉, 같은 크기)을 가지는 각도는 같음 또는 일치(congruent)로 말합니다. 각도는 그의 측정에 의해 정의되고 각도의 변의 길이에 의존하지 않습니다 (예를 들어, : 모든 직각은 측정에서 같습니다).
종점 변을 공유하지만, 바퀴의 정수 배수에 의해 크기에서 다른 두 각도는 공종점 각도로 불립니다.
참조 각도는 결과의 크기가 예각, 0과 1/4 바퀴 사이의 값, 90°, 또는 $π$ /2 라디안이 될 때까지 필요한 만큼 결과에 직진 각도 (1/2 바퀴, 180°, 또는 $π$ 라디안)를 반복적으로 뺌 또는 더함으로써 결정된 임의의 각도의 예각 버전입니다. 예를 들어, 30도의 각도는 30도의 참조 각도를 가지고, 150도의 각도는 역시 30도 (180–150)의 참조 각도를 가집니다. 750도의 각도는 30도 (750-720)의 참조 각도를 가집니다.^[4]

Vertical and adjacent angle pairs

한 점에서 두 직선이 교차할 때, 네 각도가 형성됩니다. 쌍으로 이들 각도는 서로에 상대적인 그들의 위치에 따라 이름이 지정됩니다.

"X"형 모양을 형성하는 두 교차하는 직선에 의해 형성된, 서로 반대쪽의 한 쌍의 각도는 수직의 각도 또는 반대쪽 각도 또는 수직으로 반대쪽 각도로 불립니다. 그것들은 vert. opp. ∠s로 축약됩니다.^[5]

수직으로 반대쪽 각도의 상등은 수직의 각도 정리(vertical angle theorem)로 불립니다. 로즈의 유데머스는 증명을 밀레토스의 탈레스(Thales of Miletus)에 귀속시킵니다.^[6]^[7] 제안은 한 쌍의 수직 각도의 둘 다는 인접한 각의 둘 다에 보충적이며, 수직 각도는 측정에서 같음을 보였습니다. 역사적인 메모에 따르면,^[7] 탈레스가 이집트를 방문했을 때, 그는 이집트인들이 두 교차하는 직선을 그릴 때마다, 그들은 그것들이 같음을 확신하기 위해 수직 각도를 측정하는 것을 관찰했습니다. 탈레스는 우리가 모든 수직 각도는, 만약 우리가 일부 일반적인 개념: 모든 직진 각도는 같음, 같음에 더한 같음이 같고, 같음에서 뺀 같음은 같음을 받아들이면, 같은 것임을 입증할 수 있다고 결론 내렸습니다.

그림에서, 각도 A = x의 측정을 가정합니다. 두 인접한 각도가 직진 각도를 형성할 때, 그들은 보충적입니다. 그러므로, 각도 C = 180 − x의 측정입니다. 비슷하게, 각도 D = 180 − x의 측정입니다. 각도 C와 각도 D 둘 다는 180 − x와 같은 측정을 가지고 일치입니다. 각도 B는 각도 C와 D 둘 다에 보충적이므로, 이들 각도 측정 중 하나는 각도 B의 측정을 결정하기 위해 사용될 수 있을 것입니다. 각도 C 또는 각도 D 중 하나의 측정을 사용하여, 우리는 각도 B = 180 − (180 − x) = 180 − 180 + x = x의 측정을 찾습니다. 그러므로, 각도 A와 각도 B 둘 다는 x와 같은 측정을 가지고 측정에서 같습니다.

인접한 각도는, adj. ∠s로 종종 축약되며, 공통 꼭짓점과 가장자리를 공유하지만 임의의 내부 점을 공유하지 않는 각도입니다. 다시 말해서, 그들은, "팔"을 공유하는, 나란히 또는 인접하는 것의 각도입니다. 합해져서 직각, 직진 각도 또는 완전한 각도가 되는 인접 각도는 특별하고 각각 보완, 보충 및 공액(explementary) 각도로 불립니다 (아래의 "결합 각도 쌍"을 참조하십시오).

횡단은 한 쌍의 (보통 평행한) 직선과 교차하는 직선이고 대안적인 내부 각도(alternate interior angles), 대응하는 각도(corresponding angles), 내부 각도(interior angles). 및 외부 각도(exterior angles)와 관련됩니다.^[8]

Combining angle pairs

각도의 합과 관련된 세 가지 특수 각도 쌍이 있습니다:

보완 각(Complementary angles)은 그의 측정이 합해져서 직각 (1/4 바퀴, 90°, 또는 $π$ /2 라디안)을 만드는 각도 쌍입니다. 만약 두 보완 각도가 인접하면, 그들의 비-공유된 변은 직각을 형성합니다. 유클리드 기하학에서, 직각 삼각형 안의 두 예리한 각도는 보완적인데, 왜냐하면 삼각형(triangle)의 내부 각의 합은 180도이고, 직각 자체는 90도를 차지하기 때문입니다.

형용사 complementary는 동사 complere, "가득 채우기 위해"와 결합된 라틴어 complementum로부터 입니다. 예리한 각도는 직각을 형성하기 위해 그의 보완에 의해 "가득 채워집니다".

각도와 직각 사이의 차이는 각도의 complement로 이름 짓습니다.^[9]

만약 각도 A와 B가 보완적이면, 다음 관계가 유지됩니다:

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

(각의 탄젠트(tangent)는 그의 보완의 코탄젠트(cotangent)와 같고 그의 시컨트는 그의 보완의 코시컨트(cosecant)와 같습니다.)

일부 삼각법 비율의 이름에서 접두사(prefix) "코-(co-)"는 단어 "complementary"를 참조합니다.

합해져서 직진 각도 (1/2 바퀴, 180°, 또는 $π$ 라디안)를 이루는 두 각도는 보충 각도(supplementary angles)로 불립니다.

만약 두 보충 각도가 인접(adjacent)하면 (즉, 공통 꼭짓점(vertex)을 가지고 단지 한 변을 공유하면), 그들의 비-공유한 변은 직선(straight line)을 형성합니다. 그러한 각도는 각도의 선형 쌍으로 불립니다.^[10] 어쨌든, 보충 각도는 같은 직선 위에 있지 않고, 공간에서 분리될 수 있습니다. 예를 들어, 평행사변형(parallelogram)의 인접 각도는 보충적이고, 내접 사각형(cyclic quadrilateral) (그의 꼭짓점 모두는 한 원 위에 떨어지는 원)의 반대 각은 보충적입니다.

만약 한 점 P가 중심 O를 갖는 원에 대해 외부에 있으면, 및 만약 P로부터 접선(tangent lines)은 점 T와 Q에서 원에 접하면, ∠TPQ 및 ∠TOQ는 보충적입니다.

보충 각도의 사인은 같습니다. 그들의 코사인 및 탄젠트 (만약 비-정의가 아니면)는 크기에서 같지만 반대 부호를 가집니다.

유클리드 기하학에서, 삼각형에서 두 각의 임의의 합은 세 번째 것에 대해 보충적인데, 왜냐하면 삼각형의 내부 각의 합은 직진 각도입니다.

합해져서 완전한 각도 (1 바퀴, 360°, 또는 2 $π$ 라디안)를 이루는 두 각도는 공액 각도(explementary angles) 또는 켤레 각도(conjugate angles)로 불립니다.
각도와 완전한 각도 사이의 차이는 각도의 공액(explement) 또는 각도의 켤레(conjugate)로 이름 짓습니다.

Polygon-related angles

단순 다각형(simple polygon)의 일부인 각도는, 만약 그것이 해당 단순 다각형의 내부에 놓이면, 내부 각도(interior angle)로 불립니다. 단순 오목 다각형(concave polygon)은 반사 각도인 적어도 하나의 내부 각도를 가집니다.
유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 삼각형(triangle)의 내부 각도의 측정은 합해져서 $π$ 라디안, 180°, 또는 1/2 바퀴가 됩니다; 단순 오목(convex) 사각형(quadrilateral)의 내부 각도의 측정은 합해져서 2 $π$ 라디안, 360°, 또는 1 바퀴가 됩니다. 일반적으로, n 변을 갖는 단순 오목 다각형(polygon)의 내부 각도의 측정은 합해져서 (n − 2) $π$ 라디안, 또는 180(n − 2)도, (2n − 4) 직각, 또는 (n/2 − 1) 바퀴가 됩니다.
내부 각도의 보충은 외부 각도(exterior angle)로 불리며, 즉 내부 각도 및 외부 각도가 각도의 선형 쌍(linear pair of angles)을 형성한다. 다각형의 각 꼭짓점에서 두 외부 각도가 있으며, 각각은 그 꼭짓점에서 만나는 다각형의 두면 중 하나를 연장하여 결정됩니다; 이들 두 각도는 수직 각도이고 그러므로 같습니다. 외부 각도는 다각형을 추적하기 위해 꼭짓점에서 만들어야 하는 회전 각도의 총량을 측정합니다.^[11] 만약 해당하는 내부 각도가 반사 각도이면, 외부 각도는 음수(negative)로 여겨져야 합니다. 심지어 비-단순 다각형에서, 외부 각도를 정의할 수 있지만, 우리는 외부 각도 측정의 부호를 결정하기 위해 평면(plane) (또는 표면(surface))의 방향(orientation)을 선택해야 할 것입니다.
유클리드 기하학에서, 단한 볼록 다각형의 외부 각도의 합은 하나의 완전한 바퀴 (360°)일 것입니다. 외부 각도는 여기서 보충 외부 각도로 불릴 수 있습니다. 외부 각도는 정규 다각형을 그릴 때 로고 터틀 프로그램(Logo Turtle programs)에서 공통적으로 사용됩니다.
삼각형(triangle)에서, 외부 각도의 이등분선(bisectors) 및 다른 내부 각도의 이등분선은 공점(concurrent)입니다 (한 점에서 만남니다).^[12]^{: p. 149}
삼각형에서, 반대쪽으로 연장된 변(extended side)을 갖는 외부 각 이등분선의 각각, 세 교차 점은 같은-직선(collinear) 위에 있습니다.^[12]^{: p. 149}
삼각형에서, 세 교점, 내부 각도 이등분선과 반대 변 사이에 그들의 둘, 및 다른 외부 각도 이등분선과 반대 변 사이에서 세 번째 것은 같은-직선 위에 있습니다.^[12]^{: p. 149}
일부 저자는 단순 다각형의 이름 외부 각도를 내부 각도의 (보충이 아닌) 켤레 외부 각도를 단순히 의미하기 위해 사용합니다.^[13] 이것은 위의 사용법과 충돌합니다.

Plane-related angles

(다면체(polyhedron)의 두 인접 면과 같은) 두 평면(planes) 사이의 각도는 이면 각도(dihedral angle)로 불립니다.^[9] 그것은 평면에 수직인 두 직선 사이의 예리한 각으로 정의될 수 있을 것입니다.
평면과 교차하는 직선 사이의 각도는 90도에서 교차하는 직선과 교차점을 통과하고 평면에 대한 법선인 직선 사이의 각도를 뺀 것과 같습니다.

Measuring angles

기하학 각도의 크기는 반직선의 하나를 다른 것에 매핑하는 가장-작은 회전의 크기에 의해 보통 특성을 부여합니다. 같은 크기를 가지는 각도는 같음 또는 일치 또는 측정에서 같음으로 말합니다.

원 위에 한 점을 식별하는 것 또는 참조 방향에 상대적인 이차원에서 물체의 방향을 설명하는 것과 같은 일부 문맥에서, 완전한 바퀴(turn)의 정확한 배수에 의한 다른 각도는 실제로 동등합니다. 나선(spiral) 곡선 위에 한 점을 식별하는 것 또는 참조 방향에 상대적인 이차원에서 물체의 누적 회전을 설명하는 것과 같은 다른 문맥에서, 완전한 바퀴의 비-영 배수에 의한 다른 각도는 동등하지 않습니다.

각도 θ를 측정하기 위해, 각도의 꼭짓점에 중심을 둔 원형 호(circular arc)가, 예를 들어, 한 쌍의 컴퍼스(compasses)로, 그려집니다. 원의 반지름 r에 의한 호의 길이 s의 비율은 라디안(radian)에서 각도의 측정입니다.

또 다른 각도 단위에서 각도의 측정은 그런-다음 라디안에서 그의 측정에 스케일링 인수 k/2 $π$ 를 곱하여 획득되며, 여기서 k는 선택한 단위에서 완전한 회전의 측정입니다 (예를 들어, 각도(degrees)에 대해 360 또는 그라디안(gradian)에 대해 400):

\theta =k{\frac {s}{2\pi r}}.

따라서 정의된 θ의 값은 원의 크기와 무관합니다: 만약 반지름의 길이가 변경되면, 호 길이는 같은 비율에서 변경되므로, 비율 s/r은 변경되지 않습니다. (증명. 위의 공식은 k = θr/s로 다시-쓸 수 있습니다.) θ = n 단위에 대해, 한 바퀴는 원의 둘레에 대한 길이에서 같은 호에 해당하며, 이것은 2 $π$ r이므로, s = 2 $π$ r입니다. 공식에서 θ에 대해 n 및 s에 대해 2 $π$ r을 치환함으로써, k = nr/2 $π$ r = n/2 $π$ 의 결과입니다.) ^{[nb 1]}

Angle addition postulate

각도 덧셈 공준은 만약 B가 각도 AOC의 내부 안에 있으면, 다음임을 말합니다:

m\angle AOC=m\angle AOB+m\angle BOC

각도 AOC의 측정은 각도 AOB의 측정 및 각도 BOC의 측정의 합입니다. 이 공준에서, 각 각도가 같은 단위에서 측정되는 한 단위(unit) 각도가 어느 단위로 측정되는지는 중요하지 않습니다.

Units

역사를 통틀어, 각도는 다양한 단위(units)로 측정(measured)되어 왔습니다. 이것들은 각도 단위(angular units)로 알려져 있으며, 가장 현대적인 단위는 도(degree) ( ° ), 라디안(radian) (rad), 및 그라디안(gradian) (grad)이지만, 다른 많은 단위가 역사(history)를 통틀어 사용되어 왔습니다.^[15]

국제 수량의 시스템(International System of Quantities)에서, 각도는 무차원 수량으로 정의됩니다. 이것은 차원 해석학(dimensional analysis)에서 각도가 처리되는 방법에 영향을 줍니다.

각도 측정의 대부분의 단위는 일부 정수 n에 대해 하나의 회전(turn) (즉, 완전한 원 하나)가 n 단위와 같도록 정의됩니다. 두 가지 예외는 라디안 (및 십진 부분배수)과 지름 부분입니다.

일 라디안(radian)은 원의 반지름과 같은 길이를 가지는 원의 호에 끼워진 각도입니다. 라디안은 SI 시스템에서 각도 측정의 유도 단위입니다. 정의에 의해, 그것은 무차원(dimensionless)이지만, 모호성을 피하기 위해 rad로 지정될 수 있습니다. 도(degree)에서 측정된 각도는 ° 기호로 표시됩니다. 도의 부분분할은 분(minute) (기호 ', 1' = 1/60°) 및 초(second) (기호 ″, 1″ = 1/3600°)입니다. 360°의 각도는 전체 원에 끼워진 각도에 해당하고, $2 π$ 라디안 또는 400 그라디안과 같습니다.

각도를 나타내기 위해 사용되는 다른 단위는 다음 테이블에 나열되어 있습니다. 이들 단위는 회전(turn)의 숫자가 전체 원과 동등함을 만족하도록 정의됩니다.

이름	하나의 회전에서 숫자	도 단위	설명
Turn	1	360°	The turn, also cycle, full circle, revolution, and rotation, is complete circular movement or measure (as to return to the same point) with circle or ellipse. A turn is abbreviated cyc, rev, or rot depending on the application. A turn is equal to 2 $π$ radians or 360 degrees.
Multiples of $π$	2	180°	The multiples of $π$ radians (MUL $π$ ) unit is implemented in the RPN scientific calculator WP 43S. See also: IEEE 754 recommended operations
Quadrant	4	90°	One quadrant is a 1/4 turn and also known as a right angle. The quadrant is the unit used in Euclid's Elements. In German, the symbol ^∟ has been used to denote a quadrant. 1 quad = 90° = $π$ /2 rad = 1/4 turn = 100 grad.
Sextant	6	60°	The sextant was the unit used by the Babylonians,^[16]^[17] The degree, minute of arc and second of arc are sexagesimal subunits of the Babylonian unit. It is especially easy to construct with ruler and compasses. It is the angle of the equilateral triangle or is 1/6 turn. 1 Babylonian unit = 60° = $π$ /3 rad ≈ 1.047197551 rad.
Radian	$2 π$	57°17′	The radian is determined by the circumference of a circle that is equal in length to the radius of the circle (n = 2 $π$ = 6.283...). It is the angle subtended by an arc of a circle that has the same length as the circle's radius. The symbol for radian is rad. One turn is 2 $π$ radians, and one radian is 180°/ $π$ , or about 57.2958 degrees. In mathematical texts, angles are often treated as being dimensionless with the radian equal to one, resulting in the unit rad often being omitted. The radian is used in virtually all mathematical work beyond simple practical geometry, due, for example, to the pleasing and "natural" properties that the trigonometric functions display when their arguments are in radians. The radian is the (derived) unit of angular measurement in the SI, which also treats angle as being dimensionless.
Hexacontade	60	6°	The hexacontade is a unit used by Eratosthenes. It is equal to 6°, so that a whole turn was divided into 60 hexacontades.
Binary degree	256	1°33'45"	The binary degree, also known as the binary radian or brad or binary angular measurement (BAM).^[18] The binary degree is used in computing so that an angle can be efficiently represented in a single byte (albeit to limited precision). Other measures of angle used in computing may be based on dividing one whole turn into 2ⁿ equal parts for other values of n. ^[19] It is 1/256 of a turn.^[18]
Degree	360	1°	One advantage of this old sexagesimal subunit is that many angles common in simple geometry are measured as a whole number of degrees. Fractions of a degree may be written in normal decimal notation (e.g. 3.5° for three and a half degrees), but the "minute" and "second" sexagesimal subunits of the "degree-minute-second" system are also in use, especially for geographical coordinates and in astronomy and ballistics (n = 360) The degree, denoted by a small superscript circle (°), is 1/360 of a turn, so one turn is 360°. The case of degrees for the formula given earlier, a degree of n = 360° units is obtained by setting k = 360°/2 $π$ .
Grad	400	0°54′	The grad, also called grade, gradian, or gon. a right angle is 100 grads. It is a decimal subunit of the quadrant. A kilometre was historically defined as a centi-grad of arc along a meridian of the Earth, so the kilometer is the decimal analog to the sexagesimal nautical mile (n = 400). The grad is used mostly in triangulation and continental surveying.
Minute of arc	21,600	0°1′	The minute of arc (or MOA, arcminute, or just minute) is 1/60 of a degree. A nautical mile was historically defined as a minute of arc along a great circle of the Earth (n = 21,600). The arcminute is 1/60 of a degree = 1/21,600 turn. It is denoted by a single prime ( ′ ). For example, 3° 30′ is equal to 3 × 60 + 30 = 210 minutes or 3 + 30/60 = 3.5 degrees. A mixed format with decimal fractions is also sometimes used, e.g. 3° 5.72′ = 3 + 5.72/60 degrees. A nautical mile was historically defined as an arcminute along a great circle of the Earth.
Second of arc	1,296,000	0°0′1″	The second of arc (or arcsecond, or just second) is 1/60 of a minute of arc and 1/3600 of a degree (n = 1,296,000). The arcsecond (or second of arc, or just second) is 1/60 of an arcminute and 1/3600 of a degree. It is denoted by a double prime ( ″ ). For example, 3° 7′ 30″ is equal to 3 + 7/60 + 30/3600 degrees, or 3.125 degrees.

Positive and negative angles

비록 각도의 측정의 정의가 음의 각도의 개념을 지원하지는 않을지라도, 양의 각도와 어떤 참조에 상대적인 반대 방향에서 방향(orientations) 및/또는 회전(rotations)을 나타내기 위한 음의 각도 값을 관례를 정하는 것이 꽤 유용합니다.

이-차원 데카르트 좌표 시스템에서, 각도는 원점에 그의 꼭짓점을 갖는, 그의 두 변에 의해 전형적으로 정의됩니다. 초기 변은 양의 x-축(x-axis) 위에 있지만, 나머디 다른 변 또는 종점 변은 라디안, 각도, 또는 바퀴에서 초기 변으로부터 측정에 의해 정의됩니다. 양의 각도는 양의 y-축(y-axis)을 향한 회전을 나타내고 음의 각도는 음의 y-축(y-axis)을 향한 회전을 나타냅니다. 데카르트 좌표가 x-축 오른쪽 및 y-축 위쪽으로 정의된 표준 위치에 의해 묘사되면, 양의 회전은 반-시계-방향(anticlockwise)이고 음의 회전은 시계-방향(clockwise)입니다.

많은 문맥에서, −θ의 각도는 "하나의 완전한 바퀴 빼기 θ"의 각도에 실제로 동등합니다. 예를 들어, −45°로 표현된 방향은 360° − 45° 또는 315°로 표현된 방향과 실제로 동등합니다. 비록 마지막 위치가 같을지라도, −45°의 물리적 회전 (운동)은 315°의 회전과 같지 않습니다 (예를 들어, 먼지가 많은 바닥에 앉아 빗자루를 들고 있는 사람의 회전은 바닥에 휩쓸린 영역의 시각적으로 다른 흔적을 남길 것입니다).

삼-차원 기하학에서 "시계-방향" 및 "반-시계-방향"은 절대적 의미가 없으므로, 양 및 음의 각도의 방향은 일부 참조에 상대적으로 정의해야 하며, 이것은 전형적으로 각도의 꼭짓점을 통과하고 각도의 반직선이 놓이는 평면에 수직인 벡터(vector)입니다.

항해(navigation)에서, 방위(bearings) 또는 방위각(azimuth)은 북쪽에 상대적으로 측정됩니다. 관례에 의해, 위에서 보인, 방위 각도는 양의 시계-방향이므로, 45°의 방위는 북-동 방향에 해당합니다. 음의 방위는 항해에 사용되지 않으므로, 북-서 방향은 315°의 방위에 해당합니다.

Alternative ways of measuring the size of an angle

회전 각도에 의해 각도의 크기를 측정하는 것에서 여러 대안이 있습니다. 경사의 등급(grade of a slope) 또는 그래디언트(gradient)는 각도의 탄젠트(tangent), 또는 때때로 (드물게) 사인(sine)과 같습니다. 그래디언트는 종종 백분율로 표현됩니다. 매우 작은 값 (5% 미만)에 대해, 경사의 등급은 근사적으로 라디안에서 각도의 측정입니다.

유리 기하학(rational geometry)에서, 두 직선 사이의 확산(spread)는 직선 사이의 사인의 제곱으로 정의됩니다. 각도의 사인과 그의 보충 각도의 사인은 같기 때문에, 직선 중 하나를 다른 선에 매핑하는 회전의 임의의 각도는 직선 사이의 확산에 대해 같은 값으로 이어집니다.

Astronomical approximations

천문학자는 관측의 점으로부터 각도에서 물체의 각도의 분리를 측정합니다.

0.5° is approximately the width of the sun or moon.
1° is approximately the width of a little finger at arm's length.
10° is approximately the width of a closed fist at arm's length.
20° is approximately the width of a handspan at arm's length.

이들 측정은 개별 물체에 따라 분명히 달라지고, 위의 내용은 오직 대략 엄지손가락의 규칙(rule of thumb) 근사로 처리해야 합니다.

Angles between curves

직선과 곡선(curve) 사이의 각도 (혼합된 각도) 또는 두 교차하는 곡선 사이의 각도 (곡선형 각도)는 교차하는 점에서 접선(tangent) 사이의 각도로 정의됩니다. 다양한 이름 (현재는 거의 사용되지는 않음)은 특별한 경우에 주어져 왔습니다:–amphicyrtic (Gr. ἀμφί, 양쪽 변에 대한, κυρτός, convex) 또는 cissoidal (Gr. κισσός, ivy), 쌍볼록(biconvex); xystroidal 또는 sistroidal (Gr. ξυστρίς, a tool for scraping), 오목-볼록(concavo-convex); amphicoelic (Gr. κοίλη, a hollow) 또는 angulus lunularis, 쌍오목(biconcave_.^[20]

Bisecting and trisecting angles

고대 그리스의 수학자들은 오직 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)를 사용하여 각도를 이등분하는 방법 (그것을 같은 측정의 두 각도로 나누는 방법)을 알고 있었지만, 오직 특정 각도를 삼등분할 수 있었습니다. 1837년에 피에르 방첼(Pierre Wantzel)은 대부분의 각도에대해 이 구성이 절대 수행될 수 없음을 보였습니다.

Dot product and generalisations

유클리드 공간(Euclidean space)에서, 두 유클리드 벡터(Euclidean vector) u와 v 사이의 각도 θ는 다음 공식에 의해 그들의 점 곱(dot product)과 그들의 길이와 관련됩니다:

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

이 공식은 그들의 법선 벡터(normal vector)로부터 두 평면 (또는 구부러진 표면) 사이의 각도 및 그들의 벡터 방정식으로부터 꼬인 직선(skew lines) 사이의 각도를 찾기 위한 쉬운 방법을 제공합니다.

Inner product

추상적 실수 안의 곱 공간(inner product space)에서 각도를 정의하기 위해, 우리는 유클리드 점 곱 ( · )을 안의 곱 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 으로 대체하는데, 즉,

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|.

복소 안의 곱 공간(inner product space)에서, 위의 코사인에 대해 표현은 비-실수 값을 제공할 것이므로, 그것은 다음으로 바뀝니다:

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

또는, 보다 공통적으로, 절댓값을 사용하여, 다음으로 바뀝니다:

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=|\cos(\theta )|\ \left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|.

후자 정의는 벡터의 방향을 무시하고 따라서 상응하는 벡터 $\mathbf {u}$ 와 $\mathbf {v}$ 에 의해 생성된 일-차 부분-공간 $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ 와 $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ 사이의 각도를 묘사합니다.

Angles between subspaces

힐베르트 공간(Hilbert space)에서 다음에 의해 주어진

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=|\cos(\theta )|\left\|\mathbf {u} \right\|\ \left\|\mathbf {v} \right\|

일-차 부분-공간 $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ 와 $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ 사이의 각도의 정의는 임의의 유한 차원의 부분-공간으로 확장될 수 있습니다. $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ 를 갖는 두 부분-공간 ${\mathcal {U}}$ , ${\mathcal {W}}$ 이 주어지면, 이것은 부분-공간 사이의 정식의 또는 주요 각도(principal angles)로 불리는 $k$ 각도의 정의로 이어집니다.

Angles in Riemannian geometry

리만 기하학(Riemannian geometry)에서, 메트릭 텐서(metric tensor)는 두 접선(tangent) 사이의 각도를 정의하기 위해 사용됩니다. 여기서 U아 V는 접 벡터이고 g_ij가 메트릭 텐서 G의 성분입니다.

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}.

Hyperbolic angle

쌍곡 각도(hyperbolic angle)는 단지 원형 각도가 원형 함수(circular function)의 인수(argument)인 것처럼 쌍곡 함수(hyperbolic function)의 인수입니다. 그 비교는 쌍곡형 부채꼴(hyperbolic sector) 및 원형 부채꼴(circular sector)의 열린-구명의 크기로 시각화될 수 있는데 왜냐하면 이들 부채꼴의 넓이(area)는 각 경우에서 각도 크기에 대응하기 때문입니다. 원형 각도와 달리, 쌍곡 각도는 무경계입나다. 원형 및 쌍곡 함수가 그들의 각도 인수에서 무한 급수(infinite series)로 보일 때 원형 함수는 쌍곡 함수의 단지 교대하는 급수(alternating series) 형식입니다. 각도의 두 유형의 이 꾸밈은 Introduction to the Analysis of the Infinite에서 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 설명했습니다.

Angles in geography and astronomy

지리학(geography)에서, 지구 위의 임의의 점의 위치는 지리 좌표 시스템(geographic coordinate system)을 사용하여 식별될 수 있습니다. 이 시스템은, 적도(equator)와 (보통) 그리니치 자오선(Greenwich meridian)을 참조로 사용하여, 지구 중심에 끼워진 각도의 관점에서 모든 위치의 위도(latitude)와 경도(longitude)를 지정합니다.

천문학(astronomy)에서, 천구(celestial sphere) 위의 주어진 점 (즉, 천문학적 대상의 겉보기 위치)은 여러 천문 좌표 시스템(astronomical coordinate systems) 중 하나를 사용하여 식별될 수 있으며, 여기서 참조는 특정 시스템에 따라 다릅니다. 천문학 자들은, 각각 별들의 하나를 교차하는, 지구(Earth)의 중심을 통해 두 개의 직선을 상상함으로써 두 별(star)의 각도 분리(angular separation)를 측정합니다. 그들 직선 사이의 각도는 측정될 수 있고, 두 별 사이의 각도 분리입니다.

지리학 및 천문학 모두에서, 관측 방향은 수평선(horizon)에 관한 고도(altitude / elevation)와 마찬가지로 북쪽(north)에 관한 방위각(azimuth)과 같은 수직 각도(vertical angle)의 관점에서 지정될 수 있습니다.

천문학자는 물체의 겉보기 크기를 각도 지름(angular diameter)으로 역시 측정합니다. 예를 들어, 보름달(full moon)은 지구에서 볼 때 근사적으로 0.5°의 각도 지름을 가집니다. 우리는 "달의 지름은 0.5도의 각도로 끼워집니다"라고 말할 수 있습니다. 작은-각도 공식(small-angle formula)은 이러한 각도 측정을 거리/크기 비율로 변환하기 위해 사용될 수 있습니다.

Notes

^ This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius r, in addition to the issue of "measurement units chosen." A smoother approach is to measure the angle by the length of the corresponding unit circle arc. Here "unit" can be chosen to be dimensionless in the sense that it is the real number 1 associated with the unit segment on the real line. See Radoslav M. Dimitrić for instance.^[14]

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This article incorporates text from a publication now in the public domain: Chisholm, Hugh, ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica, vol. 2 (11th ed.), Cambridge University Press, p. 14

External links

"Angle" , Encyclopædia Britannica, vol. 2 (9th ed.), 1878, pp. 29–30

[15] This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius r, in addition to the issue of "measurement units chosen." A smoother approach is to measure the angle by the length of the corresponding unit circle arc. Here "unit" can be chosen to be dimensionless in the sense that it is the real number 1 associated with the unit segment on the real line. See Radoslav M. Dimitrić for instance.^[14]

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