Sign function

수학(mathematics)에서, 부호 함수 (sign function 또는 signum function, "sign"에 대한 라틴어, signum에서 파생)는 실수(real number)의 부호(sign)를 추출하는 홀수(odd) 수학적 함수(mathematical function)입니다. 수학적 표현에서, 부호 함수는 종종 $sgn$ 으로 표시됩니다. 사인 함수와의 혼동을 피하기 위해, 이 함수는 보통 시그넘 함수라고 불립니다.^[1]

Definition

실수(real number) $x$ 의 시그넘 함수는 다음처럼 정의되는 조각별(piecewise) 함수입니다:^[1]

$\operatorname {sgn} x:=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

Properties

임의의 실수는 그것의 절댓값(absolute value)과 그것의 부호 함수의 곱으로 표현될 수 있습니다: $x=|x|\operatorname {sgn} x.$

$x$ 가 0과 같지 않을 때마다 우리가 다음을 가짐을 따릅니다: $\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$

유사하게, 임의의 실수 $x$ 에 대해, $|x|=x\operatorname {sgn} x.$

우리는 역시 다음임을 확인할 수 있습니다: $\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.$

시그넘 함수는 영에서 불확정성까지 (그러나 포함하지 않음), 절댓값 함수의 도함수(derivative)입니다. 보다 형식적으로, 적분 이론에서 그것은 약한 도함수이고, 볼록 함수 이론에서 0에서 절댓값의 하위미분(subdifferential)은 구간 $[-1, 1]$ 이며, 부호 함수를 "채웁니다" (절댓값의 하위미분은 0에서 단일 값이 아닙니다). $x$ 의 결과 거듭제곱은 $x$ 의 보통의 도함수와 유사하게 0임을 주목하십시오. 숫자는 취소되고 우리에게 남은 것은 $x$ 의 부호뿐입니다. ${\frac {d|x|}{dx}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.$

시그넘 함수는 0을 제외한 모든 곳에서 도함수 0을 갖는 미분가능입니다. 그것은 보통의 의미에서 0에서 미분가능이 아니지만, 분포 이론(distribution theory)에서 일반화된 미분의 개념 아래에서, 시그넘 함수의 도함수는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)의 두 배이며, 이것은 다음 항등식을 사용하여 시연될 수 있습니다:^[2] $\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,$

여기서 $H (x)$ 는 표준 $H (0) = 1 / 2$ 형식주의를 사용하여 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)입니다. 이 항등식을 사용하여, 분포적 도함수를 유도하는 것은 쉽습니다:^[3] ${\frac {d\operatorname {sgn} x}{dx}}=2{\frac {dH(x)}{dx}}=2\delta (x)\,.$

시그넘 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)은 다음입니다:^[4] $\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}dx=\mathrm {p.v.} {\frac {2}{ik}},$ 여기서 $p. v.$ 는 코시 주요 값(Cauchy principal value)을 의미합니다.

시그넘은 역시 아이버슨 괄호(Iverson bracket) 표기법을 사용하여 쓸 수 있습니다: $\operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.$

시그넘은 역시 바닥(floor)과 절댓값(absolute value) 함수를 사용하여 쓸 수 있습니다: $\operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.$

$k ≫ 1$ 에 대해, 부호 함수의 매끄러운 근사는 다음입니다: $\operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.$

또 다른 근사는 다음입니다: $\operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.$

이것은 $ε \to 0$ 일 때 더 날카로워집니다; 이것은 $\sqrt x 2 + ε 2$ 의 도함수임을 주목하십시오. 이것은 위의 것이 만약 $ε = 0$ 이면 모든 비-영 $x$ 에 대해 정확하게 같고, 부호 함수의 고차원 유사체 (예를 들어, $\sqrt x 2 + y 2$ 의 부분 도함수)로 간단한 일반화의 이점을 가진다는 사실에서 영감을 받았습니다.

헤비사이드 계단 함수 – 해석적 근사를 참조하십시오.

Complex signum

시그넘 함수는 $z = 0$ 를 제외한 임의의 복소수 $z$ 에 대해 다음처럼 복소수(complex numbers)로 일반화될 수 있습니다: $\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$

주어진 복소수 $z$ 의 시그넘은 $z$ 의 가장 가까운 복소 평면(complex plane)의 단위 원(unit circle) 위의 점(point)입니다. 그런-다음 $z \neq 0$ 에 대해, $\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,$

여기서 $arg$ 는 복소 편각 함수(complex argument function)입니다.

대칭의 이유로, 그리고 이것을 실수에 대한 시그넘 함수의 적절한 일반화를 유지하기 위해, 역시 우리가 보통 정의하는 복소 도메인에서, $z = 0$ 에 대해: $\operatorname {sgn} (0+0i)=0$

실수와 복소 표현에 대해 부호 함수의 또 다른 일반화는 $csgn$ 이며,^[5] 이것은 다음처럼 정의됩니다: $\operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}$

여기서 $Re(z)$ 는 $z$ 의 실수 부분이고 $Im(z)$ 는 $z$ 의 허수 부분입니다.

우리는 그런-다음 다음을 가집니다 ( $z \neq 0$ 에 대해): $\operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.$

Generalized signum function

$x$ 의 실수 값에서, $(sgn 0) 2 = 0$ 에 대해, $sgn$ 과 달리, 점 $x = 0$ 을 포함하여, 모든 곳에서 $ε (x) 2 = 1$ 를 만족하는 시그넘 함수 $ε (x)$ 의 일반화된 함수(generalized function) 버전을 정의할 수 있습니다. 이 일반화 시그넘은 일반화된 함수의 대수(algebra of generalized functions)의 구성을 허용하지만, 그러한 일반화의 대가는 교환성(commutativity)의 손실입니다. 특히, 일반화된 시그넘은 디랙 델타 함수와 역교환입니다,^[6] $\varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;$

게다가, $ε (x)$ 는 $x = 0$ 에서 평가될 수 없습니다; 그리고 특별한 이름, $ε$ 는 함수 $sgn$ 과 그것을 구별하기 위해 필요합니다. ( $ε (0)$ 는 정의되어 않지만, $sgn 0 = 0$ 입니다.)

Notes

^ ^a ^b "Signum function - Maeckes". www.maeckes.nl.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Weisstein, Eric W. "Sign". MathWorld.
^ Weisstein, Eric W. "Heaviside Step Function". MathWorld.
^ Burrows, B. L.; Colwell, D. J. (1990). "The Fourier transform of the unit step function". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 21 (4): 629–635. doi:10.1080/0020739900210418.
^ Maple V documentation. May 21, 1998
^ Yu.M.Shirokov (1979). "Algebra of one-dimensional generalized functions". TMF. 39 (3): 471–477. doi:10.1007/BF01017992. Archived from the original on 2012-12-08.

[:0-1] "Signum function - Maeckes". www.maeckes.nl.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[2] Weisstein, Eric W. "Sign". MathWorld.

[3] Weisstein, Eric W. "Heaviside Step Function". MathWorld.

[4] Burrows, B. L.; Colwell, D. J. (1990). "The Fourier transform of the unit step function". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 21 (4): 629–635. doi:10.1080/0020739900210418.

[5] Maple V documentation. May 21, 1998

[Algebra-6] Yu.M.Shirokov (1979). "Algebra of one-dimensional generalized functions". TMF. 39 (3): 471–477. doi:10.1007/BF01017992. Archived from the original on 2012-12-08.

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Definition

Properties

Complex signum

Generalized signum function

See also

Notes