The Quadrature of the Parabola

포물선의 구적법(The Quadrature of the Parabola 또는 Greek: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς)은 기원전 3세기에서 아르키메데스(Archimedes)에 의해 쓰인 기하학(geometry)에 관한 논문입니다. 그의 친구 도시티우스(Dositheus)에게 편지로 쓰인, 그 연구는 포물선(parabola)에 관한 24 제안을 제시하고, 포물선 부분 (포물선과 직선(line)으로 둘러싸인 영역)의 넓이가 특정 내접(inscribe)된 삼각형의 4/3 넓이임을 증명에서 절정에 이릅니다.

문제의 명제는 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용했습니다. 아르키메데스(Archimedes)는 그 넓이를 그의 넓이가 기하 진행(geometric progression)을 형성하는 무한하게 많은 삼각형(triangles)으로 절개했을 수 있습니다. 그는 결과적인 기하 급수(geometric series)의 합을 계산하고, 이것이 포물선 부분의 넓이임을 입증합니다. 이것은 고대 수학에서 소진의 방법을 가장 정교한 사용을 나타내고, 카바리에리의 구적법 공식(Cavalieri's quadrature formula)에 의해 성공되어진, 17세기에 적분 미적분학(integral calculus)의 개발까지 탁월한 상태를 유지했습니다.

Main theorem

포물선 부분(parabolic segment)은 포물선과 직선으로 둘러싸인 영역입니다. 포물선 부분의 넓이를 구하기 위해, 아르키메데스는 특정 내접된 삼각형을 고려합니다. 이 삼각형의 밑변은 포물선의 주어진 가름선(chord)이고, 세 번째 꼭짓점은 해당 점에서 포물선에 접선이 가름과 평행한 것을 만족하는 포물선 위의 점입니다. 제안 1 (포물선의 구적법)에 의해, 축에 평행하게 그려진 세 번째 꼭짓점으로부터 직선은 가름을 같은 부분으로 나눕니다. 주요 정리는 포물선 부분의 넓이가 내접된 삼각형의 4/3 넓이임을 주장합니다.

Structure of the text

아르키메데스는 주요 정리의 두 가지 증명을 제공합니다. 첫 번째는 추상적 역학(mechanics)을 사용하며, 아르키메데스는 부분의 무게가 적절한 지렛대(lever) 위에 놓일 때 삼각형의 무게와 균형을 잡을 것이라고 주장합니다. 두 번째, 보다 유명한 증명은 순수한 기하학, 특히 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용합니다.

스물-넷 제안의, 처음 셋은 유클리드의 Elements of Conics (원뿔 단면(conic sections) 위에 유클리드(Euclid)에 의해 잃어버린 연구)로부터 증명없이 인용됩니다. 제안 넷와 다섯은 포물선의 기본 속성을 확립합니다; 제안 여섯에서 열-일곱은 주요 정리의 역학적 증명을 제공합니다; 및 제안 열-여덟에서 스물-넷은 기하학적 증명을 제시합니다.

Geometric proof

Dissection of the parabolic segment

증명의 주요 아이디어는, 오른쪽 그림에서 보이는 것처럼, 포물선 부분을 무한하게 많은 삼각형으로 해부하는 것입니다. 이들 삼각형의 각각은 파란색 삼각형이 큰 부분에 내접된 것과 같은 방법으로 그 자체의 포물선 부분에 내접됩니다.

Areas of the triangles

제안 열-여덟에서 스물-하나에서, 아르키메데스는 각 녹색 삼각형의 넓이가 파란색 삼각형 넓이의 1/8임을 입증합니다. 현대의 관점으로부터, 이것은 녹색 삼각형은 절반 너비이고 높이의 1/4이기 때문입니다:^[1]

확장에 의해, 노란색 삼각형의 각각은 녹색 삼각형의 1/8 넓이를 가지고, 빨간색 삼각형의 각각의 노란색 삼각형의 1/8 넓이를 가집니다. 소진의 방법(method of exhaustion)을 사용하여, 그것은 포물선 부분의 총 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:

{\text{Area}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .

여기서 T는 큰 파란색 삼각형의 넓이를 나타내고, 두 번째 항은 두 녹색 삼각형의 총 넓이를 나타내고, 세 번째 항은 네 노란색 삼각형의 총 넓이를 나타내고, 기타 등등 입니다. 이것은 다음을 제공하기 위해 단순화됩니다:

{\text{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.

Sum of the series

Archimedes' proof that 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

증명을 완료하기 위해, 아르키메데스는 다음임을 보입니다:

1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.

위의 공식은 기하 급수입니다–각 연속적인 항은 이전 항의 1/4입니다. 현대 수학에서, 해당 공식은 기하 급수에 대해 합 공식(sum formula for a geometric series)의 특별한 경우입니다.

아르키메데스는, 인접한 그림에서 묘사된, 완전히 기하학적 방법을 사용하여 합을 평가합니다.^[2] 이 그림은 작은 정사각형의 무한대로 절개되어진 단위 정사각형을 보여줍니다. 각각의 연속적인 보라색 정사각형은 이전 정사각형의 1/4 넓이를 가지며, 총 보라색 넓이는 다음 합입니다:

{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .

어쨌든, 보라색 정사각형은 두 개의 노란색 정사각형 집합과 일치하고, 그래서 단위 정사각형 넓이의 1/3을 차지합니다. 그것은 위의 급수는 합해져서 4/3가 됨을 따릅니다.

Notes

^ The green triangle has half of the width of blue triangle by construction. The statement about the height follows from the geometric properties of a parabola, and is easy to prove using modern analytic geometry.
^ Strictly speaking, Archimedes evaluates the partial sums of this series, and uses the Archimedean property to argue that the partial sums become arbitrarily close to 4/3. This is logically equivalent to the modern idea of summing an infinite series.

External links

Casselman, Bill. "Archimedes' quadrature of the parabola". Full text, as translated by T.L. Heath.
Xavier University Department of Mathematics and Computer Science. "Archimedes of Syracuse". Text of propositions 1–3 and 20–24, with commentary.
http://planetmath.org/ArchimedesCalculus

[1] The green triangle has half of the width of blue triangle by construction. The statement about the height follows from the geometric properties of a parabola, and is easy to prove using modern analytic geometry.

[2] Strictly speaking, Archimedes evaluates the partial sums of this series, and uses the Archimedean property to argue that the partial sums become arbitrarily close to 4/3. This is logically equivalent to the modern idea of summing an infinite series.

[1]

[2]