Skew-symmetric matrix

Original article: w:Skew-symmetric matrix

For matrices with antisymmetry over the complex number field, see Skew-Hermitian matrix.

수학(mathematics), 특히 선형 대수(linear algebra)에서, 반-대칭(skew-symmetric 또는 antisymmetric 또는 antimetric) 행렬은 그 전치(transpose)가 그것의 음수와 같은 정사각 행렬입니다. 즉, 그것은 다음 조건을 만족시킵니다:

$A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.$

행렬의 엔트리의 관점에서, 만약 ${\textstyle a_{ij}}$가 ${\textstyle i}$-번째 행과 ${\textstyle j}$-번째 열에 있는 엔트리를 나타내면, 반-대칭 조건은 다음과 동등합니다:

$A{\text{ skew-symmetric}}\quad \iff \quad a_{ji}=-a_{ij}.$

Example

다음 행렬은

$A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}$

반대칭인데 왜냐하면

$-A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.$

Properties

전체에 걸쳐, 우리는 모든 행렬 엔트리가 그 특성(characteristic)이 2와 같지 않은 필드(field) ${\textstyle \mathbb {F} }$에 속한다고 가정합니다. 즉, 1 + 1 ≠ 0이라고 가정하며, 여기서 1은 주어진 필드의 곱셈 항등식을 나타내고 0은 덧셈 항등식을 나타냅니다. 만약 필드의 특성이 2이면, 반-대칭 행렬은 대칭 행렬(symmetric matrix)과 같은 것입니다:

• 두 반-대칭 행렬의 합은 반-대칭입니다.
• 반-대칭 행렬의 스칼라 배수는 반-대칭입니다.
• 반-대칭 행렬의 대각선 위에 있는 원소는 영이고, 따라서 그것의 대각합(trace)은 영과 같습니다.
• 만약 ${\textstyle A}$가 실수 반-대칭 행렬이고 ${\textstyle \lambda }$가 실수 고윳값(eigenvalue)이면, ${\textstyle \lambda =0}$, 즉. 반-대칭 행렬의 비-영 고윳값은 비-실수입니다.
• 만약 ${\textstyle A}$가 실수 반-대칭 행렬이면, ${\textstyle I+A}$는 역가능(invertible)이며, 여기서 ${\textstyle I}$는 항등 행렬입니다.
• 만약 ${\textstyle A}$가 반-대칭 행렬이면, ${\textstyle A^{2}}$은 대칭 음수 반-항정 행렬(negative semi-definite matrix)입니다.

Vector space structure

위의 처음 두 속성의 결과로, 고정된 크기의 모든 반-대칭 행렬의 집합은 벡터 공간(vector space)을 형성합니다. ${\textstyle n\times n}$ 반-대칭 행렬의 공간은 차원(dimension) ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$을 가집니다.

${\mbox{Mat}}_{n}$가 ${\textstyle n\times n}$ 행렬의 공간을 나타낸다고 놓습니다. 반-대칭 행렬은 ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}$ 스칼라 (주요 대각선 위쪽 편에 있는 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다; 대칭 행렬(symmetric matrix)은 ${\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}$ 스칼라 (주요 대각선 위에 또는 위쪽 편에 있는 엔트리의 개수)에 의해 결정됩니다. ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}$가 ${\textstyle n\times n}$ 반-대칭 행렬의 공간을 나타내고 ${\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}$는 ${\textstyle n\times n}$ 대칭 행렬의 공간을 나타낸다고 놓습니다. 만약 ${\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}$이면, $$A={\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right).$$

${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}$ 및 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(A+A^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$를 주목하십시오. 이것은 그 특성(characteristic)이 2와 다른 임의의 필드(field)로부터 엔트리를 갖는 모든 각 정사각 행렬에 대해 참입니다. 그런-다음, ${\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}$ 및 ${\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}\cap {\mbox{Sym}}_{n}=\{0\}}$이기 때문에, $${\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},$$ 여기서 $\oplus$는 직접 합(direct sum)을 나타냅니다.

$\mathbb {R} ^{n}$ 위에 표준 안의 곱(inner product)을 ${\textstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$에 의해 나타냅니다. 실수 $n\times n$ 행렬 ${\textstyle A}$가 반-대칭인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다: $$\langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.$$

이것은 역시 모든 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해 ${\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}$와 동등합니다 (한 가지 의미는 명백하고, 다른 하나는 모든 $x$와 $y$에 대해 ${\textstyle \langle x+y,A(x+y)\rangle =0}$의 평범한 결과입니다).

이 정의는 기저(basis)의 선택과 무관하므로, 반-대칭은 선형 연산자(linear operator) $A$와 안의 곱(inner product)의 선택에만 의존하는 속성입니다.

$3\times 3$ 반-대칭 행렬은 교차 곱(cross products)을 행렬 곱셈으로 나타내기 위해 사용될 수 있습니다.

게다가, 만약 $A$가 반-대칭 (또는 반-에르미트) 행렬이면, 몯 $x\in \mathbb {C} ^{n}$에 대해 $x^{T}Ax=0$입니다.

Determinant

$A$를 $n\times n$ 반-대칭 행렬이라고 놓습니다. $A$의 행렬식(determinant)은 다음을 만족시킵니다:

$\det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).$

특히, $n$이 홀수이고, 놓여있는 필드가 특성 2의 것이 아니므로, 행렬식은 사라집니다. 따라서, 모든 홀수 차원 반-대칭 행렬은 그 행렬식이 항상 영이기 때문에 특이 행렬입니다. 이 결과는 카를 구스타프 야코비(Carl Gustav Jacobi) (Eves, 1980)의 이름을 따서 야코비의 정리(Jacobi’s theorem)라고 불립니다.

짝수-차원의 경우가 더 흥미 롭습니다. 그것은 짝수 $n$에 대한 $A$의 행렬식은 케일리에 의해 처음 입증된 $A$의 엔트리에서 다항식(polynomial)의 제곱으로 쓸 수 있음이 밝혀졌습니다:

$\det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.$

이 다항식은 $A$의 파피안(Pfaffian)이라고 불리고 $\operatorname {Pf} (A)$로 표시됩니다. 따라서, 실수 반-대칭 행렬의 행렬식은 항상 비-음수입니다. 어쨌든, 이 마지막 사실은 다음과 같은 기본 방법으로 입증될 수 있습니다: 실수 반-대칭 행렬의 고윳값은 순수한 허수이고 (아래 참조) 같은 중복도를 갖는 켤레 고윳값은 모든 각 고윳값에 해당합니다; 따라서, 행렬식은 고윳값의 곱이므로, 각 고윳값은 그것의 중복에 따라 반복되며, 행렬식은 0이 아니면 그것은 양의 실수임이 따라옵니다.

차수 $n$의 반-대칭 행렬의 행렬식의 확장에서 구별되는 항 $s(n)$의 개수는 케일리, 실베스터, 및 파프에 의해 이미 고려되어 왔습니다. 취소로 인해, 이 숫자는 $n!$인 차수 $n$의 일반 행렬의 항 개수와 비교할 때 매우 작습니다. 수열 $s(n)$ (OEIS에서 수열 A002370)은 다음과 같습니다:

1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …

그리고 그것은 지수 생성 함수(exponential generating function)로 인코딩됩니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).$

후자는 (짝수 $n$에 대해) 점근선으로 산출합니다:

$s(n)=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

양수 항과 음수 항의 개수는 전체의 대략적으로 절반이지만, $n$이 증가함에 따라 그 차이는 점점 더 커집니다 (OEIS에서 수열 A167029).

Cross product

3×3 반-대칭 행렬은 교차 곱을 행렬 곱셈으로 나타내기 위해 사용될 수 있습니다. 벡터 ${\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}$와 ${\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}}$를 생각해 보십시오. 그런-다음 다음 행렬을 정의하여

$[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},$

교차 곱은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} .$

이것은 이전 방정식의 양쪽 변을 계산하고 결과의 각 해당 원소를 비교함으로써 즉시 확인할 수 있습니다.

See also: Plücker matrix

실제로 다음을 가집니다:

$[\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times }-[\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };$

즉, 반-대칭 3×3 행렬의 교환자는 3-벡터의 교차-곱으로 식별될 수 있습니다. 반-대칭 3×3 행렬은 회전 그룹 ${\textstyle SO(3)}$의 리 대수(Lie algebra)이기 때문에, 이것은 3-공간 ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$, 교차 곱 및 3-차원 회전 사이의 관계를 설명합니다. 무한소 회전에 대한 자세한 내용은 아래에서 찾을 수 있습니다.

Spectral theory

행렬은 자신의 전치와 닮은(similar) 것이므로, 그것들은 같은 고윳값을 가져야 합니다. 반-대칭 행렬의 고윳값(eigenvalues)은 항상 ±λ 쌍으로 나타난다 (추가적인 짝-없는 0 고윳값이 있는 홀수-차원의 경우를 제외)는 것이 따라옵니다. 스펙트럼 정리(spectral theorem)에서, 실수 반-대칭 대칭 행렬에 대해, 비-영 고윳값은 모두 순수한 허수이고 따라서 $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ 형식이며, 여기서 각 $\lambda _{k}$는 실수입니다.

실수 반-대칭 행렬은 정규 행렬(normal matrices, 인접과 교환함)이고 따라서 임의의 실수 반-대칭 행렬은 유니태리 행렬(unitary matrix)에 의해 대각화될 수 있다고 말하는 스펙트럼 정리의 적용을 받습니다. 실수 반-대칭 행렬의 고윳값은 허수이므로, 실수 행렬에 의해 대각화될 수 없습니다. 어쨌든, 특수 직교 변환(special orthogonal transformation)을 통해 모든 각 반-대칭 행렬을 블록 대각(block diagonal) 형식으로 가져올 수 있습니다. 구체적으로 특히, 모든 각 $2n\times 2n$ 실수 반-대칭 행렬은 $A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}$형식으로 쓸 수 있으며, 여기서 $Q$는 직교이고 실수 양수-한정 $\lambda _{k}$에 대해 다음과 같습니다:

$\Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

이 행렬의 비-영 고윳값은 ±λ_k i입니다. 홀수-차원의 경우에서, $\Sigma$는 항상 영의 적어도 하나의 행과 열을 가집니다.

더 일반적으로, 모든 각 복소수 반-대칭 행렬은 $A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }$ 형식으로 쓸 수 있으며, 여기서 $U$는 유니태리이고 $\Sigma$는 위에 주어진 블록-대각 형식을 가지며 $\lambda _{k}$는 여전히 실수 양수-한정입니다. 이것은 복소 정사각 행렬의 율라(Youla) 분해의 예입니다.

Skew-symmetric and alternating forms

임의적인 특성의 필드(field) $K$에 걸쳐 벡터 공간(vector space) $V$ 위에 반-대칭 형식(skew-symmetric form) $\varphi$는 $V$에서 모든 $v,w$에 대해 다음임을 만족하는

$\varphi (v,w)=-\varphi (w,v)$

다음과 같은 쌍선형 형식(bilinear form)으로 정의됩니다:

$\varphi :V\times V\mapsto K.$

이것은 2와 같지 않은 특성의 필드에 걸쳐 벡터 공간에 대한 바람직한 속성을 갖는 형식을 정의하지만, 특성 2의 필드에 걸쳐 벡터 공간에서, 그 정의가 대칭 형식의 정의와 동일한데, 왜냐하면 모든 각 원소는 자체의 덧셈 역이기 때문입니다.

벡터 공간(vector space) $V$가 특성 2를 포함하는 임의적인 특성(characteristic)의 필드에 걸쳐 있는 곳에서, $V$에서 모든 벡터 $v$에 대해 다음임을 만족하는 쌍선형 형식 $\varphi$로 교대하는 형식(alternating form)을 정의할 수 있습니다:

$\varphi (v,v)=0.$

이것은 필드가 특성 2가 아닐 때 반-대칭 형태와 동등하며, 다음에서 볼 수 있습니다:

$0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\varphi (v,w)+\varphi (w,v),$

이때,

$\varphi (v,w)=-\varphi (w,v).$

쌍선형 형식 $\varphi$는 일단 $V$의 기저(basis)가 선택되면 $\varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw$임을 만족하는 행렬 $A$로 표시될 것이고, 반대로 $K^{n}$ 위의 $n\times n$ 행렬 $A$는 $(v,w)$를 $v^{\textsf {T}}Aw.$에 보내는 형식을 생성합니다. 대칭 형식, 반-대칭 형식, 및 교대 형식 각각에 대해, 나타내는 행렬은 각각 대칭 형식, 반-대칭 형식, 및 교대 형식입니다.

Coordinate-free

보다 본질적으로 (즉, 좌표를 사용 없이), 안의 곱(inner product)을 갖는 벡터 공간 $V$ 위에 반-대칭 선형 변환은 단순한 이중-벡터 (2-블레이드) ${\textstyle v\wedge w}$의 합인 공간 위에 이중벡터(bivectors)로 정의될 수 있습니다. 대응 관계는 맵 ${\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes w-w^{*}\otimes v}$에 의해 제공되며, 여기서 ${\textstyle v^{*}}$는 벡터 ${\textstyle v}$에 대한 코벡터 이중입니다; 직교정규 좌표에서 이것들은 정확히 기본 반-대칭 행렬입니다. 이 특성화는 벡터 필드 (당연히 2-벡터)의 컬(curl)을 무한소 회전 또는 "컬(curl)"로 해석하는 데 사용되며, 따라서 그 이름입니다.

Skew-symmetrizable matrix

$n\times n$ 행렬 $A$는 $DA$가 반-대칭임을 만족하는 역가능 대각 행렬(diagonal matrix) $D$가 존재하면 반-대칭가능(skew-symmetrizable)이라고 말합니다. 실수 $n\times n$ 행렬에 대해, 때때로 $D$에 대해 양수 엔트리를 갖기 위한 조건이 추가됩니다.

See also

• Cayley transform
• Symmetric matrix
• Skew-Hermitian matrix
• Symplectic matrix
• Symmetry in mathematics

Further reading

• Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
• Suprunenko, D. A. (2001) [1994], "Skew-symmetric matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070.

External links

• "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld.
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems".
• Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. S2CID 8575785. Fortran Fortran90