Square matrix

Original article: w:Square matrix

A square matrix of order 4. The entries $a_{ii}$ form the main diagonal of a square matrix. For instance, the main diagonal of the 4×4 matrix above contains the elements a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

수학(mathematics)에서, 정사각 행렬(square matrix)은 행과 열의 개수가 같은 행렬(matrix)입니다. $n\times n$ 행렬은 $n$차 정사각 행렬로 알려져 있습니다. 같은 차수의 두 정사각 행렬은 더하거나 곱할 수 있습니다.

정사각 행렬은 종종 전단(shearing) 또는 회전(rotation)과 같은 단순 선형 변환(linear transformations)을 나타내기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 만약 $R$이 회전을 나타내는 정사각 행렬 (회전 행렬)이고 $\mathbf {v}$가 공간에서 점(position)의 위치를 설명하는 열 벡터(column vector)이면, 곱 $R\mathbf {v}$는 해당 회전 후 해당 점의 위치를 설명하는 또 다른 열 벡터를 산출합니다. 만약 $\mathbf {v}$가 행 벡터(row vector)이면, 같은 변환은 $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$를 사용하여 얻을 수 있으며, 여기서 $R^{\mathsf {T}}$는 $R$의 전치(transpose)입니다.

Main diagonal

Main article: Main diagonal

엔트리 $a_{ii}$ (i = 1, …, n)는 정사각 행렬의 주요 대각선을 형성합니다. 그것들은 행렬의 꼭대기 왼쪽 모서리에서 바닥 오른쪽 모서리까지 이어지는 허수 직선 위에 놓입니다. 예를 들어, 위의 4×4 행렬의 주요 대각선은 원소 a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10를 포함합니다.

꼭대기 오른쪽에서 바닥 왼쪽 모서리까지 정사각 행렬의 대각선은 역-대각선(antidiagonal) 또는 반대-대각선(counterdiagonal)이라고 불립니다.

Special kinds

Name	Example with n = 3
Diagonal matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Lower triangular matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Upper triangular matrix	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Diagonal or triangular matrix

만약 주요 대각선 밖의 모든 엔트리가 영이면, $A$는 대각 행렬(diagonal matrix)이라고 불립니다. 만약 주요 대각선 위 (또는 아래)의 모든 엔트리만 영이면, $A$는 위쪽 (또는 아래쪽) 삼각 행렬(triangular matrix)이라고 불립니다.

Identity matrix

크기 $n$의 항등 행렬(identity matrix) $I_{n}$은 주요 대각선(main diagonal) 위의 모든 원소가 1이고 모든 다른 원소가 0인 $n\times n$ 행렬입니다. 예를 들어,

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$

그것은 차수 $n$의 정사각 행렬이고, 특수한 종류의 대각 행렬(diagonal matrix)입니다. 그것은 항등 행렬이라고 불리는데 왜냐하면 그것과의 곱셈은 행렬을 변경하지 않고 남겨두기 때문입니다.

AI_n = I_mA = A for any m-by-n matrix $A$.

Invertible matrix and its inverse

정사각 행렬 $A$는 만약 다음임을 만족하는 행렬 $B$가 존재하면 역-가능(invertible) 또는 비-특이(non-singular)라고 불립니다:

$AB=BA=I_{n}.$

만약 $B$가 존재하면, 그것은 고유하고 $A$의 역 행렬(inverse matrix)이라고 불리고, $A^{-1}$로 표시됩니다.

Symmetric or skew-symmetric matrix

그것의 전치와 같은 정사각 행렬 $A$, 즉, $A^{\mathsf {T}}=A$인 행렬은 대칭 행렬(symmetric matrix)이라고 불립니다. 만약 대신 $A^{\mathsf {T}}=-A$이면, $A$는 반-대칭 행렬(skew-symmetric matrix)이라고 불립니다.

복소수 정사각 행렬 $A$에 대해, 종종 전치의 적절한 아날로그는 $A$의 복소 켤레(complex conjugate)의 전치로 정의되는 켤레 전치(conjugate transpose) $A^{*}$입니다. $A^{*}=A$를 만족시키는 복소수 정사각 행렬 $A$는 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이라고 불립니다. 만약 대신 $A^{*}=-A$이면, $A$는 반-에르미트 행렬(skew-Hermitian matrix)이라고 불립니다.

스펙트럼 정리(spectral theorem)에 의해, 실수 대칭 (또는 복소수 에르미트) 행렬은 직교 (또는 유니태리) 고유기저(eigenbasis)를 가집니다; 즉, 모든 각 벡터는 고유벡터의 선형 조합(linear combination)으로 표현할 수 있습니다. 둘 다 경우에서, 모든 고윳값은 실수입니다.

Definite matrix

Positive definite	Indefinite
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x2 + y2	Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Points such that Q(x, y) = 1 (Ellipse).	Points such that Q(x, y) = 1 (Hyperbola).

대칭 $n\times n$ 행렬은 만약 모든 비-영 벡터 $x\in \mathbb {R} ^{n}$에 대해, 다음에 의해 주어진 결합된 이차 형식(quadratic form)이

Q(x) = x^TAx

오직 양수 값 (각각 오직 음수 값; 일부 음수와 일부 양수 둘 다 값)을 취하면 양수-한정 (각각 음수-한정; 부정)이라고 불립니다. 만약 이차 형식이 오직 비-음의 (각각 오직 비-양의 값) 값을 취하면, 대칭 행렬은 양수-반한정 (각각, 음수-반한정)이라고 불립니다; 따라서 그 행렬은 정확히 양수-반한정도 아니고 음수-반한정도 아닐 때 부정입니다.

대칭 행렬이 양수-한정인 것과 모든 그것의 고윳값이 양수인 것은 필요충분 조건입니다. 오른쪽에서 테이블은 2×2 행렬에 대한 두 가능성을 보여줍니다.

두 개의 서로 다른 벡터를 입력으로 허용하면 대신 $A$에 결합된 쌍선형 형식(bilinear form)이 생성됩니다:

B_A(x, y) = x^TAy.

Orthogonal matrix

직교 행렬(orthogonal matrix)은 열과 행이 직교 단위 벡터(orthogonal unit vectors, 즉, 직교-정규 벡터)인 실수 엔트리를 갖는 정사각 행렬(square matrix)입니다. 동등하게, 행렬 $A$는 만약 그것의 전치(transpose)가 그것의 역(inverse)과 같으면 직교입니다:

$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$

이는 다음을 동반합니다:

$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$

여기서 $I$는 항등 행렬(identity matrix)입니다.

직교 행렬 $A$는 필연적으로 역가능(invertible) (역 $A^{-1}=A^{\textsf {T}}$), 유니태리(unitary) ($A^{-1}=A^{\ast }$), 및 정규(normal) ($A^{\ast }A=AA^{\ast }$)입니다. 임의의 직교 행렬의 행렬식(determinant)은 +1 또는 −1 중 하나입니다. 특수 직교 그룹(special orthogonal group) $\operatorname {SO} (n)$은 행렬식(determinant) +1을 갖는 $n\times n$ 직교 행렬로 구성됩니다.

직교 행렬의 복소수(complex) 아날로그는 유니태리 행렬(unitary matrix)입니다.

Normal matrix

실수 또는 복소수 정사각 행렬 $A$는 만약 $A^{*}A=AA^{*}$이면 정규(normal)라고 불립니다. 만약 실수 정사각 행렬이 대칭, 반-대칭, 또는 직교이면, 그것은 정규입니다. 만약 복소수 정사각 행렬이 에르미트, 반-에르미트 또는 유니태리이면, 그것은 정규입니다. 정규 행렬은 방금 나열된 행렬 유형을 포함하고 스펙트럼 정리(spectral theorem)가 유지하는 가장 광범위한 행렬 클래스를 형성하기 때문에 주로 관심의 대상입니다.

Operations

Trace

정사각 행렬 $A$의 대각합(trace), tr($A$)은 대각 엔트리의 합입니다. 행렬 곱셈은 교환적이 아니지만, 두 행렬의 곱의 대각합은 인수의 순서와 무관합니다:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$

이것은 행렬 곱셈의 정의에서 바로 나타납니다:

$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} (BA).$

역시, 행렬의 대각합은 전치의 대각합과 같습니다. 즉,

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$

Determinant

Main article: Determinant

A linear transformation on $\mathbb {R} ^{2}$ given by the indicated matrix. The determinant of this matrix is −1, as the area of the green parallelogram at the right is 1, but the map reverses the orientation, since it turns the counterclockwise orientation of the vectors to a clockwise one.

정사각 행렬 $A$의 행렬식 $\det(A)$ 또는 $|A|$는 행렬의 특정 속성을 인코딩하는 숫자입니다. 행렬이 역-가능인 것과 그것의 행렬식이 비-영인 것은 필요충분 조건입니다. 그 절댓값은 단위 정사각형 (또는 정육면체)의 이미지의 넓이 ($\mathbb {R} ^{2}$) 또는 부피 ($\mathbb {R} ^{3}$)와 같고, 그 부호는 해당 선형 맵의 방향에 해당합니다: 행렬식이 양수인 것과 방향이 보존되는 것은 필요충분 조건입니다.

2×2 행렬의 행렬식은 다음에 의해 주어집니다:

$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

3×3 행렬의 행렬식은 6 항 (사뤼스의 규칙(rule of Sarrus))을 포함합니다. 더 긴 라이프니츠 공식(Leibniz formula)은 이들 두 공식을 모든 차원으로 일반화합니다.

정사각 행렬 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같습니다:

$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$

임의의 행의 배수를 또 다른 행에 더하거나, 임의의 열의 배수를 또 다른 열에 더해도 행렬식은 변경되지 않습니다. 두 행 또는 두 열을 교환하는 것은 행렬식에 −1을 곱함으로써 행렬식에 영향을 미칩니다. 이들 연산을 사용하여, 임의의 행렬은 아래쪽 (또는 위쪽) 삼각 행렬로 변환할 수 있고, 그러한 행렬에 대해 행렬식은 주요 대각선에 있는 엔트리의 곱과 같습니다; 이것은 임의의 행렬의 행렬식을 계산하는 방법을 제공합니다. 마지막으로, 라플라스 전개(Laplace expansion)는 소행렬식(minors), 즉 더 작은 행렬의 행렬식의 관점에서 행렬식을 표현합니다. 이 전개는 행렬식의 재귀적 정의에 사용될 수 있으며 (시작 사례로 고유한 엔트리인 1×1 행렬의 행렬식, 또는 1인 0×0 행렬의 행렬식을 취함), 라이프니츠 공식과 동등하다고 볼 수 있습니다. 행렬식은 크라메르의 규칙(Cramer's rule)을 사용하여 선형 시스템(linear systems)을 풀기 위해 사용될 수 있으며, 여기서 두 개의 관련된 정사각 행렬의 행렬식의 나눗셈은 각 시스템 변수의 값과 같게 합니다.

Eigenvalues and eigenvectors

Main article: Eigenvalues and eigenvectors

다음을 만족시키는 숫자 λ와 비-영 벡터 $\mathbf {v}$는

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$

각각, $A$의 고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)라고 불립니다. 숫자 λ가 n×n-행렬 $A$의 고윳값인 것과 $A-\lambda I_{n}$이 역-가능인 것은 필요충분 조건이며, 이는 다음과 동등(equivalent)합니다:

$\det(A-\lambda I)=0.$

행렬식 det(XI_n − A)의 평가에 의해 주어진 불확정(indeterminate) X에서 다항식 p_A는 A의 특성 다항식(characteristic polynomial)이라고 불립니다. 그것은 차수(degree) n의 일계수 다항식(monic polynomial)입니다. 그러므로, 다항 방정식 p_A(λ) = 0은 많아야 n개의 서로 다른 해, 즉 행렬의 고윳값을 가집니다. 그것들은 A의 엔트리가 실수이더라도 복소수일 수 있습니다. 케일리-해밀턴 정리(Cayley–Hamilton theorem)에 따르면, p_A(A) = 0, 즉, 행렬 자체를 자체의 특성 다항식에 대입한 결과 영 행렬(zero matrix)을 산출합니다.

See also

• Cartan matrix

References

• Brown, William C. (1991), Matrices and vector spaces, New York, NY: Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6
• Mirsky, Leonid (1990), An Introduction to Linear Algebra, Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-66434-7

External links

• Media related to Square matrix at Wikimedia Commons