Substitution (algebra)

대수학에서, 치환(substitution)의 연산은 기호(변수(variable) 또는 불확정수(indeterminate)라고 자주 불림)가 포함된 공식적 대상을 포함하는 것의 다양한 문맥에서 적용될 수 있습니다; 연산은 어떤 기호의 발생을 주어진 값으로 시스템적으로 대체하는 것을 구성합니다.

치환은 컴퓨터 대수학(computer algebra)의 기본 연산입니다. 그것은 컴퓨터 대수학 시스템(computer algebra system)에서는 "subs" 또는 "subst"라고 일반적으로 불립니다.

치환의 일반적인 경우는 다항식(polynomial)을 포함하며, 여기서 (일변수) 다항식의 불확정수에 대한 숫자 값의 치환은 그 값에서 다항식을 평가하는 양에 해당합니다. 실제로 이 연산은 너무 자주 발생하여 다항식에 대한 표기법이 그것에 자주 적용됩니다; P와 같은 이름으로 다항식을 지정하는 대신에, 다른 수학적 대상을 위해 하는 것처럼, 다음과 같이 정의할 수 있습니다

P(X)=X^{5}-3X^{2}+5X-17

그래서 X에 대한 치환은 "P(X)" 내부의 치환에 의해 지정될 수 있습니다:

P(2)=13

또는

P(X+1)=X^{5}+5X^{4}+10X^{3}+7X^{2}+4X-14

.

어쨌든, 치환은, 예를 들어 자유 그룹(free group)의 원소와 같은, 기호로부터 작성된 공식적인 대앗의 다른 종류에 역시 적용될 수 있습니다. 치환이 정의되기 위해서는, 특정 값에 불확정수를 보내는 유일한 준동형의 존재를 주장하는, 적절한 보편적 속성(universal property:보편 성질)을 지닌 대수적 구조가 필요합니다; 그런 다음 치환은 그런 준동형 아래에서 이미지를 찾는 것에 이릅니다.

치환은 함수 합성(function composition)과 관련이 있지만, 동일하지는 않습니다; 치환은 람다 계산법(lambda calculus)에서 β-감소와 역시 밀접한 관련이 있습니다. 이러한 개념과는 달리, 어쨌든, 대수학에서의 강조는 치환 연산에 의한 대수 구조의 보존에 있습니다, 치환이 당면한 구조 (다항식의 경우에는, 링(ring) 구조)에 대해 준동형(homomorphism)을 준다는 사실입니다.

See also