Step function

수학(mathematics)에서, 실수(real number)에 대한 함수(function)가, 만약 그것이 구간(interval)의 지시 함수(indicator function)의 유한(finite) 선형 조합(linear combination)으로 쓸 수 있으면, 계단 함수(step function, 또는 staircase function)라고 불립니다. 비공식적으로 말해서, 계단 함수는 단지 유한하게 많은 조각을 가지는 조각별(piecewise) 상수 함수(constant function)입니다.

Definition and first consequences

함수 $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 는 만약 그것이 다음으로 쓸 수 있으면, 계단 함수라고 불립니다:^{[citation needed]}

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

, for all real numbers

x

여기서 $n\geq 0$ , $\alpha _{i}$ are real numbers, $A_{i}$ 는 정수이고, $\chi _{A}$ 는 $A$ 의 지시 함수(indicator function)입니다:

\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}

이 정의에서, 구간 $A_{i}$ 는 다음 두 속성을 가지는 것으로 가정될 수 있습니다:

구간은 쌍별 서로소(pairwise disjoint)입니다: $i\neq j$ 에 대해 $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$
구간의 합집합(union)은 전체 실수 직선입니다: $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$

사실, 만약 그것이 시작하는 경우가 아니면, 구간의 다른 집합이 이들 가정을 유지하는 것에 대해 선택될 수 있습니다. 예를 들어, 다음 계단 함수는

f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}

다음으로 쓸 수 있습니다:

f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.

Variations in the definition

때때로, 구간이 오른쪽-열린 것이 요구되거나^[1] 한원소인 것이 허용됩니다.^[2] 구간의 모음이 유한이어야 한다는 조건은 종종 버려지며, 특히 학교 수학에서,^[3]^[4]^[5] 비록 그것이 여전히 국부적으로 유한해야 할지라도, 조각마다 상수 함수의 정의를 초래합니다.

Examples

상수 함수(constant function)는 계단 함수의 자명한 예제입니다. 그런-다음 오직 하나의 구간, $A_{0}=\mathbb {R}$ 이 있습니다.
부호 함수(sign function) $\operatorname {sgn} (x)$ , 이것은 음수에 대해 −1, 양수에 대해 +1이고 가장-간단한 비-상수 계단 함수입니다.
헤비사이드 함수(Heaviside function) $H (x)$ , 이것은 음수에 대해 0, 양수에 대해 1이고, 영역의 이동과 스케일까지, 부호 함수와 동등합니다 ( $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ ). 동역학적 시스템(dynamical system)의 계단 응답(step response)을 결정하기 위해 사용되는 것과 같은, 일부 테스트 신호(signals) 뒤에 있는 수학적 개념입니다.

직사각형 함수(rectangular function), 정규화된 상자-차 함수(boxcar function)는 단위 펄스를 모델링하기 위해 사용됩니다.

Non-examples

정수 부분(integer part) 함수는 이 가사의 정의에 따른 계단 함수가 아닌데, 왜냐하면 그것은 무한 숫자의 구간을 갖기 때문입니다. 어쨌든, 일부 저자는^[6] 무한 숫자의 구간을 갖는 계단 함수를 역시 정의합니다.^[6]

Properties

두 계단 함수의 합과 곱은 다시 계산 함수입니다. 숫자와 함께 계단 함수의 곱은 역시 계단 함수입니다. 이를테면, 계단 함수는 실수에 걸쳐 대수(algebra)를 형성합니다.
계단 함수는 오직 유한 숫자의 값을 취합니다. 만약 단계 함수의 위의 정의에서 $i=0,1,\dots ,n$ 에 대해 구간 $A_{i}$ 가 서로소이고 그들의 합집합이 실수 직선이면, 모든 $x\in A_{i}$ 에 대해 $f(x)=\alpha _{i}$ 입니다.
계단 함수의 한정 적분(definite integral)은 조각별 선형 함수(piecewise linear function)입니다.
계단 함수 $\textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ 의 르베그 적분(Lebesgue integral)은 $\textstyle \int f\,dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i})\,$ 이며, 여기서 $\textstyle \ell (A)$ 는 구간 $A$ 의 길이이고 모든 구간 $A_{i}$ 는 유한 길이를 가지는 것을 가정됩니다. 사실, (정의로써 보이는) 이 상등은 르베그 적분을 구성하는 것에서 첫 번째 단계일 수 있습니다.^[7]
이산 확률 변수(discrete random variable)는 때때로 그의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)가 조각별 상수인 확률 변수(random variable)로 정의됩니다.^[8] 이 경우에서, 그것은 지역적으로 계단 함수입니다 (전역적으로, 그것은 무한 숫자의 계단을 가질 수 있습니다). 보통 어쨌든, 오직 셀-수-있게 많은 가능한 값을 갖는 임의의 확률 변수는 이산 확률 변수라고 불리며, 이 경우에서 그것의 누적 분포 함수는 반드시 지역적으로 계단 함수일 필요는 없는데, 왜냐하면 무한하게 많은 구간은 유한 영역에서 축적될 수 있기 때문입니다.

References

^ http://mathworld.wolfram.com/StepFunction.html
^ http://mathonline.wikidot.com/step-functions
^ https://www.mathwords.com/s/step_function.htm
^ https://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html
^ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/step-function
^ ^a ^b Bachman, Narici, Beckenstein (5 April 2002). "Example 7.2.2". Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Weir, Alan J (10 May 1973). "3". Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
^ Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

[1] ttp://mathworld.wolfram.com/StepFunction.html

[2] ttp://mathonline.wikidot.com/step-functions

[3] ttps://www.mathwords.com/s/step_function.htm

[4] ttps://study.com/academy/lesson/step-function-definition-equation-examples.html

[5] ttps://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/step-function

[bachman_narici_beckenstein-6] Bachman, Narici, Beckenstein (5 April 2002). "Example 7.2.2". Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[7] Weir, Alan J (10 May 1973). "3". Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.

[:0-8] Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Mass.: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

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