Triangle

Original article: wikipedia:Triangle

This article is about the basic geometric shape. For other uses, see Triangle (disambiguation).

Equilateral triangle
A regular triangle
Type	Regular polygon
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	{3}
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	Dihedral (D3), order 2×3
Internal angle (degrees)	60°
Properties	Convex, cyclic, equilateral, isogonal, isotoxal

Triangle
A triangle
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	{3} (for equilateral)
Area	various methods; see below
Internal angle (degrees)	60° (for equilateral)

Triangle = Tri (three) + Angle

삼각형(triangle)은 세 가장자리(edges)와 세 꼭짓점(vertices)을 갖는 다각형(polygon)입니다. 그것은 기하학(geometry)의 기본 모양(shape) 중 하나입니다. 꼭짓점 A, B, 및 C를 갖는 삼각형은 $\triangle ABC$로 표시됩니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 임의의 세 점은, 비-공선(collinear)일 때 (같은 직선 위에 있지 않을 때), 고유한 삼각형을 결정하고, 동시에 고유한 평면(plane) (즉, 이-차원 유클리드 공간(Euclidean space))을 결정합니다. 달리 말해서, 해당 삼각형을 포함하는 오직 하나 평면이 있고, 모든 각 삼각형은 어떤 평면에 포함됩니다. 만약 전체 기하학이 오직 유클리드 평면(Euclidean plane)이면, 오직 하나의 평면이 있고 모든 삼각형이 그것에 포함됩니다; 어쨌든, 더 높은 차원의 유클리드 공간에서, 이것은 더 이상 참이 아닙니다. 이 기사는 유클리드 기하학, 달리 언급되지 않은 한, 특히 유클리드 평면에서 삼각형에 대한 것입니다.

Types of triangle

Euler diagram of types of triangles, using the definition that isosceles triangles have at least 2 equal sides (i.e., equilateral triangles are isosceles).

By lengths of sides

삼각형은 그들의 변의 길이에 따라 분류될 수 있습니다:

• 등변 삼각형(equilateral triangle)은 같은 길이를 갖는 모든 변을 가집니다. 등변 삼각형은 60°를 측정하는 모든 각도를 갖는 역시 정규 다각형(regular polygon)입니다.
• 이등변 삼각형(isosceles triangle)은 같은 길이의 두 변을 가집니다. 이등변 삼각형은 역시 같은 측정의 두 각도, 즉 같은 길이의 두 변에 반대되는 각도를 가집니다; 이 사실은 유클리드(Euclid)에 의해 알려진 이등변 삼각형 정리(isosceles triangle theorem)의 내용입니다. 일부 수학자들은 이등변 삼각형을 정확히 두 같은 변을 가지는 것으로 정의하지만, 다른 수학자들은 이등변 삼각형을 적어도 두 같은 변을 갖는 것으로 정의합니다. 후자의 정의는 모든 등변 삼각형을 이등변 삼각형으로 만듭니다. 테트라키스 정사각형 타일링(tetrakis square tiling)에서 나타나는 45–45–90 직각 삼각형은 이등변입니다.
• 부등변 삼각형(scalene triangle)은 다른 길이의 모든 변을 가집니다. 동등하게, 그것은 다른 측정의 모든 각도를 가집니다.

• 
  등변 삼각형
• 
  이등변 삼각형
• 
  부등변 삼각형

역시 눈금 표시라고 불리는, 해치 표시(Hatch marks)는 삼각형 및 다른 기하학적 도형의 다이어그램에서 같은 길이의 변을 식별하기 위해 사용됩니다. 변은 "눈금"의 패턴, 탈리 표시(tally marks)의 형식에서 짧은 선분으로 표시될 수 있습니다; 두 변은 만약 그들이 같은 패턴으로 둘 다 표시되면 같은 길이를 가집니다. 삼각형에서, 패턴은 보통 3 눈금 이하입니다. 등변 삼각형은 모든 3 변에 같은 패턴을 가지며, 이등변 삼각형은 단지 2 변에서 같은 패턴을 가지고, 부등변 삼각은 모든 변이 다른 패턴을 가지는데 왜냐하면 변이 같지 않기 때문입니다. 비슷하게, 각도 내부의 1, 2, 또는 3의 동심 호의 패턴이 같은 각도를 나타내기 위해 사용됩니다. 등변 삼각형은 모든 3 각도에서 같은 패턴을 가지고, 이등변 삼각형은 단지 2 각도에서 같은 패턴을 가지고, 부등변 삼각형은 모든 각도에서 다른 패턴을 가지는데 왜냐하면 각도는 같지 않기 때문입니다.

By internal angles

삼각형은 그들의 내부 각도(internal angle)에 따라 역시 분류될 수 있으며, 여기서는 도(degrees)에서 측정됩니다.

• 직각 삼각형(right triangle, 또는 right-angled triangle, 공식적으로 rectangled triangle으로 불림)은 90° (직각(right angle))를 측정하는 내부 각도 중 하나를 가집니다. 직각과 반대쪽 변은 빗변(hypotenuse), 삼각형의 가장 긴 변입니다. 다른 두 변은 삼각형의 다리(legs) 또는 카테티 (catheti, 단수: 카테투스(cathetus))라고 불립니다. 직각 삼각형은 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 만족합니다: 두 다리 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같습니다: a² + b² = c², 여기서 a와 b는 다리의 길이이고 c는 빗변의 길이입니다. 특수 직각 삼각형(Special right triangles)은 더 쉬운 그들을 포함하는 계산을 만드는 추가적인 속성을 갖는 직각 삼각형입니다. 가장 유명한 두 가지 중 하나는 3–4–5 직각 삼각형이며, 여기서 3² + 4² = 5²입니다. 이 상황에서, 3, 4, 및 5는 피타고라스 세-쌍(Pythagorean triple)입니다. 다른 하나는 각각 45도를 측정하는 두 각도를 가지는 이등변 삼각형입니다.
• 90°를 측정하는 각도를 가지지 않는 삼각형은 비스듬한 삼각형(oblique triangle)이라고 불립니다.
• 90°보다 작은 것을 측정하는 모든 내부 각도를 갖는 삼각형은 예각 삼각형(acute triangle) 또는 예리한-각도 삼각형(acute-angled triangle)입니다. 만약 c가 가장-긴 변의 길이이면, a² + b² > c²이며, 여기서 a와 b는 다른 두 변의 길이입니다.
• 90°보다 많은 것을 측정하는 하나의 내부 각도를 갖는 삼각형은 둔각 삼각형(obtuse triangle) 또는 무딘-각도 삼각형(obtuse-angled triangle)입니다. 만약 c가 가장-긴 변의 길이이면, a² + b² < c²이며, 여기서 a와 b는 다른 두 변의 길이입니다.
• 180°의 내부 각도 (및 공선(collinear) 꼭짓점)를 갖는 삼각형은 퇴화(degenerate)된 것입니다.
• 직각 퇴화 삼각형은 공선 꼭짓점을 가지며, 그것의 둘은 합동입니다.

같은 측정 값을 갖는 두 각도를 가지는 삼각형도 같은 길이를 갖는 두 변을 역시 가지고 따라서 그것은 이등변 삼각형입니다. 모든 각도가 같은 측정을 갖는 삼각형에서, 모든 세 변은 같은 길이를 가지고, 그러한 삼각형은 따라서 등변임을 따릅니다.

직각	둔각	예각
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	비스듬한

Basic facts

A triangle, showing exterior angle d.

삼각형은, 만약 문맥에서 다르게 제공되지 않으면, 이-차원(dimension) 평면 그림(plane figure)인 것으로 가정됩니다 (아래의, 비-평면 삼각형(Non-planar triangles)을 참조하십시오). 엄격한 취급에서, 삼각형은 따라서 2-심플렉스(simplex)라고 불립니다 (역시 폴리토프(Polytope)를 참조하십시오). 삼각형에 대한 기본 사실은, 약 기원전 300년에, 그의 원론(Elements)의 책 1–4에서 유클리드(Euclid)에 의해 제공됩니다.

The measures of the interior angles of the triangle always add up to 180 degrees (same color to point out they are equal).

유클리드 공간에서 삼각형의 내부 각도 측정의 합은 항상 180 도입니다. 이 사실은 유클리드의 평행 공준(parallel postulate)과 동등합니다. 이것은 두 각도의 측정이 주어지면 임의의 삼각형의 세 번째 각도의 측정의 결정을 허용합니다. 삼각형의 외부 각도(exterior angle)는 내부 각도에 대한 선형 쌍 (및 따라서 보충적(supplementary))인 각도입니다. 삼각형의 외부 각도의 측정은 그것에 인접하지 않은 두 내부 각도의 측정 값의 합과 같습니다; 이것은 외부 각도 정리(exterior angle theorem)입니다. 임의의 삼각형의 세 외부 각도 (각 꼭짓점에 대해 하나씩)의 측정의 합은 360 도입니다.

Similarity and congruence

두 삼각형은 만약 한 삼각형의 모든 각 각도가 다른 삼각형에서 해당하는 각도와 동일한 측정을 가지면, 닮은(similar) 것이라고 말합니다. 닮은 삼각형의 해당하는 변은 같은 비율에서 길이를 가지고, 이 속성은 닮음을 설립하기 위해 역시 충분합니다.

닮은 삼각형에 대한 일부 기본 정리(theorem)는 다음과 필요충분(iff) 조건입니다:

• 두 삼각형의 내부 각도 한 쌍은 서로 같은 측정을 가지고, 또 다른 쌍은 역시 서로 같은 측정을 가지며, 삼각형은 닮은 것입니다.
• 두 삼각형의 한 쌍의 해당하는 변은 다른 비율에서 또 다른 한 쌍의 해당하는 변이고, 그들의 포함된 각도는 같은 측정을 가지면, 삼각형은 닮은 것입니다. (다각형의 임의의 두 변에 대해 포함된 각도(included angle)는 그들 두 변 사이의 내부 각도입니다.)
• 두 삼각형의 세 쌍의 해당하는 변은 모두 같은 비율에 있고, 삼각형은 닮은 것입니다.

합동(congruent)하는 두 삼각형은 정확히 같은 크기와 모양을 가집니다: 대응하는 내부 각도의 모든 쌍은 측정에서 같고, 대응하는 각도의 모든 쌍은 같은 길이를 가집니다. (이것은 전체 여섯 상등이지만, 셋이 합동을 입증하는 것에 종종 충분합니다.)

합동이 되는 한 쌍의 삼각형에 대해 일부 개별적인 필요 및 충분 조건(necessary and sufficient condition)은 다음입니다:

• SAS 공준: 삼각형에서 두 변은 다른 삼각형에서 두 변과 같은 길이를 가지고, 포함된 각도는 같은 측정을 가집니다.
• ASA: 삼각형에서 두 내부 각도와 포함된 변은, 다른 삼각형에서 그들처럼, 각각, 같은 측정과 길이를 가집니다. (한 쌍의 각도에 대해 포함된 변은 그들에 공통인 변입니다).
• SSS: 삼각형의 각 변은 다른 삼각형의 대응하는 변과 같은 길이를 가집니다.
• AAS: 한 삼각형에서 두 각도와 대응하는 (비-포함된) 변은, 다른 삼각형에서 그들처럼, 각각, 같은 측정과 길이를 가집니다. (이것은 때때로 AAcorrS로 참조되고 그때에 위의 ASA에 포함됩니다.)

일부 개별적인 충분 조건은 다음입니다:

• 빗변-다리 (HL) 정리: 직각 삼각형에서 빗변과 한 다리는 또 다른 직각 삼각형에서 그들처럼 같은 길이를 가집니다. 이것은 역시 RHS (직각, 빗변, 변)라고 불립니다.
• 빗변-각도 정리: 한 직각 삼각형에서 빗변과 예각은 다른 직각 삼각형에서 그들처럼, 각각, 같은 길이와 측정을 가집니다. 이것은 바로 AAS 정리의 특정 경우입니다.

중요한 조건은 다음입니다:

• 변-변-각도 (또는 각도-변-변) 조건: 만약 한 삼각형에서 두 변과 대응하는 비-포함된 각도는 또 다른 삼각형에서 그들처럼, 각각, 같은 길이와 측정을 가지면, 이것은 합동을 입증하기 위해 충분 조건이 아닙니다; 그러나 만약 주어진 각도가 두 변 중 더 긴 변에 반대쪽이면, 그 삼각형은 합동입니다. 빗변-다리 정리는 이 기준의 특정 경우입니다. 변-변-각도 조건은 삼각형이 합동이라는 것을 자체로 보장하지는 않는데 왜냐하면 한 삼각형은 둔각과 다른 예각일 될 수 있습니다.

직각 삼각형과 닮음의 개념을 사용하여, 삼각 함수(trigonometric function) 사인과 코사인이 정의될 수 있습니다. 이것들은 삼각법(trigonometry)에서 조사되는 각도(angle)의 함수입니다.

Right triangles

The Pythagorean theorem

중심 정리는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)이며, 이것은 임의의 직각 삼각형(right triangle)에서, 빗변(hypotenuse)의 길이의 제곱이 두 다른 변의 길이의 제곱의 합과 같음을 말합니다. 만약 빗변이 길이 c를 가지고, 다리가 길이 a와 b를 가지면, 정리는 다음임을 말합니다:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

전환은 참입니다: 만약 삼각형의 변의 길이가 위의 방정식을 만족시키면, 삼각형은 변 c의 반대쪽에 직각을 가집니다.

직각 삼각형에 대한 일부 다른 사실은 다음입니다:

• 직각 삼각형의 예각은 보충적(complementary)입니다.

$a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow a+b=90^{\circ }\Rightarrow a=90^{\circ }-b.$

• 만약 직각 삼각형의 다리가 같은 길이를 가지면, 그들 다리의 반대쪽 각도는 같은 측정을 가집니다. 이들 각도는 보충적이므로, 각각은 45도로 측정됨을 따릅니다. 피타고라스 정리에 의해, 빗변의 길이는 다리의 길이 곱하기 √2입니다.
• 30과 60 도를 측정하는 예각을 갖는 직각 삼각형에서, 빗변은 더 짧은 변의 길이의 두배이고, 더 긴 변은 더 짧은 변 곱하기 √3의 길이와 같습니다:

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$

모든 삼각형에 대해, 각도와 변은 코사인의 법칙(law of cosines)과 사인의 법칙(law of sines)에 의해 관련됩니다 (역시 코사인 규칙과 사인 규칙으로 불립니다).

Existence of a triangle

Condition on the sides

삼각형 부등식(triangle inequality)은 삼각형의 임의의 두 변의 길이의 합은 세 번째 변의 길이보다 더 크거나 같아야 합니다. 그 합이 퇴화 삼각형, 공선 꼭짓점을 갖는 삼각형의 경우에서 오직 세 번째 변의 길이와 같을 수 있습니다. 그 합에 대해 세 번째 변의 길이보다 작을 수는 없습니다. 세 주어진 양의 변의 길이를 갖는 삼각형이 존재하는 것과 그들의 변의 길이가 삼각형 부등식을 만족시키는 것은 필요충분 조건입니다.

Conditions on the angles

세 주어진 각도가 비-퇴화 삼각형 (및 실제로 그들의 무한)을 형성하는 것과 이들 조건의 둘 다가 유지되는 것은 필요충분 조건입니다: (a) 각도의 각각은 양수이고, (b) 각도는 합해서 180°도입니다. 만약 퇴화 삼각형이 허용되면, 0°의 각도가 허용됩니다.

Trigonometric conditions

각도의 각각이 180°보다 작은 세 양의 각도 α, β, 및 γ가 삼각형의 각도인 것과 다음 조건이 유지되는 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$

$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,$

$\tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),$

마지막 상등은 각도의 어떤 것도 90°가 아니면 오직 적용됩니다 (따라서 탄젠트 함수의 값은 항상 유한입니다).

Points, lines, and circles associated with a triangle

삼각형과 결합된 (및 종종 내부) 특별한 점을 찾는 수천 개의 서로 다른 구조가 있으며, 일부 독특한 속성을 만족시킵니다: 그들의 목록에 대해 삼각형 중심의 백과사전(Encyclopedia of Triangle Centers) 기사를 참조하십시오. 종종 그들은 세 변 (또는 꼭짓점)과 대칭 방법에서 결합된 세 직선을 찾고 그런-다음 세 직선이 단일 점에서 만나는 것을 입증함으로써 구성됩니다: 이들의 존재를 증명하는 것에 대해 중요한 도구는 체바의 정리(Ceva's theorem)이며, 이것은 세 그러한 직선이 공점(concurrent)일 때 결정하기 위한 기준을 제공합니다. 비슷하게, 삼각형과 결합된 직선은 세 대칭적으로 구성된 점이 같은-직선(collinear) 위에 있음을 입증함으로써 종종 구성됩니다: 여기서 메넬라우스의 정리(Menelaus' theorem)는 유용한 일반적인 기준을 제공합니다. 이 섹션에서, 단지 가장 공통적으로 발생하는 몇 가지 구성이 설명됩니다.

The circumcenter is the center of a circle passing through the three vertices of the triangle.

삼각형의 변의 수직 이등분선(perpendicular bisector)은 변의 중간-점(midpoint)을 통과하고 그것에 수직인 직선, 즉 그것과 직각을 이루는 직선입니다. 세 수직 이등분선은 한 점, 삼각형의 둘레-중심(circumcenter)에서 만나며, 보통 O에 의해 표시됩니다; 이 점은 둘레-원(circumcircle), 모든 세 꼭짓점을 통과하는 원(circle)의 중심입니다. 둘레-지름(circumdiameter)으로 불리는, 이 원의 지름은, 위에서 언급된 사인의 법칙에서 찾아질 수 있습니다. 둘레-원의 반지름은 둘레-반지름(circumradius)이라고 불립니다.

탈레스의 정리(Thales' theorem)는 만약 둘레-중심이 삼각형의 변 위에 위치되면, 반대쪽 각도는 직각임을 의미합니다. 만약 둘레-중심이 삼각형의 내부에 위치되면, 삼각형은 예각입니다; 만약 둘레-중심이 삼각형의 외부에 위치되면, 삼각형은 둔각입니다.

The intersection of the altitudes is the orthocenter.

삼각형의 고도(altitude)는 꼭짓점을 통과하고 반대쪽 변에 수직 (즉, 직각을 형성)을 이루는 직선입니다. 이 반대쪽 변은 고도의 밑변이라고 불리고, 고도가 밑변 (또는 그것의 확장)과 교차하는 점은 고도의 발이라고 불립니다. 고도의 길이는 밑변과 꼭짓점 사이의 거리입니다. 세 고도는, 보통 H에 의해 표시되는, 삼각형의 직교-중심(orthocenter)이라고 불리는, 단일 점에서 교차합니다. 직교-중심은 삼각형의 내부에 놓이는 것과 삼각형이 예리한 것은 필요충분 조건입니다.

The intersection of the angle bisectors is the center of the incircle.

삼각형의 각도 이등분선(angle bisector)은 절반으로 해당하는 각도를 자르는 꼭짓점을 통과하는 직선입니다. 세 각도 이등분선은 단일 점, 삼각형의 내-원(incircle)의 중심, 보통 I에 의해 표시되는 내-중심(incenter)에서 교차합니다. 내원은 삼각형 안에 놓이고 모든 세 변에 닿는 원입니다. 그것의 반지름은 내-반지름이라고 불립니다. 세 다른 중요한 원, 외-원(excircle)이 있습니다; 그것들은 삼각형 바깥에 놓이고 한 변과 마찬가지로 다른 둘의 확장과 닿습니다. 내- 및 외원의 중심은 직교-중심 시스템(orthocentric system)을 형성합니다.

The intersection of the medians is the centroid.

삼각형의 중앙선(median)은 꼭짓점(vertex)과 반대쪽 변의 중간-점(midpoint)을 통과하는 직선이고, 삼각형을 두 같은 넓이로 나눕니다. 세 중앙선은 단일 점, 보통 G로 표시되는, 삼각형의 도형-중심 또는 기하학적 무게-중심에서 교차합니다. 단단한 삼각형 물체의 도형-중심 (균등 밀도의 얇은 판으로 잘라냄)은 역시 그것의 질량의 중심(center of mass)입니다: 물체는 균등 중력 필드에서 도형-중심에 균형을 맞출 수 있습니다. 도형-중심은 비율 2:1로 모든 각 중앙선을 자릅니다. 즉, 꼭짓점과 도형-중심 사이의 거리는 도형중심과 반대쪽 변의 중간-점 사이의 거리의 두 배입니다.

Nine-point circle demonstrates a symmetry where six points lie on the edge of the triangle.

세 변의 중간-점과 세 고도의 발은 단일 원, 삼각형의 아홉-점 원(nine-point circle)에 모두 놓입니다. 이름지은 남아있는 세 점은 꼭짓점과 직교-중심(orthocenter) 사이의 고도 부분의 중간-점입니다. 아홉-점 원의 반지름은 둘레-원의 반지름의 절반입니다. 그것은 (포이어바흐 점(Feuerbach point)에서) 내-원과 세 외-원(excircle)에 닿습니다.

Euler's line is a straight line through the orthocenter (blue), center of the nine-point circle (red), centroid (orange), and circumcenter (green)

직교-중심 (파란색 점), 아홉-점 원의 중심 (빨간색), 도형-중심 (주황색), 및 둘레-중심 (녹색)은 오일러의 직선(Euler's line) (빨간색 직선)으로 알려진, 단일 직선 위에 모두 놓입니다. 아홉-점 원의 중심은 직교-중심과 둘레-중심 사이의 중간-점에 놓이고, 도형-중심과 둘레-중심 사이의 거리는 도형-중심과 직교-중심 사이의 절반입니다.

내-원의 중심은 일반적으로 오일러의 직선 위에 위치되지 않습니다.

만약 우리가 같은 꼭짓점을 통과하는 각도 이등분선에서 중앙선을 반사하면, 우리는 대칭-중선(symmedian)을 얻습니다. 세 대칭-중선은 삼각형의 단일 점, 대칭-중선 점(symmedian point)에서 교차합니다.

Computing the sides and angles

변의 길이 또는 각도의 측정을 계산하는 것에 대해 다양한 표준 방법이 있습니다. 특정 방법은 직각 삼각형에서 값을 계산하는 데 적합합니다; 보다 복잡한 방법이 다른 상황에서 요구될 수 있습니다.

Trigonometric ratios in right triangles

Main article: Trigonometric functions

A right triangle always includes a 90° (π/2 radians) angle, here with label C. Angles A and B may vary. Trigonometric functions specify the relationships among side lengths and interior angles of a right triangle.

직각 삼각형(right triangle)에서 사인, 코사인 및 탄젠트의 삼각 비율은 미지수 각도와 미지수 변의 길이를 찾기 위해 사용될 수 있습니다. 삼각형의 변은 다음고 같이 알려져 있습니다:

• 빗변(hypotenuse)은 직각의 반대쪽 변, 또는 직각 삼각형의 가장-긴 변, 이 경우에서 h로 정의됩니다.
• 반대쪽 변(opposite side:대변)은 우리가 관심을 가지는 각도에 반대쪽 변, 이 경우에서 a입니다.
• 인접한 변(adjacent side)은 우리가 관심있는 각도 및 직각과 접촉하는, 따라서 그것의 이름인 변입니다. 이 경우에서 인접 변은 b입니다.

Sine, cosine and tangent

각도의 사인은 빗변의 길이에 대한 반대쪽 변의 길이의 비율입니다. 이 경우에서

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.$

이 비율은, 그것이 각도 A를 포함하는 한, 선택된 특정 직각 삼각형에 의존하지 않는데, 왜냐하면 모든 그들 삼각형은 닮은(similar) 것이기 때문입니다.

각도의 코사인은 빗변의 길이에 대한 인접한 변의 길이의 비율입니다. 이 경우에서

$\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.$

각도의 탄젠트는 인접한 변의 길이에 대한 반대쪽 변의 길이의 비율입니다. 이 경우에서

$\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$

축약어 "SOH-CAH-TOA"는 이들 비율에 대해 유용한 기억법(mnemonic)입니다.

Inverse functions

역 삼각 함수(inverse trigonometric functions)는 임의의 두 변의 길이를 가진 직각 삼각형에 대해 내부 각도를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

아크사인은 반대쪽 변의 길이와 빗변의 길이로부터 각도를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$

아크코사인은 인접한 변의 길이와 빗변의 길이로부터 각도를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

$\theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$

아크탄젠트는 반대쪽 변의 길이와 인접한 변의 길이로부터 각도를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)$

입문 기하학 및 삼각법 과정에서, 표기법 sin⁻¹, cos⁻¹, 등은 종종 아크사인(arcsin), 아크코사인(arccos), 등의 위치에서 종종 사용됩니다. 어쨌든, 아크사인, 아크코사인, 등의 표기법은 삼각 함수가 거듭제곱에 공통적으로 올려지게 되는 더 높은 수학에서 표준인데, 왜냐하면 이것은 곱셈의 역(multiplicative inverse)과 합성의 역(compositional inverse) 사이의 혼동을 피하기 때문입니다.

Sine, cosine and tangent rules

Main articles: Law of sines, Law of cosines, and Law of tangents

A triangle with sides of length a, b and c and angles of α, β and γ respectively.

사인의 법칙(law of sines), 또는 사인 규칙은, 해당하는 반대쪽 변의 사인에 대한 변의 길이의 비율이 일정하다고 말합니다. 즉,

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$

이 비율은 주어진 삼각형의 둘레에-새겨진 원의 지름과 같습니다. 이 정리의 또 다른 해석은 각도 α, β 및 γ를 갖는 모든 각 삼각형은 sin α, sin β 및 sin γ와 같은 변 길이를 갖는 삼각형과 닮았다는 것입니다. 이 삼각형은 먼저 지름 1의 원을 구성하고, 삼각형의 각도 중 두 개를 그것 안에 그림으로써 구성될 수 있습니다. 해당 삼각형의 변의 길이는 sin α, sin β 및 sin γ가 될 것입니다. 그의 길이가 sin α인 변은 그의 측정이 α인 각도와 반대편, 등등입니다.

코사인의 법칙(law of cosines), 또는 코사인 법칙은 삼각형의 미지수 변의 길이와 다른 변의 길이 및 미지수 변에 반대편 각과 연결시킵니다. 그 법칙에 따라:

각각, 변의 길이 a, b, c와 α, β, γ의 각도를 갖는 삼각형에 대해, 삼각형의 두 알려진 길이 a와 b, 및 두 알려진 변 사이의 각도 γ (또는 미지수 변 c에 반대편 각도)가 주어지면, 세 번째 변 c를 계산하기 위해, 다음 공식이 사용될 수 있습니다:

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$

만약 임의의 삼각형의 모든 세 변의 길이가 알려져 있으면, 세 각도는 다음과 같이 계산될 수 있습니다:

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)$

$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$

탄젠트의 법칙(law of tangents), 또는 탄젠트 규칙은 두 변과 한 각도 또는 두 각도와 한 변이 알려져 있을 때 한 변 또는 한 각도를 찾기 위해 사용될 수 있습니다:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Solution of triangles

Main article: Solution of triangles

"삼각형의 해"는 주요 삼각법(trigonometric) 문제입니다: 이들 특성 중 셋 이상이 주어졌을 때 삼각형의 누락된 특성 (세 각도, 세 변의 길이 등.)을 찾는 것입니다. 삼각형은 평면(plane) 또는 구(sphere) 위에 위치될 수 있습니다. 이 문제는 측지학(geodesy), 천문학(astronomy), 건설(construction), 항법(navigation) 등과 같은 다양한 삼각법 응용에서 종종 발생합니다.

Computing the area of a triangle

The area of a triangle can be demonstrated, for example by means of the congruence of triangles, as half of the area of a parallelogram that has the same base length and height.

A graphic derivation of the formula $T={\frac {h}{2}}b$ that avoids the usual procedure of doubling the area of the triangle and then halving it.

See also: Congruence (geometry) § Congruence of triangles

삼각형의 넓이 T를 계산하는 것은 많은 다른 상황에서 종종 발생하는 기본적인 문제입니다. 가장 잘 알려지고 간단한 공식은 다음입니다:

$T={\frac {1}{2}}bh,$

여기서 b는 삼각형의 밑변의 길이이고, h는 삼각형의 높이 또는 고도입니다. 용어 "밑변"은 임의의 변을 나타내고, "높이"는 밑변을 포함하는 직선 위에 밑변에 반대편 꼭짓점으로부터 수직의 거리를 나타냅니다. 기원후 499에서, 아리아바타(Aryabhata)는 Aryabhatiya (섹션 2.6)에서 이 묘사된 방법을 사용했습니다.

비록 간단하지만, 이 공식은 만약 높이가 쉽게 찾아질 수 있으면 오직 유용하며, 이것은 항상 그런 경우는 아닙니다. 예를 들어, 삼각형 땅의 측량사는 각 변의 길이를 측정하는 것이 상대적으로 쉽지만, '높이'를 구성하는 것은 상대적으로 어렵습니다. 다양한 방법은 삼각형에 대해 알려진 것에 따라, 실제로 사용될 수 있습니다. 다음은 삼각형의 넓이에 대해 자주 사용되는 공식입니다.

Using trigonometry

Applying trigonometry to find the altitude h.

삼각형의 높이는 삼각법(trigonometry)의 응용을 통해 구할 수 있습니다.

SAS 앎: 오른쪽 이미지에서 레이블을 사용하여, 고도는 h = a sin $\gamma$입니다. 이것을 위에서 유도된 공식 $T={\frac {1}{2}}bh$에서 대체하면, 삼각형의 넓이는 다음처럼 표현될 수 있습니다:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta$

(여기서 α는 A에서 내부 각도이고, β는 B에서 내부 각도이고, $\gamma$는 C에서 내부 각도이고 c는 직선 AB입니다).

게다가, sin α = sin (π − α) = sin (β + $\gamma$)이므로, 그리고 다른 두 각에 대해 비슷하게:

$T={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).$

AAS 앎:

$T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},$

그리고 만약 알려진 변이 a 또는 c이면 비슷하게 유도됩니다.

ASA 앎:

$T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},$

그리고 만약 알려진 변이 b 또는 c이면 비슷하게 유도됩니다.

Using Heron's formula

삼각형의 모양은 변의 길이에 의해 결정됩니다. 따라서, 넓이는 변의 길이로부터 역시 유도될 수 있습니다. 헤론의 공식(Heron's formula)에 의해:

$T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

여기서 $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$는 반-둘레(semiperimeter), 또는 삼각형의 둘레의 절반입니다.

헤론의 공식을 쓰는 세 다른 동등한 방법은 다음입니다:

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

$T={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.$

Using vectors

삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 삽입된 평행-사변형(parallelogram)의 넓이는 벡터(vectors)를 사용하여 계산될 수 있습니다. 벡터 AB와 AC가 각각 A에서 B로 및 A에서 C로 향하는 것으로 놓습니다. 평행-사변형 ABDC의 넓이는 그런-다음 다음입니다:

$|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |,$

이것은 벡터 AB와 AC의 교차 곱(cross product)의 크기입니다. 삼각형 ABC의 넓이는 이것의 절반입니다:

${\frac {1}{2}}|\mathbf {AB} \times \mathbf {AC} |.$

삼각형 ABC의 넓이는 다음처럼 점 곱(dot product)의 관점에서 역시 표현될 수 있습니다:

${\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}.\,$

이-차원 유클리드 공간에서, 벡터 AB를 (x₁,y₁)과 같은 데카르트 공간에서 자유 벡터로 표현하고 AC를 (x₂,y₂)로 표현하면, 이것은 다음처럼 다시-쓸 수 있습니다:

${\frac {1}{2}}\,|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.\,$

Using coordinates

만약 꼭짓점 A가 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 원점 (0, 0)에 위치되고 다른 두 꼭짓점의 좌표가 B = (x_B, y_B) 및 C = (x_C, y_C)로 주어지면, 넓이는 1⁄2 곱하기 다음 행렬식(determinant)의 절댓값(absolute value)으로 계산될 수 있습니다:

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.$

세 일반적인 꼭짓점에 대해, 그 방정식은 다음입니다:

$T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},$

이것은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$T={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.$

만약 그 점은 반-시계 방향으로 순차적으로 꼬리표를-붙여지면, 위의 행렬식 표현은 양수이고 절댓값 부호는 생략될 수 있습니다. 위의 공식은 신발끈 공식(shoelace formula) 또는 측량사의 공식으로 알려져 있습니다.

만약 우리가 복소수 평면에서 꼭짓점을 위치시키고 그들을 반-시계-방향 수열에서 a = x_A + y_Ai, b = x_B + y_Bi, 및 c = x_C + y_Ci로 표시하고, 그들의 복소수 켤레를 ${\bar {a}}$, ${\bar {b}}$, 및 ${\bar {c}}$로 표시하면, 다음 공식은

$T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}$

신발끈 공식과 동등합니다.

삼 차원에서, 일반적인 삼각형 A = (x_A, y_A, z_A), B = (x_B, y_B, z_B) 및 C = (x_C, y_C, z_C)의 넓이는 세 주요 평면 (즉, x = 0, y = 0 및 z = 0)에 대한 각 투영의 넓이의 피타고라스 합(Pythagorean sum)입니다:

$T={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.$

Using line integrals

삼각형과 같은 임의의 닫힌 곡선 이내의 넓이는 임의의 방향 직선 L에서 곡선 위의 점의 대수적 또는 부호화된 거리의 곡선 주위로 곡선 적분(line integral)으로 제공됩니다. 방향에 따라 L의 오른쪽에 점은 L에서 음의 거리로 취해지지만, 적분에 대해 가중은 호 길이 자체라기보다는 L에 평행한 호 길이의 성분으로 여겨집니다.

이 방법은 임의의 다각형(polygon)의 넓이를 계산하는 것에 적합합니다. L을 x-축으로 취하면, 연속적인 꼭짓점 (x_i,y_i)와 (x_i+1,y_i+1) 사이의 곡선 적분은 밑변 곱하기 평균 높이, 즉 (x_i+1 − x_i)(y_i + y_i+1)/2에 의해 제공됩니다. 넓이의 부호는 순회의 방향의 전체 표시기이며, 음의 넓이는 반-시계-방향 순회를 나타냅니다. 삼각형의 넓이는 그런-다음 세 변을 가진 다각형의 경우로 빠집니다.

곡선 적분 방법은 다른 좌표-기반 방법과 공통에서 임의의 좌표 시스템의 선택을 가지지만, 다른 것과 달리 원점으로 삼각형의 꼭짓점 또는 밑변으로 변의 임의적인 선택을 만들지 않습니다. 게다가, L에 의해 정의된 좌표 시스템의 선택은 보통 삼이 아닌 오직 이 자유도에 적용되는데, 왜냐하면 가중은 지역적 거리 (예를 들어 위에서 x_i+1 − x_i)이기 때문에 그 방법은 L에 수직인 축을 선택할 필요가 없습니다.

극 좌표(polar coordinates)에서 계산할 때, 곡선 적분을 사용하기 위해 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)로 변환할 필요는 없는데, 왜냐하면 다각형의 연속 꼭짓점 (r_i,θ_i)과 (r_i+1,θ_i+1) 사이의 곡선 적분은 r_ir_i+1sin(θ_i+1 − θ_i)/2에 의해 직접 제공되기 때문입니다. 이것은, |θ|가 π보다 많은 크기의 정도일 때 수치적 정확도에서 일부 감소와 함께, θ의 모든 값에 대해 유효합니다. 이 공식화와 함께, 음의 넓이는 시계 방향 순회를 나타내며, 이것은 극좌표와 데카르트 좌표를 혼합할 때 명심해야 합니다. 단지 y-축 (x = 0)의 선택이 데카르트 좌표에서 곡선 적분화에 대해 중요하지 않은 것처럼, 여기서 중요하지 않은 0 헤딩 (θ = 0)의 선택도 그렇습니다.

Formulas resembling Heron's formula

세 공식은 헤론의 공식과 같은 구조를 갖지만 다른 변수의 관점에서 표현됩니다. 먼저, 변 a, b, 및 c의 중앙선을 각각 m_a, m_b, 및 m_c로 표시하고 반-합 (m_a + m_b + m_c)/2을 σ로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:

$T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.$

다음으로, 변 a, b, 및 c로부터 고도를 각각 h_a, h_b, 및 h_c로 표시하고, 고도의 역수의 반-합을 $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$으로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:

$T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.$

그리고 각도의 사인의 반-합을 S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2으로 표시하면, 우리는 다음을 가집니다:

$T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}$

여기서 D는 둘레-원의 지름입니다: $D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.$

Using Pick's theorem

임의의 격자 다각형(lattice polygon) (같은 거리에서 수직 및 수평적으로 인접한 격자 점, 및 격자 점 위에 꼭짓점을 갖는 격자 위에 그려진 다각형)의 넓이를 찾는 기법에 대해 픽의 정리(Pick's theorem)를 참조하십시오.

그 정리는 다음임을 말합니다:

$T=I+{\frac {1}{2}}B-1$

여기서 $I$는 내부 격자 점의 숫자이고 B는 다각형의 경계 위에 놓이는 격자 점의 숫자입니다.

Other area formulas

다양한 다른 넓이 공식이 존재하며, 예를 들어,

$T=r\cdot s,$

여기서 r은 내-반지름(inradius)이고, s는 반-둘레(semiperimeter)이고 (사실, 이 공식은 모든 접하는 다각형(tangential polygon)에 대해 유지됩니다),

$T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)$

여기서 $r_{a},\,r_{b},\,r_{c}$은 각각 변 a, b, c에 접하는 외-원(excircles)의 반지름입니다.

우리는 역시, 둘레-지름에 대해, 다음을 가집니다:

$T={\frac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )$

및

$T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}$

및, 각도 angle α ≠ 90°에 대해,

$T={\frac {\tan \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})$.

넓이는 역시 다음으로 표현될 수 있습니다:

$T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.$

1885년에, 베이커는 삼각형에 대해 100 가지가 넘는 넓이 공식의 모음을 제공합니다. 이들은 둘레-반지름 (둘레-원의 반지름) R에 대해, 다음을 포함합니다:

$T={\frac {1}{2}}[abch_{a}h_{b}h_{c}]^{1/3},$

$T={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},$

$T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},$

$T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}$

그리고,

$T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.$

Upper bound on the area

주변 p를 갖는 임의의 삼각형의 넓이 T는 유지시키는 상등과 함께 다음을 만족시키는 것과 그 삼각형이 등변인 것은 필요충분 조건입니다:

$T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}}$.

넓이 T에 대한 다른 위쪽 경계는 다음에 의해 제공됩니다:

$4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

및

$4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},$

위의 둘 다가 다시 유지되는 것과 그 삼각형이 등변인 것은 필요충분 조건입니다.

Bisecting the area

삼각형의 넓이를 이등분하는 무한하게 많은 직선이 있습니다. 그들 중 셋은 중앙선이며, 이것은 도형-중심을 통과하는 유일한 넓이 이등분선입니다. 세 다른 넓이 이등분선은 삼각형의 변에 평행합니다.

삼각형의 넓이와 둘레 둘 다를 반으로 나누는 삼각형을 통과하는 직선은 삼각형의 내-원을 통과합니다. 임의의 주어진 삼각형에 대해 이들 중 하나, 둘, 또는 셋이 있을 수 있습니다.

Further formulas for general Euclidean triangles

See also: List of triangle inequalities

이 섹션에서 수식은 모든 유클리드 삼각형에 대해 참입니다.

Medians, angle bisectors, perpendicular side bisectors, and altitudes

Main articles: Median (geometry), Angle bisector, Bisection § Perpendicular bisectors, and Altitude (geometry)

중앙선과 변은 다음에 의해 관련됩니다:

${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$

및 m_b와 m_c에 대해 동등하게,

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\frac {3}{4}}a^{2}}}$.

각도 A 반대쪽 변 a에 대해, 내부 각도 이등분선의 길이는, 반-둘레 s에 대해, 다음에 의해 제공됩니다:

$w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},$

여기서 이등분선 길이는 꼭짓점에서 그것이 반대쪽 변과 만나는 곳까지로 측정됩니다.

내부 수직 이등분선은 다음에 의해 제공됩니다:

$p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$

여기서 변은 $a\geq b\geq c$이고 넓이는 $T$입니다.

길이 a의 변으로부터, 예를 들어, 고도는 다음입니다:

$h_{a}={\frac {2T}{a}}.$

Circumradius and inradius

Main articles: Circumradius and Inradius

다음 공식은 둘레-반지름 R과 내-반지름 r을 포함합니다:

$R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};$

$r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}$

여기서 h_a 등은 아래-첨자된 변에 대한 고도입니다;

${\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;$

및

$2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}$.

삼각형의 두 변의 곱은 세 번째 변의 고도 곱하기 둘레-원의 지름 D와 같습니다:

$ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.$

Adjacent triangles

두 개의 인접하지만 겹치지-않는 삼각형이 길이 f의 변이, 수열 (a, b, c, d)에서 변 길이를 갖는 순환 사변형(cyclic quadrilateral)을 함께 형성하는 두 삼각형과 함께, 둘레-원의 현이고 삼각형이 변 길이 (a, b, f) 및 (c, d, f)를 갖도록, 길이 f의 같은 변을 공유하고 같은 둘레-원을 공유한다고 가정합니다. 그런-다음

$f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,$

Centroid

Main article: Centroid

G를 꼭짓점 A, B, 및 C를 갖는 삼각형의 도형-중심으로 놓고, P를 임의의 내부 점으로 놓습니다. 그런-다음 점 사이의 거리는 다음에 의해 관련됩니다:

$(PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,$

삼각형의 변의 제곱의 합은 꼭짓점으로부터 도형-중심의 제곱 거리의 합의 세 배와 같습니다:

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$

q_a, q_b, 및 q_c를 도형-중심으로부터 길이 a, b, 및 c의 변까지의 거리로 놓습니다. 그런-다음

${\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,$

및 넓이 T에 대해,

$q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,$.

Circumcenter, incenter, and orthocenter

Main articles: Circumcenter, Incenter, and Orthocenter

카르노의 정리(Carnot's theorem)는 둘레-중심에서 세 변까지의 거리의 합이 둘레-반지름과 내-반지름의 합과 같다고 말합니다. 여기서 선분의 길이가 음수로 고려되는 것과 선분이 전적으로 삼각형 외부에 놓이는 것은 필요충분 조건입니다. 이 방법은, 리 대수(Lie algebra)에 의해 유도된 것과 같은, 보다 추상적인 형식의 삼각형의 속성을 추론하는 데 특히 유용하며, 그렇지 않으면 보통 삼각형과 같은 속성을 가집니다.

오일러의 정리(Euler's theorem)는 둘레-중심과 내-중심 사이의 거리 d는 다음에 의해 제공됨을 말합니다:

$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$

또는 동등하게

${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$

여기서 R은 둘레-반지름이고 r은 내-반지름입니다. 따라서 모든 삼각형 R ≥ 2r에 대해, 등변 삼각형에 대해 상등을 유지시킵니다.

만약 우리가 직교-중심이 한 고도를 길이 u와 v의 선분으로 나누고, 또 다른 고도를 선분 길이 w와 x로 나누고, 세 번째 고도를 선분 길이 y와 z로 나누면, uv = wx = yz입니다.

한 변에서 둘레-중심까지의 거리는 반대편 꼭짓점에서 직교-중심까지의 거리의 절반과 같습니다.

꼭짓점에서 직교-중심 H까지의 거리의 제곱의 합 더하기 변의 제곱의 합은 둘레-반지름의 제곱의 12배와 같습니다:

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.$

Angles

사인의 법칙(law of sines), 코사인의 법칙(law of cosines), 탄젠트의 법칙(law of tangents), 및 이전에 주어진 삼각법 존재 조건 외에도, 임의의 삼각형에 대해,

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$

Morley's trisector theorem

Main article: Morley's trisector theorem

The Morley triangle, resulting from the trisection of each interior angle. This is an example of a finite subdivision rule.

몰리의 삼등분선 정리는 임의의 삼각형에서, 인접한 각도 삼등분선(angle trisector)의 교차의 세 점은 몰리 삼각형이라고 불리는 등변 삼각형을 형성한다고 말합니다.

Figures inscribed in a triangle

Conics

위에서 논의된 것처럼, 모든 각 삼각형은 삼각형의 내부에 있고 모든 세 변에 접하는 고유한 내접원 (내-원)을 가집니다.

모든 각 삼각형은 삼각형의 내부에 있고 변의 중간-점에서 접하는 고유한 슈타이너 내접-타원(Steiner inellipse)을 가집니다. 마든의 정리(Marden's theorem)는 이 타원의 초점(foci of this ellipse)을 찾는 방법을 보여줍니다. 이 타원은 삼각형의 모든 세 변에 접하는 임의의 타원 중 가장 큰 넓이를 가집니다.

삼각형의 맨다트 내접-타원(Mandart inellipse)은 삼각형의 외-원의 접촉 점에서 그것의 변에 접하는 삼각형 안에 내접하는 타원입니다.

삼각형 ABC에서 내접하는 임의의 타원에 대해, 초점을 P와 Q로 놓습니다. 그런-다음

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

Convex polygon

넓이 T를 갖는 모든 각 볼록 다각형은 많아야 2T와 같은 넓이의 삼각형 안에 내접될 수 있습니다. 상등은 평행-사변형(parallelogram)에 대해 (배타적으로) 유지됩니다.

Hexagon

레모인 육각형(Lemoine hexagon)은 삼각형의 변의 여섯 교차에 의해 주어진 꼭짓점과 변에 평행하고 그것의 대칭-중앙 점(symmedian point)을 통과하는 세 직선을 갖는 주기적 육각형(cyclic hexagon)입니다. 그것의 간단한 형식 또는 자체-교차하는 형식 중에서, 레모인 육각형은 삼각형의 각 변에 두 꼭짓점을 갖는 삼각형의 내부입니다.

Squares

모든 각 예리한 삼각형은 세 개의 내접 정사각형을 가집니다 (정사각형의 꼭짓점의 넷 모두가 삼각형의 변 위에 놓이는 것을 만족하는 그것의 내부의 정사각형이므로, 그들의 둘은 같은 변 위에 놓이고 따라서 정사각형의 한 변이 삼각형의 한 변의 일부와 합동입니다). 직각 삼각형에서, 정사각형의 둘은 합동하고 삼각형의 직각에서 꼭짓점을 가지므로, 직각 삼각형은 오직 두 개의 구별되는 내접 정사각형을 가집니다. 무딘 삼각형은 삼각형의 가장 긴 변의 일부와 합동하는 변을 갖는 오직 하나의 내접 정사각형을 가집니다. 주어진 삼각형 이내에서, 더 긴 공통 변은 더 작은 내접 정사각형과 결합됩니다. 만약 내접된 정사각형이 길이 q_a의 변을 가지고 삼각형이 길이 a의 변을 가지며, 그 변의 일부가 정사각형의 변과 합동하면, q_a, a, 변 a로부터 고도 h_a, 및 삼각형의 넓이 T는 다음에 따라 관련됩니다:

$q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.$

삼각형의 넓이에 대한 내접된 정사각형의 넓이의 최대 가능한 비율은 1/2이며, 이것은 a² = 2T, q = a/2이고, 길이 a의 밑변으로부터 삼각형의 고도가 a와 같을 때 발생합니다. 같은 비-둔각 삼각형에서 또 다른 것의 변에 대한 하나의 내접된 정사각형의 변의 최소 가능한 비율은 $2{\sqrt {2}}/3=0.94....$입니다. 이들 극단적인 경우는 이등변 직각 삼각형에 대해 발생합니다.

Triangles

참조 삼각형에서 내부 점으로부터, 세 변 위에 가장-가까운 점은 해당 점의 수족 삼각형(pedal triangle)의 꼭짓점 역할을 합니다. 만약 내부 점이 참조 삼각형의 둘레-중심이면, 수족 삼각형의 꼭짓점은 참조 삼각형의 변의 중간-점이고, 따라서 수족 삼각형은 중간-점 삼각형(midpoint triangle 또는 medial triangle)이라고 불립니다. 중간-점 삼각형은 참조 삼각형을 참조 삼각형과 닮은 네 개의 합동 삼각형으로 세분화합니다.

참조 삼각형의 제르곤 삼각형(Gergonne triangle) 또는 내-접촉 삼각형(intouch triangle)은 그것의 내-원과 참조 삼각형의 변이 접하는 세 점에 꼭짓점을 가집니다. 참조 삼각형의 외-접촉 삼각형(extouch triangle)은 참조 삼각형의 외-원과 그것의 (확장된 것이 아닌) 변이 접하는 점에 그것의 꼭짓점을 가집니다.

Figures circumscribed about a triangle

참조 삼각형의 접선 삼각형(tangential triangle) (직각 삼각형 제외)은 그의 변이 그것의 꼭짓점에서 참조 삼각형의 둘레-원에 접하는 직선(tangent line) 위에 있는 삼각형입니다.

위에서 언급한 것처럼, 모든 각 삼각형은 고유한 둘레-원, 모든 세 꼭짓점을 통과하는 원을 가지며, 그의 중심이 삼각형의 변의 수직 이등분선의 교점입니다.

게다가, 모든 각 삼각형은 고유한 슈타이너 둘레-타원(Steiner circumellipse)을 가지며, 이것은 삼각형의 꼭짓점을 통과하고 삼각형의 도형-중심에 그것의 중심을 가집니다. 삼각형의 꼭짓점을 통과하는 모든 타원 중에서, 그것은 가장 작은 넓이를 가집니다.

키이파트 쌍곡선(Kiepert hyperbola)은 삼각형의 세 꼭짓점, 그것의 도형중심, 및 그것의 둘레-중심을 통과하는 고유한 원뿔(conic)입니다.

주어진 볼록 다각형에 포함된 모든 삼각형 중, 그의 꼭짓점이 주어진 다각형의 모든 꼭짓점인 최대 넓이를 가진 삼각형이 존재합니다.

Specifying the location of a point in a triangle

삼각형 안에서 (또는 밖에서) 점의 위치를 식별하는 한 가지 방법은 삼각형을 데카르트 평면(Cartesian plane)에서 임의의 위치와 방향으로 배치하고, 데카르트 좌표를 사용하는 것입니다. 많은 목적을 위해 편리하지만, 이 접근은 모든 점의 좌표 값이 평면에서의 임의의 배치에 의존한다는 단점을 가집니다.

두 시스템은 점의 좌표가 삼각형을 움직이거나, 회전시키거나, 거울 에서처럼 삼각형을 반사함으로써 영향을 받지 않도록 해당 특색을 피하며, 그것의 어떤 것이 합동 삼각형, 또는 심지어 닮은 삼각형을 제공하기 위해 그것을 크기-조정함으로써 제공합니다:

• 삼선 좌표(Trilinear coordinates)는, 좌표 $x:y:z$는 두 번째 변에서 그것의 거리에 대한 첫 번째 변에서 점의 거리의 비율이 $x:y$ , 등임을 가리키도록, 변에서 점의 상대 거리를 지정합니다.
• 형식 $\alpha :\beta :\gamma$의 질량-중심 좌표(Barycentric coordinates)는 주어진 점에서 그렇지-않는 무게없는 삼각형의 균형을 맞추기 위해 세 꼭짓점에 놓여야 하는 상대 가중만큼 점의 위치를 지정합니다.

Non-planar triangles

비평면 삼각형은 (평평한) 평면에 포함되지 않은 삼각형입니다. 비-유클리드 기하학에서 비-평면 삼각형의 일부 예제는 구형 기하학(spherical geometry)에서 구형 삼각형(spherical triangle)과 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)에서 쌍곡면체 삼각형[(hyperbolic triangle)입니다.

평면 삼각형에서 내부 각도 측정은 항상 합해서 180°이지만, 쌍곡선 삼각형은 합해서 180°보다 작고 각도의 측정을 가지고, 구형 삼각형은 합해서 180°보다 많은 각도의 측정을 가집니다. 쌍곡선 삼각형은 안장 표면(saddle surface)과 같은 음적으로 곡선 표면 위에 그려짐으로써 얻어질 수 있고, 구(sphere)와 같은 양적으로 곡선 표면 위에 그려짐으로써 얻어질 수 있습니다. 따라서, 만약 우리가 지구의 표면 위에 거대한 삼각형을 그리면, 우리는 그것의 각도 측정의 합이 180°보다 크다는 것을 찾을 것입니다; 실제로 그것은 180°와 540° 사이일 것입니다. 특히, 그것의 내부 각도의 각각의 측정이 90°와 같아지고, 합해져서 전체 270°를 만족하는 구 위에 삼각형을 그리는 것이 가능합니다.

구체적으로, 구 위에 삼각형의 각도의 합은 다음입니다:

180° × (1 + 4f),

여기서 f는 삼각형으로 둘러싸인 구의 넓이의 분수입니다. 예를 들어, 북극에 꼭짓점, 0° 경도에서 적도 위에 한 점, 90° 서쪽 경도에 적도 위에 한 점을 갖는 지구의 표면 위에 삼각형을 그린다고 가정합니다. 후자의 두 점 사이의 큰 원(great circle) 선은 적도이고, 그들 점의 하나와 북극 사이의 큰 원 선은 경도의 선입니다; 따라서 적도 위의 두 점에서 직각이 있습니다. 게다가, 북극에서 각도는 다른 두 꼭짓점이 경도의 90°만큼 다르기 때문에 역시 90°입니다. 따라서 이 삼각형에서 각의 합은 90° + 90° + 90° = 270°입니다. 삼각형은 북쪽 반-구의 1/4 (북극에서 볼 때 90°/360°)를 둘러싸고, 따라서 지구 표면의 1/8을 포함하므로, 공식 f = 1/8입니다. 따라서 공식은 삼각형의 각도의 합을 270°로 올바르게 제공합니다.

위의 각도 합 공식으로부터, 우리는 지구 표면이 지역적으로 평평하다는 것을 알 수 있습니다: 만약 우리가 지구 표면 위에 한 점 이웃에서 임의적으로 작은 삼각형을 그리면, 삼각형에 의해 둘러싸인 지구 표면의 분수 f는 임의적으로 0에 가까울 것입니다. 이 경우에서, 각도 합 공식은 180°로 단순화되며, 이것은 평평한 표면 위에 삼각형에 대해 유클리드 기하학이 알려주는 것입니다.

Triangles in construction

Main article: Truss

The Flatiron Building in New York is shaped like a triangular prism

직사각형(rectangle)은 건물에서 가장 인기-있고 공통적인 기하학적 형식인데, 왜냐하면 모양이 쌓고 정리하기 쉽기 때문입니다; 표준으로, 직사각형 모양의 건물 내부에 적합하도록 가구 및 비품을 디자인하는 것이 쉽습니다. 그러나, 삼각형은 개념적으로 사용하기가 어렵지만 많은 힘을 제공합니다. 컴퓨터 기술이 창의적인 새 건물을 설계하는 건축가(architect)를 도움에 따라, 삼각형 모양은 건물의 일부로, 일부 유형에 대해 고층-빌딩 및 건축 자재의 주요 모양으로 점차 널리 보급되고 있습니다. 1989년에 도쿄에서, 건축가들은 이 조밀하게 가득-채워진 도시에 적당한 사무실 공간을 제공하기 위해 500층짜리 탑을 지을 수 있을지 여부를 궁금해 했지만, 지진(earthquake)으로 인한 건물에 대한 위험과 함께, 건축가는 만약 그러한 건물이 지어져야 하면 삼각형 모양이 필요할 것이라고 고려했습니다.

뉴욕시(New York City)에서, 브로드웨이(Broadway)가 주요 도로를 가로-지름에 따라, 결과 블록이 삼각형처럼 잘리고, 건물이 이들 모양으로 지어졌습니다; 그러한 건물 중 하나는 삼각형 모양의 플랫아이언 빌딩(Flatiron Building)이며, 부동산 사람들은 "현대 사무용 가구를 쉽게 수용할 수 없는 어색한 공간의 경고"를 가지고 있지만 구조물이 랜드마크 아이콘이 되는 것을 막지는 못했음을 인정합니다. 디자이너들은 삼각 테마를 사용하여 노르웨이(Norway)에서 주택을 만들었습니다. 삼각형 모양이 교회와 마찬가지로 대학을 포함한 공공 건물과 마찬가지로 혁신적인 주택 디자인을 위한 지원에서 나타났습니다.

삼각형은 튼튼합니다; 직사각형은 압력에서 점 중 하나로의 평행-사변형(parallelogram)으로 붕괴될 수 있지만, 삼각형은 옆쪽 압력에 대항하는 구조를 지지하는 자연 강도를 가집니다. 삼각형은 변이 구부러지거나 연장되거나 끊어지거나 접합이 끊어지지 않으면 모양이 바뀌지 않을 것입니다; 본질적으로, 세 변의 각각은 다른 두 변을 지지합니다. 직사각형은, 반대로, 구조적 의미에서 접합의 강도에 보다 의존합니다. 일부 혁신적인 설계자들은 벽돌(bricks)을 사각형으로 만들지 말고 삼-차원으로 결합할 수 있는 삼각형 모양으로 만들 것을 제안했습니다. 삼각형은 아키텍처가 복잡성이 증가함에 따라 새로운 방식으로 점점 더 많이 사용될 것입니다. 삼각형은 강성의 관점에서 강력하지만, 테셀레이션(tessellation) 배열로 포장된 동안 압축 아래에서 육각형(hexagon)만큼 강하지는 않습니다 (따라서 자연(nature)에서 육각형 형식이 확산됩니다). 테셀레이션 삼각형은, 어쨌든, 여전히 캔틸레버(cantilever)하는 것에 대해 우수한 강도를 유지하고, 이것이 가장 강력한 인공 구조물 중 하나 중 하나, 사면체형 트러스(tetrahedral truss)의 기초입니다.

See also

• Apollonius' theorem
• Congruence (geometry)
• Desargues' theorem
• Dragon's Eye (symbol)
• Fermat point
• Hadwiger–Finsler inequality
• Heronian triangle

• Integer triangle
• Law of cosines
• Law of sines
• Law of tangents
• Lester's theorem
• List of triangle inequalities
• List of triangle topics
• Ono's inequality

• Pedal triangle
• Pedoe's inequality
• Pythagorean theorem
• Special right triangles
• Triangle center
• Triangular number
• Triangulated category
• Triangulation (topology)

External links

• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Triangle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangle.