Superadditivity

Original article: w:Superadditivity

수학(mathematics)에서, 함수(function) $f$가 $f$의 도메인(domain)에서 모든 $x$와 $y$에 대해 만약 다음이면 초과덧셈적(superadditive)입니다: $$f(x+y)\geq f(x)+f(y).$$ 유사하게, 수열(sequence) $\left\{a_{n}\right\},$ $n\geq 1$은, 모든 $m$와 $n$에 대해 만약 그것이 다음 부등식(inequality)을 만족시키면 초과덧셈적(superadditive)입니다:$$a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}.$$ 용어 "초과덧셈"은 역시 부울 대수(boolean algebra)에서 실수로의 함수에도 적용되며, 여기서 아래쪽 확률(lower probabilities)과 같은 $P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y)$입니다.

Properties

만약 $f$가 초과덧셈 함수이고, 0이 그것의 도메인 내에 있으면, $f(0)\leq 0$입니다. 이것을 보이기 위해, 꼭대기에서 부등식을 취하십시오: $f(x)\leq f(x+y)-f(y).$ 따라서 $f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.$

초과덧셈 함수의 부정은 부분덧셈적(subadditive)입니다.

Fekete's lemma

초과덧셈 수열을을 사용하는 주요 이유는 마이클 페케떼(Michael Fekete)에 기인한 다음 보조정리(lemma)입니다.

Lemma: (페케떼) 모든 각 초과덧셈 수열 $\left\{a_{n}\right\},$ $n\geq 1$에 대해, 극한(limit) $\lim a_{n}/n$은 $\sup a_{n}/n$과 같습니다. (그 극한은, 예를 들어, 수열 $a_{n}=\log n!$에 대해 양의 무한대가 될 수 있습니다.)

예를 들어, $f(x)=x^{2}$는 비-음의 실수(real numbers)에 대해 초과덧셈 함수인데 왜냐하면 $x+y$의 제곱은 항상 $x$의 제곱 더하기 $y$의 제곱보다 크거나 같기 때문이며, 비-음의 실수 $x$와 $y$에 대해: $f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy$.

페케떼의 보조 정리의 아날로그는 부분덧셈(subadditive) 함수에도 적용됩니다. 모든 $m$과 $n$에 대해 유지하기 위해 위의 초과덧셈성의 정의를 요구하지 않은 페케떼의 보조 정리의 확장이 있습니다. 역시 만약 어떤 종류의 초과덧셈성과 부분덧셈성이 모두 존재하면 페케떼의 보조정리에서 그 존재가 명시된 극한까지 수렴 속도를 추론할 수 있는 결과가 있습니다. 이 주제에 대한 좋은 설명은 Steele (1997)에서 찾을 수 있습니다.

Examples of superadditive functions

• 행렬식(determinant)은 비-음의 헤세 행렬(Hermitian matrix)에 대해 초과덧셈적이며, 즉, 만약 $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$가 비-음의 헤세이면 $\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B)$입니다.

이것은 민코프스키 행렬식 정리에서 따르며, 이는 보다 일반적으로 $\det(\cdot )^{1/n}$는 크기 $n$의 비-음의 헤세 행렬에 대해 초과덧셈적 (동등하게, 오목(concave))이라고 말합니다: 만약 $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$가 비-음의 헤세이면 $\det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$입니다.

• 상호 정보(Mutual information)
• Horst Alzer는 아다마르의 감마 함수(Hadamard's gamma function) $H(x)$는 $x,y\geq 1.5031$를 갖는 모든 실수 $x,y$에 대해 초과덧셈적임을 입증했습니다.

See also

• Choquet integral
• Inner measure
• Subadditivity
• Sublinear function

References

Notes

• György Polya and Gábor Szegö. (1976). Problems and theorems in analysis, volume 1. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-05672-6.

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