Skew lines

삼-차원 기하학(three-dimensional geometry)에서, 꼬인 직선(skew lines)은 교차(intersect)하지 않고 평행(parallel)하지 않은 두 직선(line)입니다. 한 쌍의 꼬인 직선의 간단한 예제는 정규 사면체(regular tetrahedron)의 반대쪽 가장자리를 통과하는 한 쌍의 직선입니다. 둘 다 같은 평면 안에 있는 두 직선은 서로 교차 또는 평행해야 하므로, 꼬인 직선은 삼이상 차원(dimension)에서 오직 존재할 수 있습니다. 두 직선은 꼬인 것과 그들이 공통-평면(coplanar)에 있지 않은 것은 필요충분 조건입니다.

General position

만약 네 점이 단위 정육면체(cube) 이내에 균등하게(uniformly) 무작위로 선택되면, 그들은 한 쌍의 꼬인 직선이 거의 확실하게(almost surely) 정의될 것입니다. 처음 세 점이 선택된 후에, 네 번째 점은 비-꼬인 직선을 정의할 것과 그것이 처음 세 점과 같은-평면에 있을 것은 필요충분 조건입니다. 어쨌든, 처음 세 점을 통과하는 평면은 정육면체의 측정 영의 부분-집합을 형성하고, 네 번째 점이 이 평면 위에 놓일 확률은 영입니다. 만약 그렇지 않으면, 점에 의해 정의된 직선이 꼬이게 될 것입니다.

유사하게, 삼-차원 공간에서 임의의 두 평행하거나 교차하는 직선의 매우 작은 섭동은 그것들을 거의 확실히 꼬인 직선으로 바꿀 것입니다. 그러므로, 일반적인 위치(general position)의 임의의 네 점은 꼬인 직선을 항상 형성합니다.

이런 의미에서, 꼬인 직선은 "보통" 경우이고, 평행 또는 교차하는 직선은 특별한 경우입니다.

Formulas

Testing for skewness

만약 한 쌍의 꼬인 직선에서 각 직선이 그것이 통과하는 두 점(point)에 의해 정의되면, 이들 네 점은 같은-평면 위에 있지 않아야 하므로, 그들은 비-영 부피(volume)의 사면체(tetrahedron)의 꼭짓점(vertices)이어야 합니다. 반대로, 비-영 부피의 사면체를 정의하는 두 쌍의 점은 한 쌍의 꼬인 직선을 역시 정의합니다. 그러므로, 두 쌍의 점이 꼬인 직선을 정의하는지 여부의 테스트는 그것의 네 꼭짓점의 관점에서 사면체의 부피에 대해 공식을 적용하는 것입니다. 세 원소가 점의 세 좌표 값인 1x3 벡터 $a$ 로 한 점을 표시하고, 마찬가지로 다른 점에 대해 $b$ , $c$ , 및 $d$ 를 표시하면, 우리는 만약 $a$ 와 $b$ 를 통과하는 직선이 사면체 부치 공식이 비-영 결과를 제공하면 봄으로써 $c$ 와 $d$ 를 통과하는 직선에 꼬인 것이면 점검할 수 있습니다:

V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.

Distance

두 꼬인 직선 사이의 거리를 계산하기 위해 직선은 벡터를 사용하여 표현될 수 있습니다:

\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;

\mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .

여기서 1×3 벡터 $x$ 는 직선의 방향을 나타내는 $b$ 및 점이 직선 위에 있는 것을 결정하는 실수 $\lambda$ 의 값을 갖는 특정 점 $a$ 를 통과하는 직선 위의 임의의 점을 나타내고, 비슷하게 방향 $d$ 에서 특정 점 $c$ 를 통과하는 직선 위의 임의의 점 $y$ 에 대해 나타냅니다.

b와 d의 교차 곱(cross product)은 단위 벡터(unit vector)와 마찬가지로 직선에 수직입니다:

\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}

직선 사이의 거리는 그런-다음 다음입니다:^[1]

d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.

(만약 |b × d|는 영이면, 직선은 평행이고 이 방법은 절대 사용될 수 없습니다).

Nearest Points

두 직선을 벡터로 표현하면:

직선 1:

\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}}

직선 2:

\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}}

$\mathbf {d_{1}}$ 와 $\mathbf {d_{2}}$ 의 교차 곱(cross product)은 직선에 수직입니다.

\mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}}

$\mathbf {n}$ 에 따라 직선 2의 변환에 의해 형성된 평면은 점 $\mathbf {p_{2}}$ 을 포함하고 $\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$ 에 수직입니다.

그러므로, 위의-언급된 평면과 직선 1의 교차하는 점은, 이것은 직선 2에 가장-가까이에 있는 직선 1 위에 역시 점이며, 다음에 의해 제공됩니다:

\mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}}

비슷하게, 직선 1에 가장-가까운 직선 2 위의 점은 다음에 의해 제공됩니다 (여기서 $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ )

\mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}}

이제, $\mathbf {c_{1}}$ 와 $\mathbf {c_{2}}$ 는 직선 1 및 직선 2와 연결하는 가장-짧은 선분을 형성합니다.

More than two lines

Configurations

꼬인 곡선의 구성은 모든 쌍이 꼬인 것에서 직선의 집합입니다. 두 구성은 만약 하나의 구성을 다른 것으로 연속적으로 변환할 수 있으면, 동위(isotopic)인 것으로 말해지며, 변환 전체에서 모든 직선의 쌍이 꼬인 것으로 남겨지는 불변을 유지합니다. 두 직선의 임의의 두 구성은 쉽게 동위인 것으로 보이고, 삼보다 큰 차원에서 직선의 같은 숫자의 구성은 항상 동위이지만, 삼차원에서 삼 이상의 선으로 여러 비-동위 구성이 존재합니다 (Viro & Viro 1990). n = 1에서 시작하는, R³에서 n 직선의 비-동위 구성의 숫자는 다음입니다:

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (OEIS에서 수열 A110887).

Ruled surfaces

만약 우리가 하나의 직선 L을 꼬여있지만 그것과 수직은 아닌 또 다른 직선 M을 중심으로 회전하면, L에 의해 쓸어 담은 회전의 표면(surface of revolution)은 한 판의 쌍곡면체(hyperboloid of one sheet)입니다. 예를 들어, 그림에서 보이는 세 쌍곡면체는 직선 L을 중앙 흰색 수직 직선 M 주위로 회전시킴으로써 이 방법으로 형성될 수 있습니다. 이 표면 이내의 L의 복사본은 레귤러스(regulus)를 형성합니다; 쌍곡면체는 그것으로부터 L과 같은 거리에서 M으로 꼬여있지만 반대 각도로 반대 레률러스를 형성하는 직선의 두 번째 가족을 포함합니다. 두 레귤러스는 자로-그은 표면(ruled surface)으로 쌍곡면체를 표시합니다.

이 자로-그은 표면의 아핀 변환(affine transformation)은 L을 L' 주위로 회전시킴으로써 생성된 원형 단면보다 타원형 단면을 일반적으로 갖는 표면을 생성합니다; 그러한 표면은 한 판의 쌍곡면체로 역시 불리고, 다시 서로 꼬인 직선의 두 가족에 의해 자로-긋습니다. 자로-그은 표면의 세 번째 유형은 쌍곡형 포물면체(hyperbolic paraboloid)입니다. 한 판의 쌍곡면체와 마찬가지로, 쌍곡형 포물면체는 꼬인 직선의 두 가족을 가집니다; 두 가족의 각각에서 직선은 비록 서로 평행하지 않을지라도 공통 평면에 평행합니다. R³에서 임의의 세 꼬인 직선은 이들 유형 중 하나의 자로-그은 표면에 정확히 놓입니다 (Hilbert & Cohn-Vossen 1952).

Gallucci's theorem

만약 세 꼬인 직선 모두가 세 다른 꼬인 직선과 만나면, 셋의 첫 번째 집합의 횡단은 두 번째 집합의 임의의 횡단과 일치합니다.^[2]^[3]

Skew flats in higher dimensions

고차원 공간에서, 차원 k 플랫(flat)은 k-플랫으로 참조됩니다. 따라서, 직선은 1-플랫으로 역시 불릴 수 있습니다.

꼬인 직선의 개념을 d-차원 공간으로 일반화하면, i-플랫과 j-플랫은 만약 $i + j < d$ 이면 꼬일 수 있습니다. 삼-공간에서 직선과 마찬가지로, 꼬인 플랫은 평행하지도 않고 교차하지도 않는 그것들입니다.

아핀 d-공간(affine d-space)에서, 임의의 차원의 두 플랫은 평행일 수 있습니다. 어쨌든, 투영 공간(projective space)에서, 평행성은 존재하지 않습니다; 두 플랫은 반드시 교차 또는 꼬인 것이어야 합니다. $I$ 를 i-플랫 위의 점의 집합으로 놓고, $J$ 를 j-플랫 위의 점의 집합으로 놓습니다. 투영 d-공간에서, 만약 $i + j \geq d$ 이면 $I$ 와 $J$ 의 교차는 반드시 (i+j−d)-플랫을 포함합니다. (0-플랫은 한 점입니다.)

두 기하학에서, 만약 $I$ 와 $J$ 가 $k \geq 0$ 에 대해 k-플랫에서 교차하면, $I \cup J$ 의 점은 (i+j−k)-플랫을 결정합니다.

Notes

^ Weisstein, Eric W. "Line-Line Distance". MathWorld.
^ H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, 2nd edition, page 257, John Wiley & Sons
^ G. Gallucci (1906) "Studio della figua delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni", Rendiconto dell’Accademia della Scienza fisiche e matematiche (3) 12: 49–79

References

Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 13–17, ISBN 0-8284-1087-9.
Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configurations of skew lines" (PDF), Leningrad Math. J. (in Russian), 1 (4): 1027–1050. Revised version in English: arXiv:math.GT/0611374.

External links

[1] Weisstein, Eric W. "Line-Line Distance". MathWorld.

[2] H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, 2nd edition, page 257, John Wiley & Sons

[3] G. Gallucci (1906) "Studio della figua delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni", Rendiconto dell’Accademia della Scienza fisiche e matematiche (3) 12: 49–79

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