Eventually (mathematics)

숫자 이론(number theory)과 해석학(analysis)의 수학적 영역에서, 무한 수열(sequence) 또는 함수(function)는, 만약 그것이 모든 순서화된 사례에 걸쳐 속성을 말하지는 않지만, 일부 사례가 통과한 후에는 특정 속성(property)을 결국(eventually) 가진다고 말합니다. "결국"이라는 용어의 사용은 종종 "충분하게 큰 숫자에 대해"로 다시 표현될 수 있고,^[1] 순서화된 집합의 원소 (예를 들어 $\mathbb {R}$ 의 수열과 부분집합)에 적용되는 속성의 클래스로 확장될 수도 있습니다.

Notation

결국 (또는 충분하게 큰) 구가 발견되는 일반적인 형식은 다음과 같습니다:

P

는

x

에 대해 결국 참입니다 (

P

는 충분하게 큰

x

에 대해 참입니다),

여기서 $\forall$ 및 $\exists$ 는 보편적 및 존재적 한정어로, 실제로는 다음에 대한 줄임말입니다:

P

임을 만족하는

\exists a\in \mathbb {R}

는

\forall x\geq a

에 대해 참입니다.

또는 약간 더 형식적으로:

\exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)

이것은 반드시 $a$ 에 대한 임의의 특정 값이 알려져 있다는 것을 의미하는 것이 아니라, 그러한 $a$ 가 존재한다는 것을 의미할 뿐입니다. "충분하게 큰"이라는 문구는 "임의적으로 큰" 또는 "무한하게(infinitely) 큰"이라는 문구와 혼동해서는 안됩니다. 자세한 내용에 대해, Arbitrarily large#Arbitrarily large vs. sufficiently large vs. infinitely large를 참조하십시오.

Motivation and definition

무한 수열에 대해, 그것이 초기에 전시하는 행위보다 수열의 장기적인 행위에 더 관심이 있는 경우가 많습니다. 이 경우에서, 이 개념을 형식적으로 포착하는 한 가지 방법은 수열이 결국 특정 속성을 소유한다, 또는 동등하게, 그 속성이 일부 $N\in \mathbb {N}$ 에 대해 부분수열(subsequences) $(a_{n})_{n\geq N}$ 중 하나에 의해 만족된다고 말하는 것입니다.^[2]

예를 들어, 어떤 극한(limit) $a$ 로 수렴하는 실수의 수열 $(a_{n})$ 의 정의는 다음과 같습니다:

각 양수

\varepsilon

에 대해, 모든

n>N

에 대해,

\left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon

임을 만족하는 자연수

N

이 존재합니다.

"결국"이라는 용어가 "모든 $n>N$ 에 대해 ...만족하는 자연수 $N$ 이 존재한다"의 줄임말로 사용될 때, 수렴 정의는 다음과 같이 더 간단하게 다시 말할 수 있습니다:

각 양수

\varepsilon >0

에 대해, 결국

\left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon

.

여기서, 이 속성을 만족하지 않는 자연수의 집합(set)은 유한 집합이라는 점에 유의하십시오; 즉, 그 집합은 빈(empty) 것 또는 최대 원소를 가집니다. 결과적으로, 이 경우에서 "결국"의 사용은 "유한 숫자를 제외한 모든 항에 대해(for all but a finite number of terms)"라는 표현과 동의어입니다 – "거의 모든 항에 대해(for almost all terms)"라는 표현의 특수한 경우입니다 (비록 "거의 모든"은 무한하게 많은 예외를 허용하는 데 사용될 수도 있습니다).

기본 수준에서, 수열은 자연수를 도메인(domain)으로 갖는 함수로 생각될 수 있고, "결국"이라는 개념은 보다 일반적인 집합의 함수—특히 가장 큰 원소(greatest element)를 가지는 않는 순서화를 가지는 함수에도 적용됩니다.

보다 구체적으로, 만약 $S$ 가 그러한 집합이고 함수 $f$ 가 $s$ 보다 큰 모든 원소에 대해 정의됨을 만족하는 $S$ 에서 원소 $s$ 가 있으면, $f$ 는 만약 $x>x_{0}$ 일 때마다, $f(x)$ 가 말했든 속성을 가짐을 만족하는 원소 $x_{0}$ 가 있으면 결국 어떤 속성을 가진다고 말합니다. 이 개념은, 예를 들어, 실수 함수로 구성된 필드이며, 각 필드는 결국 특정 속성을 가지는, 하디 필드(Hardy fields)의 연구에서 사용됩니다.

Examples

"2보다 큰 모든 소수는 홀수입니다"는 "결국, 모든 소수는 홀수입니다"로 쓸 수 있습니다.
결국, 모든 소수는 ±1 모듈로 6에 합동(congruent)입니다.
소수의 제곱(square)은 결국 1 모드 24와 합동입니다 (구체적으로, 이것은 3보다 큰 모든 소수에 대해 참입니다).
자연수의 팩토리얼(factorial)은 결국 자릿수 0으로 끝납니다 (특히, 이것은 4보다 큰 모든 자연수에 대해 참입니다).

Implications

수열 또는 함수가 결국 속성을 가질 때, 해당 수열과 관계에서 무언가를 입증하는 맥락에서 유용한 의미를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 특정 함수의 점근적 행동(asymptotic behavior)의 맥락에서, 그것이 결국 다르게 행동하는지 또는 계산적으로 관찰될 수 있는지를 아는 것이 유용할 수 있는데, 왜냐하면 그렇지 않으면 알아차릴 수 없기 때문입니다.

"결국"이라는 용어는 더 간결하게 만들기 위해 많은 수학적 정의에 통합될 수도 있습니다. 이것들은 몇 가지 유형의 극한 (위에서 볼 수 있음)의 정의와 점근적 행동을 설명하기 위한 큰 O 표기법(Big O notation)을 포함합니다.

Other uses in mathematics

3-매니폴드는 적절하게 삽입된 2-면 비-압축가능 표면(incompressible surface)을 포함하면 충분하게 크다고 불립니다. 이 속성은 3-매니폴드를 하켄 매니폴드(Haken manifold)라고 부르기 위한 주요 요구 사항입니다.
시간 논리(Temporal logic)는 다음과 같이 해석-가능한 명제를 표현하기 위해 사용될 수 있는 연산자를 도입합니다: 특정 속성은 결국 시간에서 미래 순간에 유지됩니다.

References

^ Weisstein, Eric W. "Sufficiently Large". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-20.
^ Weisstein, Eric W. "Eventually". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-20.

[1] Weisstein, Eric W. "Sufficiently Large". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-20.

[2] Weisstein, Eric W. "Eventually". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-20.

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