Standard basis

Original article: w:Standard basis

For broader coverage of this topic, see Canonical basis.

Not to be confused with another name for a Gröbner basis.

Every vector a in three dimensions is a linear combination of the standard basis vectors i, j and k.

수학(mathematics)에서, 좌표 벡터 공간 (예를 들어, $\mathbb {R} ^{n}$ 또는 $\mathbb {C} ^{n}$)의 표준 기저(standard basis, 역시 자연 기저(natural basis) 또는 정식의 기저(canonical basis)라고도 함)는 1과 같은 것을 제외하고 그것의 성분이 모두 영인 벡터의 집합입니다. 예를 들어, 실수의 쌍 (x, y)에 의해 형성된 유클리드 평면(Euclidean plane) $\mathbb {R} ^{2}$에서, 표준 기저는 다음 벡터에 의해 형성됩니다:

$\mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).$

유사하게, 삼-차원 공간(three-dimensional space) $\mathbb {R} ^{3}$에 대해 표준 기저는 다음 벡터에 의해 형성됩니다:

$\mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).$

여기서 벡터 e_x는 x 방향을 가리키고, 벡터 e_y는 y 방향을 가리키고, 벡터 e_z는 z 방향을 가리킵니다. {e_x, e_y, e_z}, {e₁, e₂, e₃}, {i, j, k}, and {x, y, z}를 포함하여 표준 기저 벡터에 대해 여러 공통 표기법이 있습니다. 이들 벡터는 때때로 단위 벡터(unit vectors) (표준 단위 벡터)로 그것들의 상태를 강조하기 위해 모자(hat)와 함께 쓰입니다.

이들 벡터는 임의의 다른 벡터가 이들의 선형 조합(linear combination)으로 고유하게 표현될 수 있다는 의미에서 기저(basis)입니다. 예를 들어, 삼-차원 공간에서 모든 각 벡터 v는 다음으로 고유하게 쓸 수 있습니다:

$v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},$

스칼라(scalars) $v_{x}$, $v_{y}$, $v_{z}$는 벡터 v의 스칼라 성분(scalar components)입니다.

n-차원(dimensional) 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서, 표준 기저는 n 개의 구별되는 벡터로 구성됩니다:

$\{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},$

여기서 e_i는 i-번째 좌표(coordinate)에서 1을 갖고 나머지에서는 0을 갖는 벡터입니다.

표준 기저는 다항식(polynomials)과 행렬(matrices)과 같은 그것들의 정의가 계수를 포함하는 다른 벡터 공간(vector spaces)에 대해 정의될 수 있습니다. 둘 다 경우에서, 표준 기저는 1을 제외한 모든 계수가 0이고 비-영 계수는 1을 만족하는 공간의 원소로 구성됩니다. 다항식에 대해, 표준 기저는 따라서 단항식(monomials)으로 구성되고 공통적으로 단항식 기저(monomial basis)라고 불립니다. 행렬 ${\mathcal {M}}_{m\times n}$에 대해, 표준 기저는 정확하게 하나의 비-영 엔터디, 1을 갖는 m×n-행렬로 구성됩니다. 예를 들어, 2×2 행렬에 대해 표준 기저는 다음 4개의 행렬에 의해 구성됩니다:

$\mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Properties

정의에 의해, 표준 기저는 직교(orthogonal) 단위 벡터(unit vectors)의 수열(sequence)입니다. 다시 말해서, 그것은 순서화된(ordered) 것이고 직교-정규(orthonormal) 기저입니다.

어쨌든, 순서화된 직교-정규 기저가 반드시 표준 기저는 아닙니다. 예를 들어, 위에서 설명한 2D 표준 기저의 30° 회전을 나타내는 두 벡터, 즉, 다음은

$v_{1}=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\,$

$v_{2}=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\,$

역시 직교 단위 벡터이지만, 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)의 축과 정렬되지 않으므로, 이들 벡터를 갖는 기저는 표준 기저의 정의를 충족하지 않습니다.

Generalizations

필드(field)에 걸쳐 n 개의 불확정에서 다항식(polynomials)의 링에 대해 역시 표준 기저, 즉 단항식(monomials)이 있습니다.

앞의 모든 것은 다음 가족의 특별한 경우입니다:

${(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}$

여기서 $I$는 임의의 집합이고$\delta _{ij}$는 i ≠ j일 때마다 0과 같고 i = j이면 1과 같은 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다. 이 가족은 만약 우리가 1을 1_R, R에서 단위로 해석하면 유한 인덱스를 제외하고는 0인 I에서 링(ring) R로의 다음 모든 가족의

$f=(f_{i})$

다음 R-모듈 (자유 모듈(free module))의 정식의(canonical) 기저입니다:

Other usages

다른 '표준' 기저의 존재는 1943년 Grassmannians로부터 Hodge의 연구를 시작으로 대수적 기하학(algebraic geometry)의 관심 주제가 되었습니다. 그것은 이제 표준 단항 이론(standard monomial theory)이라고 불리는 표시 이론(representation theory)의 일부입니다. 리 대수(Lie algebra)의 보편적 포락 대수(universal enveloping algebra)에서 표준 기저의 아이디어는 푸앵카레-버코프-비트 정리(Poincaré–Birkhoff–Witt theorem)에 의해 확립되었습니다.

그뢰브너 기저(Gröbner bases)는 때때로 표준 기저라고도 불립니다.

물리학(physics)에서, 주어진 유클리드 공간에 대해 표준 기저 벡터는 때때로 대응하는 데카르트 좌표 시스템의 축의 버서(versors)로 참조됩니다.

See also

• Canonical units
• Examples of vector spaces § Generalized coordinate space

References

• Ryan, Patrick J. (2000). Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27635-7. (page 198)

• Schneider, Philip J.; Eberly, David H. (2003). Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 1-55860-594-0. (page 112)