Geometric series

Original article: w:Geometric series

This article is about infinite geometric series. For finite sums, see geometric progression.

Each of the purple squares has 1/4 of the area of the next larger square (1/2×1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). The sum of the areas of the purple squares is one third of the area of the large square.

수학(mathematics)에서, 기하 급수(geometric series)는 연속적인 항(terms) 사이의 상수 비율을 갖는 급수(series)입니다. 예를 들어, 급수(the series)

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

은 기하인데, 왜냐하면 각 연속적인 항이 이전 항에 1/2을 곱하여 구할 수 있기 때문입니다.

기하 급수는, 비록 그들의 모두가 이 속성을 가지지는 않을지라도, 유한 합을 갖는 무한 급수(infinite series)의 가장 간단한 예제 중 하나입니다. 역사적으로, 기하 급수는 미적분학(calculus)의 초기 개발에 중요한 역할을 했고, 그들은 급수의 수렴(convergence)의 연구에서 중심에 계속 있습니다. 기하 급수는 수학의 전반에 걸쳐 사용되고, 그들은 물리학(physics), 공학(engineering), 생물학(biology), 경제학(economics), 컴퓨터 과학(computer science), 대기 이론(queueing theory), 및 금융(finance)에서 중요한 응용을 가집니다.

Common ratio

The convergence of the geometric series with r=1/2 and a=1/2

The convergence of the geometric series with r=1/4 and a=1

기하 급수의 항은 기하 진행(geometric progression)을 형성하며, 급수에서 연속적인 항의 비율이 상수임을 의미합니다. 이 관계는 오직 두 항, r과 a를 사용하여 기하 급수의 표현을 허용합니다. 항 r은 공통 비율이고, a는 급수의 첫 번째 항입니다. 도입부에서 주어진 기하 급수의 예제,

${\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots$

는 간단히 다음으로 쓸 수 있습니다:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots$ , 여기서 $a={\frac {1}{2}}$이고 $r={\frac {1}{2}}$입니다.

다음 테이블은 다른 시작 항과 공통 비율을 갖는 여러 기하 급수를 보여줍니다:

시작항, a	공통 비율, r	예제 급수
4	10	4 + 40 + 400 + 4000 + 40,000 + ···
9	1/3	9 + 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ···
7	1/10	7 + 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ···
3	1	3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ···
1	−1/2	1 − 1/2 + 1/4 − 1/8 + 1/16 − 1/32 + ···
3	–1	3 − 3 + 3 − 3 + 3 − ···

항의 동작은 공통 비율 r에 따라 다릅니다.

만약 r이 −1과 +1 사이에 있이면, 급수의 항은 점점 더 작아지고, 극한에서 영으로 접근하고 (크기(magnitude)에서 점점 더 작아집니다), 급수는 합에 수렴합니다. 위의 경우에서, 여기서 r이 1/2이므로, 급수는 1에 수렴합니다.

만약 r이 일보다 크거나 음의 일보다 작으면, 급수의 항은 크기에서 점점 더 커집니다. 항의 합은 역시 점점 더 커지고, 급수는 합을 가지지 않습니다. (급수는 발산(diverges)합니다.)

만약 r이 일과 같으면, 급수의 항의 모두는 같습니다. (급수는 발산합니다.)

만약 r이 음의 일이면, 항은 교대적으로 두 값을 취합니다 (예를 들어, 2, −2, 2, −2, 2,... ). 항의 합은 두 값 사이를 진동(oscillates)합니다 (예를 들어, 2, 0, 2, 0, 2,... ). 이것은 발산의 다른 유형이고 다시 급수는 합을 가지지 않습니다. 예를 들어 그란디의 급수(Grandi's series)를 참조하십시오: 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

Sum

기하 급수의 합(sum)은 비율의 절댓값이 1보다 작은 한 유한입니다; 숫자가 영에 가까워짐에 따라, 그들은 하잖게 작아지게 되고, 무한하게 많은 항을 포함하는 급수임에도 불구하고 합이 계산되는 것을 허용합니다. 합은 급수의 자기-닮음(self-similarity)을 사용하여 계산될 수 있습니다.

Example

Visual derivation of the sum of infinite terms of a geometric series

다음 기하 급수의 합을 생각해 보십시오:

$s\;=\;1\,+\,{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,\cdots .$

이 급수는 공통 비율 2/3을 가집니다. 만약 우리가 이 공통 비율을 통해 곱하면, 초기 1은 2/3이 되고, 2/3은 4/9가 되고, 등등:

${\frac {2}{3}}s\;=\;{\frac {2}{3}}\,+\,{\frac {4}{9}}\,+\,{\frac {8}{27}}\,+\,{\frac {16}{81}}\,+\,\cdots .$

이 새로운 급수는 첫 번째 항이 누락된 것을 제외하고 원래 것과 같습니다. 원래 급수 s에서 새로운 급수 (2/3)s를 뺀 것은 원래 급수에서 첫 번째 항을 제외하고 모든 항을 제거하므로,

$s\,-\,{\frac {2}{3}}s\;=\;1,\;\;\;{\mbox{so }}s=3.$

비슷한 기법이 임의의 자기-닮음(self-similar) 표현을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다.

Formula

$r\neq 1$에 대해, 기하 급수의 첫 번째 n 항들의 합은 다음입니다:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right),$

여기서 a는 급수의 첫 번째 항이고, r은 공통 비율입니다. 우리는 다음으로, 합, s에 대해 공식을 유도할 수 있습니다:

${\begin{aligned}s&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1},\\rs&=\qquad ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n},\\s-rs&=a-ar^{n},\\s(1-r)&=a(1-r^{n}),\\s&=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)\quad {\text{(if }}r\neq 1{\text{)}}.\end{aligned}}$

n이 무한대로 감에 따라, r의 절댓값은 수렴하는 급수에 대해 일보다 반드시 작아집니다. 합은 그런-다음 다음이 됩니다:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}},{\text{ for }}|r|<1.$

a = 1일 때, 이것은 다음으로 간단하게 될 수 있습니다:

$1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},$

왼쪽 변은 공통 비율 r을 갖는 기하 급수입니다.

공식은, 대응하는 제한, r의 모듈러스가 일보다 엄격하게 작은 것과 함께, 복소수 r에 대해 역시 유지됩니다.

Proof of convergence

우리는, 기하 급수가 기하 수열(geometric progression)에 대한 합 공식을 사용하여 수렴한다(converges)는 것을 입증할 수 있습니다:

${\begin{aligned}1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots \ &=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n}\right)\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}$

왜냐하면 | r | < 1에 대해 (1 + r + r² + ... + rⁿ)(1−r) = 1−rⁿ⁺¹ 및 rⁿ⁺¹ → 0이기 때문입니다.

기하 급수의 수렴은 급수를 동등한 망원 급수(telescoping series)로 다시 쓰는 것에 의해 역시 증명될 수 있습니다. 다음 함수를 생각해 보십시오:

$g(K)={\frac {r^{K}}{1-r}}.$

다음을 주목하십시오:

$1=g(0)-g(1)\ ,\ r=g(1)-g(2)\ ,\ r^{2}=g(2)-g(3)\ ,\ldots$

따라서,

$S=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots =(g(0)-g(1))+(g(1)-g(2))+(g(2)-g(3))+\cdots .$

만약

$|r|<1$

이면

$g(K)\longrightarrow 0{\text{ as }}K\to \infty .$

그래서 S는 다음에 수렴합니다:

$g(0)={\frac {1}{1-r}}.$

Applications

Repeating decimals

Main article: Repeating decimal

반복하는 십진수는 그의 공통 비율이 1/10의 거듭제곱인 기하 급수로 생각될 수 있습니다. 예를 들어:

$0.7777\ldots \;=\;{\frac {7}{10}}\,+\,{\frac {7}{100}}\,+\,{\frac {7}{1000}}\,+\,{\frac {7}{10000}}\,+\,\cdots .$

기하 급수의 합에 대해 공식은 십진수를 분수로 변환하기 위해 사용될 수 있습니다:

$0.7777\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {7/10}{1-1/10}}\;=\;{\frac {7/10}{9/10}}\;=\;{\frac {7}{9}}.$

공식은 하나의 반복되는 숫자 뿐만 아니라, 숫자의 반복하는 그룹에 대해 역시 작동합니다. 예를 들어:

$0.123412341234\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {1234/10000}{1-1/10000}}\;=\;{\frac {1234/10000}{9999/10000}}\;=\;{\frac {1234}{9999}}.$

반복하는 연속적인 십진수의 모든 각 급수는 다음으로 편리하게 간단히 될 수 있음에 주목하십시오:

$0.09090909\ldots \;=\;{\frac {09}{99}}\;=\;{\frac {1}{11}}.$

$0.143814381438\ldots \;=\;{\frac {1438}{9999}}.$

$0.9999\ldots \;=\;{\frac {9}{9}}\;=\;1.$

즉, 반복 길이 n을 갖는 반복하는 십진수는 (정수로) 반복하는 부분과 10ⁿ - 1의 몫과 같습니다.

Archimedes' quadrature of the parabola

Archimedes' dissection of a parabolic segment into infinitely many triangles

Main article: The Quadrature of the Parabola

아르키메데스(Archimedes)는 포물선(parabola)과 직선에 의해 둘러싸인 넓이를 계산하기 위해 기하 급수의 합을 사용했습니다. 그의 방법은 그 넓이를 무한한 숫자의 삼각형으로 절개하는 것이었습니다.

아르키메데스의 정리는 포물선 아래의 전체 넓이가 파란색 삼각형의 넓이의 4/3라고 말합니다.

아르키메데스는 각각의 초록색 삼각형이 파란색 삼각형의 1/8 넓이를 가지며, 각 노란색 삼각형은 하나의 초록색 삼각형의 1/8 넓이를 가지며, 기타 등등을 결정했습니다.

파란색 삼각형이 넓이 1을 가지는 것을 가정하면, 전체 넓이는 다음 무한 합입니다:

$1\,+\,2\left({\frac {1}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}\,+\,8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}\,+\,\cdots .$

첫 번째 항은 파란색 삼각형의 넓이, 두 번째 항은 두 개의 초록색 삼각형의 넓이, 세 번째 항은 네 개의 노란색 삼각형의 넓이, 기타 등등을 나타냅니다. 분수를 단순화하면 다음을 제공합니다:

$1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .$

이것은 공통 비율 1/4을 갖는 기하 급수이고 분수 부분은 다음과 같습니다:

$\sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.$

합은 다음입니다:

${\frac {1}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}\;=\;{\frac {4}{3}}.$

이 계산은 소진의 방법(method of exhaustion), 적분(integration)의 초기 버전을 사용합니다. 미적분학(calculus)을 사용하면, 같은 넓이가 한정 적분(definite integral)에 의해 구할 수 있습니다.

Fractal geometry

The interior of the Koch snowflake is a union of infinitely many triangles.

프랙탈(fractal)의 연구에서, 기하 급수는 종종 자기-유사(self-similar) 그림의 둘레(perimeter), 넓이(area) 또는 부피(volume)에서 발생합니다.

예를 들어, 코크 눈송이(Koch snowflake) 내부 넓이는 무한하게 많은 등변 삼각형(equilateral triangle)의 합집합으로 묘사될 수 있습니다 (그림을 참조하십시오). 초록색 삼각형의 각 변은 큰 파란색 삼각형의 변의 정확하게 1/3 크기이고, 따라서 정확하게 1/9 넓이를 가집니다. 비슷하게, 각 노란색 삼각형은 초록색 삼각형의 1/9 넓이를 가지고, 기타 등등. 넓이의 단위로 파란색 삼각형을 취하면, 눈송이의 전체 넓이는 다음입니다:

$1\,+\,3\left({\frac {1}{9}}\right)\,+\,12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}\,+\,48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}\,+\,\cdots .$

이 급수의 첫 번째 항은 파란색 삼각형의 넓이, 두 번째 항은 세 개의 초록색 삼각형의 전체 넓이, 세 번째 항은 열두 개의 노란색 삼각형의 전체 넓이, 기타 등등을 나타냅니다. 초기 1을 배제하면, 이 급수는 상수 비율 r = 4/9을 갖는 기하입니다. 기하 급수의 첫 번째 항은 a = 3(1/9) = 1/3이고, 그래서 합은 다음입니다:

$1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}\;=\;{\frac {8}{5}}.$

따라서 코크 눈송이는 기본 삼각형의 넓이의 8/5을 가집니다.

Zeno's paradoxes

Main article: Zeno's paradoxes

기하 급수의 수렴은 더해지는-숫자의 무한 숫자를 포함하는 합이 사실 유한일 수 있고, 그래서 제논(Zeno)의 많은 역설을 해결할 수 있음을 드러냅니다. 예를 들어, 제논의 이분법 역설은, 어떤 사람이 임의의 유한한 경로를 무한 숫자의 단계로 나눌 수 있으며, 여기서 각 단계는 남은 거리의 절반을 취하는, 운동이 불가능하다는 것을 유지합니다. 제논의 잘못은 유한 단계의 무한숫자의 합은 절대 유한일 수 없다는 가정에 있습니다. 이것은 $r=1/2$을 갖는 기하 급수의 수렴에 의해 입증된 것처럼, 물론 참이 아닙니다.

Euclid

유클리드의 원론(Euclid's Elements)의 책 IX, 전제 35는 급수의 구성원의 관점에서 기하 급수의 부분 합을 표현합니다. 그것은 현대 공식과 동등합니다.

Economics

Main article: Time value of money

경제학(economics)에서, 기하 급수는 (일정한 간격으로 지불되는 금액의 합) 연금(annuity)의 현재 가치(present value)를 나타내기 위해 사용됩니다.

예를 들어, 영속(perpetuity)에서 (년도의 말에서) 년마다 한번 받는 연금의 수령자에게 $100을 지불한다고 가정합니다. 지금부터 일년 후에 $100을 받는 것은 즉시 $100을 받는 것보다 가치가 적은데, 왜냐하면 우리는 돈을 받을 때까지 돈을 투자(invest)할 수 없기 때문입니다. 특히, 일년 미래에서 $100의 현재 가치는 $100 / (1 + $I$ )이며, 여기서 $I$는 연간 이자율입니다.

비슷하게, 이년 미래에서 $100의 지불은 현재 $100 / (1 + $I$)²의 가치를 가집니다 (이자의 이년의 가치는 현재 돈을 받지 않음으로써 잃기 때문에 제곱됩니다). 그러므로, 영속에서 연간 $100을 받는 것의 현재 가치는 다음입니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}},$

이것은 무한 급수입니다:

${\frac {\$100}{(1+I)}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .$

이것은 공통 비율 1 / (1 + $I$)을 갖는 기하 급수입니다. 합은 첫 번째 항을 (일 빼기 공통 비율)에 의해 나눈 것입니다.

${\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}.$

예를 들어, 만약 연간 이자 비율이 10% ($I$ = 0.10)이면, 전체 연금은 $100 / 0.10 = $1000의 현재 가치를 가집니다.

계산의 이 방법은 (저당 대출(mortgage loan)과 같은) 대출의 연간 백분율 비율(APR)을 계산하기 위해 사용됩니다. 그것은 예상되는 주식 배당(stock dividends)의 현재 가치, 또는 보안(security)의 말단 가치(terminal value)를 평가하기 위해 역시 사용됩니다.

Geometric power series

기하 급수

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots$

에 대해 공식은, $|x|<1$에서 수렴하는, 테일러의 정리(Taylor's theorem) 의미에서 거듭제곱 급수(power series)로 해석될 수 있습니다. 이것으로부터, 우리는 다른 거듭제곱 급수를 얻기 위해 외삽을 행할 수 있습니다. 예를 들어,

${\begin{aligned}\tan ^{-1}(x)&=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}\\&=\int {\frac {dx}{1-(-x^{2})}}\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)dx\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}.\end{aligned}}$

기하 급수를 미분하는 것에 의해, 우리는 다음 변형을 얻습니다:

$\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}\quad {\text{ for }}|x|<1.$

비슷하게 다음을 얻습니다:

$\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}\quad {\text{ for }}|x|<1,$ 및

$\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3}={\frac {6}{(1-x)^{4}}}\quad {\text{ for }}|x|<1.$

See also

• 0.999...
• Asymptote
• Divergent geometric series
• Generalized hypergeometric function
• Geometric progression
• Neumann series
• Ratio test
• Root test
• Series (mathematics)

Specific geometric series

• Grandi's series: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

External links

• "Geometric progression", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.
• Geometric Series at PlanetMath.org.
• Peppard, Kim. "College Algebra Tutorial on Geometric Sequences and Series". West Texas A&M University.
• Casselman, Bill. "A Geometric Interpretation of the Geometric Series". Archived from the original (Applet) on 2007-09-29. {{cite web}}: Unknown parameter |deadurl= ignored (|url-status= suggested) (help)
• "Geometric Series" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.